Critical and Maximum Independent Sets of a Graph
设G是顶点集为V（G）的简单图. V（G）的一个子集S是独立的，如果S中没有两个顶点相邻。我们用Ind（G）表示G的所有独立集的族，而core（G）和corona（G）分别表示所有最大独立集的交和并。数字d（X）= |X| -|N（X）|是顶点集X的差，如果d（A）=max{d（I）：I属于Ind（G）}，则独立集A是临界的（Zhang，1990）.设ker（G）和diadem（G）分别是G的所有临界独立集的交集和并集（Levit and Mandrescu，2012）。本文给出了图的极大独立集的临界并与交之间的各种联系。这些关系产生了Koenig-Egervary图的新的刻画，其中一些刻画涉及ker（G）、core（G）、corona（G）和diadem（G）.
2015-05-31 cs.DM math.CO
Linear independence over naturally-ordered semirings with applications to dimension arguments in extremal combinatorics
本文研究具有差异并集性质的子集族最大规模问题，通过引入差序半环及其半模线性独立性定义，证明其具有与向量空间相同的极大性且可高效检测，从而扩展了极值组合学中的维数论证并直接解答了相关问题。
2024-09-20 math.CO math.RA
Monotonic Properties of Collections of Maximum Independent Sets of a Graph
设G是顶点集为V（G）的简单图. V（G）的一个子集S是独立的，如果S中没有两个顶点相邻。如果alpha（G）+ mu（G）=| V（G）|其中alpha（G）表示最大独立集的大小，mu（G）是最大匹配的基数。设Omega（G）表示所有极大独立集的族，f是Omega（G）的子集Gamma的函数，使得f（Gamma）=（Gamma的元素并的基数）+（Gamma的元素交的基数）.我们的主要发现是f是“<<"-递增的，其中前序{Gamma 1} << {Gamma 2}意味着{Gamma 1}的所有元素的并集是{Gamma 2}的所有元素的并集的子集，而{Gamma 2}的所有元素的交集是{Gamma 1}的所有元素的交集的子集。假设一个族{Gamma}是一个Konig-Egervary集合，如果f（Gamma）= 2*alpha（G）。我们的结论是，对于每一个图G的每个子集合的Konig-Egervary集合是Konig-Egervary以及。
2015-05-31 cs.DM math.CO
Cross-intersecting non-empty uniform subfamilies of hereditary families
如果$A$和$B$至少有$t$公共元素，则集合$A$ $t$ -与集合$B$相交。集合的集合称为族。如果$\mathcal{A}$中的每个集合$t$ -与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个家族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是交叉- $t$ -相交的。家族$\mathcal{H}$是遗传的，如果对于$\mathcal{H}$中的每个集合$A$，$A$的所有子集都在$\mathcal{H}$中。$\mathcal{H}$的$r$第一级，用$\mathcal{H}^{(r)}$表示，是$r$族-$\mathcal{H}$中的元素集。$\mathcal{H}$中的集合$B$是$\mathcal{H}$的基，如果对于$\mathcal{H}$中的每个集合$A$，$B$不是$A$的真子集。令$μ(\mathcal{H})$表示$\mathcal{H}$的最小基的大小。我们证明了，对于任何整数$t$，$r$和$s$与$1 \leq t \leq r \leq s$，存在一个整数$c(r,s,t)$，使得以下成立任何遗传家族$\mathcal{H}$与$μ(\mathcal{H}) \geq c(r,s,t)$。如果$\mathcal{A}$是$\mathcal{H}^{(r)}$的一个非空子族，$\mathcal{B}$是$\mathcal{H}^{(s)…
2018-06-04 math.CO
A Composition-Based Approach to EKR Problems
本文提出一种组合框架，用于在子族满足EKR性质时建立集合系统的EKR和强EKR性质，简化现有证明，并证明超图同构子族和循环族的强EKR性质。
2025-10-16 math.CO
Multiply union families in $\mathbb{N}^n$
令$A\subset \mathbb{N}^{n}$是逐$r$的$s$并集族，即具有非负整数的$n$分量的序列族，使得对于$A$中的任何$r$序列，那些序列中每个分量的最大值的总和至多为$s$ .我们确定的最大尺寸的$A$和它的唯一极值配置提供（i）$n$是足够大的固定$r$和$s$，或（ii）$n=r+1$。
2016-06-02 math.CO
Sidon sets in a union of intervals
研究了整数区间并中Sidon集的最大尺寸。如果$A\subseteq\mathbb{N}$是两个区间的并集，并且如果$\left| A \right|=n$（其中$\left| A \right|$表示$A$的基数），我们证明了$A$包含一个大小至少为$0, 876\sqrt{n}$的Sidon集.另一方面，利用小差技术，我们建立了$k$区间并中Sidon集的最大尺寸的界。
2022-02-02 math.CO math.NT
Largest family without A union B contained in C intersect D
设F是n元集合的子集族，不包含四个不同的成员，使得A并B包含在C交D中.证明了在此条件下F的最大尺寸等于两个最大的n阶二项式系数之和。最大的家庭也有特点。同时给出了这类族的一个LYM型不等式。
2004-07-22 math.CO
On union-closed families with prescribed number of $k$-sets
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文研究并封闭族中大小至少为 n 的成员最小数量问题，证明 Leck--Roberts--Simpson 加权猜想在多个条带和条件下成立，并给出充分界。
2026-09-11 math.CO
The subspace structure of maximum cliques in pseudo-Paley graphs from unions of cyclotomic classes
本文研究由半本原分圆类并构成的伪佩利图中具子空间结构的√q大小团的存在性，证明这类团需各分圆类贡献相等且多数伪佩利图无此类团，还证实广义佩塞特图与佩利图、佩塞特图不同构。
2024-07-22 math.CO math.NT
Validity of Borodin & Kostochka Conjecture for a Class of Graphs
Borodin和Kostochka证明了：如果图的最大度大于或等于9，则图的色数小于或等于ω的最大值和最大度减1.本文证明了这个猜想对于{P3 UNION K1}-free图和{K2 UNION complement of K2}-free图是成立的。
2017-05-09 math.CO
A note on the simultaneous edge coloring
设$G=(V,E)$是一个图。$k$ -边着色是$G$的边的着色，使得共享端点的任何一对边接收不同的颜色。Vizing的一个经典结果保证了任何简单图$G$允许$(Δ(G)+1)$ -边染色，其中$Δ(G)$表示$G$的最大度.最近，Cabello提出了以下问题：给定两个图$G_1,G_2$的最大程度$Δ$上的同一组顶点$V$，是否有可能边着色其（边）工会与$Δ+2$颜色在这样一种方式的限制$G$分别边缘的$G_1$和边缘的$G_2$是边着色？更一般地说，给定$\ell$图，我们需要多少种颜色来对它们的并集进行着色，使得对每个图的着色限制是适当的？在这篇短文中，我们证明了我们总是可以用$Ω(\sqrt{\ell} \cdot Δ)$颜色着色最大度$Δ$的图$G_1,\ldots,G_\ell$的并集，并且存在图，对于该图，这个界紧到一个常数乘法因子。此外，对于两个图，我们证明了至多$\frac 32 Δ+4$颜色是足够的，据我们所知，这是最好的已知的上界。
2020-01-06 cs.DM math.CO
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
2022-03-12 math.CO
Planar Turán numbers of cubic graphs and disjoint union of cycles
图$H$的平面图兰数，记为$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$，是不包含$H$作为子图的平面图中$n$顶点上的最大边数。这个概念是由Dowden在2016年提出的，从那时起引起了相当多的关注;这些工作主要集中在当$H$是循环或Theta图或$H$的最大度至少为4时寻找$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$。本文研究了当$H$是三次图或不交圈并或$H=K_{s, t}$时的$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$.
2022-02-23 math.CO
Union-Free Families of Subsets
本文讨论了集合$[n] = \{ 1, 2, ..., n\}$中有多少个非空子集可以被选择，使得没有一个被选择的子集是其他一些被选择的子集的并集的问题。设$M(n)$为我们可以选择的子集的最大数量。我们构建了一系列这样的家庭，这导致了$M(n)$的下界。我们还给出了$M(n)$的上界。最后，我们对$M(n)$下界的紧性提出了几点说明。
2015-10-31 math.CO
Stabilities for non-uniform $t$-intersecting families
本文在极值组合学的集合相交问题领域，进一步拓展$s$-并族的极值结果，确定了既不包含于Katona族也不包含于Frankl族的$s$-并族的最大规模，并刻画了所有达到上界的极值族。
2024-10-07 math.CO
Coloring hypergraphs that are the union of nearly disjoint cliques
本文研究由两两小交集团并集构成的超图最大色数，构造了团数量为多项式级的近似designs以证明其具有大色数，并通过随机贪婪超图过程对交集至多为1的情况给出下界，同时探讨了有限射影/仿影平面中最大caps数量的界。
2023-04-10 math.CO
Extremal graphs for disjoint union of stars and paths
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文针对足够大的n，刻画了F为路与星不交并时n阶边数最多的F-无图，推广了已有相关研究结果。
2026-08-18 math.CO
Tight Chromatic Upper Bound for {3 Times K1, {2 Times K1 + (K2 UNION K1)}-free Graphs
寻找（3倍K1）-free图的χ的最优上界问题仍然是一个开放的、相当困难的问题。Choudum等人证明了{3 Times K1，{2 Times K1 +（K2 UNION K1）}-free图的χ的上界为2ω.我们通过证明如果G是{3 Times K1，{2 Times K1 +（K2 UNION K1）}-free的，则当ω不等于5时，χ小于或等于3ω除以2，当ω = 5时，χ小于或等于8，其中ω是G中最大团的大小.我们也给出了极值图的例子。
2015-04-26 math.CO
Set systems without a simplex, Helly hypergraphs and union-efficient families
我们提出了等价的配方有关的概念集家庭的每一个子家庭的空交集有界子集合空交集。在此，我们总结了这类家庭的最大规模的相关问题的进展。在这项工作中，我们解决了一个问题的Tuza的非平凡$q$ -Helly家庭的边界情况下，通过应用Karamata的不等式，并确定最小尺寸的$2$ -自中心图的每对顶点的公共邻域包含一个集团的大小$q-2$。
2022-10-28 math.CO
Graph generated union-closed families of sets
设G是一个顶点为V，边为E的图.设F是由E生成的并闭集族。则F是V的没有孤立点的子集族。定理：有一条边e属于E，使得|{U属于F|属于你的|=< 1/2 |F|。这等价于下面的断言：如果H是由最大度为2的集合族生成的并闭族，则存在一个$x$，使得|（属于H）|x属于u|> 1/2 |H|。这是并闭集猜想的一个特例。为了正确理解这一结果，本文对并闭集猜想的研究进行了简要的概述。给出了图生成集族定理的一个强证明。这个证明依赖于F的局部性质的分析和Kleitman引理的应用。许多证明适用于任意的并闭族，并且可以用来获得|{U属于F|属于你的|/ |F|。
1994-09-16 math.CO
On Konig-Egervary Collections of Maximum Critical Independent Sets
设G是顶点集为V（G）的简单图.一个集合S是独立的，如果S中没有两个顶点相邻。如果alpha（G）+mu（G）=| V（G）|其中alpha（G）表示最大独立集的大小，mu（G）是最大匹配的基数。数字d（X）= |X| -|N（X）|是X的差，并且如果d（A）= max{d（I）：I是G中的独立集}（Zhang; 1990），则独立集A是临界的。设Ω（G）表示所有极大独立集的族.假设一个独立集族Gamma是一个Konig-Egervary集合，如果|伽玛联盟| + |伽马交叉点|= 2alpha（G）（Jarden，Levit，Mandrescu; 2015）。本文证明了：如果图G的所有极大临界独立集的族是Konig-Egervary集合，则G是Konig-Egervary图。它概括了我们最近在（Short; 2015）中验证的一个模型。
2015-12-07 cs.DM math.CO
Graph Operations that are Good for Greedoids
若集合S是由闭邻域导出的子图的极大独立集，则S是图G的局部极大值独立集.在（Levit，Mandrescu，2002）中，我们证明了所有局部极大值稳定集的族对于每一个森林都是一个广义拟阵。二部图和无三角形图的情况分别在（Levit，Mandrescu，2004）和（Levit，Mandrescu，2007）中进行了分析。本文给出了图G的所有局部极大值稳定集的族构成一个广拟体的充要条件，其中G是：（a）图族的不交并;（b）图族的Zykov和;或（c）图族的冠X*{H_1，H_2，.，H_n}是通过将图X的每个顶点k连接到图H_k的所有顶点而得到的。
2008-09-10 cs.DM math.CO
The Linear Relaxation of an Integer Program for the Union-Closed Conjecture
弗兰克尔猜想，也被称为并闭集猜想，指出在任何有限的非空并闭族中，至少有一半的集合中存在一个元素。令$f(n,a)$是$n$元素的基集上的并闭族中的最大集合数，其中每个元素对于某些$a,n\in \mathbb{N}^+$至多在$a$集合中。证明所有$a, n \in \mathbb{N}^+$的$f(n,a)\leq 2a$等价于证明Frankl猜想。通过考虑Pulaj，Raymond和Theis在New Conjectures for Union Closed Families中提出的整数规划公式的线性松弛，我们证明了$O(a^2)$是$f(n,a)$的一个上界.我们还提供了可以加强这一结果的不同方法。此外，我们还给出了$f(n,2^{n-1}-1)=2^n-n$ .
2020-04-10 math.CO math.OC
An NP-hardness result for the colored constrained maximum 2-edge-colorable subgraph problem in bipartite graphs
本文研究最大$k$-边可着色子图问题，证明了在顶点带有颜色约束的版本中，即使在最大度为三的二分图中该问题也是NP困难的。
2025-10-14 cs.DM math.CO
On the maximum number of maximum independent sets in connected graphs
刻画了给定阶$n$和给定独立数$α$的使最大独立集个数最大化的连通图.对于$3\leq α\leq n/2$，存在一个唯一的这样的图，该图由$\left\lceil\frac{n}α\right\rceil$阶和$\left\lfloor\frac{n}α\right\rfloor$阶的$α$团的不相交并集产生，通过在最大团中选择顶点$x$并在$x$和每个剩余$α-1$团中的顶点之间添加边。我们的结果证实了Derikvand和Oboudi的一个猜想[关于图的最大独立集的数量，组合数学学报3（2014）29-36]。
2018-06-28 math.CO
Sharp asymptotic bounds for uniform union-free hypergraphs
Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学交叉科学研究中心）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院极值组合与概率组）；Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Ministry of Education（教育部非线性期望前沿科学中心）
本文研究了统一自由超图的极限函数，确定了在几乎所有t≥3和r≥3的情况下，U_t(n,r)的渐进行为，扩展了该极值函数的理解。
2026-07-31 math.CO
Non-Crossing Perfect Matchings and Triangle-Free Geometric Graphs
我们研究的极值型问题所产生的问题：什么是边不相交的非交叉完美匹配的最大数量的一组S的2n个点在平面上，使他们的工会是一个三角形的几何图？我们通过考虑S的四种不同情况来处理这个问题。特别地，在一般位置上，我们得到了（i）在一般位置上存在n个边不交的非交叉完美匹配且其并为极大无三角形几何图的充分条件，以及（ii）边不交的非交叉完美匹配且其并为无三角形几何图的个数的下界.
2017-09-13 math.CO
Maximum genus of the Jenga like configurations
我们把积木游戏中的块的联合的边界作为一个具有多面体结构的表面，并考虑其亏格。我们推广了这个对策，并确定了推广对策的最大亏格。
2018-08-31 math.CO math.GT math.HO
Hilton-Milner Theorem for the $r$-independent sets in a union of cliques
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Regina（里贾纳大学）；University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
本文提出了一种针对多个完全子图并集中的 $r$-独立集的希尔顿-米勒定理，扩展了之前对深度二爪图的研究，验证了Holroyd--Talbot猜想。
2025-11-24 math.CO
Maximum number of sum-free colorings in finite abelian groups
有限阿贝尔群$G$的子集$A$的$r$ -着色称为无和，如果它不诱导单色Schur三元组，即，三元组元素$a,b,c\in A$与$a+b=c$。我们研究了$G$的子集所允许的最大无和$r$ -着色数$κ_{r,G}$，并且我们的结果显示了$κ_{r,G}$与$G$的最大无和集之间的密切关系.给定一个足够大的$I$型阿贝尔群$G$，即，$|G|$有一个素因子$q$和$q\equiv 2\pmod 3$。对于$r=2,3$，我们证明了一个子集$A\subset G$达到$κ_{r,G}$当且仅当$A$是$G$的最大和自由集。对于偶数阶$G$，结果扩展到$r=4,5$，其中只有当$G$具有唯一的最大和自由集时，该现象才持续。相反，如果$G$中的最大自由和集不是唯一的，则$A$达到$κ_{r,G}$当且仅当它是两个最大自由和集的并集（在$r=4$的情况下）和三个（“独立”）最大自由和集的并集（在$r=5$的情况下）。我们的方法依赖于所谓的容器方法，并可以扩展到更大的$r$的情况下$G$是偶数阶，并包含足够多的最大和自由集。
2017-10-23 math.CO
Interval scheduling and colorful independent sets
调度中的许多应用，例如资源分配或钢铁制造，可以使用NP难独立集问题建模（给定无向图和整数k，找到至少k个成对不相邻顶点的集合）。在这里，我们遇到了特殊的图类，如2-并图（两个区间图的边向并）和带状图（一个区间图和一个簇图的边向并），在这些图类上，独立集仍然是NP-难的，但允许在多项式时间内的常数比近似。本文研究了2-并图和带图子类上独立集的参数化复杂性。我们的调查显着受益于一个新的结构“紧凑性”参数的区间图和新的问题配方使用顶点着色的区间图。我们的主要贡献是：1.我们证明了一个复杂性二分法：仅限于图类封闭的诱导子图和不相交的工会，独立集是多项式时间可解的，如果两个输入区间图是集群图，是NP-难的。2.我们绘制了有效的多项式时间预处理（也称为核化）的可能性和限制。3.我们扩展了Halldórsson和Karlsson（2006）的带图上独立集的固定参数算法，该算法由结构参数“最大活作业数”参数化，以证明该问题（也称为作业间隔选择）关于参数k是固定参数易处理的，并将他们的算法从带图推广到2-并图。随机数据的初步实验表明，最多15个作业和5*10^5个间隔的作业间隔选择可以在不到5分钟的时间内得到最佳解决。
2014-07-12 cs.DM cs.DS math.CO
Sum Labelling Graphs of Maximum Degree Two
1990年，Harary提出了总和标签的概念。一个图是和图，如果它的顶点可以用不同的正整数标号，使得两个顶点由一条边连接当且仅当它们的标号之和是图中另一个顶点的标号。很容易看出，每个和图至少有一个孤立点，并且每个图最多可以通过向其添加$n^2$孤立点而成为和图。需要添加到图中使其成为和图的最少孤立点的数量称为图的和数。几个突出的图类的总数（例如，圈、树、完全图）是众所周知的。我们研究的效果，采取不相交的工会的图上的和数。特别是，我们提供了一个完整的表征的总和数的最大程度的两个图，因为每个这样的图是不相交的道路和循环的联盟。
2023-01-05 cs.CC cs.DS math.CO
Partition-free families of sets
令$m(n)$表示不包含两个不相交集合及其并集的子集族的最大大小。1968年，Kleitman证明了$m(n) = {n\choose m+1}+\ldots +{n\choose 2m+1}$如果$n=3m+1$。证明了Kleitman的猜想，对$n=3m$和$n=3m+2$建立了同样的等式，并确定了所有的极值族.与$n=3m+1$的情形不同，极值族不是唯一的。这是我们的证明相对困难的一个貌似合理的原因。我们也彻底解决了几个家庭的问题。
2017-06-01 cs.DM math.CO
On k-wise intersecting families of vertex sets in perfect matchings
我们考虑以下推广的开创性Erdens-Ko-Rado定理，由于弗兰克尔。对于k>= 2，设F是n元集合X的r-子集的k-交族，即F中的任意k个集合都有非空交。如果r<=（k-1/k）n，则|F| <={n-1 \choose r-1}。我们在图论的方向上推广了Frankl定理。对于图G，且r ≥ 1，设P^r（G）是G的顶点集的所有r-子集的族，使得每个r-子集要么是独立集，要么包含最大独立集.我们将考虑图M_n的这个族的k-交子族，这里M_n是2n个顶点上的完美匹配，并证明类似于Frankl定理的一个定理。这个结果也可以看作是Bollobás和Leader关于M_n中独立顶点集相交族的一个定理的推广。
2013-03-31 math.CO
Counting Unions of Schreier Sets
本文研究 Schreier 集合并集的计数问题，证明对任意正整数 k，由至多 k 个 Schreier 集之并构成的集合族按最大元素 n 计数所得的序列均满足线性递推关系，从而推广了 k=1 时对应 Fibonacci 序列的经典结论。
2023-08-25 math.CO
Independent Chains in Acyclic Posets
本文研究了图中诱导的顶点不相交的团并的最大阶的确定问题。更具体地说，给定一些族的图$\mathcal{G}$的等阶，我们感兴趣的参数$a(\mathcal{G}) = \min_{G \in \mathcal{G}} \max \{ |U| : U \subseteq V, G[U] \text{ is a vertex-disjoint union of cliques} \}$。当$\mathcal{G}$是具有无圈覆盖图的$n$ -元偏序集的可比图族时，我们精确地确定了这个参数的值.特别是，我们表明，$a(\mathcal{G}) = (n+o(n))/\log_2 (n)$在这个类。
2019-12-10 math.CO
On the union of intersecting families
一个集合族称为\emph{intersecting}，如果族中的任何两个集合有非空交集。在1973年，Erdés提出的问题，确定最大可能的大小联盟的$r$不同的交叉家庭的$k$ -元素子集的$n$ -元素集，为每个三元组的整数$(n,k,r)$。我们在这个问题上取得了进展，证明了对于任何固定的整数$r \geq 2$和任何$k \leq (\tfrac{1}{2}-o(1))n$，如果$X$是一个$n$ -元素集，和$\mathcal{F} = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2 \cup \ldots \cup \mathcal{F}_r$，其中每个$\mathcal{F}_i$是一个交叉家庭的$k$ -元素子集的$X$，然后$|\mathcal{F}| \leq {n \choose k} - {n-r \choose k}$，与平等只有当$\mathcal{F} = \{S \subset X:\ |S|=k,\ S \cap R \neq \emptyset\}$的一些$R \subset X$与$|R|=r$。这是最好的可能达到$o(1)$项的大小，并且改进了Frankl和Füredi在1987年的结果，他们在更强的假设$k < (3-\sqrt{5})n/2$下，在$r=2$的情况下得到了相同的结论。我们的证明利用等周，影响为基础的方法最近…
2018-12-21 math.CO
Size and structure of large $(s,t)$-union intersecting families
一个集合族$\F$称为交的，如果$\F$中的任何两个集合有非空交。著名的Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理确定了$n$ -集$X$上的最大相交$k$ -集族的大小和结构。$(s,t)$ -并集相交族是$n$ -集合$X$上的$k$ -集合族，使得对于这个族中的任何$A_1,\ldots,A_{s+t}$，$\left(\cup_{i=1}^sA_i\right)\cap\left(\cup_{i=1}^t A_{i+s}\right)\neq \varnothing.$令$\ell(\F)$是$\F$中的集合的最小数目，使得通过移除它们得到的子族是相交的.本文对足够大的$n$，刻画了$(s,t)$ -具有最大可能尺寸的并集相交族和$\ell(\F)\geq s+β$的尺寸和结构.这使我们能够找出一些大的和最大的$(s,t)$ -并集相交的家庭的大小和结构。我们的结果是Erd{ \H o}s-Ko-Rado定理的一些最近推广的非平凡扩展，例如Han和Kohayakawa定理2017，它发现了第三大相交族的结构，Kostochka和Mubayi定理2017，以及最近的Kupavskii定理2018，其两个结果都确定了$i$的$k$第十大交叉家族的大小和结构-设置为$i\leq k+1$。特别是，我们证明了一个Hilton-Milner型稳定性定理对$(1,t)$ -union相…
2019-09-06 math.CO
Maximum $\mathcal H$-free subgraphs
给定一个超图族$\mathcal H$，设$f(m,\mathcal H)$表示在每个有$m$边的超图中保证能找到的无$\mathcal H$子图的最大尺寸. 1969年，Erdós和Komlós在无工会家庭的背景下首次引入了这一功能，此后对其他各种特殊情况进行了广泛的研究。在试图发展这些问题的一般理论，我们考虑以下基本问题：超图族$\{\mathcal H_m\}$的哪些序列有界$f(m,\mathcal H_m)$为$m\to\infty$？各种界限$f(m,\mathcal H_m)$得到回答这个问题在某些情况下。获得序列$\{\mathcal H_m\}$的完整描述，其中$f(m,\mathcal H_m)$是有界的，这似乎是无望的。
2019-05-05 math.CO
Maximum Size of a Family of Pairwise Graph-Different Permutations
图$G$的顶点的两个排列称为$G$ -如果存在索引$i$使得两个排列的第$i$项形成$G$中的边，则不同。本文对不同的图$G$，确定了一个两两$G$ -不同置换族的最大尺寸.我们证明了对于所有阶为$n$且度最小的平衡二部图$G$，$G$的顶点的最大成对$G$ -不同置换数为$2^{(1-o(1))n}$ .我们还提出了具有最大度$O(\log n)$的二部图$G$具有此属性的例子。我们探讨了当一个给定的图中添加了无限多个不相交的顶点时，一类两两图不同排列的最大尺寸的边界问题。我们确定这个确切的值的图2不相交的边缘，并提出了一些渐近界有关这个值的图组成的联盟的$n/2$不相交的边缘。
2017-02-27 math.CO
The maximum product of weights of cross-intersecting families
两个集合族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉- $t$ -相交，如果$\mathcal{A}$中的每个集合与$\mathcal{B}$中的每个集合至少在$t$元素上相交。极值集理论中的一个活跃问题是确定给定族的交叉- $t$ -相交子族的尺寸的最大乘积。利用一种新的子群变换方法证明了集合的加权子集的交叉- $t$ -交定理，并利用所得结果给出了三个自然族的解。对于$r\in[n]=\{1,2,\dots,n\}$，令${[n]\choose r}$为$[n]$的$r$元素子集的族，令${[n]\choose\leq r}$为至多具有$r$元素的$[n]$子集的族。令$\mathcal{F}_{n,r,t}$是${[n]\choose\leq r}$中包含$[t]$的集合族。证明了如果$g:{[m]\choose\leq r}\rightarrow\mathbb{R}^+$和$h:{[n]\choose\leq s}\rightarrow\mathbb{R}^+$是满足一定条件的函数，$\mathcal{A}\subseteq{[m]\choose\leq r}$，$\mathcal{B}\subseteq{[n]\choose\leq s}$，$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是$t$交叉的，那么当$\mathcal{A}=\mat…
2015-12-30 math.CO
A New Greedoid: The Family of Local Maximum Stable Sets of a Forest
图G的最大独立集是具有最大基数的独立集。S是一个局部极大值独立集，如果它是由S和N（S）的并所张成的G的子图的一个极大独立集，其中N（S）是S的邻域. Nemhauser和Trotter Jr.的一个定理，作为加权最大稳定集问题的一个有用的局部最优性充分条件，保证了G的任何局部极大值独立集都可以扩大为G的一个极大独立集.在本文中，我们证明了一个相反的断言是真实的森林。也就是说，我们证明了对于森林T的任何非空局部极大值独立集S，存在T的一个局部极大值独立集S1，使得S1包含在S中且|S1| = |S| - 1。此外，作为Nemhauser和Trotter Jr.定理的进一步加强。和它的逆，证明了森林的所有局部极大值稳定集的族在其顶点集上形成一个广义拟阵。
1999-12-29 math.CO
Maximum spread of $K_{2,t}$-minor-free graphs
本文研究不含$K_{2,t}$-子式的$n$顶点图的最大谱展，刻画了达到最大谱展的极图结构及其唯一性例外情形，并给出相关参数$ξ_t$的显式公式。
2023-07-20 math.CO
The maximum number of cliques in disjoint copies of graphs
本文研究无特定图不相交副本条件下图中团的最大数目，给出一般上下界，并确定不含若干长度为2的路径不相交并时s-团的最大值，部分证实了Chen等人的猜想。
2025-03-10 math.CO
Path separation by short cycles
$K_n$中的两条Hamilton路被长度为$k$的圈分隔，如果它们的并集包含这样的圈。对于$k$的小固定值，我们给出了$K_n$中Hamilton路族的最大基数的渐近界，使得该族中的任何一对路都被长度为$k.$的圈所分隔
2016-05-04 math.CO
Connected-Intersecting Families of Graphs
对于图的性质$\mathcal{P}$和公共顶点集$V = \{1, 2, \ldots, n\}$，$V$上的图族是\emph{$\mathcal{P}$-intersecting}当且仅当对$G \cap H$中的所有$G,H$都满足$\mathcal{P}$.解决一个问题的钟，格雷厄姆，弗兰克尔和希勒，我们探讨-各种$\mathcal{P}$-最大的基数之间的所有$\mathcal{P}$相交的图形家庭。在连通相交的情况下，我们完全解决了这个问题，通过一个简短的线性代数证明，表明这个最大值是通过所有包含固定生成树的图来实现的（尽管我们也展示了其他极值结构）。我们还提出了一个新的下界包含一个固定子图的并。
2019-01-06 math.CO
$d$-cluster-free sets with a given matching number
设$3\le d\le k$和$ν\ge 0$是固定的，而$\mathcal{F}\subset\binom{[n]}{k}$。$\mathcal{F}$的匹配数记为$ν(\mathcal{F})$，是$\mathcal{F}$中两两不相交集的最大个数，如果不包含大小至多为$2k$且交集为空的$d$集，则$\mathcal{F}$是$d$ -无簇的.本文给出了匹配数至少为$ν+1$的$d$ -无簇族的最大规模的上界和下界。特别地，我们对$ν=1$情形的结果解决了Mammoliti和Britz的一个猜想.我们还介绍了一个图兰超图的问题，允许多个边缘，这可能是独立的利益。
2019-11-06 math.CO
The number of independent sets in a graph with small maximum degree
设${\rm ind}(G)$是图$G$中独立集的个数。证明了如果$G$的最大度至多为$5$，则$$ {\rm ind}(G) \leq 2^{{\rm iso}(G)} \prod_{uv \in E(G)} {\rm ind}(K_{d(u),d(v)})^{\frac{1}{d(u)d(v)}} $$（其中$d(\cdot)$为顶点度，${\rm iso}(G)$为$G$中孤立顶点的个数，$K_{a,b}$为完全二部图，$a$顶点在一个划分类中，$b$在另一个划分类中）具有相等性当且仅当$G$的每个连通分支是完全二部图或单顶点. Kahn证实了该结合（对于所有$G$）。我们结果的一个推论是，如果$G$是$d$ -正则的，具有$1 \leq d \leq 5$，则$$ {\rm ind}(G) \leq \left(2^{d+1}-1\right)^\frac{|V(G)|}{2d}, $$具有相等性当且仅当$G$是$K_{d,d}$的$V(G)/2d$拷贝的不相交并集。这个界（对于所有的PDMATHAMV）由Alon和Kahn证明，最近由第二作者证明了对于所有的PDMATHAMV，没有极端情况的特征。我们的证明涉及到一个有限搜索的减少。对于最大度至多为$3$的图，搜索可以手工完成，但对于最大度$4$或$5$的情况，需要计算机。
2010-07-27 math.CO
