Fractional DP-colorings of $d$-degenerate locally sparse graphs
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文将分数DP染色的上界从二部图推广到d-退化无三角形图，通过局部稀疏排序得到一般性上界，并构造例子证明其渐近最优，同时改进了若干图类的分数DP色数界。
2026-09-14 math.CO
Rich-neighbor 5-edge-colorings of subcubic graphs whose 3-vertices induce a matching
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本文针对3-顶点诱导匹配的次立方图，证明了Petruševski与Škrekovski提出的富邻居5-边着色猜想，扩展了无相邻3-顶点次立方图的相关结果。
2026-10-16 math.CO
Equitable tree-$O(d)$-coloring of $d$-degenerate graphs
图的均匀树- $k$ -着色是指图的$k$颜色上的顶点着色，使得每个颜色类都包含一个森林，并且任意两个颜色类的大小最多相差1。这种着色最早于2013年提出，可以用于在考虑安全性的情况下将通信网络的结构分解问题公式化。在2015年，Esperet，Lemoine和Maffray证明了每个$d$ -退化图允许每个$k\geq 3^{d-1}$的公平树- $k$ -染色。受此结果的启发，我们试图将它们的指数界降低到线性界。精确地说，我们证明了每个$d$ -退化图$G$对每个$k\geq αd$都有一个公平树- $k$ -着色，只要$|G|\geq βΔ(G)$，其中$(α,β)\in \{(8,56), (9,26), (10,18), (11,15), (12,13), (13,12), (14,11), (15,10), (17,9), (20,8), (27,7), (52,6)\}$ .
2019-08-14 cs.DM math.CO
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
2018-09-15 math.CO
On the complexity of graph coloring with additional local conditions
设$G = (V,E)$是有限单图.回想一下，$G$的正确着色是一个映射$φ: V\to\{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类都导出一个独立集。如果任何两个连续颜色类的并集诱导匹配，则这样的$φ$称为半匹配着色。我们证明了半匹配着色问题对于任何固定的$k\geqslant 3$都是NP完全的，并且对于这个问题的另一个版本，我们得到了相同的结果，其中G的任何三角形都需要有颜色至少相差三个的顶点。
2017-12-08 math.CO
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
2026-08-13 math.CO
The $r$-coloring and maximum stable set problem in hypergraphs with bounded matching number and edge size
受图中类似问题的启发，我们研究了具有禁止子结构和有界边的超图的着色和独立集问题的复杂性。设$ν(G)$表示$H$中匹配的最大尺寸，我们得到了以下问题复杂性的完全二分法：$r$ -边尺寸至多为$k$和$ν(G) \leq s$的超图$G$的着色，$r$ -$k$中的预着色扩展-$G$和$ν(G) \leq s$的一致超图$G$; $r$ -边长至多为$k$和$ν(G) \leq s$的超图$G$的预着色扩充; $k$ -具有$ν(G) \leq s$的一致超图$G$的最大独立集; $k$ -具有$ν(G) \leq s$的一致超图的最大权独立集;以及$k$ -一致超图$ν(G) \leq s$中$r$ -着色的部分结果。然后，我们把我们的注意力转移到PDMATHAMT-着色的3-一致超图与禁止诱导子超图，并给出了一个多项式时间的算法时，限制输入的超图不包括一个固定的单边超图。最后，我们考虑线性3-一致超图（其中每两条边最多共享一个顶点），并证明了在$G$中排除一个诱导匹配意味着$ν(G)$有界于一个常数;以及具有$ν(G) \leq 532$的$3$ -着色线性$3$ -一致超图$G$是NP-困难的。
2023-02-02 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
2018-09-20 math.CO
Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
Single-conflict colorings of degenerate graphs
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
退化图的单冲突着色问题通过证明在特定条件下，使用$O(\sqrt{d} \log n)$种颜色即可避免所有禁止颜色对。
2025-01-29 cs.DM math.CO
Injective edge colorings of degenerate graphs and the oriented chromatic number
本文研究退化图的内射色指数，给出d-退化图的上界O(d^3 log Δ)，并证明有向色数不超过内射色指数的指数函数，从而改进曲面图的有向色数上界至O(g^6400)，解决了一个猜想。
2023-08-29 math.CO
Non-degenerate colorings in the Brook's Theorem
令$c\geq 2$和$p\geq c$是两个整数。如果对度至少为$p$的$G$的任一顶点，至少有$c$与之相邻的不同颜色的顶点，则称图$G$的一个真染色为\textit{$(c,p)$-nondegenerate}.设$D\geq 3$和$G$是一个在$D+1$顶点上不存在团的图，且该图中任一顶点的度不大于$D$ .则对每一个整数$c\geq 2$，都存在$G$的一个真$(c,p)$ -非退化顶点$D$ -染色，其中$p=(c^3+8c^2+19c+6)(c+1).$在初步证明中，得到了一些有趣的推论.
2008-12-01 cs.DM math.CO
The threshold for the full perfect matching color profile in a random coloring of random graphs
考虑一个图$G$，它的边集$E(G)$从一个集$Q = \set{c_1,c_2, \ldots, c_q}$着色.令$Q_i$是用$c_i$着色的所有边的集合。最近，Frieze定义了由$\mcp(G)$表示的完美匹配颜色轮廓的概念，其是向量$(m_1, m_2, \ldots, m_q) \in [n]^q$的集合，使得对于所有$i$，在$G$中存在与$|Q_i \cap M| = m_i$完美匹配的$M$。设$\a_1, \a_2, \ldots, \a_q$为正常数，使得$\sum_{i=1}^q \a_i = 1$。设$G$是随机二部图$G_{n,n,p}$。假设$G$的边以概率$α_i$用颜色$c_i$独立着色。我们确定事件$\mcp(G) = \set{(m_1, \ldots, m_q) \in [0,n]^q : m_1 + \cdots + m_q = n}$的阈值，回答Frieze提出的一个问题。我们进一步扩展我们的方法，找到一个随机着色的随机图$G_{n,p}$的同一事件的阈值。
2020-12-04 math.CO
Variable degeneracy of graphs with restricted structures
Bernshteyn和Lee定义了一个新的概念，弱简并，它比普通简并稍弱。证明了严格$f$ -退化断面是列表染色、$L$ -森林染色和DP-染色的共同推广.在本文中，我们考虑三类图，包括图2中没有任何配置的可平面图，图5中没有任何配置的环形图，以及没有相交$5$ -圈的可平面图。我们给出了每类图的结构结果，证明了每类图的结构对于弱$3$ -退化是可约的，并且证明了严格$f$ -退化断面的存在性。作为推论，这三类图都是弱$3$ -退化的，并且具有严格的$f$ -退化断面.则这三类图的DP-paint数最多为4，列表点荫度最多为2。这大大改进了[2-4，11-13，16-18，22，25，32，34]中的所有结果。此外，第一类和第三类图的Alon-Tarsi数最多为4。
2022-07-02 math.CO
Restricted online Ramsey numbers of matchings and trees
考虑一个两人游戏，玩家之间的建设者和画家。Painter通过选择$K_n$边缘的颜色开始游戏，该颜色对Builder隐藏。在每一轮中，Builder指向一条边，Painter显示其颜色。Builder的目标是通过显示尽可能少的边的颜色来定位Painter着色中的特定单色结构。建造者赢得这场比赛所需的最少回合数被称为限制在线拉姆齐数。在本文中，我们考虑的情况下，这个“特定的单色结构”是一个大的匹配或一棵大树。我们表明，在任何$t$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色匹配上至少${n-t+1\over t+1}$边缘揭示最多$O(n\log t)$边缘。我们还表明，在任何$3$着色的$E(K_n)$，Builder可以找到一个单色树上的至少$n/2$顶点，揭示了最多$5n$边缘。
2020-08-19 math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
List coloring $C_3$-free planar graphs with a sparse matching of restricted lists
University of Colorado Denver（丹佛大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）；University of Nebraska-Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）；Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文针对不含三角形的平面图，证明了当接收3元列表的顶点集诱导稀疏匹配时，Hu和Zhu提出的列表着色猜想成立，为该猜想提供了新的关键佐证。
2026-09-02 math.CO
Coloring small locally sparse degenerate graphs and related problems
EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
研究证明了无三角形d-退化图色数为d+1的最小阶f(d)的上下界，并探讨了图着色问题中的新结果和开放问题。
2026-01-21 math.CO
Weak degeneracy of planar graphs and locally planar graphs
弱简并态是简并态的一种变体，它具有简并态的许多优良性质。特别地，如果图$G$是弱$d$ -退化的，则对于$G$的任何$(d + 1)$ -列表分配$L$，可以通过修改的贪婪着色算法构造$G$的$L$ -着色.已知围长为5的可平面图是3-可选图，局部可平面图是5-可选图.本文加强了这些结果，证明了围长为5的可平面图是弱2-退化的，局部可平面图是弱4-退化的.
2023-03-14 math.CO
Strong edge-colorings of sparse graphs with large maximum degree
图$G$的{ \em强$k$ -边着色}是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得每两个相邻边或与同一条边相邻的两个边接收不同的颜色。图$G$的{ \em强色指数} $χ_s'(G)$是使得$G$允许强$k$ -边染色的最小整数。我们给出了图$G$的最大度$Δ(G)$对$χ_s'(G)$的界。当$G$稀疏时，即当$G$是$2$ -退化时或者当最大平均度${\rm Mad}(G)$小时。证明了每个$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$5Δ(G) +1$ .此外，我们表明，对于图$G$，如果${\rm Mad}(G)< 8/3$和$Δ(G)\geq 9$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G) -3$（绑定$3Δ(G) -3$是尖锐的），如果${\rm Mad}(G)<3$和$Δ(G)\geq 7$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G)$（限制${\rm Mad}(G)<3$是尖锐的）。
2018-01-22 math.CO
Circular $(4-ε)$-coloring of some classes of signed graphs
符号图$(G, σ)$的圆形$r$着色是圆周$r$的圆形$C_r$的点到$(G, σ)$的顶点的分配$ϕ$，使得对于$(G, σ)$的每个正边缘$uv$，$ϕ(v)$和$ϕ(v)$的距离至少为1，并且对于每个负边缘$uv$，$ϕ(u)$到$ϕ(v)$的对极的距离至少为1。$(G, σ)$的圆色数记为$χ_c(G, σ)$，是$r$的下确界，使得$(G, σ)$容许圆$r$ -着色。这一概念是最近定义的Naserasr，王，朱谁，除其他结果，证明了任何签署$d$退化简单图$\hat{G}$，我们有$χ_c(\hat{G})\leq 2d$。对于$d\geq 3$，给出了圆色数$2d$的符号$d$ -退化简单图的例子.但对于$d=2$，只给出了圆色数足够接近$4$的符号2-退化简单图的例子，注意这些例子也是符号二部平面图。在这项工作中，我们首先观察到以下重申的4-色定理：如果$(G,σ)$是一个有符号的二部平面简单图，其中一部分的顶点都是2度，那么$χ_c(G,σ)\leq \frac{16}{5}$。基于这一发现，我们给出了符号2-退化简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{2}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}$上界和符号二部平面简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{4}{\lfloor \frac{n+2}…
2021-07-26 math.CO
Adjacent vertex distinguishing total coloring of 3-degenerate graphs
本文验证了AVD全染色猜想对3-退化图成立，即每个3-退化图存在使用至多最大度加3种颜色的邻点可区分全染色。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Weak degeneracy of planar graphs without 4- and 6-cycles
一个图是$k$ -退化的，如果每个子图$H$都有一个顶点$v$，其顶点为$d_{H}(v) \leq k$ .退化图类在图着色理论中占有重要地位。证明了每个$k$ -退化图都是$(k + 1)$ -可选的和$(k + 1)$ -DP-可着色的. Bernshteyn和Lee定义了$k$ -退化图的一个推广，称为\emph{weakly $k$-degenerate} .弱退化度加1是许多图着色参数的上界，如选择数、DP-色数和DP-着色数。本文给出了不含$4$ -圈和$6$ -圈的平面图是弱$2$ -退化图的两个充分条件，这意味着任何这样的图都是$3$-DP-可着色的和近二部图，其中如果图的顶点集可以划分为独立集和无圈集，则图是近二部图.
2023-03-23 math.CO
2-Colored Matchings in a 3-Colored K^{3}_{12}
设$K_{n}^{r}$表示顶点为$n$的完全$r$ -一致超图.超图中的匹配$M$是成对顶点不相交的边的集合。最近的拉姆齐型结果依赖于关于单色匹配的大小的引理。本研究的出发点来自Alon、Frankl和Lovász（1986）的一个著名结果。我们的动机是找到最小的$n$，使得$K_{n}^{r}$的每个$t$ -着色都包含大小为$k$的$s$ -着色匹配.已经证实，在$K_n^r$的边缘的每一个着色中，如果$n \geq kr + \lfloor \frac{k-1}{r+1} \rfloor$具有3种颜色，则存在大小至少为$k$的2种颜色匹配。最小测试用例为$r=3$和$k=4$。我们证明了在$K_{12}^3$的边的每一个3-着色中，存在一个尺寸为4的2-色匹配。
2012-09-13 math.CO
The List Edge-Coloring Conjecture for New Infinite Families
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文证明了两类全新无限族完全图的列表边着色猜想，通过互补模方法控制1-因子分解的Pfaffian符号，建立行列式-Pfaffian桥梁并发展带符号Burnside-Fourier方法，同时揭示了该方法在高层论证中的赋值障碍。
2026-09-17 math.CO
Edge-Locating Coloring of Graphs
本文首次提出图的边定位着色与边定位色数概念，确定了多类图的色数精确值与界，建立了相关参数关系，并证明边定位着色是边可区别着色。
2023-10-09 math.CO
Total Coloring and Total Matching: Polyhedra and Facets
图的全染色$G = (V, E)$是指给顶点和边分配颜色，使得两个相邻的顶点和两个关联的边都不具有相同的颜色，并且对于每条边，端点和边本身具有不同的颜色。任何有效的全染色都将$G$的元素划分为全匹配，全匹配被定义为可以采用相同颜色的顶点和边的子集。本文提出了全染色和全匹配问题的双线性规划模型，并研究了相应的线性规划松弛的强度。全染色问题的公式化的问题，找到最小数量的全匹配，覆盖所有的图元素。这个覆盖公式可以通过列生成算法来求解，其中定价子问题对应于加权总匹配问题。因此，我们研究全匹配多面体。我们引入了三类非平凡有效不等式：基于稳定集多面体的标准团不等式的顶点团不等式，基于由圈诱导的顶点集奇偶性的全等$2k3$圈不等式，以及由偶数阶完全子图诱导的偶数团不等式.证明了同余$2k3$循环不等式只有当$k = 4$满足时才是面定义的，而顶点团和偶团总是面定义的.最后，我们提出了一个列生成算法的全着色问题和全匹配问题的切割平面算法的初步计算结果。
2022-02-02 cs.DM math.CO math.OC
Strong edge coloring of subcubic bipartite graphs
图$G$的强边染色是每一个色类都是$G$的导出匹配的真边染色. 1993年Brualdi和Quinn Massey提出了一个猜想，即不含$4$ -圈且两个部集$2$和$Δ$的度最大的二部图存在至多$Δ+2$色的强边染色.我们证明了这个猜想对具有$Δ=3$的图成立。我们还证实了Faudree等人提出的关于次立方二部图的猜想。
2013-12-06 math.CO
Symmetric colorings of polypolyhedra
多面体（后R. Lang）是边传递的1-β的化合物。有54个拓扑上不同的多面体，每个都有二十面体，立方八面体或四面体对称，所有这些都可以实现为每个骨架边缘一个模块的模块化折纸模型。考虑一个着色，其中给定组件的每条边接收不同的颜色，并且着色（直到全局颜色置换）在多面体的对称群下是不变的。在五个相交的四面体上，每种颜色的边缘在模型上形成视觉带，并对应于十二面体图上的匹配。我们统计了这类着色的数目，并给出了三个证明。对于每一个非多边形分量的多面体，都有一个对应的匹配着色，我们计算这些匹配着色的数量。对于某些非多边形分量的多面体，存在相应的视带着色，并统计了这些视带着色的个数。
2015-12-01 math.CO math.MG
Uniquely restricted matchings and edge colorings
如果没有其他匹配覆盖完全相同的顶点集，则图中的匹配是唯一受限的。这个概念是由Golumbic，赫斯特和Lewenstein定义的，并在许多文章中进行了研究。我们的贡献是双重的。本文给出了计算某些二部图的最大尺寸唯一限制匹配的近似算法。特别是，我们实现了$9/5$的比率为亚立方二部图，改进了Mishra提出的$2$近似算法。此外，我们还研究了图的唯一限制色指数，定义为图的边集可划分的唯一限制匹配的最小数目。我们提供了严格的上界的最大程度和特征的极值图。我们的建设性证明产生了有效的算法来确定相应的边缘着色。
2016-11-21 cs.DM cs.DS math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs
University College London (UCL)（伦敦大学学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
通过放宽颜色数量、正常着色条件和图类型，证明了在边着色图中存在大彩虹匹配的充分条件，并构造反例反驳了Aharoni和Berger的猜想。
2026-05-27 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
Orientation-based edge-colorings and linear arboricity of multigraphs
关于$f$ -着色的Goldberg-Seymour猜想指出无环重图的$f$ -色指数本质上由最大度或最大密度参数决定。我们引入了一个定向版本的$f$ -着色，现在每个颜色类的边着色被要求是定向在这样一种方式，每个顶点$v$有入度和出度在最多一些指定的值$g(v)$和$h(v)$。我们证明了相关的面向$(g,h)$的色指数满足Goldberg-Seymour公式。然后，我们提出了简单的应用程序，这一结果的变化$f$着色。特别是，我们发现，线性荫度猜想持有$k$退化无环多重图时，最大程度至少是$4k-2$，改善了界最近宣布陈，郝，于单图。最后，我们证明了面向$(g,h)$的色指数总是等于它的列表着色模拟。
2021-08-26 math.CO
Toric ideal of matching polytopes and edge colorings
Kwansei Gakuin University（关西学院大学）；Toho University（东邦大学）
本文研究了图匹配多面体托尔理想最小生成元的最大次数，证明了 bipartite 图的托尔理想由最大次数为3的二项式生成等价于 bipartite 多图边着色理论的结果，并给出了 bipartite 图托尔理想由二次二项式生成的特征化，最后讨论了一般图托尔理想最小生成元的最大次数并提出猜想。
2026-04-03 math.AC math.CO
Recoloring graphs of treewidth 2
一个图的两个（真）着色是相邻的，如果它们在一个顶点上不同。Jerrum证明了任意d-退化图的任意$(d + 2)$ -染色都可以通过相邻染色序列转化为任意其它的染色。Bonamy等人的结果确保了即使对于$d = 1$，最短变换也可以具有二次长度。Bousquet和Perarnau证明了$(2d + 2)$ -着色之间存在线性变换。这是开放的，以确定这个界限是否可以减少。本文证明了树宽为2的图是2-退化的，它可以约化。5-着色之间存在线性变换。它完成了树宽为2的图的图片，因为存在树宽为2的图，所以4-着色之间的线性变换不存在。
2020-12-21 cs.DM math.CO
Fast Recoloring of Sparse Graphs
在本文中，我们证明了，对于每一个图的最大平均度有界远离$d$，任何$(d+1)$ -染色可以转化为任何其他一个内的一个多项式数量的顶点邻接，使在每一步，当前的着色是适当的。特别地，它意味着我们可以将可平面图的任何$8$ -染色变换为具有多项式个数的染色的任何其他$8$ -染色。这些结果证明了Cereceda，van den Heuvel和Johnson的一个猜想，即$d$ -退化图的任何$(d+2)$染色都可以用多项式个数的染色变换成其它任何染色.证明了$d$ -退化图的任何$(2d+2)$ -染色都可以用线性的染色数变换成其它的染色.
2014-11-25 cs.DM math.CO
On group choosability of total graphs
本文研究了全图的群染色和列表群染色，给出了全图和列表全图的两种群染色。我们对以下几类图建立了群版的全染色猜想：最大度小的图，二退化图，最大度至少为11的规划图，不含某些小圈的规划图，外平面图和近外平面图.此外，还对森林、外平面图和最大度不超过2的图建立了列表全染色猜想的群版本。
2011-05-25 math.CO
Semistrong edge colorings of planar graphs
本文研究了给定最大度$Δ$的平面图的最大半强色指数，证明了最大平均度小于特定值时色指数的上界，并在Lužar等人的猜想上取得进展，同时提供了下界示例。
2025-09-13 math.CO
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
2019-10-09 math.CO
Circular Backbone Colorings: on matching and tree backbones of planar graphs
给定一个图$G$和$G$的一个生成子图$H$，$(G,H)$的一个循环$q$ -主干$k$-染色是$G$的一个真$k$ -染色$c$，使得对于每条边$uv\in E(H)$，都有$q\le \lvert c(u)-c(v)\rvert \le k-q$. $(G,H)$的循环$q$ -主干色数，记为$CBC_q(G,H)$，是存在$(G,H)$的循环$q$ -主干$k$ -染色的最小整数$k$.四色定理意味着只要$G$是平面的，我们就有$CBC_2(G,H)\le 8$。证明了当$H$是树时，该上界可以改进为7，当$H$是匹配时，该上界可以改进为6。本文证明了：1）若$G$是平面图且没有$C_4$作为子图，且$H$是$G$的线性生成森林，则有$CBC_2(G,H)\leq 7$ ; 2）若$G$是平面图且没有两个3-面共享一条边，且$H$是$G$的匹配，则有$CBC_2(G,H)\leq 6$ ; 3）若$G$是平面的，且没有$C_4$和$C_5$作为子图，且$H$是$G$的一个匹配，则有$CBC_2(G,H)\leq 5$ .这些结果部分回答了Broersma，Fujisawa和Yoshimoto（2003）以及Broersma，Fomin和Golovach（2007）提出的问题。这也为斯坦伯格猜想提供了一个肯定的答案。
2016-04-20 cs.DM math.CO
A $(5,5)$-coloring of $K_n$ with few colors
对于固定整数$p$和$q$，令$f(n,p,q)$表示对完全图$K_n$的所有边着色所需的最小颜色数，使得没有$p$顶点的团跨越少于$q$的不同颜色。任何具有此性质的边着色都称为$(p,q)$着色。我们构造了一个显式的$(5,5)$ -着色，证明了$f(n,5,5) \leq n^{1/3 + o(1)}$是$n \rightarrow \infty$ .这改进了Erdens和Gyárfás给出的$O\left(n^{1/2}\right)$的最佳概率上限，并且接近于匹配最佳已知下限$Ω\left(n^{1/3}\right)$。
2017-02-21 math.CO
Ramsey theory constructions from hypergraph matchings
利用无冲突超图匹配的结果，给出了广义拉姆齐理论中的渐近最优结构.例如，我们提出了一个边着色的$K_{n,n}$与$2n/3 + o(n)$颜色，使得每个$4$ -循环接收至少三个颜色在其边缘。这回答了Axenovich、Füredi和第二作者的一个问题（关于广义拉姆齐理论：二分情况，J. Combin。Theory Ser B 79（2000），66- 86）。我们还展示了一个边缘着色的$K_n$与$5n/6+o(n)$颜色，分配每个副本的$K_4$至少五种颜色。这给出了一个替代的非常简短的解决方案，以解决一个古老的问题Erdés和Gyárfás，最近回答了贝内特，库什曼，杜德克，和Pralat通过分析一个彩色修改的三角形删除过程。
2022-08-26 math.CO
Two-coloring triples such that in each color class every element is missed at least once
我们给出元素三元组的有限集的特征（例如，正整数），其可以用两种颜色着色，使得对于每个颜色类中的每个元素$i$，存在不包含$i$的三元组。我们给出了一个线性（在三元组的数量）时间算法，以确定是否存在这样的着色，并找到一个，如果它。我们还考虑推广这一结果和应用程序的匹配问题，这促使这项研究。最后，我们展示了这些结果如何转化为着色的超图，其中每个顶点的度是$k$小于的超边的数量的结果。
2020-08-20 math.CO
Upper Bounds on the Acyclic Chromatic Index of Degenerate Graphs
本研究针对退化图的无环色指数上界问题，证明3-退化图的无环色指数不超过Δ+5，推进了Fiamčík猜想的相关研究，并给出k≥4时k-退化图的无环色指数上界。
2023-05-03 cs.DM math.CO
Strong chromatic index of k-degenerate graphs
图$G$的{ \em强边染色}是每一个色类都是诱导匹配的真边染色.图$G$的{ \em强色指数} $\chiup_{s}'(G)$是图$G$的强边染色的最小颜色数.本文改进了D{ \k e}bski \etal [Strong chromatic index of sparse graphs，arXiv：1301.1992v1]的一个结果，证明了$k$ -退化图$G$的强色指数至多为$(4k-2) \cdot Δ(G) - 2k^{2} + 1$ .作为直接结果，$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$6Δ(G) - 7$，这改进了Chang和Narayanan的上界$10Δ(G) - 10$ [Strong chromatic index of 2-degenerate graphs，J. Graph Theory 73（2013）（2）119- 126]。对于$2$ -退化图的一个特殊子类，我们得到了一个较好的上界，即如果$G$是一个图，使得它的所有$3^{+}$ -顶点诱导一个森林，则$\chiup_{s}'(G) \leq 4 Δ(G) -3$ ;作为推论，每个极小$2$ -连通图$G$至多有$4 Δ(G) - 3$强色指数.而且，本文中的所有结果在某种意义上都是最佳可能的。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
2017-04-14 math.CO
Proper Z4 x Z2-colorings: structural characterization with application to some snarks
本文刻画了三次图的正常 Z4 x Z2-着色等价于其 2-因子中存在特定匹配，并给出修改匹配的充分条件，应用于置换 snarks，为验证例外群着色猜想提供新途径。
2024-02-08 math.CO
Revisiting Semistrong Edge-Coloring of Graphs
本文延续半强边着色的相关研究，给出了一般图和最大度为3的图的半强边着色紧上界，还借助其他领域相关结果推导得到新的界值，并提出了若干开放问题。
2022-08-28 cs.DM math.CO
Strong edge coloring of graphs with maximum degree $6$
Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文证明最大度不超过6的图的强色指数至多为57，改进了已知上界60。
2026-09-29 math.CO
Minimal colorings for properly colored subgraphs in complete graphs
令$pr(K_{n}, G)$为在没有$G$的正确着色副本的情况下$K_{n}$的边着色中的最大颜色数。在本文中，我们表明，$pr(K_{n}, G)-ex(n, \mathcal{G'})=o(n^{2}), $其中$\mathcal{G'}=\{G-M: M \text{ is a matching of }G\}$。此外，我们确定了$l\ge 27$和$n\ge 2l^{3}$的$pr(K_{n}, P_{l})$值以及$pr(K_{n}, G)$的精确值，其中$G$分别为$C_{5}, C_{6}$和$K_{4}^{-}$。并给出了$pr(K_{n}, K_{2,3})$的上界和下界.
2019-11-11 math.CO
Avoiding and extending partial edge colorings of hypercubes
考虑超立方体的部分边着色的推广和避免问题，即给定$d$维超立方体$Q_d$的部分边着色$φ$，我们关心的是是否存在$Q_d$的正确$d$ -边着色，它与在$φ$下着色的每条边的着色$φ$一致;或者，类似地，如果在$φ$下着色的每个边上存在与$φ$不一致的适当的$d$ -边着色。特别地，我们证明了对任何$d\geq 1$，如果$φ$是$Q_d$的部分$d$ -边染色，则$φ$是可避免的，如果每种颜色都出现在至多$d/8$边上，并且该染色满足一个相对温和的结构条件，或者$φ$是适当的，并且每种颜色都出现在至多$d-2$边上.我们还证明了如果$d$可被$3$整除且$φ$的每一个颜色类都是诱导匹配，则同样的结论也成立。此外，对于所有的$1 \leq k \leq d$，我们的特征在于，其中配置组成的部分着色$φ$的$d-k$边缘和部分着色$ψ$的$k$边缘，有一个扩展的$φ$，避免了$ψ$。
2021-04-01 math.CO
Cover and variable degeneracy
设$f$是图的顶点集上的非负整数值函数。一个图是\textbf{strictly $f$-degenerate}，如果每个非空子图$Γ$有一个顶点$v$，使得$\mathrm{deg}_Γ(v) < f(v)$。本文定义了严格$f$ -退化断面的概念，它推广了列表染色、符号染色、DP-染色、$L$ -森林染色和$(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{s})$ -划分.图$G$的\textbf{cover}是具有顶点集$V(H) = \bigcup_{v \in V(G)} X_{v}$的图$H$，其中$X_{v} = \{(v, 1), (v, 2), \dots, (v, s)\}$ ;边集$\mathscr{M} = \bigcup_{uv \in E(G)}\mathscr{M}_{uv}$，其中$\mathscr{M}_{uv}$是$X_{u}$和$X_{v}$之间的匹配。顶点集$R \subseteq V(H)$是$H$的一个\textbf{transversal}，如果每个$v \in V(G)$有$|R \cap X_{v}| = 1$。如果$H[R]$是严格$f$ -简并的，则横截$R$是\textbf{strictly $f$-degenerate transversal}。本文的主要结果是一个度型结果，它推广了Brooks定理、Gallai定理、度可…
2021-12-27 cs.DM math.CO
