Density of convex billiards with rational caustics
Vadim Kaloshin, Ke Zhang
我们证明了在所有凸台球边界的空间中，具有有理焦散线的边界集是稠密的。更精确地说，具有旋转数$1/q$焦散线的台球边界集在光滑情况下是多项式意义的，在解析情况下是指数稠密的。
We show that in the space of all convex billiard boundaries, the set of boundaries with rational caustics is dense. More precisely, the set of billiard boundaries with caustics of rotation number $1/q$ is polynomial sense in the smooth case, and exponentially dense in the analytic case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Only quadrics have pseudo-caustics -- on caustics of Riemannian, pseudo-Euclidean and projective billiards in higher dimensions
该文研究高维射影弹子球的焦散线问题，统一了多种度量下的反射定律，刻画了焦散线仅为二次曲面的射影弹子球类，并将结果推广到黎曼与伪欧几里得弹子球，证明后者的焦散线必为伪共焦二次曲面。
Coexistence of periodic-2 and periodic-3 caustics for nearly circular analytic billiard maps
本文研究了近圆解析台球映射中周期2与周期3焦散线的共存问题，证明了圆的对称解析形变需满足等距变换这一必要条件。
Non-smooth convex caustics for Birkhoff billiard
本文研究了Birkhoff台球的弦结构的性质。基于纯粹的几何考虑，弦结构适合为伯克霍夫台球提供一个表，具有规定的焦散。利用这个框架与凸焦散线的性质，我们给出了一个结果的几何证明Innami首先证明在2002年通过Aubry-Mather理论。在第二部分的文件中，我们表明，应用字符串建设可以找到一个新的集合的例子$C^2$ -光滑凸台球桌与非光滑凸焦散。
High-order persistence of resonant caustics in perturbed circular billiards
研究了扰动圆回廊中共振光束的高阶持久性，利用Bialy-Mironov生成函数提出扰动理论，确定了共振光束在多项式变形下的持久性阶数。
On complex algebraic caustics in planar and projective billiards
引入复焦散概念，证明实平面曲线及常曲率曲面上的台球存在复焦散当且仅当边界为圆锥曲线，并将该结论扩展至射影台球。
On infinitely many foliations by caustics in strictly convex open billiards
本文研究严格凸开台球的焦散线叶状结构，证明边界凸侧存在光滑叶状结构及连续统多个点芽互异的叶状结构，并通过强类台球保面积映射加以推广。
Duality of Caustics in Minkowski Billiards
本文研究闵可夫斯基台球中的凸焦散线。本文证明了对于平面光滑中心对称严格凸体$K$中的欧几里德台球动力学，对于$K$所具有的每一个凸焦散，其中球台是欧几里德单位圆盘且支配运动的几何是由体$K$诱导的“对偶”台球动力学具有对偶凸焦散.这种焦散线对在很强的意义上是对偶的，并且特别地，它们具有相同的周长、拉祖特金参数（均相对于对应的几何形状测量）和旋转数。此外，我们表明，对于一般的闵可夫斯基台球这种现象失败，可以构建一个光滑的焦散在闵可夫斯基台球桌不具有双凸焦散。
Nonpersistence of resonant caustics in perturbed elliptic billiards
焦散是具有以下特性的曲线：台球轨迹一旦与其相切，则在台球桌边界处的每次反射之后保持相切。当台球桌是椭圆时，任何非奇异台球轨迹都有焦散，它可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散-那些切线轨迹是封闭的多边形-在台球桌的一般扰动下被破坏。我们证明，没有一个共振椭圆焦散持续下一个大类的显式扰动的原始椭圆。这个结果来自于标准的Melnikov论证和对某些椭圆函数的复奇点的分析。
Caustic-Free Regions for Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文研究了凸台球桌在双曲平面或半球上的无焦散区域。特别是，Gutkin和Katok的结果在欧几里德的情况下，我们估计这些区域的大小方面的几何形状的台球桌。此外，我们扩展到这个设置的一个定理，由于Hubacher这表明，没有焦散存在的边界附近的凸台球桌的曲率是不连续的。
Complex caustics of the elliptic billiard
本文研究了椭圆台球在复域上的推广。我们表明，台球轨道也有焦散线，这样的焦散线的数量是大于真实的情况下。例如，对于一个给定的椭圆E，正好存在两个共焦椭圆，使得E的三角形轨道围绕其中一个外切，并且这些椭圆之一的每条切线是三角形轨道的一条边。我们还给出了一个边界上的焦散线的轨道与固定数量的边。
The billiard inside an ellipse deformed by the curvature flow
本文研究椭圆内台球动力学在曲率流变形下从可积变为混沌的过程，证明曲率流会破坏可积性、增加拓扑熵、横截分裂分界线并破坏所有共振凸焦散线。
Mathematical Billiards
本文针对平面数学弹子球问题，证明了凸光滑焦散面外任意一点对应唯一弹子球桌，还构造了以肾形线为焦散面的弹子球桌，丰富了数学弹子球的相关研究。
On cusps of caustics by reflection: a billiard variation on Jacobi's Last Geometric Statement
一个点光源被放置在一个椭圆形内。反射的$n$次焦散是在$n$反射离开曲线之后从光源发出的光线的包络。我们表明，这些焦散，对于一个泛点光源，至少有4个尖点。这是一个台球变化雅可比的最后几何声明，关于一些尖点的共轭轨迹上的凸曲面。我们提出了各种证明，使用不同的想法，包括曲线缩短流和Legendrian纽结理论。
On cusps of caustics by reflection in two dimensional projective Finsler metrics
本文研究射影 Finsler 度量下凸平面区域中的 Finsler 台球，证明经历固定反射次数的反射焦散线至少具有四个尖点，推广了欧氏台球的相关结果。
On the First Caustic of Elliptical Billiards
本文利用复空间中的台球方法，证明了椭圆台球中从点光源发出的光线经一次反射形成的焦散线恰好有四个普通尖点。
The frequency map for billiards inside ellipsoids
椭球体$Q \subset \Rset^{n+1}$内的台球运动是完全可积的。它的相空间是一个$2n$维的辛流形，它主要由$n$维的刘维尔环面构成。每个刘维尔环面上的运动变成了一个平行平移，其频率$ω$随环面而变化。此外，$Q$中的任何台球轨迹都与$n$焦散线$Q_{λ_1},...,Q_{λ_n}$相切，因此焦散参数$λ=(λ_1,...,λ_n)$是台球映射的积分。频率图$λ\mapsto ω$是理解周期性台球轨迹结构的关键工具。原则上，它只对焦散参数的非奇异值有明确的定义。我们提出了四个apturtures，完全支持数值实验。最后一个给出了一些下界的周期。这些边界仅取决于焦散的类型。我们描述了$ω$的几何意义，域和范围。映射$ω$可以连续地扩展到焦散参数的奇异值，尽管它在其中一些处变得“指数尖锐”。最后，我们研究了$\Rset^3$的三轴椭球。数值计算了具有固定频率的刘维尔环面在参数空间中消失时的分岔曲线。我们确定哪些椭球有更多的周期性轨迹。我们通过显示焦散线具有正确类型的周期四、五和六的周期轨迹来检查周期的先前下限是否是最佳的。对$\Rset^2$的椭圆也给出了一些新的见解。
Bifurcations in the family of billiards associated with the curvature flow
本文研究曲率流形变下凸曲线台球族的分岔现象，刻画了周期二轨道与法向周期轨道的分岔，并证明曲率流可破坏椭圆的非凸焦散线。
Non co-preservation of the $1/2$ & $1/(2l+1)$-rational caustics along deformations of circles
对于任何给定的正整数$l$，我们证明，每一个平面变形的圆，保持$1/2$和$1/(2l+1)$ -合理的焦散是平凡的，即变形只包括相似性（重新缩放加上等距）。
A Random Billiard Map in the Circle
我们考虑一个随机台球映射，其中标准的镜面反射规则被替换为随机反射的马尔可夫算子。我们对一般桌子上的随机台球展示了一个不变测度。在特殊情况下的圆表，我们表明，几乎每一个（随机）轨道是密集的边界，以及在圆环之间形成的圆边界和随机焦散。我们还证明了强努森定律的一个特殊情况下的家庭的绝对连续措施方面刘维。
Billiard complexity in rational polyhedra
本文给出了立方体中有向台球复杂性的一个新的证明，这个证明在\cite{Ra}中得到了证明，在\cite{Ar.Ma.Sh.Ta}中得到了证明。我们的技巧为某些有理多面体给出了类似的定理。
Super-fast spreading of billiard orbits in rational polygons and geodesics on translation surfaces
本文证明有理多边形台球轨道与平移曲面测地线具有超快扩散特性，该最佳时间定量多数性质意味着几乎所有方向上的一致性。
Combinatorics of periodic ellipsoidal billiards
我们研究组合学的台球分区最近出现在描述的周期轨迹的椭球台球在d维欧氏空间和伪欧几里得空间。这样的分区唯一地编码焦散的集合，直到它们的类型，其生成周期性轨迹。周期轨迹的周期是最大部分，而卷绕数是相应分区的剩余被加数。为了考虑焦散的类型，我们引入加权分区。我们提供了封闭的形式，这些分区的生成函数。
Some remarks on periodic billiard orbits in rational polygons
一个多边形被称为有理的，如果每对边之间的角度是$π.$的有理倍数。我们要证明的主要定理是定理1：对于有理多边形，台球流的周期点在台球流的相空间中是稠密的。这是对Masur定理的加强，Masur定理证明了任何有理多边形都有“许多”周期性台球轨迹;更确切地说，周期性轨迹的方向集在速度方向集$§^1.$中是稠密的。我们还将证明定理1的一些改进：周期轨道在多边形中的"良好分布“和点$q \in Q$具有稠密周期方向集的剩余性。
On commuting billiards in higher-dimensional spaces of constant curvature
我们考虑$\mathbb R^d$、$d\geq3$中的两个嵌套台球，具有$C^2$ -光滑的严格凸边界。我们证明了，如果相应的作用由有向线的空间上的反射交换，那么台球是共焦椭球。这与作者以前在二维空间中的类似结果一起完全解决了谢尔盖·塔巴奇尼科夫的交换台球猜想。主要结果是从经典定理推导出来的，因为Marcel Berger说，在更高的维度中，只有二次曲面可能具有焦散线。我们还证明版本的伯杰定理和台球的主要结果在常曲率空间：空间型。
Digit sequences of rational billiards on tables which tile $\mathbb{R}^2$
本文对由周期台球轨道产生的周期数字串在反射下平铺$\mathbb{R}^2$的四个凸$n$ -凸$Δ$上进行分类，回答了Baxter和Umble提出的一个问题. $Δ$是等边三角形、$45-45-90$三角形、$30-60-90$、三角形或矩形。
Weak mixing in rational billiards
本文完全刻画了在几乎每个方向上弱混合的有理多边形与平移曲面，证明了Gutkin的长期猜想，并指出此类曲面不容许到圆的仿射因子映射。
Recurrence for smooth curves in the moduli space and application to the billiard flow on nibbled ellipses
鉴于Masur和Veech的经典结果，紧致平移曲面的模空间中几乎每个元素都是循环的。本文研究了模空间中平滑曲线的元素的递推问题。给出了平滑曲线的几乎所有元素常返的有效判据。该标准依赖于Minsky-Weiss在\cite{Mi-We}中开发的结果。接下来，我们应用该标准的台球流平面表的弧共焦二次曲线。这种台球流的相空间分裂成由焦散线确定的不变子集。证明了对几乎每一个苛性集，限制在相应不变集上的台球流是唯一遍历的。这肯定地回答了Zorich提出的一个问题。
Illumination in Rational Billiards
该研究证明有理多边形台球中不相互照明的点对集合有限，扩展了有限阻挡点对数量的相关结果，其方法依赖平移曲面阻挡性质研究及模空间动力学成果。
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
Outer billiards of symplectically self-polar convex bodies
本文研究了辛自极凸体的外Billiards映射，证明其存在由4周期轨道组成的不变超曲面，为更高维Birkhoff Billiards提供了非平凡不变结构。
Periodic trajectories of ellipsoidal billiards in the 3-dimensional Minkowski space
在本文中，我们给出了详细的分析和描述的周期轨迹的台球系统内的一个椭球在三维Minkowski空间，考虑到所有可能的焦散线。周期性的条件来自代数几何，解析和多项式的形式。
Polygonal Refractive Outer Billiards
该研究将Gutkin等、Tabachnikov等关于常规外台球的两个经典结果，推广到了凸多边形对应的折射外台球系统中。
On triangular billiards
本文证明了Kenyon和Smillie关于不存在具有格性质的锐角三角形的一个猜想。
Deviation of ergodic averages for rational polygonal billiards
我们证明多项式上界的遍历平均值的偏差的直线流在几乎每个方向上的每个平移表面，特别是对那些表面所产生的合理多边形台球。
Veech surfaces associated with rational billiards
研究有理多边形中的台球流的一个好技巧是沿着轨迹展开多边形。这会产生由原始多边形平铺的平移或半平移表面，或者等效地阿贝尔或二次微分。Veech曲面是一类特殊的平移曲面，具有大量的仿射自同构和有趣的动力学性质。维奇曲面的第一个例子来自有理台球。我们首先介绍了数学对象，并确定了一些词汇和符号。然后，我们回顾已知的结果Veech表面所产生的理性台球。感兴趣的读者可在作者的网页上找到附件表格。
The Integrability of a knife-edge Billiard in a Disk
本文证明了圆盘中刀口非完整台球的可积性，通过参数化碰撞空间并构造递推映射，并揭示了其广义焦散线族。
The current state of fractal billiards
如果D是一个有理多边形，则相关的有理台球桌由Ω（D）给出。这样的台球桌很好理解。若F是一条由有理多边形序列逼近的闭分形曲线，则相应的分形台球桌记为Ω（F）。本文综述了文献[LapNie1 - 3]中关于Koch雪花分形台球桌Ω（KS）的许多结果，并宣布了关于另外两个分形台球桌的新结果，即T-分形台球桌Ω（T）（见[LapNie6]）和自相似Sierpinski地毯台球桌Ω（S_a）（见[CheNie]）.我们建立了一个通用的框架内，我们称之为一系列的兼容轨道进行分析。讨论了每个预分形台球Ω（KS_n），Ω（T_n）和Ω（S_a，n）的特殊相容轨道序列的性质，其中n = 0，1，2. .在每一种情况下，我们能够确定一个特定的限制行为的适当制定的序列的兼容轨道。这样的极限或者构成分形台球桌Ω（F）的非平凡路径，或者构成Ω（F）的有限周期周期轨道。在我们的例子中，F将是KS，T或S_a。本文中讨论的几个结果和例子是第一次。然后，我们关闭一个简短的讨论开放的问题和进一步研究的方向，在新兴领域的分形台球。
Complexity and growth for polygonal billiards
我们建立了一个多边形台球的字的复杂性和广义对角线的数量之间的关系。我们得出结论，在合理的情况下，复杂性函数有立方的上界和下界。在平铺的情况下，复杂性有立方渐近增长。
Chaoticity of generic analytic convex billiards
研究揭示了一般解析强凸弹跳系统在混沌性方面的特性，证明了对于任意有理数p/q∈Q∩(0,1)，最大周期轨道的稳定和不稳定流形交点均为横截的，表明系统具有最大混沌性。
Non-periodic not everywhere dense trajectories in triangular billiards
利用诱导映射与区间交换变换，构造等腰三角形单参数族，其非周期轨迹非处处稠密，从而否定性解决三角台球中长期未决的稠密性问题。
Resonance of ellipsoidal billiard trajectories and extremal rational functions
本文研究了$d$维欧几里得空间中二次曲面的共振台球轨迹。我们将它们与逼近理论，特别是极值有理函数的系统上的$d$间隔的实数线。这种富有成效的联系，使我们能够证明台球动力学的基本性质，并提供了一个全面的研究一类非周期轨迹的可积台球。一个关键成分是广义佩尔型的函数多项式关系。将这些思想和技巧进一步应用于$s$ -弱台球轨迹，我们得到了同样广义Pell型的函数多项式关系。
A characterization of quasi-rational polygons
本文的目的是研究与外台球有关的拟有理多边形。我们比较不同的概念介绍，并作出综合。
Homotopical rigidity of polygonal billiards
考虑两个$k$ -双$P$和$Q$。我们说$P$和$Q$中的台球流是同伦等价的，如果包含周期台球轨道的$P$的基本群中的共轭类的集合与$Q$的类似集合一致。我们研究了这种等价关系，并将其与\cite{BT1,BT2}中引入的等价关系，顺序等价和代码等价进行了比较。特别是，我们表明，如果$P$是一个合理的多边形，和$Q$是同伦等价的$P$，然后$P$和$Q$是相似的，或affirmative相似，如果所有的边$P$是垂直和水平的。
Straightening Billiard Trajectories in Flat Disks and Katok-Zemlyakov Construction
我们提供了一种方法来拉直每个台球轨迹在一个扁平的磁盘。作为一个应用，我们表明，对于每个点的磁盘上，几乎所有的方向，相应的台球轨迹的封闭包含一个顶点。我们将Katok-Zemlyakov构造推广到具有有理角数据的平面圆盘：对于每个有理平面圆盘，我们得到一个平移曲面和一个到圆盘加倍的投影。我们计算了这种平移曲面的欧拉示性数。
Integer Sequences from Circle Divisions in Rational Billiards
本文研究有理圆形台球，通过轨迹对圆内区域的分割推导每次反射后区域数的一般公式，并在特定角度条件下揭示该整数序列与 Gauss 等差数列的关系。
Billiards in right triangles and orbit closures in genus zero strata
计算了任意有理直角三角形和等腰三角形的开折轨道的闭合性，并导出了周期台球轨迹在这些三角形中的渐近数。这如下分类所有轨道闭包的秩至少两个超椭圆分量的地层阿贝尔和二次微分。另外，给定一组固定的角度，所有单位面积的有理平行四边形，等腰梯形，右外的一个离散集的轨道封闭的展开确定。
Outer Billiards with Contraction: Attracting Cantor Sets
考虑多边形外具有收缩的外台球映射。我们构造了一个单参数系统族，使得每个系统都有一个开集，其中的动态被减少到区间上的分段收缩。利用旋转数理论，我们推导出开集内的每一点都渐近于一个周期轨道（有理情形）或一个康托尔集（无理情形）.特别是，我们推导出对于某些参数值存在吸引的康托尔集。此外，对于一个不同的选择的1-参数家庭，我们证明了该系统是唯一遍历，特别是，整个域是渐近的一个单一的吸引子。
Recurrence and Embeddings in Planar Wind-Tree Models
该研究聚焦平面周期无限台球系统，证明在有理模型中周期性添加特定障碍物后，所得球桌的台球流几乎在所有方向上均具有递归性。
The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables
本文证明了中心对称$C^2$ -光滑凸平面台球的Birkhoff-Poritsky猜想。我们假设$4$ -周期轨道的不变曲线与相柱边界之间的区域$\mathcal A$由$C^0$ -不变曲线划分。在这个假设下，我们证明了台球曲线是椭圆。对于原来的Birkhoff-Poritsky公式，我们证明了如果台球区域边界的邻域在区间（0; 1/4]内具有旋转数的凸焦散的$C^1$ -光滑叶状，则边界曲线是椭圆。在首次积分的语言中，可以断言{如果中心对称的$C^2$ -光滑凸曲线$γ$内的台球允许$\mathcal A$上具有非零梯度的$C^1$ -光滑第一积分，则曲线$γ$是椭圆。}证明的主要成分是：（1）在\cite{BM}，\cite{B}中发现的凸台球的非标准生成函数;（2）由$4$ -周期轨道组成的不变曲线的显着结构;和（3）在B 0，B1中开始的圆形台球刚性结果的积分几何方法。令人惊讶的是，我们建立了一个霍普夫型刚性的台球在椭圆。
On Chaotic Dynamics in Rational Polygonal Billiards
我们讨论了有理多边形台球中与可积性和混沌特征相关的分段线正则边界效应和顶角奇异边界效应之间的相互作用。多边形中规则和不规则运动的有争议的问题的处理方法是在确定性和随机性的框架内进行的。分析的台球壁碰撞分布和粒子的生存概率，分别在封闭和弱开多边形模拟。在多顶点多边形中，后期的壁碰撞事件导致圆形的规则的周期性轨迹（滑动轨道），这在开放台球的情况下可能被转化为幸存的集体激发（涡）。在弱开多边形中，滑动轨道和涡旋与相应的圆台球中的规则轨道没有拓扑相似性，通过普适和非普适弛豫动力学可以很好地区分滑动轨道和涡旋.
From rational billiards to dynamics on moduli spaces
本文简要介绍了某些模空间上的动力学研究，特别是Eskin、Mirzakhani和Mohammadi最近的突破性成果。我们还讨论了这一结果的背景和应用，并连接到其他领域的数学，如代数几何，Teichmuller理论，遍历理论的齐性空间。
Limit Sets of Convex non Elastic Billiards
受Pujals和Sambarino关于支配分裂的工作的启发，我们提出了具有修改的反射定律的台球，该反射定律构成了具有支配分裂的极限集的动力系统的简单示例，并且其中动力学是理性或非理性旋转。
Ergodic directions for billiards in a strip with periodically located obstacles
我们研究了无限带$\R\times [0,h]$上的有向台球流的遍历方向集的大小，其中周期性地放置长度为$0<λ<h$的线性障碍。我们证明了遍历方向集总是不可数的。此外，如果$λ/h\in(0,1)$是有理数，则遍历方向集的豪斯多夫维数大于1/2。在这两种情况下（理性的和非理性的），我们明确地构造一些遍历方向集。
A number theoretic question arising in the geometry of plane curves and in billiard dynamics
证明了如果$ρ\neq1/2$是介于0和1之间的有理数，则不存在整数$n>1$使得$$ n\tan(πρ)=\tan(nπρ). $$.这在自行车曲线理论和数学台球理论中都有解释.
Cayley Graphs on Billiard Surfaces, and Their Genus
本文建立有理台球面与二面体群 Cayley 图的自然联系，证明三角形台球桌对应图的亏格仅为0或1，通常远低于台球面本身的高亏格。
Quantum mixing for eigenfunctions of rational polygons in configuration space
本文扩展了有理多边形本征函数的均匀分布结果至非对角元，还给出2-环面相同结果的另一证明，依托方向台球流的弱混合性开展研究。
Hausdorff dimension of the set of nonergodic directions (with an appendix by M. Boshernitzan)
已知有理台球中的非遍历方向构成单位圆的一个子集，其豪斯多夫维数至多为1/2。利用丢番图数和连分数构造了实现维数1/2的显式例子。在构造中使用了对平面的某些子集中的原始格点的数目的较低估计。
Open Mushrooms: Stickiness revisited
本文研究了蘑菇台球，一类相空间具有锐分的动力系统。对于系统$ρ$的控制参数的典型值，存在无限数量的边际不稳定周期轨道（MUPO），使得系统在不稳定轨道接近相空间中的规则区域的意义上是粘性的，并且因此在长时间段内表现出规则行为。找到这些MUPO的问题被表示为找到实数的最佳有理逼近的众所周知的问题，受到一些系统特定的约束。通过引入一个广义蘑菇和使用连分数的性质，我们描述了一个零测量集的控制参数值$ρ\in(0,1)$的所有MUPO被破坏，因此系统是粘性较小。开放蘑菇（台球与孔），然后被认为是为了量化表现出的粘性和精确的领导秩序表达式的代数衰减的生存概率函数$P(t)$计算蘑菇与三角形和矩形茎。
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