首页/论文/1909.08154

arXiv 1909.081542019-09-18math.DSmath-phmath.MPnlin.SI

三维Minkowski空间中椭球台球的周期轨迹

Periodic trajectories of ellipsoidal billiards in the 3-dimensional Minkowski space

Vladimir Dragovic, Milena Radnovic

备注：: 14 pages, 2 figures

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

在本文中，我们给出了详细的分析和描述的周期轨迹的台球系统内的一个椭球在三维Minkowski空间，考虑到所有可能的焦散线。周期性的条件来自代数几何，解析和多项式的形式。

英文摘要：

In this paper, we give detailed analysis and description of periodic trajectories of the billiard system within an ellipsoid in the 3-dimensional Minkowski space, taking into account all possibilities for the caustics. The conditions for periodicity are derived in algebro-geometric, analytic, and polynomial form.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

周期椭球台球的组合学

Combinatorics of periodic ellipsoidal billiards

我们研究组合学的台球分区最近出现在描述的周期轨迹的椭球台球在d维欧氏空间和伪欧几里得空间。这样的分区唯一地编码焦散的集合，直到它们的类型，其生成周期性轨迹。周期轨迹的周期是最大部分，而卷绕数是相应分区的剩余被加数。为了考虑焦散的类型，我们引入加权分区。我们提供了封闭的形式，这些分区的生成函数。

2019-08-02math-phmath.COmath.DS

Minkowski双曲面上的可积台球：极值多项式与拓扑

Integrable Billiards on a Minkowski Hyperboloid: Extremal Polynomials and Topology

研究Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线约束的紧区域内的台球系统。我们推导出椭圆周期性的条件，这样的台球。我们描述的拓扑结构的台球系统的Fomenko不变量。然后，我们提供周期性条件的功能佩尔方程和相关的极值多项式。几个例子计算的椭圆函数和经典的Chebyshev和Zolotarev多项式，极值多项式在一个或两个间隔。这些结果进行了对比的情况下，台球在闵可夫斯基和欧几里德平面。

2021-08-30math-phmath.DSmath.MP

椭球台球轨迹与极值有理函数的共振

Resonance of ellipsoidal billiard trajectories and extremal rational functions

本文研究了$d$维欧几里得空间中二次曲面的共振台球轨迹。我们将它们与逼近理论，特别是极值有理函数的系统上的$d$间隔的实数线。这种富有成效的联系，使我们能够证明台球动力学的基本性质，并提供了一个全面的研究一类非周期轨迹的可积台球。一个关键成分是广义佩尔型的函数多项式关系。将这些思想和技巧进一步应用于$s$ -弱台球轨迹，我们得到了同样广义Pell型的函数多项式关系。

2022-11-17math.AGmath.CAmath.DS

椭球台球中对称周期轨迹的分类

Classification of symmetric periodic trajectories in ellipsoidal billiards

我们对R^{n+1}中椭球内台球的非奇异对称周期轨线（SPT）进行了分类。SPT被定义为通过某个对称集的周期性轨迹。我们证明了这样的轨线恰好有2^{2n}（2^{n+1}-1）类。我们已经实现了一个算法，以找到2D情况下（R^2）的12个类中的每一个和3D情况下（R^3）的112个类中的每一个的最小SPT。它们在2D情况下具有周期3、4或6;在3D情况下具有周期4、5、6、8或10。我们显示一系列3D最小SPT。它们中的一些具有在2D情况下不能发生的特性。

2012-03-28math.DSnlin.SI

周期椭球台球轨迹与极值多项式

Periodic ellipsoidal billiard trajectories and extremal polynomials

本文研究了$d$维欧几里得空间中台球在椭球内的周期运动轨迹。该方法的新颖性是基于建立在周期性台球轨迹和极值多项式之间的关系上的系统的$d$间隔的实数线。通过利用广义切比雪夫多项式的Krein-Levin-Nudelman理论的深入但尚未广为人知的结果，证明了任何$d$的台球动力学的基本性质，即，卷绕数的序列是单调的。利用位势论证明了频率图的单射性。作为一个副产品，对于$d=2$的旋转数的单调性的一个新的证明。给出了小周期$T$、$d\le T\le 2d$轨道的个例研究。特别是，它被证明，所有的$d$ -周期性的轨迹包含在一个坐标超平面，对于一个给定的椭球，有一个独特的一组焦散产生$d+1$ -周期性的轨迹。为$d=3$提供了具有小周期的台球轨迹的完整目录。

2019-07-20math.AGmath.CAmath.DS

凸体上的最短Minkowski台球轨迹

Shortest Minkowski billiard trajectories on convex bodies

我们严格地研究了$n$维凸体上的闭Minkowski/Finsler台球轨迹.我们从欧氏特殊情形出发，概括了比较和微分的中心性质，建立了长度最小化闭Minkowski/Finsler台球轨迹的两个主要结果：一个是正则性结果，另一个是几何性质的结果.基于这些结果，我们开发了一种算法，用于计算长度最小化封闭Minkowski/Finsler台球轨迹在平面上。

2022-03-03math.DS

更多相关论文收起更多论文

辛台球作为闵可夫斯基台球

Symplectic billiards as Minkowski billiards

Heidelberg University（海德堡大学）；Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）

研究建立闵可夫斯基台球与辛台球的联系，通过从典范辛结构约化描述闵可夫斯基台球映射，将辛台球视为其辛版本“平方根”，恢复并推广相关结果，如证明$2n$维中$2r$周期辛台球轨道的存在性。

2026-07-08math.DSmath.SG

闵可夫斯基台球周期轨道的扭转系数

Twist Coefficients of Periodic Orbits of Minkowski Billiards

该研究引入相空间新坐标系探究闵可夫斯基台球基本性质，推导椭圆周期轨道扭转系数公式并分析其稳定性，为该领域周期轨道研究提供新方法与理论支撑。

2024-12-03math.DS

半分散Minkowski弹球中反射次数的局部有限性

Local finiteness of the number of reflections in semi-dispersing Minkowski billiards

St. Petersburg Department of V. A. Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院V.A.斯捷克洛夫数学研究所圣彼得堡分部）；St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）

研究半分散Minkowski弹球的轨迹反射次数，证明其有限长度轨迹的壁面反射次数具有局部有限性。

2026-08-14math.DS

闵可夫斯基台球中焦散线的对偶性

Duality of Caustics in Minkowski Billiards

本文研究闵可夫斯基台球中的凸焦散线。本文证明了对于平面光滑中心对称严格凸体$K$中的欧几里德台球动力学，对于$K$所具有的每一个凸焦散，其中球台是欧几里德单位圆盘且支配运动的几何是由体$K$诱导的“对偶”台球动力学具有对偶凸焦散.这种焦散线对在很强的意义上是对偶的，并且特别地，它们具有相同的周长、拉祖特金参数（均相对于对应的几何形状测量）和旋转数。此外，我们表明，对于一般的闵可夫斯基台球这种现象失败，可以构建一个光滑的焦散在闵可夫斯基台球桌不具有双凸焦散。

2017-07-13math.DSmath.MG

若Minkowski弹道是射影的，则它就是标准弹道

If a Minkowski billiard is projective, it is the standard billiard

本文通过简单证明展示，若Minkowski弹道同时为射影和Minkowski，则其为标准欧几里得弹道，且在C¹光滑条件下成立，并证明了半局部和局部版本的结果。

2024-07-29math.DGmath.DSmath.SG

Minkowski平面内二次曲线的周期台球与Akhiezer多项式

Periodic billiards within conics in the Minkowski plane and Akhiezer polynomials

我们得到了台球在Minkowski平面内的椭圆内的周期轨迹和椭圆周期轨迹的充要条件，并给出了用下划线椭圆曲线表示的条件。我们提供了几个例子的周期性和椭圆周期性的轨道与小周期。我们观察Cayley型条件与判别可分多项式和可因式分解多项式之间的关系。利用多项式-函数方程导出了周期性和椭圆周期性的等价条件。相应的多项式与经典的极值多项式有关。特别地，类光周期轨迹与经典的切比雪夫多项式有关。与以前研究的欧几里德的情况下的相似性和差异。

2019-08-02math.CAmath.DSnlin.SI

凸拉格朗日积EHZ-容量的Minkowski台球刻画

The Minkowski Billiard Characterization of the EHZ-capacity of Convex Lagrangian Products

我们严格的状态之间的联系的EHZ-容量的凸拉格朗日产品$K\times T\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$和封闭的$(K,T)$ -Minkowski台球轨迹的最小长度。Artstein-Avidan和Ostrover在$K$和$T$的光滑性和严格凸性假设下首次明确了这种联系。我们证明了这种联系在其充分的一般性，即，而不需要对凸体$K$和$T$施加任何条件。这为用离散计算方法计算两个凸多胞体的凸拉格朗日积的EHZ容度作了准备。

2022-11-17math.DS

关于椭球内台球的Cayley条件

On Cayley conditions for billiards inside ellipsoids

在$\Rset^n$的椭球内的台球轨迹的所有段（或其延续）与由椭球确定的共焦二次曲面束的n-1个二次曲面相切。与周期性台球轨迹相关联的二次曲面验证了某些代数条件。凯莱在平面盒里找到的。Dragović和Radnović将其推广到任何层面。我们重写这些广义凯莱条件作为一个简单的多项式的原始矩阵制定。我们发现焦散参数和椭球参数之间的几个显着的代数关系，产生非奇异的周期轨迹。

2012-11-28math.DSnlin.SI

共焦二次曲面中与台球有关的超平面的可积格

Integrable lattices of hyperplanes related to billiards within confocal quadrics

我们引入了一个新的离散系统，它源于椭球台球，与双反射网密切相关。该系统被定义在由整流超立方体和交叉多面体组成的均匀蜂窝的晶格上。在$2$维的情况下，格是正规的，它包含了原空间及其对偶空间中的动力学。在$3$维情况下，晶格由四面体和立方八面体组成。

2015-08-05math.DGmath.DSmath.MG

凸区域扩张辛容量的Brunn-Minkowski型不等式及一类台球轨迹的长度估计

A Brunn-Minkowski type inequality for extended symplectic capacities of convex domains and length estimate for a class of billiard trajectories

本文首先将Artstein-Avidan-Ostrover在2008年建立的关于有界凸区域的Ekeland-Hohnder-Zehnder辛容量的Brunn-Minkowski型不等式推广到作者最近基于一类Hamilton非周期边值问题构造的有界凸区域的推广辛容量.然后引入了一类凸区域上的非周期台球，并证明了与Artstein-Avidan-Ostrover在2012年关于凸区域上的周期台球的相应结果.

2023-02-23math.DSmath.SG

旋转对称台球桌

Billiard tables with rotational symmetry

我们推广了以下简单的几何事实：唯一的中心对称的等宽凸曲线是圆。台球对等宽条件的解释是：一条平面曲线有等宽，当且仅当，平面曲线内的Birkhoff台球映射有一条旋转不变曲线的$2$ -周期轨道。我们将这一陈述推广到旋转角度为$\frac{2π}{k}$不变的曲线，其中台球映射具有$k$ -周期轨道的旋转不变曲线。类似的结果也适用于外台球和辛台球。最后，我们考虑单位圆盘内的Minkowski台球的Minkowski（不一定是对称的）规范下的线性映射顺序$k\ge 3$不变。我们找到了$k$ -周期轨道不变曲线存在的一个判据。作为一个应用程序，我们得到了所有这些台球的刚度结果。

2021-10-04math.DS

勾股三元组上的台球及其Minkowski函数

Billiards on pythagorean triples and their Minkowski functions

人们早就知道，原始毕达哥拉斯三元组的集合可以通过某些三元树的下降来枚举。我们统一这些治疗考虑双曲台球桌的庞加莱磁盘模型。我们的表有m>=3个理想顶点，并且受到这样的限制，即表壁中的反射是由三角形群PSU^ \pm_{1,1} \Zbb [i]中的矩阵引起的。由此得到的台球映射\tilde B作用在de Sitter空间x_1 ^2 + x_2 ^2-x_3 ^2 =1上，并且在单位圆上有一个自然因子B，勾股三元组作为不动点的B-原像出现。我们计算了这些映射的不变密度，并证明了拉格朗日定理和伽罗瓦定理：当一个单位模的复数在Q（i）上是二次的（并且通过台球墙与其共轭隔离）时，它精确地具有预周期（纯周期）B轨道。如上所述的每个B是圆的（m-1）对1方向反转的覆叠映射，这是群字符T（z）=z^{-（m-1）}共享的性质。我们证明了存在一个同胚Phi，唯一的直到后复合的元素在一个二面体群，共轭B与T;特别是Phi -其原型是经典的闵可夫斯基问号函数-建立一个双射之间的一组点的程度<=2在Q（i）和扭转子群的圆。我们提供了一个明确的公式Φ，并证明了Φ是奇异的和霍尔德连续的指数log（m-1）除以最大周期平均自由程在相关的台球桌。

2020-01-22math.DSmath.NT

单叶双曲面上共焦曲线内的拟欧台球

Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet

考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。

2020-10-27math.DS

闭路空间上的周期台球轨线与莫尔斯理论

Periodic billiard trajectories and Morse theory on loop spaces

本文将莫尔斯理论应用于流形的闭路空间上的拉格朗日作用泛函，研究了紧致黎曼流形上的周期台球轨线。基于Benci-Giannoni的近似方法，证明了某对闭路空间的相对同调的非零性蕴含着周期台球轨线的存在性.我们还证明了道路空间的一个平行结果。我们应用这些结果来证明短台球轨迹和短测地线环路的存在。我们还恢复了关于凸体上最短周期台球轨线长度的两个已知结果：Ghomi不等式和Artstein-Ostrover的Brunn-Minkowski型不等式.

2014-03-08math.DSmath.MG

Poncelet多边形的焦散线与经典极值多项式

Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials

全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。

2018-12-07math.AGmath.CAmath.DS