Coloring claw-free graphs with Δ-1 colors
Daniel W. Cranston, Landon Rabern
证明了在$Δ(G) \geq 9$顶点上不含团的无爪图$G$可以是$Δ(G) - 1$着色的.
We prove that every claw-free graph $G$ that doesn't contain a clique on $Δ(G) \geq 9$ vertices can be $Δ(G) - 1$ colored.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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List-coloring claw-free graphs with $Δ$-1 colors
证明了若$G$是具有$Δ(G)>ω(G)$和$Δ(G)\ge 69$的拟线图，则$χ_{OL}(G)\le Δ(G)-1$ .结合我们以前的工作，这意味着，如果$G$是一个无爪图$Δ(G)>ω(G)$和$Δ(G)\ge 69$，那么$χ_{\ell}(G)\le Δ(G)-1$。
Injective edge-coloring of claw-free graphs with maximum degree 4
本文证明了最大度不超过4的无爪图的单射色指数至多为13，给出了该图类单射边染色的上界。
Claw-free cubic graphs are $(1, 1, 2, 2)$-colorable
本文证明了每个无爪三次图都存在 $(1,1,2,2)$-着色，从而验证了次三次图细分图的packing chromatic number至多为 $5$ 的猜想在无爪三次图情况下成立。
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
Claw-free cubic graphs are (1, 1, 1, 3)-packing edge-colorable
本文针对Gastineau和Togni关于三次图(1, 1, 1, 3)-packing边着色的猜想，证明了每个无爪三次图均存在此类着色。
A Coloring Algorithm for $4K_1$-free line graphs
设$L$是一组图。$Free$（$L$）是在$L$中不包含任何图作为诱导子图的图的集合。已知如果$L$是一组四顶点图，则$Free$（$L$）的着色问题的复杂性已知，但有三个例外：$L $ = {claw，$4K_1$ }，$L$ = {claw，$4K_1$，co-diamond}，and $L$ = { $C_4$，$4K_1$ }。本文研究了$Free$（claw，$4K_1$）的着色问题.我们解决了$Free$（claw，$4K_1$）的一个子类的着色问题，这个子类包含了无$4K_1$线图类.我们的结果意味着一个图的色指数没有匹配的大小为4可以在多项式时间内计算。
Conflict-free coloring on open neighborhoods of claw-free graphs
图$G$使用$r$颜色的"无边界开（闭）邻域着色"（CFON（CFCN）着色）是图$G$的顶点的着色，使得每个顶点在其开（闭）邻域中只看到一次颜色。使得$G$具有使用$r$颜色的CFON（CFCN）着色的最小$r$被称为$G$的"CFON色数"（"CFCN色数"）。这表示为$χ_{CF}^{ON}(G)$（$χ_{CF}^{CN}(G)$）。D \k ebski和Przybyno在[J. Graph Theory，2021]中证明了如果$G$是具有最大度$Δ$的线图，则$χ_{CF}^{CN}(G) = O(\ln Δ)$.作为一个开放性问题，他们问这个结果是否可以扩展到无爪（$K_{1,3}$-free）图，这是线图的超类。对于$k\geq 3$，我们证明了如果$G$不含$K_{1,k}$，则$χ_{CF}^{ON}(G) = O(k^2\ln Δ)$.由于已知一个图的CFCN色数至多是它的CFON色数的两倍，这回答了Dhubski和Przybybio提出的问题。
Coloring clique-hypergraph of $K_5$-minor-free graphs
图$G$的团染色是对图$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。图$G$的群超图$\mathcal{H}(G)$以$V(G)$为其顶点集，以$G$的最大团为其超边。$\mathcal{H}(G)$的一个（顶点）染色是$G$的一个顶点染色。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。任何可平面图都是3-可色的（Electr. J. Combin. 6（1999），\#R26）。最近，我们证明了每个不同于奇圈的无爪可平面图都是$2$ -可染的（European J. Combin. 36（2014）367-376）。本文将这些结果推广到无爪，无$K_5$ -子图.
Diamond-free, claw-free cubic graphs are (1, 1, 2, 3)-packing colorable
研究不含钻石图、无爪立方图是否为\((1, 1, 2, 3)\)-填充可染色的问题，通过对图\(G\)的分析给出肯定答案，核心方法是对\(V(G)\)进行特定划分，主要贡献是解决了相关填充染色问题。
A Short Proof that Every Claw-Free Cubic Graph is (1,1,2,2)-Packing Colorable
本文给出了无爪立方图是(1,1,2,2)-打包着色的简短证明，改进了之前的结果。
Computing homomorphisms in hereditary graph classes: the peculiar case of the 5-wheel and graphs with no long claws
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。在$H$ -着色问题中，图$H$是固定的，我们问一个实例图$G$是否允许$H$ -着色。这个问题的推广是$H$ -ColoringExt，其中$G$的一些顶点已经映射到$H$的顶点，我们问这个部分映射是否可以扩展到$H$ -着色。我们研究了$F$ -free图中$H$ -着色的变体的复杂性，即，不包括固定图$F$作为导出子图的图。对于整数$a,b,c \geq 1$，我们用$S_{a,b,c}$表示通过分别在$a+1$、$b+1$和$c+1$顶点上标识三条路径的一个端顶点而获得的图。对于奇数的$k \geq 5$，我们用$W_k$表示由$k$ -圈加上一个泛顶点而得到的图.作为我们的主要算法结果，我们证明了$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -free图中是多项式时间可解的。这一结果显示了一个有趣的非单调性$H$ -ColoringExt关于采取诱导子图的$H$。实际上，$W_5$包含三角形，并且$K_3$ -着色，即，经典的3-着色，是NP-难的，已经是无爪的了（即，$S_{1,1,1}$ -free）图形。我们的算法是基于两个主要的意见：1。$W_5$ -ColoringExt在$S_{2,1,1}$ -自由图可以在多项式时间减少到一个变种的问题，找到一个独立的集合…
On 3-colorability of (claw, diamond)-free graphs
研究了(claw, diamond, N_{i, j, k})-自由图的3-染色性，证明了这些图要么3-可染色，要么包含K_4，或属于特定非3-可染色图类，并指出某些情况下非3-可染色图的数量有限或无限。
Total Forcing and Zero Forcing in Claw-Free Cubic Graphs
图$G$的顶点的动态着色从着色顶点的初始子集$S$开始，所有剩余的顶点是未着色的。在每个离散时间间隔，一个着色顶点与恰好一个非着色邻居迫使这个非着色邻居着色。初始集合$S$被称为$G$的强制集合（迫零集合），如果通过迭代地应用强制过程，$G$中的每个顶点都被着色。如果初始集$S$具有导出$G$的无孤立点子图的附加性质，则称$S$为$G$的全强制集. $G$的总强迫数，记作$F_t(G)$，是$G$中总强迫集的最小基数。本文证明了：如果$G$是一个阶为~ $n$的连通三次图，且其生成$2$ -因子由三角形组成，则$F_t(G) \le \frac{1}{2}n$ .更一般地，我们证明了，如果$G$是一个连通的，无爪，立方图的顺序~ $n \ge 6$，然后$F_t(G) \le \frac{1}{2}n$，其中无爪图是一个图，不包含$K_{1,3}$作为诱导子图。在这些界限实现平等的图的特点。
Claw-free cubic graphs and zero forcing
本文针对无爪立方图零强制数上界的三个开放问题展开研究，刻画了满足特定条件的连通无爪立方图，还为具有哈密顿收缩多重图的无爪立方图建立了改进上界，涉及零强制数与图中三角形、菱形数量的关系。
A diamond-free claw-free cubic graph with strong chromatic index 7
研究无钻石无爪立方图的强边着色问题，通过展示一个18个顶点的立方图\(H\)，其\(\chi'_s(H)=7\)，证明在简单立方图中相关猜想不成立，还表明两个关于强边着色的表述不等价，特定版本问题仍未解决。
Loop zero forcing and grundy domination in planar graphs and claw-free cubic graphs
给定一个具有顶点集$V(G)$的简单有限图，我们定义$G$的迫零集如下。选择$S\subseteq V(G)$并将$S$的所有顶点着色为蓝色，将所有顶点着色为$V(G) - S$白色。颜色变化规则是如果$w$是蓝色顶点$v$的唯一白色邻居，则将$w$的颜色从白色变为蓝色。如果在尽可能多地应用颜色变化规则之后，最终$G$的每个顶点都是蓝色的，则我们称$S$为$G$的迫零集。$Z(G)$表示迫零集的最小基数。Davila和Henning在\cite{zerocubic}中证明了对任意无爪三次图$G$，$Z(G) \le \frac{1}{3}|V(G)| + 1$ .我们证明了如果$G$是$2$ -边连通的、无爪的和立方的，则$Z(G) \le \left\lceil\frac{5n(G)}{18}\right\rceil+1$。我们还研究了一个类似的图不变量称为循环迫零数的图$G$这恰好是对偶不变量的Grundy控制数的$G$。特别地，我们研究了两种特殊类型的可平面图中的圈迫零数。
Dynamic Coloring and Graph Squares of Regular Graphs
本文研究正则图的动态着色，证明无爪三次图的三动态色数不超过6且界紧，改进哈密顿情形至5，并精确计算循环图C_p(1,3)的r动态色数。
On $k$-colorability of $(bull, H)$-free graphs
该研究针对不含bull图类的$k$-可着色NP难问题，刻画了含长导出圈的不含(bull,claw)图的$k$-可着色性，并给出多类不含bull相关子图的连通图的非4、非5着色完整刻画。
Partial DP-Coloring
1980年，Albertson和Berman引入了部分着色。2000年，Albertson、Grossman和Haas引入了部分列表着色。在这里，我们开始研究部分着色，以便由Dvopelák和Postle在2015年引入的列表着色的有见地的推广，DP着色（或对应着色）。我们考虑DP-着色模拟部分列表着色猜想，它推广了一个自然界的部分着色。我们发现，虽然这部分DP着色猜想不成立，部分列表着色的几个结果可以扩展到部分DP着色。我们还研究了一个图与一个完全图的连接的部分DP-染色，并提出了几个有趣的开放问题。
Multiple 3-Coloring, an Approach to 4-Coloring of Planar Graphs
一个可平面图可以嵌入到一个分片线性流形中，并且每个分片上的格可以用3-着色。如果一个可平面图可以用多个3-着色来着色，即用4种颜色的不同3-着色子集来分段着色图，则该图是4-可着色的。引入了多重3-着色的概念，研究了多重3-着色的可平面图的组合与划分问题。研究表明，可平面图一般可分解为独立的子图，且每个子图可三角剖分为多重3-着色的对称结构。
The f-Chromatic Index of Claw-free Graphs Whose f-Core is 2-regular
设$G$是一个图，$f:V(G)\rightarrow \mathbb{N}$是一个函数。图$G$的$f$ -着色是一种边着色，使得每个颜色在每个顶点$v\in V(G)$出现最多$f (v)$次。$f$ -彩色$G$所需的最小颜色数称为$f$ -彩色$G$指数，用$χ'_{f}(G)$表示。证明了对于每个图$G$，$Δ_{f}(G)\le χ'_{f}(G)\le Δ_{f}(G)+1$，其中$Δ_{f}(G)=\max_{v\in V(G)} \lceil \frac{d_G(v)}{f(v)} \rceil$ .一个图$G$如果是$χ'_{f}(G)=Δ_{f}(G)$则称为$f$ -类$1$，否则称为$f$ -类$2$。此外，$G_{Δ_f}$是$\{v\in V(G):\,\frac{d_G(v)}{f(v)}=Δ_{f}(G)\}$上$G$的导出子图。本文证明了：如果$G$是一个具有$Δ(G_{Δ_f})\leq 2$的连通图，且$G$的边割的大小至多为$Δ_f(G) -2$，它是一个匹配或一个星，则$G$是$f$ -Class $1$ .证明了若$G$是连通图，且$G_{Δ_f}$的连通分支是单圈图或树，且$G_{Δ_f}$不是$2$ -正则的，则$G$是$f$ -Class $1$ .除一个图外，我们还证明了所有连通无爪图$G$的$f$ -核是$2$ -正则的，其顶…
Correspondence coloring and its application to list-coloring planar graphs without cycles of lengths 4 to 8
我们介绍了一个新的变种图着色称为对应着色，推广列表着色，并允许减少以前只可能为普通着色。利用这个工具，我们证明了排除长度为4到8的圈足以保证可平面图的3-可选性，从而回答了Borodin的一个问题。
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
e-injective coloring: injective and 2-distance colorings conjectures
该研究提出e-内射着色的新定义，将其与普通着色、内射着色、2-距离着色对比，从新视角回顾相关着色猜想，并精确分析了多类图的e-内射着色性质。
Conflict-Free Coloring of Star-Free Graphs on Open Neighborhoods
给定一个图，开邻域上的无冲突着色问题（CFON）要求对图的顶点着色，使得所有顶点在其开邻域中有唯一着色的顶点。这种着色所需的最小颜色数称为无冲突色数，记为$χ_{ON}(G)$。本文在无$S_k$图上研究这个问题，其中$S_k$是$k+1$上的星.当$G$是$S_k$自由，我们表明，$χ_{ON}(G) = O(k\cdot \log^{2+ε}Δ)$，对任何$ε> 0$，其中$Δ$表示的最大程度的$G$ .此外，我们证明了存在的无爪（$S_3$ -免费）图，需要$Ω(\log Δ)$颜色。
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
On differences between DP-coloring and list coloring
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoconák和Postle引入的列表着色的推广。许多已知的列表-色数的上界可以扩展到DP-色数，但并不是所有的上界都可以扩展到DP-色数.在这篇文章中，我们描述了DP-着色的一些不寻常的性质，使它远离列表着色。特别地，我们给出了一个具有DP-色数$4$的平面二部图的例子，证明了具有$d\geq 2$的$d$ -正则图的边DP-色数总是至少为$d+1$ .
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
Fall-colorings and b-colorings of graph products
给定图$G$的适当着色$f$，$f$中的b-顶点是与除了它自己的颜色类之外的每个颜色类相邻的顶点。如果每个色类至少包含一个b-顶点，则它是b-染色;如果每个顶点都是b-顶点，则它是落染色。$G$的b-色数是$G$具有$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$，而$G$的落色数和落色数分别是$G$具有落染色的最小和最大整数$f_1(G),f_2(G)$。本文研究了b-同态和II型同态的概念，它们推广了b-染色和落染色的概念，并给出了关于乘积图的一些元定理。因此，我们得出一些以前已知的事实，这些指标的图形产品。我们也给出了一个否定的答案所提出的一个问题，考尔和Mitillos关于完美图的秋天着色。
Perfect colorings of $Z^2$: Nine colors
我们列出了$Z^2$的所有完美着色，9种或更少的颜色。关键词：完美着色，公平分割
About Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。本文回答了\cite{dun}关于图的秋天着色与其它几类图的秋天着色之间的关系的一些问题。
Generalization of some results on list coloring and DP-coloring
本文利用DP-染色和变量退化的概念引入了DP-染色，并对以下文献的证明进行了改进：（i）不含$4$、$9$ -圈和来自$\{6, 7, 8\}$（R. Liu，S. Loeb，M. Rolek，Y. Yin，G. Yu，Graphs and Combinatorics 35（3）（2019）695-705），（ii）当$i$（P. Sittitrai，K. Nakprasit，arXiv：1801.06760（2019）preprint），（iii）每个可平面图都是$5$ -可选的（C. J. Combin. Theory Ser.B62（1994）180-181）。利用这种修改，我们得到了更多的结果列表着色，DP-着色，列表森林着色，变量退化。
Reflexive coloring complexes for 3-edge-colorings of cubic graphs
给定一个3-可着色图$X$，3-着色复体$B(X)$是指其顶点都是$X$的某些3-着色中作为色类出现的独立集的图.如果$C$和$D$一起出现在$X$的3色中，则两个颜色类$C,D \in V(B(X))$通过边连接。图$B(X)$是3-可着色的。$B(B(X))$同构于$X$的图称为自反图。本文研究了允许半边的三次图的3-边染色。然后我们考虑了它们的线图的3-着色复形。本文的主要结果是一个令人惊讶的结果，即任何连通三次无三角形外平面图的线图都是自反的。我们还展示了一些其他有趣的自反线图类。
Complexity of equitable tree-coloring problems
图$G$的$(q,t)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是最大度至多为$t.$的森林图$G$的$(q,t)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是森林。Wu、Zhang和Li介绍了\emph{equitable $(q, t)$-tree-coloring}（分别为\emph{equitable $(q, \infty)$-tree-coloring}）的概念，它是一个$(q,t)$ -树着色（分别为$(q, \infty)$ -树着色），使得任何两个颜色类的大小最多相差一个。在其他结果中，他们得到了一个尖锐的上界的最小$p$，使$K_{n,n}$有一个公平的$(q, 1)$ -树着色的每一个$q\geq p.$在本文中，我们得到了一个多项式时间的标准，以决定是否完全二部图有一个公平的$(q,t)$ -树着色或公平的$(q,\infty)$ -树着色。然而，判定图$G$一般具有公平$(q,t)$ -树着色还是公平$(q,\infty)$ -树着色是NP-完全的。
Equitable Dominator Coloring of Graphs
提出公平支配着色新概念，结合支配着色与公平着色，研究基本图类的公平支配色数及其界。
A note on fall colorings of Kneser graphs
图G的秋天染色是指图G的k种颜色的真染色，使得每个顶点在其闭邻域上都能看到所有的k种颜色。本文刻画了KG（n，2）型Kneser图的所有秋天染色.
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
On irredundance coloring and irredundance compelling coloring of graphs
本文研究图的非冗余着色与非冗余强制着色，定义并详细分析了非冗余色数和非冗余强制色数，探讨它们与其他着色及控制参数之间的关系。
Restricted extension of sparse partial edge colorings of complete graphs
给定一个完全图$K_n$的部分边染色和$K_n$的非着色边的允许颜色列表，我们能不能仅用列表中的颜色将部分边染色扩展到$K_n$的正常边染色？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分边着色和颜色列表满足一定的稀疏性条件。
3-facial edge-coloring of plane graphs
平面图的$\ell$ -面边染色是指平面图的边的染色，使得任意面的边界行走上的任意两条距离至多为$\ell$的边都有不同的颜色.它是$\ell$ -面顶点着色的边着色变体，它是著名的循环着色的推广。证明了至多有$3\ell + 1$色满足任何平面图的$\ell$-面边染色.该猜想仅在$\ell \le 2$中得到证实，本文证明了它对$\ell = 3$的有效性.
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: I. Acyclic, star, and treewidth colorings
我们证明了对任意固定整数$m \geq 1$，最大度$Δ$的图有一个用$O(Δ^{(m+1)/m})$颜色着色的图，其中每个连通的双色子图至多包含$m$边.这一结果统一了先前已知的上界的颜色的数量足够的某些类型的图着色，包括星形着色，其中$O(Δ^{3/2})$颜色足够，和非循环着色，其中$O(Δ^{4/3})$颜色足够。我们的证明使用了Alon，McDiarmid和Reed的概率方法。这个结果也给出了以前未知的上界，包括这样一个事实，即最大程度$Δ$的图有一个适当的着色与$O(Δ^{9/8})$颜色，其中每个双色子图是平面的，以及一个适当的着色与$O(Δ^{13/12})$颜色，其中每个双色子图有树宽最多$3$。
Coloring, List Coloring, and Painting Squares of Graphs (and other related problems)
本文综述了图的平方的着色、列表着色和涂色问题，特别是强边着色，主要关注平面图和其他稀疏图类。
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
On Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。我们记${\rm Fall}(G)$为所有正整数$k$的集合，其中$G$具有下降$k$ -着色。本文研究了图的字典积和图的范畴积的落染色，并回答了\cite{dun}中关于完全图的范畴积的落染色的一个问题.然后，我们研究了并图的秋天染色。然后证明了图的降$k$ -染色可以约化为图在指定集合中的真$k$ -染色。然后，我们刻画了图的Mycielskian的秋天染色。最后，证明了对每个二部图$G$，${\rm Fall}(G^{c})\subseteq \{χ(G^{c}) \}$，判定是否为${\rm Fall}(G^{c})=\{χ(G^{c}) \}$是多项式时间的.
Majority distinguishing edge coloring
本文结合多数着色与区分着色概念，证明无悬挂边图可用至多 ⌈√Δ⌉+5 种颜色实现多数区分边着色，并推广到若干图类及对称有向图。
Restricted extension of sparse partial edge colorings of hypercubes
我们考虑以下类型的问题：给定$d$维超立方体$Q_d$的部分正确$d$ -边着色，以及$Q_d$的非着色边的允许颜色列表，我们可以仅使用列表中的颜色将部分着色扩展到正确的$d$ -边着色吗？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分着色和色表满足一定的稀疏性条件。
On facial unique-maximum (edge-)coloring
平面图的面唯一极大染色是顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上恰好出现一次。如果要求着色是适当的，则将这种着色所需的最小颜色数的上界设置为$5$。Fabrici and Goring [Fabrici and Goring 2016]甚至认为$4$颜色总是足够的。因此，证明这个猜想将大大加强四色定理。本文证明了该猜想对次三次平面图、外平面图和平面四边形都成立。此外，我们考虑面边染色类似上述着色，并证明了每个$2$连通平面图允许这样的着色与最多$4$颜色。
A note on hypergraph colorings
令$t\geqslant 2$和$s\geqslant 1$是两个整数。定义一个超图的$(t,s)$ -着色是用$t$颜色对超图的顶点着色，使得每种颜色在每条边上至少出现$s$次。本文利用Lovász局部引理的对称不平衡形式，给出了超图存在$(t,s)$ -染色的一个充分条件.我们的结果推广了超图染色的几个已知结果。
l-facial edge colorings of graphs
平面图的l-面边着色是指边的着色使得在某个面的边界行走上距离最大为l的任意两条边得到不同的颜色。证明了3l + 1色足以使任何平面图的l-面边着色。证明了任意平面图的2面边染色有7种颜色，从而证实了l = 2时的猜想。
Nordhaus-Guddam Type Relations of Three Graph Coloring Parameters
设G是一个单图。图G的顶点的染色称为：（i）2-真染色，如果距离为2的顶点接收不同的颜色;（ii）内射染色，如果拥有共同邻居的顶点接收不同的颜色;（iii）正方形染色，如果距离至多为2的顶点接收不同的颜色。本文研究了2-真色数、单射色数和平方色数的Nordhaus-Guddam型不等式.
Upper Bounds on Sets of Orthogonal Colorings of Graphs
我们将正交拉丁方的概念推广到单图的染色。一个图的两个$n$ -着色称为\emph{orthogonal}，如果当两个顶点在一个着色中共享一种颜色时，它们在另一个着色中具有不同的颜色。我们表明，通常的界限上的最大尺寸的一组特定的正交拉丁结构，如拉丁广场，行拉丁广场，等- $n$广场，单对角拉丁方，双对角拉丁方，或数独广场是一个特殊情况下的界限上的正交染色的图。
Normal 6-edge-colorings of cubic graphs with oddness 2
本文推广了Mazzuoccolo和Mkrtchyan关于循环置换图正常6-边着色的结果，证明了每个奇度为2的三次图都允许用至多6种颜色进行正常边着色。
On the simultaneous edge coloring of graphs
关于图的同时边染色
Unique-maximum and conflict-free colorings for hypergraphs and tree graphs
研究了超图的两类顶点着色：唯一极大着色和无冲突着色之间的关系。在唯一最大着色中，颜色是有序的，并且在超图的每个超边中，最大颜色只出现一次。在无冲突着色中，在超图的每一个超边中都有一种颜色只出现一次。在任意超图中，我们定义了相应的唯一最大色数和无冲突色数，并研究了它们之间的关系。然后，我们集中讨论了由树图中的简单路导出的超图。
Double-Partition Coloring problem: a unified approach for conflict-free coloring of hypergraphs and other coloring problems in graphs
本文研究双划分着色问题（DPCP），提出结构性质、启发式方法及增强的分支定价精确算法，并在CFCP实例上首次进行计算评估，与紧凑整数规划公式互补求解。
Colorings with neighborhood parity condition
在这篇简短的论文中，我们引入了一个新的顶点染色，其动机来自于我们的一系列关于图的奇边染色。称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.我们证明了每个简单可平面图都有一个奇$9$ -染色，并猜想$5$色总是足够的.
Defective DP-colorings of sparse multigraphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvorak和Postle最近发展的列表着色的推广。引入并研究了多重图的$(i,j)$ -亏损DP-染色。本文主要研究稀疏重图，并考虑了$f_{DP}(i,j,n)$ --具有$n$ -顶点$(i,j)$ -临界重图的最小边数，即没有$(i,j)$ -亏损DP-染色但其每个真子图都有这样的DP-染色的重图$G$.对于每一个$i$和$j$，我们发现线性下界$f_{DP}(i,j,n)$是精确的无限多个$n$。
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
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