Numerical simulations of magnetic billiards in a convex domain in $\mathbb{R}^2$
Peter Albers, Gautam Dilip Banhatti, Michael Herrmann
我们提出了数值模拟磁台球内的一个凸区域在平面上。
We present numerical simulations of magnetic billiards inside a convex domain in the plane.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Chaos and stability in a two-parameter family of convex billiard tables
我们研究，通过数值模拟和半严格的参数，一个两参数的家庭凸，二维台球桌，推广的单参数类的椭圆形台球Benettin-Strelcyn [物理评论A 17，773（1978）]。我们观察到有趣的动力学现象时，台球桌连续变形的可积圆形台球不同版本的完全混沌视距。特别是，我们推测，一类新的遍历台球表是在二维参数空间的某些区域，当台球接近歪斜视距。我们提供了启发式的参数支持这一猜想，并给出数值验证使用强大的方法的Lyapunov加权动力学。
Limit Sets of Convex non Elastic Billiards
受Pujals和Sambarino关于支配分裂的工作的启发，我们提出了具有修改的反射定律的台球，该反射定律构成了具有支配分裂的极限集的动力系统的简单示例，并且其中动力学是理性或非理性旋转。
On the Marked Length Spectrums of Generic Strictly Convex Billiard Tables
本文证明了对于一般的严格凸整环，可以从整环的（最大）标长谱中恢复出诱导台球映射的Aubry-Mather周期轨道所对应的本征值.
Convex billiards on convex spheres
本文研究了二维凸球面上的动态台球问题。研究了一般凸球面上凸台球的一般性质。证明了$C^\infty$的周期点一般都是双曲或椭圆的，且具有无理旋转数.此外，每个双曲周期点都有横截同宿交点。在我们的方法中的一个新的成分是，我们使用赫尔曼的结果丢番图不变曲线证明了椭圆周期点的凸台球稠密子集的非线性稳定性。
A Brunn-Minkowski type inequality for extended symplectic capacities of convex domains and length estimate for a class of billiard trajectories
本文首先将Artstein-Avidan-Ostrover在2008年建立的关于有界凸区域的Ekeland-Hohnder-Zehnder辛容量的Brunn-Minkowski型不等式推广到作者最近基于一类Hamilton非周期边值问题构造的有界凸区域的推广辛容量.然后引入了一类凸区域上的非周期台球，并证明了与Artstein-Avidan-Ostrover在2012年关于凸区域上的周期台球的相应结果.
Hopf rigidity for convex billiards on the hemisphere and hyperbolic plane
本文研究常曲率曲面上凸台球的Hopf型刚性。证明了在双曲平面或半球上唯一无共轭点的凸台球是圆台球。
On the Local Birkhoff Conjecture for Convex Billiards
经典的Birkhoff猜想认为严格凸可积台球桌的边界必然是椭圆（或圆作为特例）。在这篇文章中，我们证明了这个猜想的一个完整的本地版本：一个小的可积扰动的椭圆必须是一个椭圆。这推广并完善了文[3]中的结果，文[3]中考虑了近似圆形域。证明中的一个关键思想是将椭圆台球的作用角坐标扩展到复域（关于角度），并彻底分析其复奇点的性质。作为应用，我们证明了椭圆域的谱刚性结果。
Realization of bifurcations of Liouville foliations for integrable billiards in non-convex domains
台球是一个动力系统，其中粒子在直线运动和边界的镜面反射之间交替。研究了由共焦二次曲面的线段围成的非凸区域中的台球问题。本文描述了Liouville叶理三维分支的拓扑结构。
Shortest closed billiard orbits on convex tables
给定平面紧凸台球桌$T$，给出了求$T$上最短广义闭台球轨道的算法.（如果$T$具有光滑边界，则广义台球轨道是通常台球轨道。）如果$T$是多边形，则该算法是有限的，并且提供了一般的近似方案。作为一个例子，我们证明了正则$n$ -gon $R_n$中的最短广义闭台球轨道是$n \ge 4$的2-bounce，其长度是$R_n$宽度的两倍.作为应用，我们得到了在标准辛向量空间$\mathbb{R}^4$中计算四维域$T \times B^2$的Ekeland-Hohnder-Zehnder容量的算法.我们的方法是基于Bezdek-Bezdek的工作和Fagnano三角形在锐角三角形中的唯一性。它的作品，更一般地说，平面闵可夫斯基台球。
Density of convex billiards with rational caustics
我们证明了在所有凸台球边界的空间中，具有有理焦散线的边界集是稠密的。更精确地说，具有旋转数$1/q$焦散线的台球边界集在光滑情况下是多项式意义的，在解析情况下是指数稠密的。
Homoclinic points for convex billiards
本文研究凸台球系统的通有性质，证明在通有情形下每个双曲周期点都至少拥有一条同宿轨道。
Billiards and Hofer's Geometry
本文建立凸平面台球与辛拓扑中Hofer几何的联系，证明光滑严格凸台球桌的台球球映射间Hofer距离可由台球桌间简单几何距离上界控制，并由此证明凸多边形台球球映射属于圆环光滑保面积映射群在Hofer度量下的完备化。
Complexity of piecewise convex transformations in two dimensions, with applications to polygonal billiards
引入了分段凸变换类，并研究了其复杂性。我们将结果应用于多边形台球的复杂性，常曲率的表面。
On the finite dimensionality of integrable deformations of strictly convex integrable billiard tables
本文证明了严格凸可积台球桌$Ω_0$在边界附近保持可积性的任何光滑单参数变形都必须与通过$Ω_0$的有限维空间相切。
Shortest Minkowski billiard trajectories on convex bodies
我们严格地研究了$n$维凸体上的闭Minkowski/Finsler台球轨迹.我们从欧氏特殊情形出发，概括了比较和微分的中心性质，建立了长度最小化闭Minkowski/Finsler台球轨迹的两个主要结果：一个是正则性结果，另一个是几何性质的结果.基于这些结果，我们开发了一种算法，用于计算长度最小化封闭Minkowski/Finsler台球轨迹在平面上。
Billiards in generic convex bodies have positive topological entropy
本文证明在一般凸体中，台球映射存在非平凡双曲基本集，从而推出其拓扑熵为正且周期轨道数量指数增长。
Elliptic Islands on Strictly Convex Billiards
研究了与严格凸闭曲线相关联的台球映射椭圆岛存在性的一般性问题。更确切地说，我们研究了2-周期轨道的台球与C5封闭和严格凸曲线，并表明椭圆岛的存在是一个密集的性质的子集上的台球有一个椭圆2-周期点。我们的主要工具是正常的扰动，Birkhoff规范形式的椭圆不动点和Moser的扭曲定理。
On conjugacy of convex billiards
给定$\R^2$中的严格凸域$Ω$，有一种自然的方式来定义其中的台球映射：一条到达边界的直线路径反射，使得反射角等于入射角。在本文中，我们回答一个相对古老的问题Guillemin。我们证明了如果两个台球映射在边界附近是$C^{1,α}$ -共轭的，对于某些$α> 1/2$，则相应的域是相似的，即它们可以通过重新标度和等距从另一个中得到.作为应用，我们证明了Birkhoff猜想关于平面台球可积性的一个条件版本，并证明了原来的猜想等价于我们所说的“扩张问题”.非常有趣的是，我们的结果和一个积极的解决方案，这个扩展问题将提供一个答案，一个密切相关的问题，在谱理论：如果标记长度谱的两个域是相同的，是真的，他们是等距的？
Non-smooth convex caustics for Birkhoff billiard
本文研究了Birkhoff台球的弦结构的性质。基于纯粹的几何考虑，弦结构适合为伯克霍夫台球提供一个表，具有规定的焦散。利用这个框架与凸焦散线的性质，我们给出了一个结果的几何证明Innami首先证明在2002年通过Aubry-Mather理论。在第二部分的文件中，我们表明，应用字符串建设可以找到一个新的集合的例子$C^2$ -光滑凸台球桌与非光滑凸焦散。
A regularity result for shortest generalized billiard trajectories in convex bodies in $\mathbb{R}^n$
研究了$\mathbb{R}^n$中凸体上的长度最小化闭广义欧几里德台球轨迹，并研究了它们与包含这些轨迹的包含极小仿射截面之间的关系.我们表明，当通过这些部分，长度最小化封闭台球轨迹仍然是台球轨迹，但其长度最小性以及它们的规律性可以被破坏。有鉴于此，我们证明了什么较弱的规律性，实际上是保存下通过这些部分。在此基础上，我们发展了一个算法，以计算长度最小化闭规则台球轨迹在凸多胞体$\mathbb{R}^n$。
A challenger to elliptic billiards fails: String construction over convex polygons and the Birkhoff--Poritsky conjecture
本文证明一个据称是Birkhoff-Poritsky猜想反例的台球并非反例，并证明任意凸多边形弦构造球台中该多边形是动力学核心。
Spectral invariants of convex billiard maps:a viewpoint of Mather's beta function
对于光滑边界的严格凸台球映射，通过构造性生成函数得到了Birkhoff标准形.在此基础上，我们得到了beta函数（局部）的一个显式表达式，并探讨了台球映射的谱不变量与β函数之间的关系.
Billiards in convex bodies with acute angles
本文研究了不一定光滑的凸体中闭台球轨线的存在性。特别是，我们表明，如果一个机构$K\subset \mathbb{R}^d$的所有非光滑点$q\in \partial K$的切锥是尖锐的（在一定意义上），那么有一个封闭的台球轨迹在$K$。
Chaoticity of generic analytic convex billiards
研究揭示了一般解析强凸弹跳系统在混沌性方面的特性，证明了对于任意有理数p/q∈Q∩(0,1)，最大周期轨道的稳定和不稳定流形交点均为横截的，表明系统具有最大混沌性。
The First Birkhoff Coefficient and the Stability of 2-Periodic Orbits on Billiards
在这项工作中，我们解决的问题，证明严格凸台球椭圆2-周期轨道的稳定性。尽管椭圆性意味着稳定性是一个被广泛接受的信念的一部分，但经典定理表明，稳定性的确定性依赖于更精细的条件。我们提出了一个审查的主要结果和一般定理，并描述的程序，以满足严格凸台球的补充条件。
Isoperimetric-type inequalities for Mather's $β$-function of convex billiards
本文通过研究弹奏系统的β函数，证明了圆弹奏可通过单一值确定，同时揭示了等周不等式在不同弹奏系统中的应用与限制。
On the role of the surface geometry in convex billiards
本文在二维黎曼流形上建立凸台球框架，证明扭转性质并探讨旋转不变曲线存在性条件。
Outer billiards of symplectically self-polar convex bodies
本文研究了辛自极凸体的外Billiards映射，证明其存在由4周期轨道组成的不变超曲面，为更高维Birkhoff Billiards提供了非平凡不变结构。
Stochastic Perturbations of Convex Billiards
本文考虑了具有$C^2$边界的严格凸台球桌，其动力学受到随机扰动。每次台球撞击边界时，它的反射角都有一个随机扰动。扰动分布对应于这样的物理情况，即表面不规则性的尺度小于但与反射物体的直径相当，或者台球不是完全刚性的。我们证明了，对于一大类这样的扰动所产生的马尔可夫链是一致遍历的，虽然这是不正确的一般。
The Minkowski Billiard Characterization of the EHZ-capacity of Convex Lagrangian Products
我们严格的状态之间的联系的EHZ-容量的凸拉格朗日产品$K\times T\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$和封闭的$(K,T)$ -Minkowski台球轨迹的最小长度。Artstein-Avidan和Ostrover在$K$和$T$的光滑性和严格凸性假设下首次明确了这种联系。我们证明了这种联系在其充分的一般性，即，而不需要对凸体$K$和$T$施加任何条件。这为用离散计算方法计算两个凸多胞体的凸拉格朗日积的EHZ容度作了准备。
Duality of Caustics in Minkowski Billiards
本文研究闵可夫斯基台球中的凸焦散线。本文证明了对于平面光滑中心对称严格凸体$K$中的欧几里德台球动力学，对于$K$所具有的每一个凸焦散，其中球台是欧几里德单位圆盘且支配运动的几何是由体$K$诱导的“对偶”台球动力学具有对偶凸焦散.这种焦散线对在很强的意义上是对偶的，并且特别地，它们具有相同的周长、拉祖特金参数（均相对于对应的几何形状测量）和旋转数。此外，我们表明，对于一般的闵可夫斯基台球这种现象失败，可以构建一个光滑的焦散在闵可夫斯基台球桌不具有双凸焦散。
Maximizing orbits for higher dimensional convex billiards
本文的主要结果是：对于高维凸台球，与二维情形不同，对于边界上的每一点和每一个$n$，在与边界的第$n$次碰撞时，总是存在发展共轭点的台球轨迹。我们将解释这是高维台球轨道的下列变分性质的结果。如果轨道的一段是局部最大化的，那么它不能太靠近边界。这一事实由长度泛函的二阶变分公式得出。事实证明，这个公式对于“纵向”和“横向”变化的表现是不同的。
Periodic billiard trajectories in smooth convex bodies
我们考虑台球轨迹在光滑凸体$\mathbb R^d$和估计的数量不同的周期性轨迹，使每周期的$p$反射在身体的边界。在素数$p$的情况下，我们得到了下界$(d-2)(p-1)+2$，这比以前的估计好得多。
How smooth can convex chaotic billiard tables be?
我们解决了长期存在的问题，平滑体育场台球。此外，我们的结果表明，为什么没有明确的示意图，多少体育场的边界必须平滑，以破坏混沌动力学。要做到这一点，我们需要扩展标准KAM理论来分析周期轨道的稳定性，因为系统的低光滑性。事实上，体育场有一个$C^1$边界，我们表明，$C^2$平滑的结果在外观的椭圆周期轨道。
Arnold Diffusion in Multi-Dimensional Convex Billiards
考虑严格凸域中的台球动力学，并考虑以与边界成小正角的速度矢量开始的轨迹。拉祖特金证明，在二维空间中，这个角度不可能沿着轨迹趋于零。我们证明了这样的轨迹可以存在于更高的维度。也就是说，使用几何技术的Arnold扩散，我们表明，在三维或更多维，假设测地流的边界上的域有一个双曲周期轨道和横同宿，存在的轨迹渐近接近台球边界是一个普遍的现象，在实解析拓扑。
Stable and unstable regimes in higher-dimensional convex billiards with cylindrical shape
我们介绍了一类凸，高维台球模型，概括体育场台球。这些模型对应于一个点粒子在一个由圆柱体切割的平面所限定的区域内的自由运动。它们的动机是粒子通过弦型机制相互作用的模型，并被硬墙所限制。这些元素的组合可能会产生一个散焦机制，类似于在两个维度，这允许在相空间中的大混沌区域。相空间的其余部分与边际稳定行为相关联。事实上，这些系统中的周期轨道一般都是连续的参数族，与一对抛物线本征方向相关：周期轨道在散焦机制的存在下是不稳定的，但在其他情况下是勉强稳定的。通过在非线性水平上对周期轨道族进行稳定性分析，建立了周期轨道族非线性稳定或不稳定的条件。其结果是，我们确定区域的参数空间的模型，承认非线性稳定振荡的形式的回音壁模式。在没有稳定的周期轨道族的地方，台球是完全混沌的，即台球映射的李雅普诺夫指数是非零的。
Billiard characterization of spheres
本文研究了满足Gutkin性质的高维凸台球。一个凸超曲面$S$满足这个性质，如果任何弦$[p,q]$与$p$处的切超平面形成角$δ$，与$q$处的切超平面具有相同的角$δ$。我们的主要结果是：在$\mathbf{R}^d, d\geq 3$中唯一具有这种性质的凸超曲面是一个圆球.这推广了以前在\cite{B0}中得到的关于Gutkin台球的结果。
Billiard trajectories inside Cones
本文研究凸锥内台球轨迹的反射次数问题，证明存在C²凸锥允许有限时间内无限多次反射，并利用两个首次积分估计了R³中椭圆锥内轨迹的反射次数。
Digit sequences of rational billiards on tables which tile $\mathbb{R}^2$
本文对由周期台球轨道产生的周期数字串在反射下平铺$\mathbb{R}^2$的四个凸$n$ -凸$Δ$上进行分类，回答了Baxter和Umble提出的一个问题. $Δ$是等边三角形、$45-45-90$三角形、$30-60-90$、三角形或矩形。
Rotation Sets of Open Billiards
我们研究了$\mathbb{R}^N$中与给定台球轨迹的起始点相关的自然可观测的开台球的旋转集。证明了一般旋转集是凸的，周期轨线$P_ϕ$的旋转向量的所有凸组合的集合在其中稠密，给出了一个构造性的证明，说明了在逐点旋转集中，集合$P_ϕ$是稠密的，逐点旋转集的闭包是凸的.我们还考虑了一类由三个障碍物组成的台球，并在符号空间中构造了一个序列，使得它的旋转向量没有定义。
Polygonal Refractive Outer Billiards
该研究将Gutkin等、Tabachnikov等关于常规外台球的两个经典结果，推广到了凸多边形对应的折射外台球系统中。
On infinitely many foliations by caustics in strictly convex open billiards
本文研究严格凸开台球的焦散线叶状结构，证明边界凸侧存在光滑叶状结构及连续统多个点芽互异的叶状结构，并通过强类台球保面积映射加以推广。
Unilluminable rooms, billiards with hidden sets, and Bunimovich mushrooms
照明问题是休闲数学中的一个热门话题：在一个有镜子的房间里，每个区域都可以从区域中的每个点照明吗？所谓的\enquote{unilluminable rooms}与逆散射中的\enquote{trapped sets}相关，并且与动力系统中具有划分的相空间的台球相关。在每一种情况下，一个带有半椭圆的台球总是被提出来作为标准的反例：即彭罗斯室，利夫希茨台球，和布尼莫维奇蘑菇。在本文中，我们构建了一个大类的平面台球障碍，不一定具有椭圆，有暗区，隐藏集，或划分的相空间。主要结果是，对于任何凸集$\mathcal{H}$，我们可以构造一个凸的，处处可微的台球桌$K$（在任何距离$\mathcal{H}$），使得离开$\mathcal{H}$的轨迹总是在一次反射后返回到$\mathcal{H}$。这种台球概括了Bunimovich蘑菇。作为推论，我们给出了更一般的答案照明问题和陷集问题。我们利用最近的结果从非光滑分析和凸函数理论，以确保该结果适用于所有的凸集。
An analogue of the Blaschke-Santaló inequality for billiard dynamics
Blaschke-Santaló不等式是凸几何中关于凸体及其对偶体体积的一个经典不等式。在这项工作中，我们研究了类似的台球动力系统的背景下，这个不等式：我们取代体积的最短封闭台球轨迹的长度。我们定义了一个称为凸体K的“台球积”的量，它类似于在Blaschke-Santaló不等式中研究的体积积。在平面的情况下，我们推导出一个明确的表达式台球产品的直径的机构。我们还调查了这个数量的上界在类的多边形与一个固定的顶点数。
Integrable Birkhoff Billiards inside Cones
本文证明$\mathbb{R}^n$中凸$C^3$锥体内的Birkhoff台球具有二次第一积分且轨迹反射次数有限，并首次给出既非二次曲面也非二次曲面组合的可积台球例子。
Local finiteness of the number of reflections in semi-dispersing Minkowski billiards
研究半分散Minkowski弹球的轨迹反射次数，证明其有限长度轨迹的壁面反射次数具有局部有限性。
On three-periodic trajectories of multi-dimensional dual billiards
研究线性2 m维辛空间中关于光滑严格凸闭超曲面的对偶台球映射，证明了它至少有2 m个不同的3-周期轨道。
Caustic-Free Regions for Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文研究了凸台球桌在双曲平面或半球上的无焦散区域。特别是，Gutkin和Katok的结果在欧几里德的情况下，我们估计这些区域的大小方面的几何形状的台球桌。此外，我们扩展到这个设置的一个定理，由于Hubacher这表明，没有焦散存在的边界附近的凸台球桌的曲率是不连续的。
The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables
本文证明了中心对称$C^2$ -光滑凸平面台球的Birkhoff-Poritsky猜想。我们假设$4$ -周期轨道的不变曲线与相柱边界之间的区域$\mathcal A$由$C^0$ -不变曲线划分。在这个假设下，我们证明了台球曲线是椭圆。对于原来的Birkhoff-Poritsky公式，我们证明了如果台球区域边界的邻域在区间（0; 1/4]内具有旋转数的凸焦散的$C^1$ -光滑叶状，则边界曲线是椭圆。在首次积分的语言中，可以断言{如果中心对称的$C^2$ -光滑凸曲线$γ$内的台球允许$\mathcal A$上具有非零梯度的$C^1$ -光滑第一积分，则曲线$γ$是椭圆。}证明的主要成分是：（1）在\cite{BM}，\cite{B}中发现的凸台球的非标准生成函数;（2）由$4$ -周期轨道组成的不变曲线的显着结构;和（3）在B 0，B1中开始的圆形台球刚性结果的积分几何方法。令人惊讶的是，我们建立了一个霍普夫型刚性的台球在椭圆。
A Funk perspective on billiards, projective geometry and Mahler volume
我们探讨连接提供的芬克度量，相对的希尔伯特度量，射影几何，台球，凸几何和仿射不等式之间。我们首先表明，许多度量不变量的Funk度量不变的射影变换以及投影对偶。其中包括凸子集的Holmes-Thompson体积和表面积，以及它们边界的长度谱，推广了Holmes-Thompson和Álvarez Paiva关于Schäffer对偶围长猜想的结果。我们探讨特别是放克台球，推广双曲台球以同样的方式，闵可夫斯基台球推广欧几里德的，并延长结果的Gutkin Tabachnikov的对偶闵可夫斯基台球。接下来我们考虑芬克几何中向外的球的体积。我们猜想了一个对应于体积极大化者的广义仿射不等式，它包括Blaschke-Santaló和中心仿射等周不等式作为极限情形，并对无条件体证明了它，得到了无条件体Hilbert度量的体积熵猜想的一个新证明.作为一个副产品，我们得到了推广的高阶矩的球和黄李不等式，这反过来加强了Blaschke-Santaló不等式的无条件机构。最后，我们引入了一个正则化的总体积的光滑严格凸2-维集配备Funk度量，类似于O 'Hara莫比乌斯能量的一个结，并表明它是一个射影不变量的凸体。
Bifurcations in the family of billiards associated with the curvature flow
本文研究曲率流形变下凸曲线台球族的分岔现象，刻画了周期二轨道与法向周期轨道的分岔，并证明曲率流可破坏椭圆的非凸焦散线。
Entropy of polyhedral billiard
本文考虑$\mathbb{R}^3$的凸多面体上的台球映射，证明了它的拓扑熵为零。
The billiard inside an ellipse deformed by the curvature flow
本文研究椭圆内台球动力学在曲率流变形下从可积变为混沌的过程，证明曲率流会破坏可积性、增加拓扑熵、横截分裂分界线并破坏所有共振凸焦散线。
On polynomially integrable planar outer billiards and curves with symmetry property
证明了所有多项式可积的平面外凸台球都是椭圆的。
Estimates of Hausdorff dimension for non-wandering sets of higher dimensional open billiards
本文研究了一类由有限个严格凸的非食障碍物$K$组成的开放台球。台球映射的非徘徊集$M_0$是一个拓扑康托尔集并且它的豪斯多夫维数先前已经使用公知的技术对$\mathbb{R}^2$中的台球进行了估计。我们将这些估计扩展到$\mathbb{R}^n$中的台球，并对估计进行了各种改进。这些改进还允许改进其他结果。我们还表明，在许多情况下，非徘徊集被限制到一个特定的子集的$\mathbb{R}^n$形成的凸包的点确定的周期2轨道。这允许在估计豪斯多夫维数中使用的常数的更精确的界限。
Unbounded orbits in $C^1$-generic centrally symmetric strictly convex outer billiards
本文证明在$C^1$-generic中心对称严格凸外弹子球中，存在无界轨道，肯定回答了Moser和Neumann的著名问题，关键利用刚性定理和Mather扩散机制。
On continuous billiard and quasigeodesic flows characterizing alcoves and isosceles tetrahedra
我们将仿射反射群的基本区刻画为支持连续台球动力学的多面体凸体。我们解释这种表征在更广泛的背景下，亚历山德罗夫几何和等腰四面体的连续准短程线流证明了类似的表征。此外，我们还证明了凸体的一个最优正则性结果：如果边界是$\mathcal{C}^{2,1}$类，则台球动力学是连续的。特别地，在这种情况下，台球轨迹收敛于边界上的测地线。我们的证明，后者的连续性声明是基于亚历山德罗夫几何方法，我们分别讨论。先建立。
Totally integrable symplectic billiards are ellipses
本文证明了完全可积且严格凸的辛弹道板，其边界处处具有严格正曲率，必为椭圆。证明方法借鉴了Bialy对Birkhoff弹道板的类似结果，利用了辛弹道映射的仿射等价性。
Outer Billiards with Contraction: Regular Polygons
我们研究了在正多边形外具有收缩的外台球。对于正则的具有$n = 3, 4, 5, 6, 8$和$12$的$n$ -图，我们证明了当收缩率接近$1$时，系统的动力学在一定意义上收敛于通常的外台球图的动力学。这些正是$n \geq 3$和$[\mathbb{Q}(e^{2πi/n}):\mathbb{Q}] \leq 2$的值。然后，我们讨论如何收敛可能失败的情况下，$n=7$。
Asymptotic periodicity in outer billiards with contraction
我们证明了对于几乎每一个$(P,λ)$，其中$P$是凸多边形，并且$λ\in(0,1)$，相应的关于$P$且收缩为$λ$的外台球是渐近周期的，即，有有限个周期轨道，每个轨道都被其中一个吸引。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。