Integrable Billiards on a Minkowski Hyperboloid: Extremal Polynomials and Topology
研究Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线约束的紧区域内的台球系统。我们推导出椭圆周期性的条件，这样的台球。我们描述的拓扑结构的台球系统的Fomenko不变量。然后，我们提供周期性条件的功能佩尔方程和相关的极值多项式。几个例子计算的椭圆函数和经典的Chebyshev和Zolotarev多项式，极值多项式在一个或两个间隔。这些结果进行了对比的情况下，台球在闵可夫斯基和欧几里德平面。
2021-08-30 math-ph math.DS math.MP
Periodic trajectories of ellipsoidal billiards in the 3-dimensional Minkowski space
在本文中，我们给出了详细的分析和描述的周期轨迹的台球系统内的一个椭球在三维Minkowski空间，考虑到所有可能的焦散线。周期性的条件来自代数几何，解析和多项式的形式。
2019-09-18 math-ph math.DS math.MP
Examples of reflective projective billiards and outer ghost billiards
在类的投影台球，其中包含通常的台球，我们展示反例Ivrii的猜想，其中指出，在任何平面台球光滑边界的周期轨道集有零措施。反例是允许$n$ -周期轨道的$2$ -参数族的多边形，其中$n$是$3$或比$4$更大的任何偶数。
2020-04-13 math.DS
A Funk perspective on billiards, projective geometry and Mahler volume
我们探讨连接提供的芬克度量，相对的希尔伯特度量，射影几何，台球，凸几何和仿射不等式之间。我们首先表明，许多度量不变量的Funk度量不变的射影变换以及投影对偶。其中包括凸子集的Holmes-Thompson体积和表面积，以及它们边界的长度谱，推广了Holmes-Thompson和Álvarez Paiva关于Schäffer对偶围长猜想的结果。我们探讨特别是放克台球，推广双曲台球以同样的方式，闵可夫斯基台球推广欧几里德的，并延长结果的Gutkin Tabachnikov的对偶闵可夫斯基台球。接下来我们考虑芬克几何中向外的球的体积。我们猜想了一个对应于体积极大化者的广义仿射不等式，它包括Blaschke-Santaló和中心仿射等周不等式作为极限情形，并对无条件体证明了它，得到了无条件体Hilbert度量的体积熵猜想的一个新证明.作为一个副产品，我们得到了推广的高阶矩的球和黄李不等式，这反过来加强了Blaschke-Santaló不等式的无条件机构。最后，我们引入了一个正则化的总体积的光滑严格凸2-维集配备Funk度量，类似于O 'Hara莫比乌斯能量的一个结，并表明它是一个射影不变量的凸体。
2021-04-22 math.DG math.DS math.MG
The Minkowski Billiard Characterization of the EHZ-capacity of Convex Lagrangian Products
我们严格的状态之间的联系的EHZ-容量的凸拉格朗日产品$K\times T\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$和封闭的$(K,T)$ -Minkowski台球轨迹的最小长度。Artstein-Avidan和Ostrover在$K$和$T$的光滑性和严格凸性假设下首次明确了这种联系。我们证明了这种联系在其充分的一般性，即，而不需要对凸体$K$和$T$施加任何条件。这为用离散计算方法计算两个凸多胞体的凸拉格朗日积的EHZ容度作了准备。
2022-11-17 math.DS
On projective billiards with open subsets of triangular orbits
伊夫里猜想指出，在欧几里得空间的每一个台球中，周期轨道的集合都有测度为零。这意味着对于每个$k\geq2$，不存在k-反射台球，即，具有k周期轨道的开集的台球。这个猜想在欧几里得空间中是公开的，只有很少的部分结果。众所周知，在二维球面中存在3-反射台球（Yu.M.Baryshnikov）。V.Blumen，K.Kim，J.Nance，V.Zharnitsky在一篇论文中对所有的3反射球台球进行了分类：它们中的每一个的边界位于三个正交的大圆圈中。本文研究了Tabachnikov提出的射影台球的Ivrii猜想的类似。在二维空间中存在一个3-反射投射台球，即所谓的右球面台球，它是球面3-反射台球的投影。我们证明了唯一具有分片光滑边界的3-反射平面射影台球是上述的右球面台球。在高维空间中，我们证明了在相空间中不存在具有分段光滑边界的3-反射投影台球，也不存在具有非零测度三角轨道子集的具有分段光滑边界的投影台球.
2020-11-17 math.CV math.DS
Projective Cones for Sequential Dispersing Billiards
本文为色散台球构造了在转移算子作用下收缩的 Birkhoff 锥，从而能够研究常规、序列及开放色散台球的统计性质，并应用于混沌散射与随机 Lorentz 气体。
2022-11-18 math.DS
Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials
我们得到了台球在Minkowski平面内的椭圆内的周期轨迹和椭圆周期轨迹的充要条件，并给出了用下划线椭圆曲线表示的条件。我们提供了几个例子的周期性和椭圆周期性的轨道与小周期。我们观察Cayley型条件与判别可分多项式和可因式分解多项式之间的关系。利用多项式-函数方程导出了周期性和椭圆周期性的等价条件。相应的多项式与经典的极值多项式有关。特别地，类光周期轨迹与经典的切比雪夫多项式有关。与以前研究的欧几里德的情况下的相似性和差异。
2019-08-02 math.CA math.DS nlin.SI
Only quadrics have pseudo-caustics -- on caustics of Riemannian, pseudo-Euclidean and projective billiards in higher dimensions
该文研究高维射影弹子球的焦散线问题，统一了多种度量下的反射定律，刻画了焦散线仅为二次曲面的射影弹子球类，并将结果推广到黎曼与伪欧几里得弹子球，证明后者的焦散线必为伪共焦二次曲面。
2023-07-20 math.DS
Thesis manuscript: Projective and complex billiards, periodic orbits and Pfaffian systems
本文件是Corentin Fierobe关于台球作为一个动力系统的论文的手稿。第一页（标题、简介）为法语，但文档的其余部分为英语。
2021-07-05 math.DS
Projective Integrable Mechanical Billiards
在本文中，我们使用[Zhao，2021]中的可积力学台球的投影动力学方法来建立自然力学台球的可积性，其中Lagrange问题是两个Kepler问题和一个Hooke问题的叠加，Hooke中心位于Kepler中心的中间，作为基础力学系统，以及在平面内、球面上和双曲平面内具有作为反射壁的开普勒中心处的焦点的共焦圆锥曲线的任何组合。这涵盖了许多以前已知的可积力学台球，特别是可积胡克，开普勒和两个中心台球在平面上，作为子情况，已经研究了[竹内-赵，2021]。基于共形对应的[Takeuchi-Zhao，2021]方法也被应用于双曲平面上的可积Kepler台球，以说明它们与半球上和双曲平面上的相应可积Hooke台球的等价性。
2022-03-24 math.DS
Projective Dynamics and an Integrable Boltzmann Billiard Model
本文的目的是解释一个可积玻尔兹曼台球模型的可积性，以前由Gallavotti和Jauslin在arXiv：2008.01955中建立，或者通过投影动力学的观点。附加的首次积分被示出为与半球上的相应系统的能量有关。我们表明，这一观点适用于某些其他台球模型在通过开普勒-库仑问题定义的平面。该方法还导致了一个家庭的可积台球模型定义通过球面开普勒-库仑问题的领域。
2021-03-11 math-ph math.DS math.MP
On cusps of caustics by reflection in two dimensional projective Finsler metrics
本文研究射影 Finsler 度量下凸平面区域中的 Finsler 台球，证明经历固定反射次数的反射焦散线至少具有四个尖点，推广了欧氏台球的相关结果。
2025-01-08 math.DG math.DS
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
2022-12-10 math.AG math.DS
Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions
人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。
2020-01-22 math.DS math.NT
On complex algebraic caustics in planar and projective billiards
引入复焦散概念，证明实平面曲线及常曲率曲面上的台球存在复焦散当且仅当边界为圆锥曲线，并将该结论扩展至射影台球。
2025-09-14 math.DS
Reflective projective billiards in the plane: odd periods, period five, and metric rigidity
本文研究反射律逐边恒定的多边形投影台球，给出显式单参数族覆盖所有至少三的周期（含奇周期），并完整刻画周期五情形，证明度量刚性，指出仅球面支持周期轨道开族。
2026-09-25 math.DS
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
2023-08-12 math.AG math.DS
Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet
考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。
2020-10-27 math.DS
On Hamiltonian projective billiards on boundaries of products of convex bodies
本文研究凸体乘积边界上的哈密顿投影弹子球，证明T-弹子球反射律为投影律当且仅当T是椭球，并将结果推广到Finsler弹子球，与辛等周猜想、Mahler猜想密切相关。
2024-07-12 math.DS
Billiard maps of confocal ellipses commute: a geometric proof
HSE University（高等经济大学）；Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）
研究共焦椭圆中台球映射可交换问题，采用初等射影和欧几里得几何给出新证明，基于描述台球反射构造的主要定理得出可交换性质，还得到四个反射点处切线的关联结果及隐藏对称性。
2026-07-28 math.DS math.SG
Lyapunov exponents and rigidity in random billiards and standard maps
Università di Pisa（比萨大学）；Universidade de Lisboa, ISEG Lisbon School of Economics & Management（里斯本大学，ISeg经济与管理学院）
研究随机保守动力学中正Lyapunov指数与系统可积性的关系，证明在特定条件下Lyapunov指数消失的判据。
2026-07-28 math.DS
A common first integral from three-body secular theory and Kepler billiards
University of Padova（帕多瓦大学）；Dalian University of Technology（大连理工大学）
本文揭示了三体 secular 理论与开普勒弹道中的共同第一积分的联系，并定义了常曲率面上的可积弹道系统。
2025-11-26 math.DS
