Coloring hypergraphs that are the union of nearly disjoint cliques
本文研究由两两小交集团并集构成的超图最大色数，构造了团数量为多项式级的近似designs以证明其具有大色数，并通过随机贪婪超图过程对交集至多为1的情况给出下界，同时探讨了有限射影/仿影平面中最大caps数量的界。
2023-04-10 math.CO
Coloring $Δ$-Critical Graphs With Small High Vertex Cliques
我们证明了$K_{χ(G)}$是唯一一个具有$χ(G) \geq Δ(G) \geq 6$和$ω(\mathcal{H}(G)) \leq \left \lfloor \frac{Δ(G)}{2} \right \rfloor - 2$的临界图$G$.这里$\mathcal{H}(G)$是在度至少为$χ(G)$的顶点上导出的$G$的子图。设置$ω(\mathcal{H}(G)) = 1$证明了Kierstead和Kostochka的一个猜想。
2011-02-04 math.CO
Clique-coloring of $K_{3,3}$-minor free graphs
给定图$G$的团染色是对$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。证明了可平面图是$3$ -团可染的，而不同于奇圈的无爪可平面图是$2$ -团可染的.本文将这些结果推广到$K_{3,3}$ -minor free（$K_{3,3}$ -subdivision free）图.
2019-09-15 cs.DM math.CO
Rainbow triangles and cliques in edge-colored graphs
对于边着色图，如果一个子图的所有边都有不同的颜色，则称该子图为彩虹图.我们证明了：如果$G$是一个边着色图，其序为$n$，大小为$m$，且$G$的边的颜色为$c$，且$m+c\geq \binom{n+1}{2}+k-1$是一个非负整数$k$，则$G$至少包含$k$彩虹三角形.对于$n\geq 3k$，我们表明，这一结果是最好的可能性，我们完全描述了类的边缘有色图，这一结果是尖锐的。进一步证明了边着色图$G$至少包含$k$彩虹三角形，如果$\sum\limits_{v\in V(G)} d^c_G(v)\geq \binom{n+1}{2}+k-1$，其中$d_G^c(v)$表示入射到顶点$v$的不同颜色的个数.最后，我们刻画了边-有色图，它没有大小至少为6的彩虹团，并且最大化边和颜色之和$m+c$。我们的结果回答了Fujita，Ning，Xu和Zhang的两个问题[关于边着色图中彩虹圈的充分条件，arXiv：1705.03675，2017]
2018-10-11 math.CO
Rainbow Cliques in Edge-Colored Graphs
该研究在边着色图领域，将H. Li关于最小色度大于n/2保证彩虹三角形存在的结论，推广到了r≥4的团Kr情形，拓展了彩虹团存在性的相关结果。
2024-07-11 math.CO
More on Rainbow Cliques in Edge-Colored Graphs
Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学数学研究所）；Instituto de Matemática Pura e Aplicada（纯数学与应用数学研究所）；Instituto de Computação da Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈斯联邦大学计算机研究所）
本文研究边着色图中的彩虹团问题，证明了边数与颜色数之和满足一定阈值时大尺寸图中k阶彩虹团的数量阶，还刻画了k=4、5时不含k阶彩虹团的极图，完善了已有相关研究。
2023-08-14 math.CO
A Sharp Ramsey Theorem for Admissible Colorings of Ordered Cliques
School of Science, Shanghai Institute of Technology（上海应用技术大学理学院）；School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）；School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
研究有序完全图红蓝边染色中\(f(k)\)的值，通过特定方法得到\(k\geq3\)时\(f(k)\)的精确值，证实了布拉达克等人提出的猜想。
2026-07-23 math.CO
Structural Parameterizations of Clique Coloring
一个图的团染色是指给它的顶点分配颜色，使得没有最大团是单色的。我们开始研究团染色问题的结构参数化，这个问题是问一个给定的图是否有一个团染色与$q$颜色。对于固定的$q \ge 2$，当输入图与其宽度为$tw$的树分解一起给定时，我们给出了一个$\mathcal{O}^{\star}(q^{tw})$ -时间算法。我们补充这个结果与匹配的下界下的强指数时间假设。我们还表明，（当颜色的数量是无界的）团染色是XP参数化的团宽度。
2020-05-10 cs.CC cs.DS math.CO
The (theta, wheel)-free graphs Part III: cliques, stable sets and coloring
本文进一步利用无theta和wheel图的分解定理，为最大权团、最大权稳定集和着色问题提出了多项式时间算法，并证明了该图类的色数界及3-团可着色性。
2019-07-25 math.CO
Crossings, colorings, and cliques
Albertson证明了如果图$G$有色数$r$，则$G$的交叉数至少是完全图$K_r$的交叉数.这个猜想在$r=5$情形下等价于四色定理。Oporowski和Zhao对$r=6$进行了验证。本文利用Dirac、Gallai、Kostochka和Stiebitz给出的关于临界图边数的下界，以及Pach等人关于图的交叉数的边数和顶点数的下界，证明了关于$7 \leq r \leq 12$的猜想.
2010-06-18 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
Clique spectral extremal problem on disjoint color-critical graphs
Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
研究在\(n\)顶点的\(\bigcup_{i = 1}^t F_i -\)自由图中，对于\(2\leq s\leq r\)和足够大的\(n\)，确定具有最大\(s -\)团谱半径的唯一极值图这一问题，核心方法未提及，主要贡献是得出上述结论。
2026-07-16 math.CO
Unique colorability and clique minors
对于图G，设h（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通非空子图的最大k，设s（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通大小为1或2的子图的最大k. Hadwiger猜想指出h（G）至少是c（G），其中c（G）是G的色数. Seymour证明了s（G）至少是|V（G）|/2，对所有不含反三角形的图，i. e.三个两两不相邻的顶点在这里，我们集中在图G的恰好一个c（G）-染色。我们证明了（i）如果c（G）至多为6且G恰好有一个c（G）-染色，则h（G）至少为c（G），这里的证明不使用四色定理;（ii）如果G没有反三角形且G恰好有一个c（G）-染色，则s（G）至少为|V（G）|/2.
2015-08-06 math.CO
Clique-Relaxed Competitive Graph Coloring
我们研究了图着色对策的一个变形，如[2]中所研究的。在最初的着色游戏中，两个参与者，Alice和Bob，用一个固定的颜色集合中的合法颜色交替给图上的顶点着色，其中颜色α对于一个顶点是合法的，如果该顶点没有邻居着色为α。游戏的其他变体改变了合法颜色的定义。对于一个固定的颜色集，如果游戏结束时所有顶点都被着色，则Alice获胜，而如果游戏中存在一个顶点不能被分配合法颜色的点，则Bob获胜。Alice在图G上获胜策略所需的最少颜色数称为G的博弈色数，记为\c{hi} g（G）。一个研究得很好的变体是d-松弛着色游戏[5]，其中图G的合法着色被定义为对V（G）的任何颜色分配，使得由任何颜色类诱导的G的子图具有最大度d。本文研究了k-团松弛n-着色对策。图G的k-团松弛n-染色是指G的任一色类所诱导的子图的最大团大小小于或等于k的n-染色，也就是说，G的k-团松弛n-染色是指V（G）的n种颜色的赋值，其中不存在单色的（k + 1）-团.
2014-12-09 cs.DS math.CO
On the densities of cliques and independent sets in graphs
令r，s >= 2为整数。设完全图K_n的边的红/蓝染色中蓝r-团的个数已知且固定.在这个假设下，红色s-集团的最大可能数量是多少？著名的Kruskal-Katona定理回答了r=2或s=2的问题。利用极值集合论中的移位技术和一些分析论证，我们在一般情况下解决了这个问题，并证明了在极值着色中，蓝边或红边形成一个团.
2013-12-08 math.CO
Coloring problem of signed interval graphs
最近定义了符号图的色数。研究了区间图的染色和团问题，并建立了多项式时间算法。在这里，我们考虑这些问题的签署区间图，并证明了签署区间图的着色问题是NP-完全的，而他们的普通团的问题是在P。我们还研究了进一步相关问题的复杂性。
2019-07-20 math.CO
List-Distinguishing Cartesian Products of Cliques
图$G$的区别数，记作$D(G)$，是使$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得每个非平凡同构交换不同颜色的顶点。图$G$上的列表分配$L$是一个函数，它为$G$的每个顶点分配一组颜色。$G$的$L$着色是其中每个顶点用来自$L(v)$的颜色着色的着色。表示为$D_{\ell}(G)$的$G$的列表区分数是最小$k$，使得将大小至少为$k$的列表分配给每个顶点的每个列表分配$L$允许区分$L$着色。本文证明了当和$n$足够大时，$K_n\Box K_m$的可区别数和列表可区别数对几乎所有的$m>n$都是一致的，否则至多相差1.作为我们的证明的一部分，我们给（据我们所知）的第一个应用程序的组合Nullstellenetrance的图形区分问题，也证明了一个不等式的二项分布，可能是独立的利益。
2017-07-06 math.CO
On clique numbers of colored mixed graphs
一个（m，n）-着色混合图，或者简单地说，一个（m，n）-图是一个有m个不同类型的弧和n个不同类型的边的图。一个（m，n）-图G到另一个（m，n）-图H的同态是一个保持邻接性、类型和方向的顶点映射。G的顶点集的子集R在任何同态下总是将其自身的不同顶点映射到不同的像顶点，称为G的（m，n）-相对团。图的（m，n）-相对团的最大基数称为图的（m，n）-相对团数。在这篇文章中，我们探讨了（m，n）-相对团数的各种家庭的图。
2022-01-06 cs.DM math.CO
Improper coloring of graphs with no odd clique minor
作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
2018-09-14 math.CO
Red-blue clique partitions and (1-1)-transversals
受Gallai关于$2$ -区间的$(1-1)$ -横截的问题的启发，作者于1969年证明了：如果一个完全图$K$的边被红色和蓝色着色（两种颜色都可以出现在一条边上），使得没有单色诱导的$C_4$和$C_5$，那么$K$的顶点可以被划分为一个红色和一个蓝色团。Aharoni、Berger、Chudnovsky和Ziani最近加强了这一点，他们证明，假设在{ \em的一种颜色}中没有诱导的单色$C_4$，也没有诱导的$C_5$，这就足够了。这里进一步加强了这一点，假设没有单色诱导的$C_4$，也没有两种颜色类别都诱导$C_5$的$K_5$就足够了。我们还回答了一个问题的凯泽和Rabinovich，给出一个例子，6 $2$ -凸集在平面上，使任何三个相交，但没有$(1-1)$ -横截他们。
2015-09-11 math.CO
Ramsey for complete graphs with dropped cliques
设$K\_{[k,t]}$是在$k$顶点上的完全图，从该图中去掉了由$t$阶团诱导的一组边。本文给出了$R(K\_{[k\_1,t\_1]},\dots, K\_{[k\_r,t\_r]})$的两个显式上界（最小整数$n$，使得对于$K\_n$的任何$r$ -边着色，对于某些$i$，总是出现单色$K\_{[k\_i,t\_i]}$）.我们的第一个上界包含一个经典的情况下，当$k\_1=\cdots =k\_r$和$t\_i=1$的所有$i$。第二个是通过引入一个新的边着色{ \em $χ\_r$ -着色}得到的。最后，我们讨论了一个猜想声称，特别是，我们的第二个上限提高了经典的无限多的情况下。
2014-12-12 math.CO
Anti-Ramsey number of intersecting cliques
本文研究相交团构成扇图的反拉姆齐数，在完全图规模足够大的条件下精确确定了 $ar(n, F_{k, r})$ 的值。
2025-07-17 math.CO
On relative clique number of colored mixed graphs
$(m, n)$着色混合图是具有$m$不同颜色的弧和$n$不同颜色的边的图。从$(m, n$着色的混合图$G$到$(m, n)$着色的混合图$H$的图同态是顶点映射，使得如果$uv$是$G$中的颜色$c$的弧（边），则$f(u)f(v)$也是颜色$c$的弧（边）。Nešetzil和Raspaud [J. Combin.理论系列B 2000]是$G$的最小同态像的阶（顶点数）。后来Bensmail，Duffy和Sen [Graphs Combin. 2017]引入了另一个与$(m, n)$ -着色混合色数相关的参数，即$(m, n)$ -相对团数，作为顶点子集的最大基数，该顶点子集两两相对于任何着色同态必须有不同的像。本文研究了次立方图族、最大度图族、平面图族和无三角形平面图族的相对团数（$(m, n$），并给出了每种情况下的相对团数的新的改进界.特别地，对于次三次图，我们提供了参数的精确值。
2018-10-12 cs.DM math.CO
Improved bound for improper colorings of graphs with no odd clique minor
Gerards和Seymour在1995年进一步加强了Hadwiger猜想，证明了任何不含奇数$K_t$ -子式的图都是正常$(t-1)$ -可着色的，这就是所谓的奇数Hadwiger猜想。我们证明了上述猜想的一个放松，即我们证明了每个没有奇数$K_t$ -子图都有一个点$(2t-2)$ -染色，使得所有单色分量的大小至多为$\lceil \frac{1}{2}(t-2) \rceil$ .颜色数量的界限是最佳的，直到$2$的因子，改进了Kawarabayashi（2008），Kang和Oum（2019），Liu和Wood（2021）对同一问题的先前界限，并加强了van den Heuvel和Wood（2018）的结果，他们表明上述结论在更严格的假设下成立，即图是$K_t$ -minor free。此外，在我们的结果中的组件大小的界限是远远小于以前的结果，其中的依赖于$t$是非显式的。我们的简短证明结合了van den Heuvel和Wood对$K_t$ -minor自由图的证明方法和一些额外的思想，使得扩展到奇$K_t$ -minor自由图成为可能。
2022-03-05 math.CO
Fractional colorings of partial $t$-trees with no large clique
本文研究树宽为$t$且无大团图的分数着色问题，给出分数色数上界并证明其在团数等于树宽时紧，还构造出满足特定下界的图类，补充了相关组合学问题的分数版本结论。
2023-12-17 math.CO
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
2021-09-26 math.CO
On the product dimension of clique factors
图$G$的积维数是$G$的最小可能的正确顶点着色数，使得对于每对$u,v$不相邻的顶点，至少有一个着色，其中$u$和$v$具有相同的颜色。每个大小为$s$的$r$团的顶点不相交并集的乘积维数$Q(s,r)$是多少？Lovász，Nešethabil和Pultr在1980年证明了对于$s=2$它是$(1+o(1)) \log_2 r$，并提出了估计这个函数对于较大值的$s$的问题。我们发现，对于每一个固定的$s$，答案仍然是$(1+o(1)) \log_2 r$的$o(1)$长期趋于$0$的$r$趋于无穷大，但问题的渐近行为的$Q(s,r)$时，$s$和$r$一起增长仍然开放。证明结合了线性代数工具与方法的加尔加诺，Körner，和瓦卡罗对斯珀纳能力的有向图。
2020-02-26 math.CO
Tetrachromagea
在平面三次图上构造了一个四种着色的模空间。更确切地说，我们引入了弱Hamilton的概念，哈密顿圈的推广，并将其与4-着色。弱哈密尔顿算子有一种变形形式，我们称之为突变，这给了它们一种图结构，即弱哈密顿图。该图将不同的着色编码为3个顶点集团。通过确定这些团上的顶点，我们得到了一个新的图-色图，它的顶点恰好是原图的着色。此外，这个构造给出了一个启发式的论点，为什么4种颜色足以彩色平面地图。
2015-05-18 math.CO
Cliques and constructors in "Hats'"game
下面分析确定性帽子博弈的一般变体。几个戴着彩色帽子的圣人占据了一个图的顶点，第$k$个圣人可以有$h(k)$颜色之一的帽子。每个圣人都试图猜测自己的帽子的颜色，只是根据观察他的邻居的帽子，而不交换任何信息。如果一个预先确定的猜测策略保证每个颜色分配至少有一个正确的个人猜测，那么它就是获胜的。对于完全图和循环，我们解决了描述函数$h(k)$的圣人获胜的问题。在这里，我们证明了完全图上的圣人的获胜策略，并分析了几乎完全图上的帽子游戏。我们开发了“构造器理论”，这是一个定理的集合，展示了如何构建新的图形，其中圣人获胜。我们还定义了一个新的与4圈上的Hats对策等价的对策“车来检查”，并对该对策进行了全面的分析。
2021-03-21 math.CO
A note on uniquely 10-colorable graphs
本文证明了当k ≤ 10时，任何具有唯一k-染色的色数k的图都存在k阶团子式.
2020-02-19 math.CO
On λ-backbone coloring of cliques with tree backbones in linear time
该研究提出线性时间算法解决带树/森林骨干的团的λ-骨干着色问题，实现加性误差的绝对近似，并构造出下界构造证明近似阶的紧性。
2024-04-11 cs.DM math.CO
Counting equitable $k$-colorings in graphs of bounded clique-width
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究有界团宽图中公平 $k$ 着色的计数问题，给出多项式时间算法并证明团宽依赖最优，同时改进线性团宽算法，并证明 $P_t$-free 图中公平列表 $3$ 着色可次指数时间计数。
2026-06-26 cs.DM math.CO
On the Complexity of Maximum Clique Algorithms: usage of coloring heuristics leads to the 2^(n\5) algorithm running time lower bound
最大团问题（Maximum Clique Problem，MCP）是Karp在1972年提出的21个NP完全问题之一。近年来出现了大量求解MCP的精确方法（Babel，Wood，Kumlander，Fahle，Li，Tomita等）。其中大部分是分支定界算法，它们利用Balas和Yu提出的分支规则，基于着色算法来建立团数的上界。它们之间的区别主要在于顶点预排序和顶点着色方法。目前的分支定界算法的最坏情况下的运行时间分析方法不允许提供严格的上限。这激发了对此类算法的下界的研究。利用着色算法证明了一类MCP算法的2^（n\5）下界.
2013-03-11 cs.DM cs.DS math.CO
A note on multicolor Ramsey number of small odd cycles versus a large clique
令$R_k(H;K_m)$为最小数$N$，使得$K_{N}$的边的每一个具有$k+1$颜色的着色对于某些$1\leqslant i\leqslant k$具有颜色$i$中的单色$H$，或者具有颜色$k+1$中的单色$K_{m}$。在这篇短文中，我们分别研究了当$H$为$C_5$或$C_7$时，$R_k(H;K_m)$的下界。我们证明了对于固定的正整数$k$和$m\rightarrow\infty$，\begin{equation*} R_{k}(C_5;K_m)=Ω(m^{\frac{3k}{8}+1}/(\log{m})^{\frac{3k}{8}+1}), \end{equation*}和\begin{equation*} R_{k}(C_7;K_m)=Ω(m^{\frac{2k}{9}+1}/(\log{m})^{\frac{2k}{9}+1}), \end{equation*}是完全的.这些稍微改善了以前已知的下限$R_{k}(C_{2\ell+1};K_m)=Ω(m^{\frac{k}{2\ell-1}+1}/(\log m)^{k+\frac{2k}{2\ell-1}})$获得的阿隆和Rödl。证明是基于随机块结构和随机爆破参数。
2021-10-19 math.CO
Coloring Graphs With No Totally Odd Clique Immersion
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
证明无完全奇K_t浸入的图是O(t)-可着色的，并给出固定参数可解算法找到分解。
2026-07-03 cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
The DP Color Function of Clique-Gluings of Graphs
本文研究图的团粘合对DP色函数的影响，证明了Becker等人提出的不等式对边粘合成立，但对三角形粘合不成立，并给出了$p\geq 3$时基于一类$m$重覆盖的放宽版本。
2023-08-14 math.CO
Large cliques or co-cliques in hypergraphs with forbidden order-size pairs
该研究探讨超图中Erdős-Hajnal问题变体，针对禁止特定阶-大小对超图的情形，给出三元系m=4时齐次集大小界并确定其增长率类型。
2023-05-02 math.CO
The action of the Weyl group on the $E_8$ root system
设$Γ$是$E_8$根系的根上的图，其中任何两个不同的顶点$e$和$f$由颜色等于$e$和$f$的内积的边连接。对于任何颜色集合$c$，设$Γ_c$是$Γ$的子图，它由所有$240$顶点和颜色位于$c$中的所有边组成。我们认为集团，即，$Γ$的完全子图，其是单色的，或者其大小至多为$3$，或者对于某些颜色集$c$是$Γ_c$中的最大团，或者其顶点是$E_8$根多面体的面的顶点。我们证明了，除了两个例外，两个这样的团是共轭下的自同构群的$Γ$当且仅当它们是同构的着色图。此外，对于从一个这样的团$K$到另一个团的同构$f$，我们给出了$f$扩展到$Γ$的自同构的充分必要条件，根据$f$的某些特殊的$K$的大小为7的子图的限制。
2021-07-18 math.CO
Two-coloring triples such that in each color class every element is missed at least once
我们给出元素三元组的有限集的特征（例如，正整数），其可以用两种颜色着色，使得对于每个颜色类中的每个元素$i$，存在不包含$i$的三元组。我们给出了一个线性（在三元组的数量）时间算法，以确定是否存在这样的着色，并找到一个，如果它。我们还考虑推广这一结果和应用程序的匹配问题，这促使这项研究。最后，我们展示了这些结果如何转化为着色的超图，其中每个顶点的度是$k$小于的超边的数量的结果。
2020-08-20 math.CO
Coloring graphs with dense neighborhoods
本文证明了：任何具有最大度$Δ$的图，如果其诱导子图在任意一个顶点的所有邻域的集合上的平均度超过$\frac{6k^2}{6k^2 + 1}Δ+ k + 6$，则它要么是$(Δ- k)$ -可着色的，要么在多于$Δ- 2k$的顶点上含有团.在$k=1$的情况下，我们将平均度的界改进为$\frac23Δ+ 4$，将团数的界改进为$Δ-1$。作为推论，我们证明了每个图都满足$χ\leq \max\set{ω, Δ- 1, 4α}$，每个图都满足$χ\leq \max\set{ω, Δ- 1, \ceil{\frac{15 + \sqrt{48n + 73}}{4}}}$。
2012-10-01 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
On Erdos-Faber-Lovasz Conjecture
1972年，Erdös-Faber- Lovász（EFL）证明了，如果$\textbf{H}$是一个线性超图，它由基数为$n$的$n$边组成，那么可以用$n$色对顶点着色，使得没有两个相同颜色的顶点在同一条边上。1978年，Deza，Erdös和Frankl给出了图的一个等价版本：设$G= \bigcup_{i=1}^{n} A_i$表示一个图，它有$n$完全图$A_1, A_2,$ $ \dots , A_n$，每个完全图恰好有$n$顶点，且每对完全图至多有一个公共顶点，则$G$的色数是$n$。$G$中顶点$v$的团度$d^K(v)$由$d^K(v) = |\{A_i: v \in V(A_i), 1 \leq i \leq n\}|$给出。本文利用$G$的团$A_i$的交矩阵和$G$的顶点团度，给出了满足Erdös-Faber- Lovász猜想假设的图的着色方法.同时，对某些图类给出了猜想的理论证明。特别是，我们表明：1。如果$G$是一个满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）至多有团度大于1的$\sqrt{n}$点，则$G$是$n$ -可着色的. 2.如果$G$是满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）最多有团度大于或等于$d$（$2\leq d \leq n$）的$\left \lcei…
2017-01-17 math.CO
Packing chromatic number versus chromatic and clique number
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得$G$的顶点集可以被划分为集合$V_i$，$i\in [k]$，其中每个$V_i$是一个$i$ -填充.本文研究了对于给定的正整数三元组$(a,b,c)$，是否存在图$G$使得$ω(G) = a$，$χ(G) = b$，和$χ_ρ(G) = c$ .如果是这样，我们说$(a, b, c)$是可实现的。证明了$b=c\ge 3$蕴涵$a=b$，三元组$(2,k,k+1)$和$(2,k,k+2)$不能象$k\ge 4$那样立即实现.其中一些结果是从Mycielskian的填充色数的界得到的。此外，还给出了Mycielskian的独立数的计算公式.证明了$χ_ρ(G)$在$Δ(G)$和$α(G)$方面的一个下界。
2017-07-16 math.CO
Path Graphs, Clique Trees, and Flowers
一个\emph{asteroidal triple}是一个图中的三个独立顶点的集合，使得集合中的任何两个顶点通过一条避开第三个顶点的邻域的路径连接。Lekkerkerker和Boland \cite{6}的一个经典结果证明了区间图就是没有星状三元组的弦图。区间图是弦图，\emph{directed path graphs}和\emph{path graphs}也是。与Lekkerkerker和Boland类似，Cameron、Hoáng和Lévêque \cite{4}用“特殊类型”的星状三元组给出了有向路图的特征，并询问路图是否存在这样的特征。我们给出了强有力的证据表明，单独的星状三元组是不足以表征家庭的路径图，并通过一个禁止诱导子图家庭，我们称之为\emph{sun systems}的路径图给出了一个新的表征。我们的新特性的关键是研究太阳系统中的\emph{asteroidal sets}，这是一个自然的小行星三元组的推广。我们利用禁止太阳系对路图的刻画也推广了Chaplick等人利用禁止奇太阳对有向路图的刻画。\cite{9}。
2015-05-28 cs.DM math.CO
Coloring triple systems with local conditions
本文给出了n个顶点的完全3-一致超图的边染色，使每五个顶点所构成的边至少有三个不同的颜色，且每一个顶点所构成的边都有$e^{O(\sqrt {log log n})}$颜色.这回答了Conlon-Fox-Lee-Sudakov [1]的问题的第一个公开案例，他问这样的着色是否存在于$(log n)^{o(1)}$颜色中。
2014-10-11 math.CO
Clique covers of complete graphs and piercing multitrack intervals
本文研究多轨区间的穿刺问题，证明在 k-wise 相交的 t-区间集合中至少有 (k-1)/(k+1)n 个可被 t 点穿刺，并将结果推广到树的子树及边着色完全图的单色团覆盖问题。
2024-08-08 math.CO
Coloring claw-free graphs with Δ-1 colors
证明了在$Δ(G) \geq 9$顶点上不含团的无爪图$G$可以是$Δ(G) - 1$着色的.
2012-12-19 math.CO
Coloring graphs without fan vertex-minors and graphs without cycle pivot-minors
一个扇形图$F_k$是由$k$顶点上的一条诱导路和一个与该路所有顶点相邻的附加顶点组成的图.我们证明了对所有正整数$q$和$k$，每一个具有足够大色数的图都包含一个大小为$q$的团或一个同构于$F_k$的顶点子式.我们还证明了对所有正整数$q$和$k\ge 3$，每个具有足够大色数的图要么包含一个大小为$q$的团，要么包含一个同构于一个长度为$k$的圈的子图.
2015-12-10 math.CO
Coloring ($P_5$, kite)-free graphs
令$P_n$和$K_n$分别表示$n$顶点上的导出路和完全图。{ \em风筝}是从$P_4$中通过添加一个顶点并使其与$P_4$中除一个度为1的顶点之外的所有顶点相邻而获得的图。一个图是（$P_5$，kite）-free的，如果它没有同构于$P_5$或kite的导出子图.对于图$G$，$G$的色数（记为$χ(G)$）是对$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有两个相邻顶点接收相同的颜色，$G$的团数是$G$中最大团的大小。在这里，我们感兴趣的类（$P_5$，风筝）-免费图与小团数。已知每个（$P_5$，~kite，$K_3$）-free图$G$满足$χ(G)\leq 3$，每个（$P_5$，~kite，$K_4$）-free图$G$满足$χ(G)\leq 4$，每个（$P_5$，~kite，$K_5$）-free图$G$满足$χ(G)\leq 6$ .本文证明了：$\bullet$每个（$P_5$，kite，$K_6$）-free图$G$满足$χ(G)\leq 7$ . $\bullet$每个（$P_5$，kite，$K_7$）-free图$G$满足$χ(G)\leq 9$ .我们还举例说明了上述界是紧的。
2022-04-19 math.CO
The Lovász Theta Function for Recovering Planted Clique Covers and Graph Colorings
University of Southern California（南加州大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）；Archimedes/Athena RC, Greece（希腊阿基米德/雅典研究中心）；Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore（新加坡国立大学量子技术中心）
本文研究了洛瓦兹θ函数在随机图中恢复嵌入clique覆盖结构的能力，证明了其在特定模型下的有效性。
2026-02-04 cs.DS cs.IT math.CO
Total Coloring and Total Matching: Polyhedra and Facets
图的全染色$G = (V, E)$是指给顶点和边分配颜色，使得两个相邻的顶点和两个关联的边都不具有相同的颜色，并且对于每条边，端点和边本身具有不同的颜色。任何有效的全染色都将$G$的元素划分为全匹配，全匹配被定义为可以采用相同颜色的顶点和边的子集。本文提出了全染色和全匹配问题的双线性规划模型，并研究了相应的线性规划松弛的强度。全染色问题的公式化的问题，找到最小数量的全匹配，覆盖所有的图元素。这个覆盖公式可以通过列生成算法来求解，其中定价子问题对应于加权总匹配问题。因此，我们研究全匹配多面体。我们引入了三类非平凡有效不等式：基于稳定集多面体的标准团不等式的顶点团不等式，基于由圈诱导的顶点集奇偶性的全等$2k3$圈不等式，以及由偶数阶完全子图诱导的偶数团不等式.证明了同余$2k3$循环不等式只有当$k = 4$满足时才是面定义的，而顶点团和偶团总是面定义的.最后，我们提出了一个列生成算法的全着色问题和全匹配问题的切割平面算法的初步计算结果。
2022-02-02 cs.DM math.CO math.OC
Rainbow clique subdivisions
本文证明平均度至少为 $(\nlog n)^{2+o(1)}$ 的适当边着色图必含大小为 $t$ 的完全图的彩虹细分，并由此得到循环彩虹 Turán 数的相关结果。
2023-10-13 math.CO
Congruences modulo powers of 3 for 2-color partition triples
令$p_{k,3}(n)$枚举$n$的2色分区三元组的数量，其中一种颜色仅出现在$k$的倍数的部分中。本文证明了$p_{k,3}(n)$与$k=1, 3$和$9$模3幂同余的几个无穷族.例如，对于所有整数$n\geq0$和$α\geq1$，我们证明了\begin{align*} p_{3,3}\left(3^αn+\dfrac{3^α+1}{2}\right) &\equiv0\pmod{3^{α+1}} \end{align*}和\begin{align*} p_{3,3}\left(3^{α+1}n+\dfrac{5\times3^α+1}{2}\right) &\equiv0\pmod{3^{α+4}}. \end{align*}
2018-05-23 math.CO
