Equitable tree-$O(d)$-coloring of $d$-degenerate graphs
图的均匀树- $k$ -着色是指图的$k$颜色上的顶点着色，使得每个颜色类都包含一个森林，并且任意两个颜色类的大小最多相差1。这种着色最早于2013年提出，可以用于在考虑安全性的情况下将通信网络的结构分解问题公式化。在2015年，Esperet，Lemoine和Maffray证明了每个$d$ -退化图允许每个$k\geq 3^{d-1}$的公平树- $k$ -染色。受此结果的启发，我们试图将它们的指数界降低到线性界。精确地说，我们证明了每个$d$ -退化图$G$对每个$k\geq αd$都有一个公平树- $k$ -着色，只要$|G|\geq βΔ(G)$，其中$(α,β)\in \{(8,56), (9,26), (10,18), (11,15), (12,13), (13,12), (14,11), (15,10), (17,9), (20,8), (27,7), (52,6)\}$ .
2019-08-14 cs.DM math.CO
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
2018-09-15 math.CO
Kempe changes in degenerate graphs
我们考虑图的$n$顶点上的$k$ -染色的Kempe变换.如果图是$(k-1)$ -退化的，则它的所有$k$ -着色直到Kempe变化都是等价的。然而，从证明中产生的两个$k$着色之间的序列在顶点数上可以是指数的。一个有趣的开放性问题是它是否可以变成多项式。我们证明了这是可能的，在更强的假设下，图的树宽最多$k-1$。也就是说，任何两个$k$ -着色等价于$O(kn^2)$ Kempe变化。我们调查其他限制（列表着色，有界最大平均度，度界）。作为主要结果，我们得到了：给定一个具有最大度$Δ$的$n$ -顶点图，除非$Δ= 3$和某个连通分支是一个3-棱柱，否则$Δ$ -着色直到$O(n^2)$ Kempe变换都是等价的.
2021-12-04 cs.DM math.CO
Single-conflict colorings of degenerate graphs
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
退化图的单冲突着色问题通过证明在特定条件下，使用$O(\sqrt{d} \log n)$种颜色即可避免所有禁止颜色对。
2025-01-29 cs.DM math.CO
Injective edge colorings of degenerate graphs and the oriented chromatic number
本文研究退化图的内射色指数，给出d-退化图的上界O(d^3 log Δ)，并证明有向色数不超过内射色指数的指数函数，从而改进曲面图的有向色数上界至O(g^6400)，解决了一个猜想。
2023-08-29 math.CO
Non-degenerate colorings in the Brook's Theorem
令$c\geq 2$和$p\geq c$是两个整数。如果对度至少为$p$的$G$的任一顶点，至少有$c$与之相邻的不同颜色的顶点，则称图$G$的一个真染色为\textit{$(c,p)$-nondegenerate}.设$D\geq 3$和$G$是一个在$D+1$顶点上不存在团的图，且该图中任一顶点的度不大于$D$ .则对每一个整数$c\geq 2$，都存在$G$的一个真$(c,p)$ -非退化顶点$D$ -染色，其中$p=(c^3+8c^2+19c+6)(c+1).$在初步证明中，得到了一些有趣的推论.
2008-12-01 cs.DM math.CO
Variable degeneracy of graphs with restricted structures
Bernshteyn和Lee定义了一个新的概念，弱简并，它比普通简并稍弱。证明了严格$f$ -退化断面是列表染色、$L$ -森林染色和DP-染色的共同推广.在本文中，我们考虑三类图，包括图2中没有任何配置的可平面图，图5中没有任何配置的环形图，以及没有相交$5$ -圈的可平面图。我们给出了每类图的结构结果，证明了每类图的结构对于弱$3$ -退化是可约的，并且证明了严格$f$ -退化断面的存在性。作为推论，这三类图都是弱$3$ -退化的，并且具有严格的$f$ -退化断面.则这三类图的DP-paint数最多为4，列表点荫度最多为2。这大大改进了[2-4，11-13，16-18，22，25，32，34]中的所有结果。此外，第一类和第三类图的Alon-Tarsi数最多为4。
2022-07-02 math.CO
Coloring small locally sparse degenerate graphs and related problems
EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
研究证明了无三角形d-退化图色数为d+1的最小阶f(d)的上下界，并探讨了图着色问题中的新结果和开放问题。
2026-01-21 math.CO
Weak degeneracy of planar graphs and locally planar graphs
弱简并态是简并态的一种变体，它具有简并态的许多优良性质。特别地，如果图$G$是弱$d$ -退化的，则对于$G$的任何$(d + 1)$ -列表分配$L$，可以通过修改的贪婪着色算法构造$G$的$L$ -着色.已知围长为5的可平面图是3-可选图，局部可平面图是5-可选图.本文加强了这些结果，证明了围长为5的可平面图是弱2-退化的，局部可平面图是弱4-退化的.
2023-03-14 math.CO
Strong edge-colorings of sparse graphs with large maximum degree
图$G$的{ \em强$k$ -边着色}是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得每两个相邻边或与同一条边相邻的两个边接收不同的颜色。图$G$的{ \em强色指数} $χ_s'(G)$是使得$G$允许强$k$ -边染色的最小整数。我们给出了图$G$的最大度$Δ(G)$对$χ_s'(G)$的界。当$G$稀疏时，即当$G$是$2$ -退化时或者当最大平均度${\rm Mad}(G)$小时。证明了每个$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$5Δ(G) +1$ .此外，我们表明，对于图$G$，如果${\rm Mad}(G)< 8/3$和$Δ(G)\geq 9$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G) -3$（绑定$3Δ(G) -3$是尖锐的），如果${\rm Mad}(G)<3$和$Δ(G)\geq 7$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G)$（限制${\rm Mad}(G)<3$是尖锐的）。
2018-01-22 math.CO
Circular $(4-ε)$-coloring of some classes of signed graphs
符号图$(G, σ)$的圆形$r$着色是圆周$r$的圆形$C_r$的点到$(G, σ)$的顶点的分配$ϕ$，使得对于$(G, σ)$的每个正边缘$uv$，$ϕ(v)$和$ϕ(v)$的距离至少为1，并且对于每个负边缘$uv$，$ϕ(u)$到$ϕ(v)$的对极的距离至少为1。$(G, σ)$的圆色数记为$χ_c(G, σ)$，是$r$的下确界，使得$(G, σ)$容许圆$r$ -着色。这一概念是最近定义的Naserasr，王，朱谁，除其他结果，证明了任何签署$d$退化简单图$\hat{G}$，我们有$χ_c(\hat{G})\leq 2d$。对于$d\geq 3$，给出了圆色数$2d$的符号$d$ -退化简单图的例子.但对于$d=2$，只给出了圆色数足够接近$4$的符号2-退化简单图的例子，注意这些例子也是符号二部平面图。在这项工作中，我们首先观察到以下重申的4-色定理：如果$(G,σ)$是一个有符号的二部平面简单图，其中一部分的顶点都是2度，那么$χ_c(G,σ)\leq \frac{16}{5}$。基于这一发现，我们给出了符号2-退化简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{2}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}$上界和符号二部平面简单图在$n$顶点上的圆色数的一个改进的$ 4-\dfrac{4}{\lfloor \frac{n+2}…
2021-07-26 math.CO
Adjacent vertex distinguishing total coloring of 3-degenerate graphs
本文验证了AVD全染色猜想对3-退化图成立，即每个3-退化图存在使用至多最大度加3种颜色的邻点可区分全染色。
2025-08-05 cs.DM math.CO
Weak degeneracy of planar graphs without 4- and 6-cycles
一个图是$k$ -退化的，如果每个子图$H$都有一个顶点$v$，其顶点为$d_{H}(v) \leq k$ .退化图类在图着色理论中占有重要地位。证明了每个$k$ -退化图都是$(k + 1)$ -可选的和$(k + 1)$ -DP-可着色的. Bernshteyn和Lee定义了$k$ -退化图的一个推广，称为\emph{weakly $k$-degenerate} .弱退化度加1是许多图着色参数的上界，如选择数、DP-色数和DP-着色数。本文给出了不含$4$ -圈和$6$ -圈的平面图是弱$2$ -退化图的两个充分条件，这意味着任何这样的图都是$3$-DP-可着色的和近二部图，其中如果图的顶点集可以划分为独立集和无圈集，则图是近二部图.
2023-03-23 math.CO
A variation on Heawood list-coloring for graphs on surfaces
我们证明了一个变化的Heawood列表着色的表面上的图形，仿照Mesquassen的平面5-列表着色定理。对于φ>0，将希伍德数定义为H（φ）=Floor（（7+Sqrt[24* φ +1]）/2）。本文证明了：除n =3外，嵌入到Euler亏格n>0的曲面上的每个图F都是列表着色的，当F的顶点有（H（n）-2）-列表，其它顶点都有H（n）-列表时，除非F的顶点上的诱导子图包含H（n）-1顶点上的完全图.
2013-05-20 math.CO
List-coloring graphs on surfaces with varying list-sizes
设$G$是一个嵌入在曲面$S_\varepsilon$上的图，其Euler亏格为$\varepsilon > 0$，$P\subseteq V(G)$是一组顶点，它们之间的距离至少为4.假设$G$的所有顶点都有$H(\varepsilon)$ -列表，并且$P$的顶点都是预着色的，其中$H(\varepsilon)=\Big\lfloor\frac{7 + \sqrt{24\varepsilon + 1}}{2}\Big\rfloor$是Heawood数。我们证明了$P$的着色扩展到$G$的列表着色，并且距离界为4是最佳可能的。我们的结果回答了Albertson关于将可平面图中一组相互远离的顶点的预着色扩展为图的5-列表着色的类似问题，并将Albertson和Hutchinson的结果推广到曲面上的列表着色扩展.
2013-01-01 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
Recoloring graphs of treewidth 2
一个图的两个（真）着色是相邻的，如果它们在一个顶点上不同。Jerrum证明了任意d-退化图的任意$(d + 2)$ -染色都可以通过相邻染色序列转化为任意其它的染色。Bonamy等人的结果确保了即使对于$d = 1$，最短变换也可以具有二次长度。Bousquet和Perarnau证明了$(2d + 2)$ -着色之间存在线性变换。这是开放的，以确定这个界限是否可以减少。本文证明了树宽为2的图是2-退化的，它可以约化。5-着色之间存在线性变换。它完成了树宽为2的图的图片，因为存在树宽为2的图，所以4-着色之间的线性变换不存在。
2020-12-21 cs.DM math.CO
Fast Recoloring of Sparse Graphs
在本文中，我们证明了，对于每一个图的最大平均度有界远离$d$，任何$(d+1)$ -染色可以转化为任何其他一个内的一个多项式数量的顶点邻接，使在每一步，当前的着色是适当的。特别地，它意味着我们可以将可平面图的任何$8$ -染色变换为具有多项式个数的染色的任何其他$8$ -染色。这些结果证明了Cereceda，van den Heuvel和Johnson的一个猜想，即$d$ -退化图的任何$(d+2)$染色都可以用多项式个数的染色变换成其它任何染色.证明了$d$ -退化图的任何$(2d+2)$ -染色都可以用线性的染色数变换成其它的染色.
2014-11-25 cs.DM math.CO
On group choosability of total graphs
本文研究了全图的群染色和列表群染色，给出了全图和列表全图的两种群染色。我们对以下几类图建立了群版的全染色猜想：最大度小的图，二退化图，最大度至少为11的规划图，不含某些小圈的规划图，外平面图和近外平面图.此外，还对森林、外平面图和最大度不超过2的图建立了列表全染色猜想的群版本。
2011-05-25 math.CO
Exponentially Many 4-List-Colorings of Triangle-Free Graphs on Surfaces
证明了平面图$G$在$n$顶点上至少有$2^{n/9}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的5-列表-赋值，至少有$2^{n/10000}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的3-列表-赋值，并且$G$的围长至少为5。Postle和Thomas证明了：如果$G$是一个图，它的$n$顶点嵌入在一个属$g$的曲面$Σ$上，则存在常数$ε,c_g > 0$使得如果$G$具有$L$着色，然后$G$有至少$c_g2^{εn}$不同的$L$ -着色如果$L$是$G$或如果$L$是$G$和$G$的3列表分配腰围至少有五更一般地，他们证明了存在常数$ε,α>0$，使得如果$G$是一个图，其$n$顶点嵌入在固定亏格$g$的表面$Σ$中，则$H$是$G$的真子图，并且$ϕ$是$H$的一个$L$ -着色，其扩展到$G$的一个$L$ -着色，则如果$L$是5-列表分配或者如果$L$是3-列表分配并且$G$具有至少5的围长，则$ϕ$扩展到$G$的至少$2^{ε(n - α(g + |V(H)|))}$不同的$L$着色。我们证明了同样的结果，如果$G$是三角自由和$L$是一个4-列表分配的$G$，其中$ε=\frac{1}{8}$，和$α= 130$。
2016-02-15 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
2019-04-16 math.CO
Five-List-Coloring Graphs on Surfaces: The Many Faces Far-Apart Generalization of Thomassen's Theorem
设$G$是一个平面图，$C$是其外表面的边界，$(L(v):v\in V(G))$是一个非空集族。所谓$G$的子图$J$的$L$ -染色，是指$J$的（真）染色$ϕ$，使得对于$J$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)\setminus \{v_1,v_2\}$，$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)\setminus V(C)$，那么$G$有$L$ -着色.作为我们关于$5$ -列表着色系列的最后一部分的最后一个应用，我们从我们所有的理论中推导出了一个意义深远的普适性定理，即普适性定理对任意多个这样的面的推广，只要这些面对于某个普适常数$D>0$来说是成对距离$D$。
2021-08-29 math.CO
Upper Bounds on the Acyclic Chromatic Index of Degenerate Graphs
本研究针对退化图的无环色指数上界问题，证明3-退化图的无环色指数不超过Δ+5，推进了Fiamčík猜想的相关研究，并给出k≥4时k-退化图的无环色指数上界。
2023-05-03 cs.DM math.CO
Strong chromatic index of k-degenerate graphs
图$G$的{ \em强边染色}是每一个色类都是诱导匹配的真边染色.图$G$的{ \em强色指数} $\chiup_{s}'(G)$是图$G$的强边染色的最小颜色数.本文改进了D{ \k e}bski \etal [Strong chromatic index of sparse graphs，arXiv：1301.1992v1]的一个结果，证明了$k$ -退化图$G$的强色指数至多为$(4k-2) \cdot Δ(G) - 2k^{2} + 1$ .作为直接结果，$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$6Δ(G) - 7$，这改进了Chang和Narayanan的上界$10Δ(G) - 10$ [Strong chromatic index of 2-degenerate graphs，J. Graph Theory 73（2013）（2）119- 126]。对于$2$ -退化图的一个特殊子类，我们得到了一个较好的上界，即如果$G$是一个图，使得它的所有$3^{+}$ -顶点诱导一个森林，则$\chiup_{s}'(G) \leq 4 Δ(G) -3$ ;作为推论，每个极小$2$ -连通图$G$至多有$4 Δ(G) - 3$强色指数.而且，本文中的所有结果在某种意义上都是最佳可能的。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
3 List Coloring Graphs of Girth at least Five on Surfaces
Grotzsch证明了每个无三角形的可平面图都是3-可着色的。Rassen证明了围长至少为5的可平面图是3-可选图。对于其它曲面，Kassen证明了在任意固定曲面中，围长至少为5的4-临界图只有200个。这意味着一个线性时间的算法，以确定3-着色的围长至少为5的任何固定的表面上的图。Dvorak，Kral和Thomas通过证明围长至少为5的4-临界图的顶点数在其亏格中是线性的，加强了Dvorassen的结果。他们用这个结果证明了哈维尔猜想，即一个三角形两两相距足够远的可平面图是3-可着色的。关于列表染色，Dvorak证明了一个可平面图，如果它的圈数不超过4，则它是3-可选的。本文推广了这些结果。首先，我们证明了围长至少为5的3-列表着色图的线性等周界。许多新的结果，然后遵循理论的双曲族的图开发的波斯特尔和托马斯。特别地，在任意固定曲面上，围长至少为5的4-链表-临界图只有1000个，而且4-链表-临界图的顶点数在其亏格中是线性的.这提供了上述结果的独立证明，同时将Dvorak的结果推广到具有大边宽度的曲面上的图，并产生类似的结果，表明周长至少为5且交叉点成对相距很远的图是3-choosable的。最后，我们推广到曲面上，证明了围长至少为5的可平面图有指数级多个不同的3-列表染色。具体地说，我们证明了每个围长至少为5且具有3-列表着色的图都具有$2^{Ω(n)-O(g)}$不同的3-…
2017-10-18 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces IV. Bounding face sizes of 4-critical graphs
设G是一个含t个三角形的4-临界图，嵌入亏格g的曲面中.设c是G中不限制2-胞腔面的4-圈数。证明了G的（>=5）-面的长度之和至多在g+t+c-1中是线性的.
2020-08-04 math.CO
Five-list-coloring graphs on surfaces III. One list of size one and one list of size two
设$G$是一个具有外圈$C$的平面图，$(L(v):v\in V(G))$是一族非空集. $G$的$L$ -着色是指$G$的一个（真）着色$ϕ$，使得对于$G$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了，如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)-\{v_1,v_2\}$和$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)-V(C)$，那么$G$有一个$L$ -着色。当$v_1$和$v_2$不相邻时会发生什么？然后$L$着色不需要存在，但在本系列的第一篇论文中，我们已经证明了它存在，如果$|L(v_1)|,|L(v_2)|\ge2$。在这里，我们刻画当$L$ -着色存在，如果$|L(v_1)|\ge1$和$|L(v_2)|\ge2$。这个结果是一个引理，沿着同样的路线，我们将使用它来证明极小非$L$ -可着色平面图与两个有界长度的预着色圈是有界的大小。后一个结果有许多我们在别处所追求的应用。
2016-08-19 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
2020-08-19 cs.DM math.CO
Cover and variable degeneracy
设$f$是图的顶点集上的非负整数值函数。一个图是\textbf{strictly $f$-degenerate}，如果每个非空子图$Γ$有一个顶点$v$，使得$\mathrm{deg}_Γ(v) < f(v)$。本文定义了严格$f$ -退化断面的概念，它推广了列表染色、符号染色、DP-染色、$L$ -森林染色和$(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{s})$ -划分.图$G$的\textbf{cover}是具有顶点集$V(H) = \bigcup_{v \in V(G)} X_{v}$的图$H$，其中$X_{v} = \{(v, 1), (v, 2), \dots, (v, s)\}$ ;边集$\mathscr{M} = \bigcup_{uv \in E(G)}\mathscr{M}_{uv}$，其中$\mathscr{M}_{uv}$是$X_{u}$和$X_{v}$之间的匹配。顶点集$R \subseteq V(H)$是$H$的一个\textbf{transversal}，如果每个$v \in V(G)$有$|R \cap X_{v}| = 1$。如果$H[R]$是严格$f$ -简并的，则横截$R$是\textbf{strictly $f$-degenerate transversal}。本文的主要结果是一个度型结果，它推广了Brooks定理、Gallai定理、度可…
2021-12-27 cs.DM math.CO
Weak diameter coloring of graphs on surfaces
考虑一个在固定曲面上绘制的图$G$，如果$G$是无三角形的，则为每个顶点分配一个大小至少为2的颜色列表，否则至少为3。我们证明了我们可以给每个顶点一个颜色，使得每个单色连通子图有界弱直径（即，在整个图$G$的度量中测量的直径，而不仅仅是子图）。在$G$有界最大度的情况下，这意味着每个连通单色子图有界大小。这解决了平面无三角形图的Esperet和Joret问题，并将已知结果在一般情况下推广到列表设置，回答了Wood的一个问题。
2021-11-13 math.CO
$K_3$-WORM colorings of graphs: Lower chromatic number and gaps in the chromatic spectrum
图$G$的$K_3$ -WORM着色是指对图的顶点进行颜色分配，使得$G$的每个$K_3$ -子图的顶点恰好得到两种颜色。我们研究图$G$，承认至少有一个这样的着色。我们反驳了戈达德等人的一个猜想[大会编号，219（2014）161--173]，他询问是否每个这样的图都有两种颜色的$K_3$ -WORM着色。事实上，对于每一个整数$k\ge 3$，存在一个$K_3$ -WORM可着色图，其中的最小颜色数正好是$k$。还存在$K_3$可着色图，其具有带有两种颜色的$K_3$着色以及带有$k$颜色但不带有任何$3,\dots,k-1$颜色的着色.我们还证明了它是NP-困难的，以确定的最小数量的颜色和NP-完全决定$k$ -可着色性的每一个$k \ge 2$（仍然棘手，即使是最大程度9，如果$k=3$的图）。另一方面，我们证明了$d$ -退化图与小$d$的积极结果，也包括平面图。此外，我们指出了一个基本的联系，混合超图的染色理论。最后，我们列出了许多悬而未决的问题。
2015-08-07 math.CO
Flexible list coloring of graphs with maximum average degree less than $3$
本文证明最大平均度小于3的图是ε-灵活3-可选的，推广了可约子图框架以允许任意大阶数，并蕴含了围长为6的平面图的相关结论。
2025-01-28 math.CO
Weak degeneracy of graphs
受图着色贪婪算法研究的启发，我们引入了一个新的图参数，我们称之为弱退化度。根据定义，每个$d$ -退化图也是弱$d$ -退化图.另一方面，如果$G$是弱$d$ -退化的，则是$χ(G) \leq d + 1$（而且，对于$G$的列表色数甚至DP-色数也有相同的界）。图着色理论中的几个上界可以用弱退化来表述。例如，我们证明了平面图是弱$4$ -退化的，这就意味着平面图是$5$ -列表可着色的。我们还证明了Brooks弱退化定理的一个版本：连通图$G$的最大程度$d \geq 3$是弱$(d-1)$ -退化，除非$G \cong K_{d + 1}$。(By相反，所有$d$ -正则图都有退化$d$。）我们实际上证明了一个更强的结果，即对于每一个$d \geq 3$，有$ε> 0$，使得如果$G$是一个弱退化至少$d$的图，那么要么$G$包含一个$(d+1)$ -团，要么$G$的最大平均度至少是$d + ε$。最后，我们证明了最大度$d$和围长至少$5$或有界色数的图是弱$(d - Ω(\sqrt{d}))$ -退化的，这是最好的可能的隐含常数的值。
2022-11-24 math.CO
Clustered coloring of (path+2K_1)-free graphs on surfaces
本研究针对Liu和Wood提出的图着色问题，证明了曲面上的子图闭图类具有有界聚类的3-可选性等价于排除某类P''_t子图，强化了平面图着色相关结论。
2023-06-16 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
2020-11-05 cs.DM math.CO
Incidence coloring game and arboricity of graphs
图$G$的关联是一对$(v,e)$，其中$v$是$G$的顶点，$e$是与$v$关联的边。当$v = w$、或$e = f$、或$vw = e$或$f$时，$(v,e)$和$(w,f)$两个事件相邻。关联着色博弈[S. D. Andres，The incidence game chromatic number，Discrete Appl.Math.157（2009），1980-1987]是普通着色游戏的一种变体，其中两个玩家Alice和Bob使用给定数量的颜色交替地对图的发生率着色，使得相邻的发生率得到不同的颜色。如果整个图都是彩色的，那么Alice就赢了，否则Bob就赢了。图$G$的关联博弈色数$i_g(G)$是Alice在$G$上进行关联着色博弈时获胜策略的最小颜色数。Andres证明了$\lceil 3/2 Δ(G)\rceil \le $ i_g（G）\le 2Δ（G）+ 4k - 2 $ for every $ k $-degenerate graph $ G $. %The arboricity $ a（G）$ of a graph $ G $ is the minimum number of forests into which its set of edges can be partitioned. %If $ G $ is $ k $-degenerate, the…
2013-03-31 cs.DM math.CO
$r$-strongly vertex-distinguishing total coloring of graphs
受通信网络中同频干扰现象的启发，提出了一种新的图参数--$r$ -顶点强可区别全染色（简称$D(r)$ -VSDTC）.给定图$G$，$r$-VSDTC是$k$颜色到$V(G)\cup E(G)$的分配，使得任何两个相邻或关联的元素接收不同的颜色，并且距离至多为$r$的任何两个顶点具有不同的颜色集，其中顶点$u$的颜色集是分配在$u$及其邻域和关联边上的颜色集。$G$的\emph{$r$-vertex-strongly-distinguishing total chromatic number}，记作$χ_{r-vsdt}(G)$，是$G$允许$k$ - $D(r)$ -VSDTC的最小整数$k$。我们证明了对于每个没有孤立边的图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\leq 4Δ(G)$是唯一的;对于一个没有孤立边的$k$ -退化图$G$，$χ_{1-vsdt}(G)\le kΔ(G)+3$是唯一的，其中$1\le k\le 3$ .
2020-08-13 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces II. 4-critical graphs in a disk
设G是围长至少为5的平面图。证明了如果G的圈C存在一个3-染色φ，且该φ不扩展到G的3-染色，则G有一个在O（|C|）个顶点上的子图H也不具有3-染色扩展φ.这是渐近最好的可能，并改善了以前的边界的Bassen。在本系列的下一篇论文中，我们将使用这个结果和相应的理论来证明一个推广到具有几个预着色圈的曲面上的图。
2017-07-05 cs.DM math.CO
Coloring squares of graphs with mad constraints
图$G=(V,E)$的适当顶点$k$ -着色是将颜色分配给图的顶点，使得没有两个相邻的顶点与相同的颜色相关联的$c:V\to \{1,2,\ldots,k\}$。图$G$的平方$G^2$是由$V(G)=V(G^2)$和$uv \in E(G^2)$定义的图当且仅当$u$和$v$之间的距离至多为2。我们用$χ(G^2)$表示$G^2$的色数，它是使$G^2$存在$k$ -染色的最小整数.根据定义，该目标至少需要$Δ(G)+1$颜色，其中$Δ(G)$表示图$G$的最大度。本文证明了具有$\text{mad}(G)<4$和$Δ(G) \geqslant 8$的图$G$的平方是$(3Δ(G)+1)$ -可选的，甚至是对应可着色的.进一步，我们证明了一类$2$ -退化图$G$，它具有$\text{mad}(G)<4$，任意大的最大度，以及$χ(G^2)\geqslant \frac{5Δ(G)}{2}$，改进了Kim和Park的结果.
2019-02-21 math.CO
Five-list-coloring graphs on surfaces II. A linear bound for critical graphs in a disk
设$G$是一个具有外圈$C$的平面图，$(L(v):v\in V(G))$是一个集合族，使得对每个$v\in V(G)$都有$|L(v)|\ge 5$.所谓$G$的子图$J$的$L$ -染色，是指$J$的（真）染色$ϕ$，使得对$J$的每个顶点$v$，都有$ϕ(v)\in L(v)$.本文证明了Dvorak等人的一个猜想：如果$H$是$G$的极小子图，使得$C$是$H$的子图，且$C$的每一个$L$-染色都延伸到$H$的一个$L$ -染色，则$|V(H)|\le 19|V(C)|$ .这是一个引理，在随后的论文中起着重要的作用，因为它激发了研究嵌入在曲面中的图，这些曲面满足这个结果所建议的等周不等式。这些研究对于曲面上的列表着色问题是非常有益的。
2015-05-22 cs.DM math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of graphs
图$G$的$n$ -细分是通过替换长度为$n$的路径而不是$G$的每条边来构造的图，并且$G$的$m$ -幂是具有与$G$相同的顶点并且$G$的任何两个顶点在至多$m$处相邻的图。图$G^{\frac{m}{n}}$是$G$的$n$ -细分的$m$ -幂。在[M. N. M.D.M. Mozafari-Nia，A note on coloring of $\frac{3}{3}$ -power of subquartic graphs，Vol.79，No.3，2021]证明了最大度为$Δ\geq 2$的图的$\frac{3}{3}$ -power的色数至多为$2Δ+1$ .本文引入了图的点与关联同时染色的概念，证明了$G$的点与关联同时正常染色的最小颜色数（记为$χ_{vi}(G)$）等于图的色数（$G^{\frac{3}{3}}$）.同时，通过确定该参数的精确值或上界，我们还对某些图类，如$k$ -退化图、圈、森林、完全图和正则二部图等，研究了该猜想的正确性.此外，我们还研究了这个新的色数与图的其他参数之间的关系。
2022-05-15 math.CO
Greedy Coloring and Simple Exponential Strengthenings of Brooks-Type Theorems
University of Utah（犹他大学）；CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心，里昂高等师范学院，克洛德·贝尔纳里昂第一大学）；ENS de Lyon, LIP UMR 5668（里昂高等师范学院）
本文对布鲁克斯定理给出新证明，证明连通非完全且最大度Δ≥3的图存在指数多个正常Δ着色，还拓展技术到多种着色场景，给出新归约与度可选性定理的新证明。
2026-10-14 math.CO
Strong chromatic index of sparse graphs
图$G$的边染色是强的，如果每个色类都是$G$的导出匹配. $G$的强色指数，记为$χ_{s}^{\prime}(G)$，是$G$的强边染色中颜色的最少数目。本文证明了对每一个$k$ -退化图$G$，都有$χ_{s}^{\prime}(G)\leq (4k-1)Δ(G)-k(2k+1)+1$.这证实了Chang和Narayanan最近提出的强版本猜想[3]。我们的方法还允许改进[3]中无弦图的上界。对于任意无弦图$G$，我们得到了该$% χ_{s}^{\prime}(G)\leq 4Δ-3$。这两个界限仍然有效的列表版本的强边着色这些图。
2013-01-09 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs III. General surfaces
Dvoák，Král'和Thomas给出了曲面上无三角形图的结构关于3-着色的描述。然而，它们的描述包含两个子结构（都与嵌入平面中的具有两个预着色圈的图有关），其着色性质并不完全确定。在本文中，我们填补了这些空白。
2017-02-16 math.CO
Complete colorings of planar graphs
本文研究了围长为4的平面图、外可平面图、可平面图和嵌在曲面上的图的消色差数和伪消色差数。给出了极大嵌入图的渐近紧结果和下界。
2018-04-06 math.CO
Degeneracy and Colorings of Squares of Planar Graphs without 4-Cycles
本文证明了关于无4-圈可平面图的染色平方的几个结果。首先，我们证明了如果$G$是这样的图，那么$G^2$是$(Δ(G)+72)$ -退化的。这意味着一个上界的$Δ(G)+73$的色数$G^2$以及对几个变种的色数，如列表色数，油漆数，阿隆-Tarsi数，和对应色数。我们还表明，如果$Δ(G)$是足够大的，那么这些参数的$G^2$的上限都可以降低到$Δ(G)+2$（这是最好的可能）。为了补充这些结果，我们证明了4-循环在具有此属性方面是独一无二的。具体地说，让$S$是一个有限的正整数列表，其中有$4\notin S$。对于每个常数$C$，我们构造了一个平面图$G_{S,C}$，它不含长在$S$中的圈，但对于其中的$χ(G_{S,C}^2) > Δ(G_{S,C})+C$ .
2019-09-24 math.CO
Embedded graph 3-coloring and flows
若曲面上的非四面体的边长之和为一固定常数，则该曲面上的图是近四边形图。利用着色和流之间的对偶性，设计了一个有效的可定向曲面的近四边形3-预着色扩张算法。此外，我们使用这种对偶性，以加强以前已知的充分条件3-着色的三角形自由图绘制在可定向曲面。
2023-03-09 cs.DM math.CO
Linear transformations between colorings in chordal graphs
设$k$和$d$使得$k \ge d+2$ .考虑一个$d$ -退化图$G$的两个$k$ -着色.我们是否可以通过在每一步都对一个顶点进行着色，同时在任何一步都保持适当的着色，将一个顶点转换为另一个顶点？Cereceda等人肯定地回答了这个问题，并展示了一个指数长度的连续序列。如果是$k=d+2$，我们知道存在需要二次方个扩图的图。而当$k=2d+2$时，总是存在一个线性变换。本文证明了只要$k \ge d+4$，弦图的任意一对$k$ -染色之间存在长度至多为$f(Δ) \cdot n$的变换（其中$Δ$表示图的最大度）.证明是建设性的，并提供了一个线性时间算法，给定两个$k$ -着色$c_1,c_2$计算之间的线性变换$c_1$和$c_2$。
2019-07-03 cs.DM math.CO
$(1, k)$-coloring of graphs with girth at least $5$ on a surface
一个图是$(d_1, ..., d_r)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$r$集$V_1, ..., V_r$，使得对于每个$i\in \{1, ..., r\}$，由$V_i$诱导的图的最大度至多为$d_i$.对于给定的$(g, d_1)$对，确定最小的$d_2=d_2(g; d_1)$使得围长至少为$g$的平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的问题引起了人们的极大兴趣.除$(g, d_1)=(5, 1)$外，所有情况下都知道$d_2(g; d_1)$的有限性。Montassier和Ochem明确地询问$d_2(5; 1)$是否是有限的。我们回答这个问题的肯定与$d_2(5; 1)\leq 10$，即，我们证明了所有的平面图周长至少$5$是$(1, 10)$ -着色。此外，我们的证明扩展到声明，任何表面的欧拉属$γ$ $S$，存在一个$K=K(γ)$，其中周长至少$5$是嵌入$S$的图形是$(1, K)$ -着色。另一方面，不存在有限$k$，其中围长至少为$5$的平面图（因此可嵌入任何曲面）是$(0, k)$ -可着色的。
2014-12-01 math.CO
5-Coloring Reconfiguration of Planar Graphs with No Short Odd Cycles
针对无3-圈平面图的Cereceda猜想特例，本文证明无3-圈且无5-圈的平面图其5-着色重构图直径为$O(n^2)$。
2022-08-16 math.CO
Variable degeneracy on toroidal graphs
本文研究环面图与平面图的严格$f$-退化横贯，通过结构分析证明若干禁止构型下图的DP-$4$-可染色性及列表顶点树性度至多2，改进了已有结果。
2025-02-27 cs.DM math.CO
The linear arboricity conjecture for graphs of low degeneracy
本文研究低退化度图的线性荫度，证明3-退化图在最大度至少为9时达到下界，并给出该猜想的新证明，同时确定最大度至少为5的2-退化图的线性荫度。
2023-08-14 cs.DM math.CO
