Optimal thresholds for Latin squares, Steiner Triple Systems, and edge colorings
我们证明了二项随机$3$ -部、$3$ -一致超图$G^{3}((n,n,n),p)$包含拉丁方的阈值是$Θ(\log{n}/n)$ .我们还证明了Steiner三元系和具有随机列表的完全（二部）图的正常列表边染色的类似结果。我们的结果回答了Johansson，Luria-Simkin，Casseli-Häggkvist，Simkin和Kang-Kelly-Kühn-Methuku-Osthus的几个相关问题。
2022-12-19 cs.DM math.CO math.PR
Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
2015-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
On colorful edge triples in edge-colored complete graphs
完全图$K_n$的边着色我们称之为$F$ -关心它是否没有留下$K_n$的$F$ -子图单色，同时$|V(F)|$顶点的每个子集中包含至少一个完全多色版本的$F$。对于前两个有意义的情况，当$F=K_{1,3}$和$F=P_4$时，我们确定对于无限多个$n$，$K_n$的$F$关心的边着色所需的最小颜色数。一个显式的家庭$2\lceil\log_2 n\rceil$ $3$ -边着色的$K_n$，使其每四个顶点包含一个完全多色的$P_4$在其中至少一个。研究相关的Ramsey型问题，我们还表明，香农（OR-）容量的Grötzsch图是严格大于五长圈。
2018-12-17 math.CO
Large monochromatic components in 3-edge-colored Steiner triple systems
已知在完全$r$ -一致超图的边的任何$r$ -染色中，都存在生成单色分支.给定一个$n$顶点上的Steiner三元系，在边的任意3-着色中可以保证的最大单色分量是什么？Gyárfás证明，$(2n+3)/3$是一个绝对下界，这个下界是最好的可能无限多$n$。另一方面，我们证明了几乎所有的Steiner三元系的下界实际上是$(1-o(1))n$。我们得到这一结果的一个更一般的定理的结果表明，下界取决于一个最大的\emph{3-partite hole}的大小（即，设置$X_1, X_2, X_3$与$|X_1|=|X_2|=|X_3|$，使没有边缘相交的所有$X_1, X_2, X_3$）在施泰纳三元系（Gyárfás以前观察到，上限取决于这个参数）。此外，我们证明了这个下界是紧的，除非着色有一个特定的结构。我们还提出了各种其他拉姆齐问题的设置施泰纳三元系。
2020-02-10 math.CO
Large almost monochromatic subsets in hypergraphs
我们发现，对于所有的$\ell$和$ε>0$有一个恒定的$c=c(\ell,ε)>0$，使每个$\ell$着色的三元组的$N$元素集包含一个子集$S$的大小$c\sqrt{\log N}$，使至少$1-ε$分数的三元组的$S$具有相同的颜色。这一结果与常数$c$紧密相关，并回答了Erdens和Hajnal在1989年提出的关于超图的差异的一个开放问题.对于$\ell \geq 4$颜色，已知存在$N$元素集的三元组的$\ell$ -着色，该$N$元素集的最大单色子集仅具有基数$Θ(\log \log N)$。因此，我们的结果表明，最大几乎单色子集的$\ell$着色的三元组必须包含的是远远大于相应的单色子集。这与图形形成鲜明对比，在图形中，这两个量具有相同的数量级。为了证明我们的结果，我们得到了完全多部3-一致超图的$\ell$ -色Ramsey数的一个新的上界，它回答了Erdés和Hajnal的另一个公开问题.
2009-01-25 math.CO
Sparse coloring for isosceles-free grids: an AI-assisted proof case study
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本研究通过稀疏超图染色定理证明无等腰三元组的网格子集大小下界，改进PatternBoost的保证，并分析AI辅助证明过程中的检查实践。
2026-10-06 math.CO
Large Cross-free sets in Steiner triple systems
在Steiner三元系$(V,{\cal{B}})$中，大小为$m$的{ \em无交叉}集合是三个成对不相交的$m$ -元素子集$X_1,X_2,X_3\subset V$，使得没有$B\in {\cal{B}}$与所有三个$X_i$ -S相交.我们猜想，对于每一个可接受的$n$有一个STS $(n)$与交叉自由集的大小$\lfloor{n-3\over 3}\rfloor$，如果真的，是最好的可能。我们证明了这个猜想的情况下$n=18k+3$，构建一个STS $(18k+3)$包含一个交叉自由集的大小$6k$。我们注意到，由Colbourn，Dinitz和Rosa构造的一些$3$ -双色STS具有接近$6k$大小的无交叉集（但不能具有完全$6k$大小）。所构造的STS $(18k+3)$表明，等式是可能的$n=18k+3$在以下结果：在每个$3$ -着色的任何施泰纳三元系STS $(n)$块有一个单色连通分量的大小至少为$\lceil{2n\over 3}\rceil+1$（我们猜想，平等持有的每一个容许的$n$）。类似的问题，可以要求$r$着色以及，如果$r-1 \equiv 1,3 \mbox{ (mod 6)}$和$r-1$是一个素数的权力，我们表明，答案是相同的情况下，完全图：在每个$r$着色的块的任何STS $(n)$，有一个单色连接组件与至少${n\over r-1}…
2015-09-18 math.CO
Minimum order of graphs with given coloring parameters
一个图$G=(V,E)$的完全$k$ -着色是指给顶点分配$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$颜色，使得没有两个相同颜色的顶点相邻，并且任何两个颜色类的并集至少包含一条边。与完全着色相关的三个广泛研究的图不变量是完全着色中的最小和最大颜色数（分别为色数$χ(G)$和消色差数$ψ(G)$），以及Grundy数$Γ(G)$，其被定义为最大的$k$，该最大的$k$允许具有精确的$k$颜色的完全着色$φ$，使得颜色$φ(v)$的每个顶点$v\in V$对于所有$1\le i<φ(v)$都具有颜色$i$的邻居。不等式链$χ(G)\le Γ(G)\le ψ(G)$显然对所有图$G$都成立。一个至少为2的正整数三元组$(f,g,h)$称为可实现的，如果存在一个连通图$G$，其中有$χ(G)=f$，$Γ(G)=g$和$ψ(G)=h$ . Chartrand et al.（A note on graphs with prescribed complete coloring numbers，J. Combin.数学。组合。Comput. LXXIII（2010）77-84）找到了可实现的三元组列表。本文确定了具有色数$f$、Grundy数$g$和无色数$h$的连通图的最小顶点数，对所有可实现的整数三元组$(f,g,h)$.此外，对于$f=g=3$，我们描述了每个$h \geq 6$的（两个）极…
2013-12-29 cs.DM math.CO
On Generalized Van der Waerden Triples
Van der Waerden关于等差数列的经典定理指出，对于任何正整数k和r，存在最小正整数w（k，r），使得{1，2，.，w（k，r）}必须包含单色k项等差数列{x，x+d，x+2d，.，x+（k-1）d}。我们研究W（3，r）的以下推广。对于固定的正整数a和b，其中a <= b，定义N（a，b;r）为最小正整数，如果它存在，使得{1，2，.，N（a，b;r）}必须包含形式为{x，ax+d，bx+2d}的单色集合。我们证明了N（a，b; 2）存在的充要条件是b <> 2a，并给出了它的上界和下界，然后证明了对于一个大类的对（a，b），当r足够大时，N（a，b;r）不存在.我们还给出了关于{x，ax+d，ax+2d，.，ax+（k-1）d}。
1999-10-19 math.CO
An elementary proof of the 2-regularity of Pythagorean triples
Institute for Basic Science（基础科学研究所）
本文用初等方法证明了正整数任意2-着色必含单色毕达哥拉斯三元组，避免了原SAT求解器证明的复杂计算，简洁回答了Graham的经典问题。
2026-10-01 math.CO
Extending bicolorings for Steiner Triple Systems
我们开始研究Steiner三元系（STS）的扩展双色，它以STS的$k$双色（$v$）开始，以STS的$k$双色（$2v+1$）结束，通过一个加倍构造，只使用在着色子系统STS（$v$）中使用的原始颜色.通过产生许多这样的扩展双着色，我们得到了几个无穷阶类，它们存在具有不同的上下色数的STS。
2013-08-30 math.CO
Appendix of Extending Bicoloring for Steiner Triple Systems
我们开始研究Steiner三元系（STS）的扩展双色，它以STS的$k$双色（$v$）开始，以STS的$k$双色（$2v+1$）结束，通过一个加倍构造，只使用在着色子系统STS（$v$）中使用的原始颜色.通过产生许多这样的扩展双着色，我们得到了几个无穷阶类，它们存在具有不同的上下色数的STS。
2013-08-22 math.CO
Gallai-Schur Triples and Related Problems
本文在单色-彩虹范式下研究Gallai-Schur三元组，探讨$x\neq y$、$x+y+b=z$和$x+y<z$情形下的Gallai-Schur数，并分析彩虹与单色解数量的渐近最小值。
2025-02-28 math.CO
Toward a Hajnal-Szemeredi theorem for hypergraphs
设$H$是一个具有最大度$d>1$的三元系，设$r>10^7\sqrt{d}\log^{2}d$ .然后$H$有一个适当的顶点着色与$r$颜色，使任何两个颜色类的大小相差最多一个。$r$上的结合在除了对数因子之外的数量级上是尖锐的。此外，这样的$r$ -着色可以通过随机化算法找到，该算法的预期运行时间是$\cH$的顶点数的多项式。这是将Hajnal-Szemerédi定理推广到超图的第一个结果。
2010-05-21 math.CO
Switching 3-edge-colorings of cubic graphs
一个三次图的色指数是3或4。边-Kempe转换，它可以用来转换边染色，在这里考虑的3-边染色的三次图。计算结果的边Kempe开关的三次图的顺序高达30和二部三次图的顺序高达36制成表格。给出了具有$2^n$边-Kempe等价类的阶为$4n+2$和$4n+4$的三次图族，证明了不存在具有更多边-Kempe等价类的三次图.另外还得到了一类新的具有一个边Kempe等价类的非平面二部三次图。边Kempe切换进一步连接到Steiner三元系的循环切换，其中建立的分类算法的改进。
2021-05-04 cs.DM math.CO
Sums of triples in Abelian groups
出于在添加剂拉姆齐理论的问题，我们扩展Todorcevic的分区的三维组合立方体处理额外的三维物体。作为推论，我们得到，如果连续统假设失败，则对于每个大小为$\aleph_2$的阿贝尔群$G$，存在着色$c:G\rightarrow\mathbb Z$，使得对于每个不可数$X\subseteq G$和每个整数$k$，存在$X$的三个不同元素$x,y,z$，使得$c(x+y+z)=k$。
2023-01-04 math.CO math.LO
An Unsure Note on an Un-Schur Problem
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；Freie Universität Berlin, Institute of Mathematics（柏林自由大学数学研究所）；Technische Universität Berlin, Institute of Mathematics（柏林工业大学数学研究所）
本文探讨了Schur三元组在2色染色下的反Ramsey变体，证明了在3色染色中彩虹Schur三元组的比例下界为0.4，上界为0.66364，并提出下界可能为紧的猜想。
2026-04-27 math.CO math.NT
Counting patterns in colored orthogonal arrays
设$S$是一个正交数组$OA(d,k)$，$c$是它的基集$X$的$r$ -染色.我们给出了一个组合恒等式，它将$S$中的向量数与$c$下给定的颜色模式与颜色类的基数联系起来。几个应用程序的身份被认为是。其中，我们证明了整数区间$[1,n]$的每一个均匀$r$ --染色至少有$1/2(n/r)^2+O(n)$单色Schur三元组。我们还表明，在一个正交表$OA(d,d-1)$，单色矢量的每种颜色的数量只取决于错过该颜色的矢量的数量和颜色类的基数。
2011-04-01 math.CO
Difference of facial achromatic numbers between two triangular embeddings of a graph
本文研究曲面三角剖分的面3-无彩色数在不同三角嵌入下的差异，并证明该差异以曲面亏格为参数的上界。
2021-04-04 math.CO
Steiner Quadruple Systems with Minimum Colorable Derived Designs: Constructions and Applications
本文将RDSQS推广为各点导出设计均最小可着色的mcDSQS，给出递归与特殊构造，得到RDSQS(6n+4)新无限族及首个mcDSQS(6n+2)无限族，并用于确定非二元直径完美等重码的最小q。
2025-03-15 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ with multiple colors
研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个图$G$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$gr_k(K_3,G)$是最小正整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每个$k$-染色包含彩虹三角形或$G$的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$比经典的Ramsey数$r_k(G)$表现得更好。然而，找到$gr_k (K_3, G)$的精确值绝非易事。本文证明了对所有的$k\ge1$，都有$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$.这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三重奇循环猜想的第一个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的边着色完全图没有彩虹三角形。我们相信，我们开发的方法可以用来确定$gr_k(K_3, C_n)$的奇数$n\ge11$的确切值。
2017-09-30 math.CO
Monochromatic triangles in two-colored plane
我们证明了，对于任何分区的平面成一个闭集$C$和一个开集$O$和任何配置$T$的三个点，有一个平移和旋转的副本$T$包含在$C$或在$O$。除此之外，我们考虑分区的平面分为两组，其共同边界是一个联盟的分段线性曲线。我们表明，对于任何这样的分区和任何配置$T$这是一个顶点集的一个非等边三角形有一个副本的$T$包含在内部的两个分区类。此外，我们给出了这些“多边形”分区，避免一个给定的等边三重副本的特征。这些结果支持了Erdos、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus的猜想，该猜想指出平面的每一个二色都包含一个非等边点三元组的单色副本;另一方面，我们通过提供避免给定等边点三元组的二色的非平凡例子，反驳了同一作者的一个更强的猜想。
2007-01-31 math.CO math.MG
Polynomially superlinear growth of set-coloring Ramsey numbers
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文构造了特定参数的三元组，证明集合染色拉姆齐数 $R(q+1;r,s)$ 可达 $\Theta_q(r^{4/3})$，并肯定回答了 $q=3$ 时的相关问题，同时给出相应 $q$ 元码的最大规模。
2026-09-29 math.CO
A somewhat sure note on an un-Schur problem
本文否证了Parczyk和Spiegel关于Schur三元组彩虹着色最大比例的猜想，将渐近界改进为介于9/22和8/15之间，并推广到k-着色情形。
2026-09-17 math.CO math.NT
Maximizing H-colorings of a regular graph
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的{ \em同态}或$G$的{ \em $H$ -着色}是从$G$的顶点集到$H$的顶点集的保持邻接的映射。写作${\rm hom}(G,H)$的$H$ -着色承认的$G$的数量，我们猜想，对于任何简单的有限图$H$（也许与循环）和任何简单的有限$n$ -顶点，$d$ -定期，无环图$G$，我们有$$ {\rm hom}(G,H) \leq \max{{\rm hom}(K_{d,d},H)^{\frac{n}{2d}}, {\rm hom}(K_{d+1},H)^{\frac{n}{d+1}}} $$其中$K_{d,d}$是完全的二部图与$d$顶点在每个分区类，和$K_{d+1}$是完全的$d+1$顶点图。Zhao的结果证实了这一猜想的一些选择$H$的最大值达到了${\rm hom}(K_{d,d},H)^{n/2d}$。在这里，我们展示了无穷多个非平凡的三元组$(n,d,H)$的猜想是真实的，并为其中的最大值是由${\rm hom}(K_{d+1},H)^{n/(d+1)}$。我们还对${\rm hom}(K_{d,d},H)$和${\rm hom}(K_{d+1},H)$给出了$H$的一些结构参数的精确估计。这使我们能够表征那些${\rm hom}(K_{d,d},H)^{1/2d}$最终（对于所有足够大的$d$）大于${\rm hom}…
2012-06-14 math.CO
Anti-Ramsey numbers for cancellative configurations in p-graphs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；School of Mathematical Sciences and Shanghai Key Laboratory of PMMP, East China Normal University（华东师范大学数学科学学院）
研究p图的边着色问题，避免三边形成特定关系，确定最大颜色数并推广Erdős等人定理，构造改进的反Ramsey数下界。
2026-05-07 math.CO
Finite trees are Ramsey under topological embeddings
我们表明，类的有限根二进制平面树是一个拉姆齐类（相对于拓扑嵌入，映射叶叶）。也就是说，对于所有这样的树P，H和每个自然数k，存在树T，使得对于T中P的每个k-着色，存在T中H的一个（拓扑）副本H'，使得H'中P的所有副本具有相同的颜色。当树由所谓的有根三元关系表示时，结果产生关于诱导子结构的关系结构的Ramsey类。
2010-02-08 math.CO
Induced Ramsey-type results and binary predicates for point sets
设$k$和$p$是正整数，$Q$是平面上一般位置上的有限点集.我们说$Q$是$(k,p)$ -Ramsey，如果存在一个有限点集$P$，使得对于$\binom{P}{p}$的每个$k$ -着色$c$，都存在$P$的一个子集$Q'$，使得$Q'$和$Q$具有相同的序类型，并且$\binom{Q'}{p}$在$c$中是单色的. Nešetzil和Valtr证明了对于每个$k \in \mathbb{N}$，所有的点集都是$(k,1)$ -Ramsey。他们还证明了，对于每个$k \ge 2$和$p \ge 2$，都存在不是$(k,p)$ -Ramsey的点集。作为我们的主要结果，我们引入了一类新的$(k,2)$ -Ramsey点集，推广了Nešetzil和Valtr的结果.然后，我们使用这个新的结果表明，对于每一个$k$有一个点集$P$，使没有功能$Γ$映射有序对不同的点从$P$到一组大小为$k$可以满足以下“局部一致性”的属性：如果$Γ$达到相同的值的两个有序三元组的点从$P$，那么这些三元组具有相同的方向。直觉上，这意味着不可能有这样一个函数，它是局部定义的，并确定点三元组的方向。
2017-10-20 math.CO
On the balanced decomposition number
图$G$的{ \em平衡着色}表示顶点集$V(G)$的互不相交子集的三元组$\{P_1,P_2,X\}$，使得$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$和$|P_1|=|P_2|$。与$G$的平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$相关联的{ \em平衡分解}被定义为$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$（对于某些$r$）的划分，使得对于每个$i \in \{1,\cdots,r\}$，$G$的子图$G[V_i]$是连通的，并且$|V_i \cap P_1| = |V_i \cap P_2|$。定义图$G$的{ \em平衡分解数}为最小整数$s$，使得对$G$的每一个平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$，存在一个平衡分解$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$，其每个元素$V_i (i=1, \cdots, r)$最多有$s$个顶点. S. Fujita和H. Liu [1/SIAM J. Discrete Math.24，（2010），pp. 1597--1616\/]证明了一个很好的定理：图$G$的平衡分解数至多为$3$当且仅当$G$是$\lfloor\frac{|V(G)|}{2}\rfloor$ -连通的.不幸的是，他们的证明是冗长的（…
2014-02-20 cs.DM math.CO
