Duality of Caustics in Minkowski Billiards
本文研究闵可夫斯基台球中的凸焦散线。本文证明了对于平面光滑中心对称严格凸体$K$中的欧几里德台球动力学，对于$K$所具有的每一个凸焦散，其中球台是欧几里德单位圆盘且支配运动的几何是由体$K$诱导的“对偶”台球动力学具有对偶凸焦散.这种焦散线对在很强的意义上是对偶的，并且特别地，它们具有相同的周长、拉祖特金参数（均相对于对应的几何形状测量）和旋转数。此外，我们表明，对于一般的闵可夫斯基台球这种现象失败，可以构建一个光滑的焦散在闵可夫斯基台球桌不具有双凸焦散。
2017-07-13 math.DS math.MG
Realization of bifurcations of Liouville foliations for integrable billiards in non-convex domains
台球是一个动力系统，其中粒子在直线运动和边界的镜面反射之间交替。研究了由共焦二次曲面的线段围成的非凸区域中的台球问题。本文描述了Liouville叶理三维分支的拓扑结构。
2022-05-21 math.DS
Nonpersistence of resonant caustics in perturbed elliptic billiards
焦散是具有以下特性的曲线：台球轨迹一旦与其相切，则在台球桌边界处的每次反射之后保持相切。当台球桌是椭圆时，任何非奇异台球轨迹都有焦散，它可以是共焦椭圆或共焦双曲线。共振焦散-那些切线轨迹是封闭的多边形-在台球桌的一般扰动下被破坏。我们证明，没有一个共振椭圆焦散持续下一个大类的显式扰动的原始椭圆。这个结果来自于标准的Melnikov论证和对某些椭圆函数的复奇点的分析。
2011-08-29 math.DS nlin.CD
Caustic-Free Regions for Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文研究了凸台球桌在双曲平面或半球上的无焦散区域。特别是，Gutkin和Katok的结果在欧几里德的情况下，我们估计这些区域的大小方面的几何形状的台球桌。此外，我们扩展到这个设置的一个定理，由于Hubacher这表明，没有焦散存在的边界附近的凸台球桌的曲率是不连续的。
2021-06-13 math.DS math.MG
Complex caustics of the elliptic billiard
本文研究了椭圆台球在复域上的推广。我们表明，台球轨道也有焦散线，这样的焦散线的数量是大于真实的情况下。例如，对于一个给定的椭圆E，正好存在两个共焦椭圆，使得E的三角形轨道围绕其中一个外切，并且这些椭圆之一的每条切线是三角形轨道的一条边。我们还给出了一个边界上的焦散线的轨道与固定数量的边。
2020-02-24 math.AG math.CV math.DS
The billiard inside an ellipse deformed by the curvature flow
本文研究椭圆内台球动力学在曲率流变形下从可积变为混沌的过程，证明曲率流会破坏可积性、增加拓扑熵、横截分裂分界线并破坏所有共振凸焦散线。
2015-11-04 math.DS
Mathematical Billiards
本文针对平面数学弹子球问题，证明了凸光滑焦散面外任意一点对应唯一弹子球桌，还构造了以肾形线为焦散面的弹子球桌，丰富了数学弹子球的相关研究。
2026-08-11 math.DG math.DS
On cusps of caustics by reflection: a billiard variation on Jacobi's Last Geometric Statement
一个点光源被放置在一个椭圆形内。反射的$n$次焦散是在$n$反射离开曲线之后从光源发出的光线的包络。我们表明，这些焦散，对于一个泛点光源，至少有4个尖点。这是一个台球变化雅可比的最后几何声明，关于一些尖点的共轭轨迹上的凸曲面。我们提出了各种证明，使用不同的想法，包括曲线缩短流和Legendrian纽结理论。
2021-12-24 math.DG math.DS math.SG
On cusps of caustics by reflection in two dimensional projective Finsler metrics
本文研究射影 Finsler 度量下凸平面区域中的 Finsler 台球，证明经历固定反射次数的反射焦散线至少具有四个尖点，推广了欧氏台球的相关结果。
2025-01-08 math.DG math.DS
On the First Caustic of Elliptical Billiards
National Research University Higher School of Economics（国立高等经济大学）；Université Toulouse III - Paul Sabatier（图卢兹第三大学-保罗·萨巴蒂尔）
本文利用复空间中的台球方法，证明了椭圆台球中从点光源发出的光线经一次反射形成的焦散线恰好有四个普通尖点。
2026-11-06 math.AG math.CV math.DS
The frequency map for billiards inside ellipsoids
椭球体$Q \subset \Rset^{n+1}$内的台球运动是完全可积的。它的相空间是一个$2n$维的辛流形，它主要由$n$维的刘维尔环面构成。每个刘维尔环面上的运动变成了一个平行平移，其频率$ω$随环面而变化。此外，$Q$中的任何台球轨迹都与$n$焦散线$Q_{λ_1},...,Q_{λ_n}$相切，因此焦散参数$λ=(λ_1,...,λ_n)$是台球映射的积分。频率图$λ\mapsto ω$是理解周期性台球轨迹结构的关键工具。原则上，它只对焦散参数的非奇异值有明确的定义。我们提出了四个apturtures，完全支持数值实验。最后一个给出了一些下界的周期。这些边界仅取决于焦散的类型。我们描述了$ω$的几何意义，域和范围。映射$ω$可以连续地扩展到焦散参数的奇异值，尽管它在其中一些处变得“指数尖锐”。最后，我们研究了$\Rset^3$的三轴椭球。数值计算了具有固定频率的刘维尔环面在参数空间中消失时的分岔曲线。我们确定哪些椭球有更多的周期性轨迹。我们通过显示焦散线具有正确类型的周期四、五和六的周期轨迹来检查周期的先前下限是否是最佳的。对$\Rset^2$的椭圆也给出了一些新的见解。
2011-08-29 math.DS nlin.SI
Average Elliptic Billiard Invariants with Spatial Integrals
我们比较不变量的N-周期轨迹的椭圆台球，经典的和新的，他们的非周期性的同行通过一个空间积分评估的边界上的椭圆台球。被积函数的权重是一个通用的措施，等于密度的射线击中一个给定的边界点。我们发现，非周期平均是光滑和单调的焦散偏心率，并完全匹配N-周期平均不变量的离散焦散参数，承认一个给定的N-周期的家庭。
2021-02-22 cs.SY eess.SY math.DS
Bifurcations in the family of billiards associated with the curvature flow
本文研究曲率流形变下凸曲线台球族的分岔现象，刻画了周期二轨道与法向周期轨道的分岔，并证明曲率流可破坏椭圆的非凸焦散线。
2024-10-03 math.DS
A Random Billiard Map in the Circle
我们考虑一个随机台球映射，其中标准的镜面反射规则被替换为随机反射的马尔可夫算子。我们对一般桌子上的随机台球展示了一个不变测度。在特殊情况下的圆表，我们表明，几乎每一个（随机）轨道是密集的边界，以及在圆环之间形成的圆边界和随机焦散。我们还证明了强努森定律的一个特殊情况下的家庭的绝对连续措施方面刘维。
2022-04-01 math.DS
Combinatorics of periodic ellipsoidal billiards
我们研究组合学的台球分区最近出现在描述的周期轨迹的椭球台球在d维欧氏空间和伪欧几里得空间。这样的分区唯一地编码焦散的集合，直到它们的类型，其生成周期性轨迹。周期轨迹的周期是最大部分，而卷绕数是相应分区的剩余被加数。为了考虑焦散的类型，我们引入加权分区。我们提供了封闭的形式，这些分区的生成函数。
2019-08-02 math-ph math.CO math.DS
On the existence of periodic invariant curves for analytic families of twist maps and billiards
本文证明环面扭转映射解析族中给定旋转数的周期不变曲线要么对所有参数值存在，要么至多存在于离散子集中，并将此结论推广并应用于台球的有理焦散线模型。
2024-07-24 math.DS
Recurrence for smooth curves in the moduli space and application to the billiard flow on nibbled ellipses
鉴于Masur和Veech的经典结果，紧致平移曲面的模空间中几乎每个元素都是循环的。本文研究了模空间中平滑曲线的元素的递推问题。给出了平滑曲线的几乎所有元素常返的有效判据。该标准依赖于Minsky-Weiss在\cite{Mi-We}中开发的结果。接下来，我们应用该标准的台球流平面表的弧共焦二次曲线。这种台球流的相空间分裂成由焦散线确定的不变子集。证明了对几乎每一个苛性集，限制在相应不变集上的台球流是唯一遍历的。这肯定地回答了Zorich提出的一个问题。
2019-09-16 math-ph math.DS math.MP
Tangent ray foliations and their associated outer billiards
令$v$是空间形式中完备脐点（但不是全测地线）超曲面$N$上的单位向量场;例如单位球面$S^{2k-1} \subset \mathbb{R}^{2k}$上，或双曲空间中的时球面上。给出了以$v$（和$-v$）为初速度的射线在$v$上使$N$的外$U$成叶的充要条件.我们发现和探索这些向量场，测地线向量场，接触结构之间的关系$N$。当对应于每个$\pm v$的射线使$U$分层时，$v$诱导出其台球桌为$U$的外部台球图。我们描述了$N$上的单位向量场，其相关的外部台球映射是体积保持的。本文还详细研究了一个特例，即当$N \simeq \mathbb{R}^3$是四维双曲空间的时球，$v$是由一个Hopf向量场在$S^{3}$上的球极平面投影归一化得到的$N$上的单位向量场.在相应的外台球映射中，我们发现了显式的周期轨道，无界轨道和有界非周期轨道。最后，我们与几个问题的拓扑结构和几何形状的bifoliating向量场和动力学的相关外台球。
2022-05-09 math.DG math.DS math.GT
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
2018-12-07 math.AG math.CA math.DS
Outer billiards of symplectically self-polar convex bodies
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究了辛自极凸体的外Billiards映射，证明其存在由4周期轨道组成的不变超曲面，为更高维Birkhoff Billiards提供了非平凡不变结构。
2025-10-13 math.DS
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
2022-12-10 math.AG math.DS
Wire billiards, the first steps
钢丝台球由$\mathbb{R}^n$（钢丝）中的非零曲率$k$的光滑嵌入闭曲线定义。对于一类曲线，我们称之为好线，线台球映射是圆柱的面积保持扭曲映射。在本文中，我们正在调查是否传统的平面台球的基本功能扩展到这个更一般的情况。特别是，我们扩展Lazutkin的KAM结果，以及马瑟的逆KAM结果，有线台球。我们解决焦散的概念：对于钢丝台球，它对应于由不变曲线的弦所跨越的直纹曲面的收缩曲线。如果直纹面是可展的，这就是真正的焦散面。我们发现了$SO(n)$的1-参数子群的闭轨道的线的显著例子。这些钢丝台球是完全可积的。利用内插哈密顿量的理论，证明了当弦的长度趋于零时，金属丝的碰撞点的分布相对于测度$k^{2/3} dx$（其中$x$是弧长参数）是均匀的.应用这一结果，我们证明了椭球中的台球变换与共焦椭球上的重参数测测地流是可交换的：与测地线相切的直线的足点的速度等于$k^{-2/3}$，其中$k$是测地线在周围空间中的曲率.我们还讨论了前景和开放的问题，这一类新的台球。
2019-05-31 math.DG math.DS nlin.SI
Four equivalent properties of integrable billiards
根据达布的一个经典结果，黎曼曲面的叶理具有格雷夫斯性质（也称为强演化性质）当且仅当叶理来自刘维尔网。Blaschke的一个类似的结果说，一对正交叶理具有象牙性质，当且仅当它们形成一个刘维尔网。假设黎曼曲面上的测地凸曲线具有Poritsky性质，如果它可以参数化，使得它的所有弦同态都是关于这个参数的移位。1950年，波里茨基证明了具有这种性质的封闭平面曲线只有椭圆。本文证明了黎曼曲面上的曲线具有Poritsky性质当且仅当它是Liouville网的坐标曲线。我们还记得Blaschke从Ivory性质推导出的刘维尔性质和他对Weihnacht定理的证明：平面上唯一的刘维尔网是共焦二次曲线网及其退化。这表明伯克霍夫猜想的以下推广：如果黎曼曲面上一条闭合测地凸曲线的内部邻域由台球焦散线构成，则该邻域的度量是刘维，并且该曲线是其中一条坐标线。
2019-09-19 math.DG math.DS
Bialy-Mironov type rigidity for centrally symmetric symplectic billiards
本文证明中心对称强凸区域上的辛弹球若存在旋转数 1/4 的 4-周期轨道不变曲线，且一侧相空间由闭不变曲线叶化，则边界必为椭圆。
2024-02-29 math.DS
Periodic Trajectories and Topology of the Integrable Boltzmann System
本文研究引力场中线性边界台球的玻尔兹曼系统，推导了轨迹周期性的Cayley型解析条件，描述焦散线，并用Fomenko图分析相空间拓扑。
2023-12-02 math.DS
The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables
本文证明了中心对称$C^2$ -光滑凸平面台球的Birkhoff-Poritsky猜想。我们假设$4$ -周期轨道的不变曲线与相柱边界之间的区域$\mathcal A$由$C^0$ -不变曲线划分。在这个假设下，我们证明了台球曲线是椭圆。对于原来的Birkhoff-Poritsky公式，我们证明了如果台球区域边界的邻域在区间（0; 1/4]内具有旋转数的凸焦散的$C^1$ -光滑叶状，则边界曲线是椭圆。在首次积分的语言中，可以断言{如果中心对称的$C^2$ -光滑凸曲线$γ$内的台球允许$\mathcal A$上具有非零梯度的$C^1$ -光滑第一积分，则曲线$γ$是椭圆。}证明的主要成分是：（1）在\cite{BM}，\cite{B}中发现的凸台球的非标准生成函数;（2）由$4$ -周期轨道组成的不变曲线的显着结构;和（3）在B 0，B1中开始的圆形台球刚性结果的积分几何方法。令人惊讶的是，我们建立了一个霍普夫型刚性的台球在椭圆。
2022-02-28 math.DG math.DS nlin.SI
Dynamics of planar integrable Kepler billiards with a focused hyperbolic branch
Gymnasium Holzkirchen（霍尔茨基兴中学）；School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
本文研究以聚焦双曲分支为边界的平面开普勒台球的可积动力学，利用焦点-焦散圆识别椭圆曲线并线性化动力学，分析周期轨道的凯莱条件，并推广至抛物弧和直线边界情况。
2026-09-17 math-ph math.DS math.MG
