Nonpersistence of resonant caustics in perturbed elliptic billiards
焦散是具有以下特性的曲线：台球轨迹一旦与其相切，则在台球桌边界处的每次反射之后保持相切。当台球桌是椭圆时，任何非奇异台球轨迹都有焦散，它可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散-那些切线轨迹是封闭的多边形-在台球桌的一般扰动下被破坏。我们证明，没有一个共振椭圆焦散持续下一个大类的显式扰动的原始椭圆。这个结果来自于标准的Melnikov论证和对某些椭圆函数的复奇点的分析。
2011-08-29 math.DS nlin.CD
On complex algebraic caustics in planar and projective billiards
引入复焦散概念，证明实平面曲线及常曲率曲面上的台球存在复焦散当且仅当边界为圆锥曲线，并将该结论扩展至射影台球。
2025-09-14 math.DS
Complex caustics of the elliptic billiard
本文研究了椭圆台球在复域上的推广。我们表明，台球轨道也有焦散线，这样的焦散线的数量是大于真实的情况下。例如，对于一个给定的椭圆E，正好存在两个共焦椭圆，使得E的三角形轨道围绕其中一个外切，并且这些椭圆之一的每条切线是三角形轨道的一条边。我们还给出了一个边界上的焦散线的轨道与固定数量的边。
2020-02-24 math.AG math.CV math.DS
On infinitely many foliations by caustics in strictly convex open billiards
本文研究严格凸开台球的焦散线叶状结构，证明边界凸侧存在光滑叶状结构及连续统多个点芽互异的叶状结构，并通过强类台球保面积映射加以推广。
2022-10-18 math.DS
On cusps of caustics by reflection: a billiard variation on Jacobi's Last Geometric Statement
一个点光源被放置在一个椭圆形内。反射的$n$次焦散是在$n$反射离开曲线之后从光源发出的光线的包络。我们表明，这些焦散，对于一个泛点光源，至少有4个尖点。这是一个台球变化雅可比的最后几何声明，关于一些尖点的共轭轨迹上的凸曲面。我们提出了各种证明，使用不同的想法，包括曲线缩短流和Legendrian纽结理论。
2021-12-24 math.DG math.DS math.SG
Mathematical Billiards
本文针对平面数学弹子球问题，证明了凸光滑焦散面外任意一点对应唯一弹子球桌，还构造了以肾形线为焦散面的弹子球桌，丰富了数学弹子球的相关研究。
2026-08-11 math.DG math.DS
On the First Caustic of Elliptical Billiards
National Research University Higher School of Economics（国立高等经济大学）；Université Toulouse III - Paul Sabatier（图卢兹第三大学-保罗·萨巴蒂尔）
本文利用复空间中的台球方法，证明了椭圆台球中从点光源发出的光线经一次反射形成的焦散线恰好有四个普通尖点。
2026-11-06 math.AG math.CV math.DS
On cusps of caustics by reflection in two dimensional projective Finsler metrics
本文研究射影 Finsler 度量下凸平面区域中的 Finsler 台球，证明经历固定反射次数的反射焦散线至少具有四个尖点，推广了欧氏台球的相关结果。
2025-01-08 math.DG math.DS
The billiard inside an ellipse deformed by the curvature flow
本文研究椭圆内台球动力学在曲率流变形下从可积变为混沌的过程，证明曲率流会破坏可积性、增加拓扑熵、横截分裂分界线并破坏所有共振凸焦散线。
2015-11-04 math.DS
The frequency map for billiards inside ellipsoids
椭球体$Q \subset \Rset^{n+1}$内的台球运动是完全可积的。它的相空间是一个$2n$维的辛流形，它主要由$n$维的刘维尔环面构成。每个刘维尔环面上的运动变成了一个平行平移，其频率$ω$随环面而变化。此外，$Q$中的任何台球轨迹都与$n$焦散线$Q_{λ_1},...,Q_{λ_n}$相切，因此焦散参数$λ=(λ_1,...,λ_n)$是台球映射的积分。频率图$λ\mapsto ω$是理解周期性台球轨迹结构的关键工具。原则上，它只对焦散参数的非奇异值有明确的定义。我们提出了四个apturtures，完全支持数值实验。最后一个给出了一些下界的周期。这些边界仅取决于焦散的类型。我们描述了$ω$的几何意义，域和范围。映射$ω$可以连续地扩展到焦散参数的奇异值，尽管它在其中一些处变得“指数尖锐”。最后，我们研究了$\Rset^3$的三轴椭球。数值计算了具有固定频率的刘维尔环面在参数空间中消失时的分岔曲线。我们确定哪些椭球有更多的周期性轨迹。我们通过显示焦散线具有正确类型的周期四、五和六的周期轨迹来检查周期的先前下限是否是最佳的。对$\Rset^2$的椭圆也给出了一些新的见解。
2011-08-29 math.DS nlin.SI
Shortest Minkowski billiard trajectories on convex bodies
我们严格地研究了$n$维凸体上的闭Minkowski/Finsler台球轨迹.我们从欧氏特殊情形出发，概括了比较和微分的中心性质，建立了长度最小化闭Minkowski/Finsler台球轨迹的两个主要结果：一个是正则性结果，另一个是几何性质的结果.基于这些结果，我们开发了一种算法，用于计算长度最小化封闭Minkowski/Finsler台球轨迹在平面上。
2022-03-03 math.DS
Twist Coefficients of Periodic Orbits of Minkowski Billiards
该研究引入相空间新坐标系探究闵可夫斯基台球基本性质，推导椭圆周期轨道扭转系数公式并分析其稳定性，为该领域周期轨道研究提供新方法与理论支撑。
2024-12-03 math.DS
Local finiteness of the number of reflections in semi-dispersing Minkowski billiards
St. Petersburg Department of V. A. Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院V.A.斯捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分部）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
研究半分散Minkowski弹球的轨迹反射次数，证明其有限长度轨迹的壁面反射次数具有局部有限性。
2026-08-14 math.DS
Symplectic billiards as Minkowski billiards
Heidelberg University（海德堡大学）；Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
研究建立闵可夫斯基台球与辛台球的联系，通过从典范辛结构约化描述闵可夫斯基台球映射，将辛台球视为其辛版本“平方根”，恢复并推广相关结果，如证明\(2n\)维中\(2r\)周期辛台球轨道的存在性。
2026-07-08 math.DS math.SG
Combinatorics of periodic ellipsoidal billiards
我们研究组合学的台球分区最近出现在描述的周期轨迹的椭球台球在d维欧氏空间和伪欧几里得空间。这样的分区唯一地编码焦散的集合，直到它们的类型，其生成周期性轨迹。周期轨迹的周期是最大部分，而卷绕数是相应分区的剩余被加数。为了考虑焦散的类型，我们引入加权分区。我们提供了封闭的形式，这些分区的生成函数。
2019-08-02 math-ph math.CO math.DS
If a Minkowski billiard is projective, it is the standard billiard
本文通过简单证明展示，若Minkowski弹道同时为射影和Minkowski，则其为标准欧几里得弹道，且在C¹光滑条件下成立，并证明了半局部和局部版本的结果。
2024-07-29 math.DG math.DS math.SG
Integrable Billiards on a Minkowski Hyperboloid: Extremal Polynomials and Topology
研究Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线约束的紧区域内的台球系统。我们推导出椭圆周期性的条件，这样的台球。我们描述的拓扑结构的台球系统的Fomenko不变量。然后，我们提供周期性条件的功能佩尔方程和相关的极值多项式。几个例子计算的椭圆函数和经典的Chebyshev和Zolotarev多项式，极值多项式在一个或两个间隔。这些结果进行了对比的情况下，台球在闵可夫斯基和欧几里德平面。
2021-08-30 math-ph math.DS math.MP
Periodic trajectories of ellipsoidal billiards in the 3-dimensional Minkowski space
在本文中，我们给出了详细的分析和描述的周期轨迹的台球系统内的一个椭球在三维Minkowski空间，考虑到所有可能的焦散线。周期性的条件来自代数几何，解析和多项式的形式。
2019-09-18 math-ph math.DS math.MP
The Minkowski Billiard Characterization of the EHZ-capacity of Convex Lagrangian Products
我们严格的状态之间的联系的EHZ-容量的凸拉格朗日产品$K\times T\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$和封闭的$(K,T)$ -Minkowski台球轨迹的最小长度。Artstein-Avidan和Ostrover在$K$和$T$的光滑性和严格凸性假设下首次明确了这种联系。我们证明了这种联系在其充分的一般性，即，而不需要对凸体$K$和$T$施加任何条件。这为用离散计算方法计算两个凸多胞体的凸拉格朗日积的EHZ容度作了准备。
2022-11-17 math.DS
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
Bifurcations in the family of billiards associated with the curvature flow
本文研究曲率流形变下凸曲线台球族的分岔现象，刻画了周期二轨道与法向周期轨道的分岔，并证明曲率流可破坏椭圆的非凸焦散线。
2024-10-03 math.DS
A Brunn-Minkowski type inequality for extended symplectic capacities of convex domains and length estimate for a class of billiard trajectories
本文首先将Artstein-Avidan-Ostrover在2008年建立的关于有界凸区域的Ekeland-Hohnder-Zehnder辛容量的Brunn-Minkowski型不等式推广到作者最近基于一类Hamilton非周期边值问题构造的有界凸区域的推广辛容量.然后引入了一类凸区域上的非周期台球，并证明了与Artstein-Avidan-Ostrover在2012年关于凸区域上的周期台球的相应结果.
2023-02-23 math.DS math.SG
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
2022-12-10 math.AG math.DS
Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials
我们得到了台球在Minkowski平面内的椭圆内的周期轨迹和椭圆周期轨迹的充要条件，并给出了用下划线椭圆曲线表示的条件。我们提供了几个例子的周期性和椭圆周期性的轨道与小周期。我们观察Cayley型条件与判别可分多项式和可因式分解多项式之间的关系。利用多项式-函数方程导出了周期性和椭圆周期性的等价条件。相应的多项式与经典的极值多项式有关。特别地，类光周期轨迹与经典的切比雪夫多项式有关。与以前研究的欧几里德的情况下的相似性和差异。
2019-08-02 math.CA math.DS nlin.SI
Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions
人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。
2020-01-22 math.DS math.NT
Outer billiards of symplectically self-polar convex bodies
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究了辛自极凸体的外Billiards映射，证明其存在由4周期轨道组成的不变超曲面，为更高维Birkhoff Billiards提供了非平凡不变结构。
2025-10-13 math.DS
Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet
考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。
2020-10-27 math.DS
A Funk perspective on billiards, projective geometry and Mahler volume
我们探讨连接提供的芬克度量，相对的希尔伯特度量，射影几何，台球，凸几何和仿射不等式之间。我们首先表明，许多度量不变量的Funk度量不变的射影变换以及投影对偶。其中包括凸子集的Holmes-Thompson体积和表面积，以及它们边界的长度谱，推广了Holmes-Thompson和Álvarez Paiva关于Schäffer对偶围长猜想的结果。我们探讨特别是放克台球，推广双曲台球以同样的方式，闵可夫斯基台球推广欧几里德的，并延长结果的Gutkin Tabachnikov的对偶闵可夫斯基台球。接下来我们考虑芬克几何中向外的球的体积。我们猜想了一个对应于体积极大化者的广义仿射不等式，它包括Blaschke-Santaló和中心仿射等周不等式作为极限情形，并对无条件体证明了它，得到了无条件体Hilbert度量的体积熵猜想的一个新证明.作为一个副产品，我们得到了推广的高阶矩的球和黄李不等式，这反过来加强了Blaschke-Santaló不等式的无条件机构。最后，我们引入了一个正则化的总体积的光滑严格凸2-维集配备Funk度量，类似于O 'Hara莫比乌斯能量的一个结，并表明它是一个射影不变量的凸体。
2021-04-22 math.DG math.DS math.MG
Viterbo's conjecture as a worm problem
本文将辛几何中的Viterbo猜想与几何中著名的Moser蠕虫问题所启发的蠕虫问题的Minkowski形式联系起来。对于拉格朗日乘积的特殊情况，这种关系提供了一个连接到收缩闵可夫斯基台球不等式和马勒猜想从凸几何。此外，我们使用上述关系，以转移Viterbo的猜想长期开放的Wetzel问题，也可以表示为收缩欧几里德台球不等式，我们讨论了一种算法的方法，以找到一个新的下界的猜想。最后，我们指出Viterbo猜想与Minkowski蠕虫问题之间的上述关系与Bellmann迷失森林问题与原始Moser蠕虫问题之间的已知关系具有结构上的相似性.
2022-03-03 math.DS math.MG math.SG
The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables
本文证明了中心对称$C^2$ -光滑凸平面台球的Birkhoff-Poritsky猜想。我们假设$4$ -周期轨道的不变曲线与相柱边界之间的区域$\mathcal A$由$C^0$ -不变曲线划分。在这个假设下，我们证明了台球曲线是椭圆。对于原来的Birkhoff-Poritsky公式，我们证明了如果台球区域边界的邻域在区间（0; 1/4]内具有旋转数的凸焦散的$C^1$ -光滑叶状，则边界曲线是椭圆。在首次积分的语言中，可以断言{如果中心对称的$C^2$ -光滑凸曲线$γ$内的台球允许$\mathcal A$上具有非零梯度的$C^1$ -光滑第一积分，则曲线$γ$是椭圆。}证明的主要成分是：（1）在\cite{BM}，\cite{B}中发现的凸台球的非标准生成函数;（2）由$4$ -周期轨道组成的不变曲线的显着结构;和（3）在B 0，B1中开始的圆形台球刚性结果的积分几何方法。令人惊讶的是，我们建立了一个霍普夫型刚性的台球在椭圆。
2022-02-28 math.DG math.DS nlin.SI
Shortest closed billiard orbits on convex tables
给定平面紧凸台球桌$T$，给出了求$T$上最短广义闭台球轨道的算法.（如果$T$具有光滑边界，则广义台球轨道是通常台球轨道。）如果$T$是多边形，则该算法是有限的，并且提供了一般的近似方案。作为一个例子，我们证明了正则$n$ -gon $R_n$中的最短广义闭台球轨道是$n \ge 4$的2-bounce，其长度是$R_n$宽度的两倍.作为应用，我们得到了在标准辛向量空间$\mathbb{R}^4$中计算四维域$T \times B^2$的Ekeland-Hohnder-Zehnder容量的算法.我们的方法是基于Bezdek-Bezdek的工作和Fagnano三角形在锐角三角形中的唯一性。它的作品，更一般地说，平面闵可夫斯基台球。
2014-08-22 math.DG math.DS math.SG
Viterbo's conjecture for Lagrangian products in $\mathbb{R}^4$ and symplectomorphisms to the Euclidean ball
本文利用拉格朗日积的EHZ容量的广义Minkowski台球刻画，重新证明了$4$维Viterbo猜想对拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意三角形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）成立，并将这一事实推广到拉格朗日积（$\mathbb{R}^2$中的任意梯形）$\times$（$\mathbb{R}^2$中的任意凸体）.在此基础上，我们分类的平等情况下，这个版本的维泰博猜想，并证明他们中的大多数可以被证明是symplectomorphic欧几里德球。作为一个副产品，我们证明了尖锐的收缩Minkowski台球/蠕虫问题不等式。此外，我们讨论了拉格朗日产品（任何凸四边形在$\mathbb{R}^2$）$\times$（任何凸体在$\mathbb{R}^2$），我们表明，维特博猜想的真理将遵循一个具有挑战性的欧几里德覆盖问题的正解。最后，我们表明，流相关的等式情况下的维泰博的猜想拉格朗日产品在$\mathbb{R}^4$ -这原来是凸多胞体-不是佐尔一般，但较弱的佐尔属性，即每一个特点几乎处处远离低维面是封闭的，行动最小化，不适用。
2022-09-21 math.DS math.MG math.SG
On Hamiltonian projective billiards on boundaries of products of convex bodies
本文研究凸体乘积边界上的哈密顿投影弹子球，证明T-弹子球反射律为投影律当且仅当T是椭球，并将结果推广到Finsler弹子球，与辛等周猜想、Mahler猜想密切相关。
2024-07-12 math.DS
