Blow-up and strong instability of standing waves for the NLS-$δ$ equation on a star graph
研究了星图$Γ$上具有$δ$ -相互作用的非线性薛定谔方程驻波的强不稳定性（爆破）.关键成分是一种新的变分技术应用于驻波的解决方案是一个特定的变分问题的最小值。我们还证明了相应的柯西问题的自伴算子定义的$δ$ -相互作用的域中的适定性。这允许证明维里身份的$H^1$ -柯西问题的解决方案。我们还证明了NLS- $δ'$方程在直线上的驻波的某些强不稳定性结果。
2020-05-26 math.AP math.SP
Uniqueness of normalized ground states for NLS models
本文提出两种证明NLS等PDE归一化基态唯一性的方法，阐明其核心思想并应用于多类方程，且在相应假设下可推广至其他算子、区域与非线性项。
2025-03-18 math.AP
Logarithmic NLS equation on star graphs: existence and stability of standing waves
本文考虑星图上的对数薛定谔方程。利用紧性方法，在适当的泛函框架下构造了相应的Cauchy问题的唯一整体解。然后，我们证明了几个家庭的驻波的存在。我们还证明了存在的基态作为极小的行动的Nehari流形。最后，我们通过变分方法证明了基态是轨道稳定的。
2017-10-31 math.AP
Infinitely many normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations on noncompact metric graphs with localized nonlinearities
该研究针对带局部非线性的非紧度量图上的非线性薛定谔方程，在$L^2$-超临界 regime 下证明了对任意给定质量都存在无穷多归一化解，拓展了相关方程解的存在性结论。
2024-12-15 math.AP
Normalized solutions for the fractional NLS with mass supercritical nonlinearity
在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^N)$中研究了具有给定$L^2$ -范数$\int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 \, dx =m$的分数阶非线性薛定谔方程$(-Δ)^s u = f(u)$解的存在性.在相当一般的假设下，非线性$f$，我们证明了基态解的存在性和多重性的结果在径向对称的情况下。
2020-11-06 math.AP
Orbital instability of standing waves for NLS equation on Star Graphs
研究了在一个顶点有$δ$相互作用的星图$Γ$（$N$的半直线粘在公共顶点上）上具有任意正幂非线性项的非线性薛定谔方程.相互作用的强度由固定值$α\in \mathbb{R}$定义。在Adami { \it et al.}的近期工作中，结果表明，对于$α\neq 0$，$Γ$上的NLS方程允许唯一的对称（关于边的排列）驻波，并且所有其他可能的驻波都是非对称的。对于$α<0$，证明了在具有次临界幂型非线性项的NLS方程中，唯一的对称驻波是轨道稳定的。本文分析了$α<0$和$α>0$的驻波稳定性。通过将Sturm理论推广到星图上的薛定谔算子，我们给出了每个驻波的Morse指数和简并指数的显式计数。对于$α<0$，我们证明了具有任意正幂非线性项的NLS方程中的所有非对称驻波都是轨道不稳定的。对于$α>0$，我们证明了所有驻波的轨道不稳定性。
2018-01-22 math-ph math.AP math.DS
Variational and stability properties of coupled NLS equations on the star graph
本文研究了星图上带δ耦合的双耦合NLS方程的变分与稳定性，证明了三次情形下基态存在性，并分析了一般幂次非线性下单分量与两分量驻波的稳定性。
2023-09-15 math.AP math.FA
Existence and Stability of standing waves for supercritical NLS with a Partial Confinement
我们证明了轨道稳定的基态的存在，NLS与一个部分禁闭连同定性和对称性。这个结果是获得的非线性是$L^2$ -超临界，特别是我们涵盖了物理相关的立方的情况下。我们考虑的方程是BEC中雪茄形模型的极限情况。
2016-12-14 math-ph math.AP math.MP
Normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations on compact metric graphs
研究了紧度规图上质量超临界非线性薛定谔方程具有指定质量的非平凡束缚态的存在性.研究是基于一般的变分原理，它结合了单调性技巧和二阶信息的最小-最大定理，并在爆破分析的规定质量和有界Morse指数的束缚态。
2022-10-21 math.AP
Normalized solutions for the NLS equation with potential in higher dimension: the purely Sobolev critical case
该研究针对带势Sobolev临界非线性NLS方程的归一化解，借助新的势函数假设与技术，得到N≥6的山路型解解决公开问题，还找到N≥3的负能量局部极小解改进已有结果。
2025-07-31 math.AP
A New Method to prove the Existence, Non-existence, Multiplicity, Uniqueness, and Orbital Stability/Instability of standing waves for NLS with partial confinement
本文给出了一种新的方法来证明部分禁闭NLS驻波的存在性、不存在性、多重性、轨道稳定性/不稳定性，即使在约化方程中也不需要亚临界假设。利用这种方法，我们对[7，注1.10]中提出的一个公开问题给出了肯定的回答，其中作者证明了不止一个正规解的存在性。我们还建立了依赖于分歧参数的基态解的唯一性结果。我们解释说，当部分限制的效果是强的，降维出现的一些参数。我们还发现了与完全约束情形不同的分岔现象。
2022-11-18 math.AP
Global well-posedness, blow-up and stability of standing waves for supercritical NLS with rotation
考虑带转动的聚焦质量超临界非线性薛定谔方程\begin{equation*} iu_{t}=-\frac{1}{2}Δu+\frac{1}{2}V(x)u-|u|^{p-1}u+L_Ωu,\quad (x,t)\in \mathbb{R}^{N}\times\mathbb{R}, \end{equation*}，其中$N=2$或$3$，$V(x)$为各向异性调和势.这里$L_Ω$是量子力学角动量算符。我们建立的整体存在和爆破的能量空间的条件。此外，我们证明了在一定条件下的旋转和波的频率的驻波强不稳定性。最后，我们通过考虑适当的局部极小化问题，构造了轨道稳定的驻波解。这些结果得到的非线性是$L^{2}$ -超临界。
2021-02-19 math.AP
Normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations on noncompact metric graphs with localized nonlinearities
本文针对非紧度量图上带局部非线性项的NLS方程，在$L^2$超临界情形下证明了任意给定质量的规范化解存在，所用方法可推广至更一般方程。
2023-05-05 math.AP
On the normalized ground states for the Kawahara equation and a fourth order NLS
我们考虑任意空间维的Kawahara模型和两个四阶半线性薛定谔方程。我们构造相应的归一化基态，我们严格证明是光谱稳定的。对于Kawahara模型，我们的结果在参数空间上提供了当前严格结果的一个重要扩展。同时，我们验证和澄清最近的数值模拟这些孤子的稳定性。对于四阶NLS模型，我们改进了最近关于一维情形下非常特殊的显式解的稳定性的结果。我们的多维结果四阶NLS似乎是第一次。特别有趣的是，我们在这里发现了一个新的范例。也就是说，在其他条件相同的情况下，二阶导数的形式（混合二阶导数与纯拉普拉斯算子）对归一化波的存在范围和稳定性有影响。
2020-02-10 math.AP
Blow-up and instability of standing waves for the NLS with a point interaction in dimension two
该研究针对超临界区二维带点相互作用的NLS方程，推导非标准位力公式，构造出爆破初值集，并证明基态对应的驻波在ω足够大时具有强不稳定性。
2023-01-10 math-ph math.AP math.MP
Non-uniqueness of normalized NLS ground states on polygons with homogeneous Neumann boundary conditions
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究非线性薛定谔方程在多边形上齐次Neumann边界条件下的归一化地面态非唯一性，证明在略低于L^2临界指数的非线性幂次下，存在至少一个质量值使地面态不唯一。
2025-10-08 math.AP
Radial standing and self-similar waves for the hyperbolic cubic NLS in 2D
本文提出一种新的坐标系来研究二维双曲或非椭圆三次非线性薛定谔方程。基于这些坐标，我们研究了有界连续双曲径向驻波的存在性，以及双曲径向自相似解的存在性。许多参数可以很容易地适用于更一般的非线性。
2011-02-11 math-ph math.AP math.MP
Existence and orbital stability of standing-wave solutions of the NLS-log equation on a tadpole graph
本文首次在蝌蚪图上研究 NLS-log 方程，利用 Neumann-Kirchhoff 边界条件和分裂特征值方法，证明了正单瓣态驻波解的存在性与轨道稳定性，并给出相关线性化算子的 Morse 指数与零化指数。
2025-07-05 math.AP
Extension theory approach in the stability of the standing waves for the NLS equation with point interactions on a star graph
本文的目的是证明对称算子的扩张理论在研究星图上具有两种非线性（幂和对数）和两种点相互作用（$δ$ -和$δ'$ -）的非线性薛定谔方程驻波稳定性中的有效性.我们的方法使我们能够克服使用变分技术在调查的莫尔斯指数的自伴算子与非标准边界条件出现在稳定性研究。我们还演示了如何简化我们的方法证明已知的NLS方程的稳定性结果与点的相互作用的线。
2019-08-20 math.AP math.SP
Modulational instability of periodic standing waves in the derivative NLS equation
研究了等离子体物理中微分非线性薛定谔方程中的周期驻波。通过使用一种新发展的代数方法与两个特征值，我们分类所有的周期性驻波在八个特征值的Kaup-Newell频谱问题位于端点的谱带外的实线。分析工作与谱带的数值近似相补充，这使我们能够充分表征DNLS方程中周期性驻波的调制不稳定性。
2021-03-16 math-ph math.AP math.DS
Standing Ring Blowup Solutions for Cubic NLS
证明了三维聚焦立方非线性薛定谔方程在环上L^2集中、环外H^1范数有界以及整体H^1范数以对数-对数速率增长的意义下存在解在圆上爆破.类似的行为发生在任何更高的维度。也就是说，存在这样的数据，对于这些数据，立方NLS的相应演化在一组余维2上爆炸。为了简化说明，证明是在三维，与注释，以表明在更高的维度的适应。
2010-03-07 math-ph math.AP math.MP
Rogue waves on the background of periodic standing waves in the derivative NLS equation
微分非线性薛定谔（DNLS）方程是研究等离子体物理和光学中非线性波动力学的正则模型。本文研究DNLS方程在周期驻波背景下描述流氓波的精确解。我们表明，只有当周期性的驻波是调制不稳定的流氓波的时空本地化是可能的。如果周期驻波是调制稳定的，流氓波解退化为代数孤子沿背景传播，并与周期驻波相互作用。流氓波的最大振幅被发现解析和数值确认。
2021-03-16 math-ph math.AP math.MP
Normalized ground state solutions for the fractional Sobolev critical NLSE with an extra mass supercritical nonlinearity
针对含质量超临界项的分数阶 Sobolev 临界非线性 Schrödinger 方程，本文借助 Soave 的紧性技巧证明归一化基态解存在，并推广了局部与非局部情形的已有结果。
2023-07-28 math.AP
Existence and stability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with a critical rotational speed
研究了具有轴对称调和势和临界转速的非线性薛定谔方程（NLS）的Cauchy问题驻波解的存在性和稳定性.该方程作为描述以角速度旋转的磁阱中的吸引玻色-爱因斯坦凝聚的有效模型而出现。通过将方程看作具有恒定磁场和部分谐波约束的NLS，我们建立了具有质量亚临界、质量临界和质量超临界非线性的方程的质量驻波的存在性和轨道稳定性.我们的结果扩展了[Bellazzini-Boussaïd-Jeanjean-Visciglia，Comm. Math. Phys. 353（2017），no. 1，229-251]的近期工作，其中建立了部分限制的超临界NLS驻波的存在性和稳定性。
2022-01-07 math.AP
An overview on the standing waves of nonlinear Schrödinger and Dirac equations on metric graphs with localized nonlinearity
本文对具有局部非线性度规图上的非线性薛定谔方程和非线性狄拉克方程（NLSE/NLDE）驻波的存在性和不存在性作了一个简要的综述.我们首先关注NLSE，无论是在亚临界和临界的情况下，然后对NLDE，突出的相似性和差异与NLSE。最后，我们展示了这两个方程在非相对论极限下的关系，证明了束缚态的收敛性。
2019-01-09 math-ph math.AP math.FA
Standing waves for the NLS on the double-bridge graph and a rational-irrational dichotomy
研究了图上非线性薛定谔方程（NLS）驻波搜索的边值问题。精确地说，我们感兴趣的是描述{ \it双桥图}上的NLS驻波，其中两个半无限的半直线连接在不同顶点的圆上。在两个顶点处施加所谓的基尔霍夫边界条件。图的结构用两个长度$L_1$和$L_2$来表征，我们感兴趣的是给定频率$ω$的驻波的存在性和性质.对于每个$ω>0$，仅存在圆上支持的解（椭圆余弦解），并且仅针对$L_1/L_2$的有理值;它们可以扩展到每个$ω\in \mathbb{R}$。我们研究了$ω<0$的解在圆上周期，但在半直线上具有非平凡分量。该问题被证明是等价的非线性边值问题，其中的边界条件依赖于谱参数$ω$。在用有理$L_1/L_2$对解进行分类之后，我们转向$L_1/L_2$无理，表明存在驻波仅对应于可计数的一组频率$ω_n$。证明了频率序列$\{ω_n\}_{n \geq 1}$在$-\infty$上有一个聚点，并且它至少有一个有限的极限点，一般不为零.最后，任何负实数都可以是一组允许频率的极限点，直到为图选择合适的无理几何$L_1/L_2$。这些结果依赖于实数的丢番图逼近的基本性质。
2017-06-29 math.AP
Standing waves with prescribed mass for biharmonic NLS with positive dispersion and Sobolev critical exponent
本文针对具有正色散和Sobolev临界指数的双调和NLS方程，利用直接极小化方法证明存在两个指定质量驻波解，并分析了其稳定性与全局存在性。
2025-05-04 math.AP
Normalized ground states for the NLS equation with combined nonlinearities: the Sobolev critical case
该研究针对全空间ℝ^N上Sobolev临界的带组合幂次非线性项的非线性薛定谔方程，证明了不同类型扰动下归一化基态的存在性、不存在性及稳定性结果，是该领域的首个相关贡献。
2025-01-16 math.AP
Stability of the standing waves of the concentrated NLSE in dimension two
本文将继续分析[2，13]中开始的具有固定点态非线性项的二维薛定谔方程。在该模型中，爆破现象的发生具有两个独特的特征：所有解爆破的能量阈值是严格负的，并且与驻波能量的下确界一致;不存在临界功率非线性，即，对于每种幂，都存在爆破解。本文研究定态的稳定性，以验证前面提到的反常在稳定性特征上是否有对应的反常。
2020-01-12 math-ph math.AP math.MP
Normalized ground states for the critical fractional NLS equation with a perturbation
本文研究了具有指定质量的分数阶临界NLS方程：\begin{equation*} \begin{cases} (-Δ)^{s}u=λu +μ|u|^{q-2}u+|u|^{2_{s}^{\ast}-2}u,&x\in\mathbb{R}^{N}, \int_{\mathbb{R}^{N}}u^{2}dx=a^{2},\\ \end{cases} \end{equation*}其中$(-Δ)^{s}$是分数阶Laplacian，$0<s<1$，$N>2s$，$2<q<2_{s}^{\ast}=2N/(N-2s)$是分数阶临界Sobolev指数，$a>0$，$μ\in \mathbb{R}$ .利用\cite{Jeanjean}中的Jeanjean技巧和\cite{Brezis}中克服紧致性不足的标准方法，我们首先证明了$L^{2}$ -亚临界（或$L^{2}$ -临界或$L^{2}$ -超临界）微扰$μ|u|^{q-2}u$的存在性和不存在性，然后给出了关于上述得到的基态为$μ\rightarrow 0^{+}$的行为的一些结果.我们的结果在几个方向上扩展和改进了现有的结果。
2021-01-29 math.AP
Stable standing waves for a NLS on star graphs as local minimizers of the constrained energy
在由$N \geq 3$半线（边）构成的星图上，我们考虑了一个具有次临界幂型非线性项和吸引力δ相互作用的薛定谔方程。从以前的作品，它是已知的，存在一个家庭的驻波，对称的交换边缘，可以参数化的质量（或$L^2$ -范数）的元素。此外，如果质量足够小，那么相应的对称驻波是基态，因此它是轨道稳定的。另一方面，如果质量高于门限值，则系统没有基态。在这里，我们证明了轨道稳定性保持每一个值的质量，即使相应的对称驻波是不是基态，因为它无论如何是一个{ \em本地}极小的能量之间的功能具有相同的质量。证明是基于一种新的技术，允许限制的分析，以功能的孤立子片，减少问题的有限维之一。这样，我们不需要使用变分法的直接法，也不需要线性化过程。
2015-09-06 math.AP
An explicitly solvable NLS model with discontinuous standing waves
本文研究带点相互作用的NLS方程，证明次临界和临界情形下基态与激发态的存在性及唯一性，给出最优常数并显式描述驻波分支，构成可求解模型。
2025-10-09 math.AP
On (in)stability of discontinuous standing waves for the NLS with a delta-prime on star graphs
Department of Mathematics, IME-USP（圣保罗大学数学与统计学院）
研究具有幂次非线性的一维非线性薛定谔方程在含δ′相互作用的星型图上顶点处不连续驻波的存在性与（不）稳定性，用非变分方法刻画驻波轮廓，分析其稳定性。
2026-07-07 math.AP
Asymptotic stability for standing waves of a NLS equation with concentrated nonlinearity in dimension three. II
研究了三维空间中具有空间集中非线性项的薛定谔方程模型的驻波的渐近稳定性。所研究的非线性是一个幂非线性集中在点$x=0$考虑接触（或$δ$）与强度$α$相互作用，并让强度$α$依赖于波函数在一个规定的方式获得。对于$(\frac{1}{\sqrt 2},1)$范围内的功率非线性，存在轨道稳定的驻波$Φ_ω$，并且围绕它们的线性化允许两个虚本征值，这两个虚本征值原则上可以对应于非衰减状态，因此防止向平衡轨道的渐近松弛。不使用费米黄金法则，我们证明了，在一定的$σ^* \in (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3} +1}{2 \sqrt{2}}]$的$(\frac{1}{\sqrt 2},σ^*)$范围内，驻波轨道附近的动力学渐近松弛到一个稳定的状态。与该领域的主要结果不同，所承认的非线性是$L^2$ -亚临界的。
2015-07-17 math-ph math.AP math.MP
Normalized solutions of one-dimensional defocusing NLS equations with nonlinear point interactions
Politecnico di Torino（都灵理工大学）
研究实线上双非线性Schrödinger方程的归一化解，探讨反聚焦标准非线性和聚焦点相互作用的相互作用，揭示新的物理现象。
2026-02-16 math-ph math.AP math.MP
Standing waves for the NLS equation with competing nonlocal and local nonlinearities: the double $L^{2}$-supercritical case
研究了一类具有竞争Hartree型和幂型非线性项\begin{equation*} \begin{array}{ll} i\partial _{t}ψ+Δψ+γ(I_{α}\ast |ψ|^{p})|ψ|^{p-2}ψ+μ|ψ|^{q-2}ψ=0, & \text{ }\forall (t,x)\in \mathbb{R\times R}^{N},% \end{array}% \end{equation*} %的NLS方程，其中$γμ<0$ .我们在能量空间中建立了局部适定性的条件。在双$L^{2}$ -超临界情形下，通过发展一种约束方法，证明了当$γ<0,μ>0$和$γ>0,μ<0, $分别为两种情况时，具有指定质量的驻波的存在性和多重性.此外，我们通过考虑适当的局部极小化问题和分析映射，分别证明了驻波的弱轨道稳定性和强不稳定性。在这项工作中进行了一个新的分析的映射。我们认为它是创新的，因为它在以前的任何结果中都没有讨论过。同时给出了Cauchy问题解爆破的下界速率。由于这两类非线性的“\textquotedblleft强度”不同，我们发现这两种情况下的结果有本质的不同。我们将处理两个主要的场景，由于它们不同的几何结构，它们彼此完全不同。这导致了令人惊讶的发现。此外，竞争的纯幂型非线性的情况下，可以从我们的研究感谢一个很好的选择的核心Hartree项。
2023-03-19 math.AP
Bifurcations of standing localized waves on periodic graphs
研究了周期度规图上的非线性薛定谔（NLS）方程在Kirchhoff边界条件下的解。利用二维离散映象在双曲不动点附近的分析，研究了定常薛定谔方程线性谱底部以下的定常局部驻波的分岔.我们证明了存在两个不同的家庭的小振幅驻波局域波，这是对称的两个对称点的周期图。我们还证明了这两个家庭的性质，特别是，积极性和指数衰减。在周期度量图上的NLS方程均匀化的背景下，讨论了二维离散映射到无限直线上的定常NLS方程的渐近约化.
2016-09-16 math.AP math.DS nlin.PS
Normalized ground states and threshold scattering for focusing NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$ via semivirial-free geometry
研究了波导流形$\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}$上的聚焦非线性光学系统\begin{align}\label{nls_abstract} i\partial_t u+Δ_{x,y} u=-|u|^αu\tag{NLS} \end{align}在临界区$α\in(\frac{4}{d},\frac{4}{d-1})$的特性。通过假设\eqref{nls_abstract}与$y$无关，它简化为$\mathbb{R}^d$上的聚焦临界NLS，已知其具有驻波和有限时间爆破解。自然，我们会问这些特殊的解决方案与非平凡$y$依赖是否存在。本文对此问题给予肯定的回答。为此，我们引入了\textit{semivirial}泛函的概念，并考虑了半维里消失流形上的一个极小化问题$m_c$。我们证明，对于任何$c\in(0,\infty)$的变分问题$m_c$有一个基态优化器$u_c$也解决了驻波方程$$-Δ_{x,y}u_c+β_c u_c=|u|^αu $$与一些$β_c>0$。此外，我们证明了存在一个临界数$c_*\in(0,\infty)$，使\begin{itemize} \item For $c\in(0,c_*)$, any optimizer $u_c$ of $m_c$ must satisfy $\pt_y u_c\neq 0$. \item For $c…
2023-01-30 math.AP
Variational properties and orbital stability of standing waves for NLS equation on a star graph
研究了星图{ $\mathcal{G}$ }上非线性薛定谔方程的驻波，星图{$N$}是由半直线组成的.在顶点处发生相互作用，该相互作用由强度为$α\leqslant 0$的δ型边界条件描述。非线性是聚焦功率型的。动力学由形式为$ i \frac{d}{dt}Ψ_t = H Ψ_t - | Ψ_t |^{2μ} Ψ_t $的方程给出，其中$H$是产生线性薛定谔动力学的哈密顿算子。我们表明存在的几个家庭的驻波的每一个符号的耦合在顶点的每一个$ω> \frac{α^2}{N^2}$。此外，我们确定的基态，作为最小化的Nehari流形上的行动，并命令的各个家庭。最后，我们表明，基态是轨道稳定的每个允许的$ω$，如果非线性是亚临界或临界的，否则为$ω<ω^\ast$。
2014-08-08 math-ph math.AP math.MP
The mass-mixed case for normalized solutions to NLS equations in dimension two
本文研究二维半线性薛定谔方程的正归一化解，针对零点$L^2$-次临界、无穷远指数型临界增长的质量混合情形，证明小质量下存在局部极小和山路型两个正解，并分析零质量极限的渐近行为。
2024-07-14 math.AP
Normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations on noncompact metric graphs
本文基于 mountain pass 技术研究非紧度量图上 $L^2$-超临界非线性 Schrödinger 方程的归一化解，证明了小质量下正解的存在性并揭示了拓扑结构的作用。
2025-04-01 math.AP
Normalized solutions to the NLS equation in the ball for any prescribed mass
Dipartimento di Matematica “G. Peano” Università degli Studi di Torino（都灵大学佩阿诺数学系）
本文研究球内NLS方程在任意给定质量下的归一化解，无需额外条件即证明无穷多个径向解及高维非径向解的存在性。
2026-09-15 math.AP
Stable manifolds for all monic supercritical NLS in one dimension
我们证明了只要扰动选择在适当空间的小超曲面上，一维空间中所有的超临界一次聚焦NLS都表现出扰动驻波的渐近稳定性.
2005-01-09 math-ph math.AP math.MP
Standing waves of the quintic NLS equation on the tadpole graph
蝌蚪图由一个圆和一条连接在顶点上的半直线组成。本文研究了具有五次幂非线性项的非线性薛定谔方程的驻波问题，在方程的顶点处满足Neumann-Kirchhoff边界条件。具有频率$ω\in (-\infty,0)$的驻波的轮廓被表征为能量的二次部分被约束到$L^6$中的单位球的全局最小值。极小值集包括系统的基态集，它们是在恒定质量下能量的全局极小值（$L^2$ -范数），但它实际上更宽。虽然基态只存在于一定的质量间隔，驻波存在于每个$ω\in (-\infty,0)$，并对应于一个更大的质量间隔。结果表明，存在临界频率$ω_0$和$ω_1$，使得驻波是$ω\in [ω_0,0)$的基态，$ω\in (ω_1,ω_0)$的等质量能量的局部极小值，以及$ω\in (-\infty,ω_1)$的等质量能量的鞍点.证明利用变分方法和微分方程的分析理论。
2020-09-10 math-ph math.AP math.DS
On the orbital instability of excited states for the NLS equation with the $δ$-interaction on a star graph
研究星图$\mathcal{G}$上的非线性薛定谔方程.在顶点处发生相互作用，该相互作用由强度为$α\in \mathbb{R}$的δ型边界条件描述。本文研究了当轮廓$Φ(x)$具有混合结构（即有凸点和尾）时，NLS- $δ$方程在$\mathcal{G}$上具有吸引幂非线性驻波$e^{iωt}\mathbfΦ(x)$的轨道不稳定性.在我们的方法中，我们基本上使用的对称算子的Krein-von Neumann的扩张理论，和解析扰动理论，避免变分技术标准的稳定性研究。我们还证明了具有排斥非线性项的NLS- $δ$方程的唯一驻波解的轨道稳定性。
2019-08-20 math.AP math.SP
Normalized solutions for NLS equations with potential on bounded domains: Ground states and multiplicity
针对有界域上带势和非齐次非线性项的NLS方程归一化解问题，通过分析不同参数范围和势的假设，证明了全局极小解、高能解的存在性，部分解决开放问题并给出新结果。
2024-11-27 math.AP
Sign-changing multi-peak standing waves of the NLSE with a point interaction
本文通过 Lyapunov--Schmidt reduction 方法，证明了在特定参数条件下具有点相互作用的 NLSE 存在变号多峰驻波解。
2025-04-07 math.AP
On existence and stability results for normalized ground states of mass-subcritical biharmonic NLS on $\mathbb{R}^d\times\mathbb{T}^n$
在乘积空间$\mathbb{R}_x^d\times\mathbb{T}_y^n$上研究了聚焦质量亚临界双调和非线性薛定谔方程。在\cite{TTVproduct2014}中引入的关键标度参数之后，我们建立了BNLS归一化基态的存在性和稳定性结果。此外，在低阶色散是缺席的情况下，我们证明了存在一个临界质量数$c_0\in(0,\infty)$，急剧决定了$y$依赖的推导基态。在混合色散的情况下，我们遇到了一个主要的挑战，因为BNLS不再是标度不变的，并且\cite{TTVproduct2014}用于确定基态的急剧$y$依赖性的参数失败。本论文的主要新颖之处是解决这个困难和有趣的问题：使用不同的缩放参数，我们表明，$y$ -独立的基态小质量仍然持有的情况下$β>0$和$α\in(0,4/(d+n))$。此外，我们还证明了具有足够大的质量的基态必须具有非平凡的$y$依赖性，呼吁一些新的检验函数的建设。后者特别适用于所有参数躺在全质量亚临界制度。
2022-12-01 math.AP
Normalized ground states and a mass-constrained scattering threshold for the inhomogeneous NLS with an inverse-square potential
Imam Abdulrahman Bin Faisal University（伊玛目阿卜杜勒拉赫曼·本·费萨尔大学）；Qassim University（卡西姆大学）
本文研究带反平方势的聚焦非齐次NLS方程，在质量超临界和能量次临界条件下，建立了基态阈值以下散射理论与规定质量变分分析之间的联系。
2026-10-08 math.AP
On the nonexistence of NLS breathers
本文利用位力泛函，仅凭内部能量与非线性幂次严格证明 NLS 呼吸子解不存在，并将结论推广到导数型、对数型等多种 NLS 模型。
2025-01-08 math.AP
Orbital and asymptotic stability for standing waves of a NLS equation with concentrated nonlinearity in dimension three
本文研究了一类具有三维集中非线性项的薛定谔方程模型的驻波的轨道稳定性和渐近稳定性。非线性得到考虑{点}（或接触）与强度$α$的相互作用，其中包括由自伴算子$H_α$描述的拉普拉斯算子的奇异摄动，其中强度$α$取决于波函数：$i\dot u= H_αu$，$α=α(u)$。如果$q$是所谓的域元素$u$的电荷，即其奇异部分的系数，我们让强度$α$根据规律$α=-ν|q|^σ$依赖于$u$，其中$ν> 0$。这表明该模型是一个具有幂型非线性的聚焦NLS模型。对于这样一个模型，我们证明了存在的驻波的形式$u (t)=e^{iωt}Φ_ω$，这是轨道稳定的范围内$σ\in (0,1)$，轨道不稳定的$σ\geq 1.$此外，我们表明，对于$σ\in (0,\frac{1}{\sqrt 2})$每个驻波是渐近稳定的以下意义。选择初始数据接近稳态的能量范数，并属于一个自然的加权$L^p$空间，允许色散估计，以下决议持有：$u(t) = e^{iω_{\infty} t} Φ_{ω_{\infty}} +U_t*ψ_{\infty} +r_{\infty}, \quad \textrm{as} \;\; t \rightarrow +\infty$，其中$U$是自由薛定谔传播，$ω_{\infty} > 0$和$ψ_{\infty}$，$r_{\infty} \in L^2(\R^3)$与$\|…
2012-11-16 math-ph math.AP math.MP
Orbital stability and uniqueness of the ground state for NLS in dimension one
我们证明了一维非线性薛定谔方程的驻波解是轨道稳定的和非退化的，只要非线性项$ G $满足一个Euler微分不等式.当非线性项$ G $是一个组合的纯幂型时，则只有一个正的、对称的规定质量的最小值。
2016-05-30 math.AP
Multiple normalized standing-waves solutions to the scalar non-linear Klein-Gordon equation with two competing powers
本文证明了一维标量非线性Klein-Gordon方程驻波解的存在性和基态的稳定性，基态是包含所有能量极小值的集合，这些能量极小值被约束在共享一个固定电荷的状态的流形上.对于两个相互竞争的功率的组合的非线性，我们证明了驻波在基态是轨道稳定的。我们还证明了存在一个退化的最小值和存在两个积极的和径向对称的最小值具有相同的电荷。
2019-10-14 math.AP
Normalized ground states for the fractional nonlinear Schrödinger equations
本文研究了分数阶薛定谔方程\begin{equation} i\partial_{t}ψ=(-Δ)^{s}ψ-f(ψ), \qquad (0.1)\end{equation}在给定的$L^2$范数下驻波的存在性和不稳定性，其中$0<s<1$，$f(ψ)=|ψ|^{p}ψ$和$\frac{4s}{N}<p<\frac{4s}{N-2s}$，$f(ψ)=(|x|^{-γ}\ast|ψ|^2)ψ$和$2s<γ<\min\{N,4s\}$ .为此，我们寻找相应的定态方程\begin{equation} (-Δ)^s u+ωu-f(u)=0. \qquad (0.2) \end{equation}的归一化解首先，通过构造$L^2$ -球面的适当子流形，我们证明了（0.2）在$L^2$ -球面中具有最小能量的归一化解的存在性，它对应于（0.1）的归一化基态驻波。然后，我们证明了（0.2）的每个归一化基态在通常意义上与（0.2）的基态重合。最后，我们得到了（0.1）解的全局存在和爆破的临界值。此外，我们可以使用这个尖锐的阈值来表明，所有的归一化基态驻波是强烈不稳定的爆破。
2019-07-08 math.AP math.FA
