The Rank-Width of Edge-Colored Graphs
图宽是有向图和无向图的复杂性度量。秩宽是无向图的一个等价的复杂性度量，具有良好的算法和结构性质。它特别与顶点-子关系有关。我们讨论了边着色图的秩宽度的概念的扩展。C-着色图是其中弧用集合C中的颜色着色的图。C-着色图的秩宽度没有一个自然的概念。我们定义了两个概念的秩宽度为他们，都是基于编码的C-着色图的边着色图，其中每个边缘有一个颜色从字段F和命名分别为F-秩宽度和F-双秩宽度。这两个概念等价于candle-width。然后，我们提出了一个概念的顶点子的F-着色图，并证明了F-着色图的有界的F-秩宽度的特征在于一个有限的列表的F-着色图排除作为顶点子。决定F色图是否具有F秩宽度（分别）的立方时间算法F-双秩宽度），且k为固定值。给出了检查秩宽度有界的F-着色图的MSOL可定义性质的图操作。所有这些概念的专业化（有向）图没有边的颜色，这表明我们的结果推广的无向图。
2014-07-08 cs.DM math.CO
On 2-colored graphs and partitions of boxes
证明了如果图G的边可以着色为蓝色或红色，且每个顶点都属于每种颜色的单色k-团，则G至少有4（k-1）个顶点。这证实了Bucic、Lidicky、Long和Wagner（arXiv：1805.11278[math.CO]）的一个猜想，从而解决了他们关于具有k-穿透性质的离散盒的划分问题的二维情况。我们还描述了平等的情况下，我们的结果。
2018-10-21 cs.DM math.CO
Nearly tight bound for rainbow clique subdivisions in properly edge-colored graphs and applications
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了在正确边着色图中存在雨色K_t子图的近似界限，并应用于加性组合学、数论和编码理论。
2026-02-09 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for three colors and multiple forbidden patterns
Erdenses和Szekeres的Ramsey定理的定量版本断言，任何n个顶点的完全图，如果边着色为两种颜色，则至少有1/2log（n）个顶点存在单色团。著名的Erdens-Hajnal猜想断言，禁止固定的颜色模式可以确保更大的单色集团。具体地说，它要求对任何固定整数k和任何k个顶点上的团K用两种颜色边着色，存在正常数a使得在任何不包含K的副本的用两种颜色边着色的完全n-顶点图中，至少在n^a个顶点上存在单色团。我们考虑三种颜色的边着色。对于三角形族H，每个三角形都用来自{r，b，y}的颜色着色，Forb（n，H）表示完全n-顶点图的使用来自{r，b，y}的颜色且不包含来自H的颜色的边着色族。设h_2（n，H）是使得Forb（n，H）中的任意着色在至少q个顶点上有一个团且至多使用两种颜色的最大q。本文对所有至多由三个三角形组成的族H给出了h_2（n，H）的界.对于其中的大多数，我们的边界是渐近紧的。这推广了Fox，Grinshpun和Pach的一个结果，他们对由彩虹三角形组成的H确定了h_2（n，H），并证实了Erdens-Hajnal猜想。
2021-07-29 math.CO
An optimal XP algorithm for Hamiltonian cycle on graphs of bounded clique-width
本文证明了，给定$n$ -顶点图的一个宽度为cumulus的$k$ -表达式，\textsc{Hamiltonian Cycle}可以在时间$n^{\mathcal{O}(k)}$中求解.这改进了Espaniel等人（WG 2001）在时间上运行的朴素算法$n^{\mathcal{O}(k^2)}$，并且它也与Fomin等人的下限结果相匹配，即除非指数时间假设失败，否则没有算法在时间上运行$n^{o(k)}$（SIAM. J. Computing 2014）。我们提出了一种利用$k$顶点上的二边着色重图的代表集技术。其基本思想是，对于一个二边着色多重图，交替使用不同颜色的边的欧拉迹的存在性可以由两个信息确定：与每个顶点关联的着色边的数量，以及多重图的连通性。通过这个想法，我们避免了朴素算法的瓶颈，该算法将所有可能的多重图存储在具有最多$n$边的$k$顶点上。
2019-06-09 cs.DS math.CO
Weak saturation of tensor product of cliques
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
研究张量积 clique 的弱饱和度，推广了 Moshkovitz 和 Shapira 的结果，并探讨了着色超图的弱饱和度。
2026-04-08 math.CO
Homomorphisms of planar $(m, n)$-colored-mixed graphs to planar targets
$(m, n)$着色混合图$G=(V, A_1, A_2,\cdots, A_m, E_1, E_2,\cdots, E_n)$是具有弧的$m$颜色和边的$n$颜色的图。我们不允许两个弧或边具有相同的端点。从一个$(m,n)$ -着色混合图$G$到另一个$(m, n)$ -着色混合图$H$的同态是一个态射$φ:V(G)\rightarrow V(H)$，使得每条边（分别为.弧）被映射到$G$的边缘（分别弧）的相同颜色（和方向）的$H$。一个$(m,n)$ -着色混合图$T$称为$P_g^{(m, n)}$ -泛图，如果$P_g^{(m, n)}$中的每个图（围长至少为$g$的平面$(m, n)$ -着色混合图）都与$T$有同态.我们发现，平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图不存在$2m+n\ge3$（和任何值的$g$），并找到一个最小的（在顶点数）平面$P_g^{(m, n)}$ -泛图在其他情况下。
2020-08-31 math.CO
Rainbow clique subdivisions
本文证明平均度至少为 $(\nlog n)^{2+o(1)}$ 的适当边着色图必含大小为 $t$ 的完全图的彩虹细分，并由此得到循环彩虹 Turán 数的相关结果。
2023-10-13 math.CO
Clique-Relaxed Competitive Graph Coloring
我们研究了图着色对策的一个变形，如[2]中所研究的。在最初的着色游戏中，两个参与者，Alice和Bob，用一个固定的颜色集合中的合法颜色交替给图上的顶点着色，其中颜色α对于一个顶点是合法的，如果该顶点没有邻居着色为α。游戏的其他变体改变了合法颜色的定义。对于一个固定的颜色集，如果游戏结束时所有顶点都被着色，则Alice获胜，而如果游戏中存在一个顶点不能被分配合法颜色的点，则Bob获胜。Alice在图G上获胜策略所需的最少颜色数称为G的博弈色数，记为\c{hi} g（G）。一个研究得很好的变体是d-松弛着色游戏[5]，其中图G的合法着色被定义为对V（G）的任何颜色分配，使得由任何颜色类诱导的G的子图具有最大度d。本文研究了k-团松弛n-着色对策。图G的k-团松弛n-染色是指G的任一色类所诱导的子图的最大团大小小于或等于k的n-染色，也就是说，G的k-团松弛n-染色是指V（G）的n种颜色的赋值，其中不存在单色的（k + 1）-团.
2014-12-09 cs.DS math.CO
Decomposing graphs into stable and ordered parts
Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, IRIF（法国国家科学研究中心，IRIF）；Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales, CNRS/EHESS（分析与数学社会科学中心，CNRS/EHESS）；Computer Science Institute of Charles University (IUUK)（查理大学计算机科学研究所）
本文提出将依赖图类分解为稳定和有序部分的模型化方法，并证明了其在特定条件下的有效性。
2025-12-31 cs.LO math.CO math.LO
On the clique number of the square of a line graph and its relation to Ore-degree
1985年，Erdens和Nešetzil证明了图$G$的线图的平方，即$L(G)^2$，可以用$\frac{5}{4}Δ(G)^2$颜色着色。这个猜想隐含了一个较弱的猜想，即$ω(L(G)^2)$图的团数至多为$\frac{5}{4}Δ(G)^2$。在2015年，Jesleszyska-Nowak证明了$ω(L(G)^2)\le \frac{3}{2}Δ(G)^2$。本文证明了$ω(L(G)^2)\le \frac{4}{3}Δ(G)^2$ .这个定理是从我们的强结果$ω(L(G)^2)\le \frac{σ(G)^2}{3}$得出的，其中$σ(G) := \max_{uv\in E(G)} d(u) + d(v)$是图$G$的Ore度。
2017-08-07 math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
Maximum cuts in edge-colored graphs
最大色割问题的输入包括一个图$G=(V,E)$与边着色$c:E\to \{1,2,3,\ldots , p\}$和一个正整数$k$，问题是$G$是否有一个非平凡的边割使用至少$k$颜色。彩色切割问题具有相同的输入，但要求使用所有$p$颜色的非平凡边切割。与经典的最大割问题不同的是，我们证明了这两个问题是NP-完全的，即使在完整的，平面的，或有界树宽图。此外，我们证明了彩色切割是NP-完全的，即使每个颜色类导致一个集团的大小最多为3，但平凡可解时，每个颜色诱导一个$K_2$。在积极的一面，我们证明了最大色割是固定参数易处理的参数时，无论是$k$或$p$，在这两种情况下，通过构建一个三次内核。
2018-05-02 cs.CG cs.DM cs.DS
On small Mixed Pattern Ramsey numbers
我们称任何完全图的最小阶数，使得对于任何边用$k$颜色着色都不可能避免单色或彩虹三角形，即混合Ramsey数。对于任何图$H$，如果我们考虑在上面的定义中排除$k$的条件，我们产生一个\emph{Mixed Pattern Ramsey number}，记为$M_k(H)$。对于所有着色的$4$ -圈和所有着色的$4$ -团，我们根据$k$确定这个函数。我们还发现的界限$M_k(H)$时$H$是一个单色奇数周期，或足够大的$k$的明星。我们提出几个未决问题。
2014-03-15 math.CO
Computational Complexity of Covering Colored Mixed Multigraphs with Simple Degree Partitions
本文完整刻画了目标图度划分每类至多两个顶点时彩色混合多重图的覆盖问题计算复杂性，证明强P/NP-完全二分法。
2025-02-27 cs.DM math.CO
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
2022-11-28 math.CO
The anti-Ramsey numbers of cliques in complete multi-partite graphs
本文研究了完全多部图中团 $K_k$ 的反拉姆齐数，并确定了其在完全 $k$-部图及 $r\geq k$ 的平衡完全 $r$-部图中的具体数值。
2024-01-03 math.CO
Rainbow matchings in edge-colored graphs
本文研究一般边着色图中在边数与颜色数之和条件下大小为 k 的彩虹匹配的存在性，并证明所用条件是紧的。
2025-11-06 math.CO
Anti-Ramsey number of intersecting cliques
本文研究相交团构成扇图的反拉姆齐数，在完全图规模足够大的条件下精确确定了 $ar(n, F_{k, r})$ 的值。
2025-07-17 math.CO
Cliques and constructors in "Hats'"game
下面分析确定性帽子博弈的一般变体。几个戴着彩色帽子的圣人占据了一个图的顶点，第$k$个圣人可以有$h(k)$颜色之一的帽子。每个圣人都试图猜测自己的帽子的颜色，只是根据观察他的邻居的帽子，而不交换任何信息。如果一个预先确定的猜测策略保证每个颜色分配至少有一个正确的个人猜测，那么它就是获胜的。对于完全图和循环，我们解决了描述函数$h(k)$的圣人获胜的问题。在这里，我们证明了完全图上的圣人的获胜策略，并分析了几乎完全图上的帽子游戏。我们开发了“构造器理论”，这是一个定理的集合，展示了如何构建新的图形，其中圣人获胜。我们还定义了一个新的与4圈上的Hats对策等价的对策“车来检查”，并对该对策进行了全面的分析。
2021-03-21 math.CO
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
2016-12-01 math.CO
The Simple Chromatic Number of $(m,n)$-Mixed Graphs
$(m,n)$ -混合图将有向图和边着色图的概念推广到具有$m$弧类型和$n$边类型的图对象。这样的图的简单着色是到自反目标的非平凡同态。我们发现完全$(m,n)$ -混合图的简单色数可以在多项式时间内找到。对于平面图和$k$ -树（$k \geq 3$），我们发现，允许目标是自反的不降低相应的家庭的$(m,n)$ -混合图的色数。这意味着，为这些家庭寻找普遍目标可能仅限于简单的小集团。
2019-11-12 cs.DM math.CO
Clique covers of complete graphs and piercing multitrack intervals
本文研究多轨区间的穿刺问题，证明在 k-wise 相交的 t-区间集合中至少有 (k-1)/(k+1)n 个可被 t 点穿刺，并将结果推广到树的子树及边着色完全图的单色团覆盖问题。
2024-08-08 math.CO
Rainbow saturation and graph capacities
$t$着色的彩虹饱和度数$rsat_t(n,F)$是$n$顶点上的$t$边有色图的最小大小，该图不包含$F$的彩虹副本，但添加任何颜色中的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本.巴鲁斯、费拉拉、范登布什和温格强调，每个$s\ge 3$和$t\ge \binom{s}{2}$都有$rsat_t(n,K_s) = Θ(n\log n)$。在这个简短的说明中，我们证明了猜想在强意义上，渐近确定彩虹饱和数的三角形。我们的下界是概率的精神，上界是基于香农容量的某个家庭的集团。
2018-04-03 math.CO
Coloring claw-free graphs with Δ-1 colors
证明了在$Δ(G) \geq 9$顶点上不含团的无爪图$G$可以是$Δ(G) - 1$着色的.
2012-12-19 math.CO
Chinese Postman Problem on Edge-Colored Multigraphs
众所周知，无向图和有向图上的中国邮递员问题是多项式时间可解的。我们将这个结果推广到边着色重图。我们的结果与混合图上的中国邮递员问题形成鲜明对比，即，有向边和无向边的图，其问题是NP-困难的。
2016-09-12 cs.DS math.CO
List-Distinguishing Cartesian Products of Cliques
图$G$的区别数，记作$D(G)$，是使$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得每个非平凡同构交换不同颜色的顶点。图$G$上的列表分配$L$是一个函数，它为$G$的每个顶点分配一组颜色。$G$的$L$着色是其中每个顶点用来自$L(v)$的颜色着色的着色。表示为$D_{\ell}(G)$的$G$的列表区分数是最小$k$，使得将大小至少为$k$的列表分配给每个顶点的每个列表分配$L$允许区分$L$着色。本文证明了当和$n$足够大时，$K_n\Box K_m$的可区别数和列表可区别数对几乎所有的$m>n$都是一致的，否则至多相差1.作为我们的证明的一部分，我们给（据我们所知）的第一个应用程序的组合Nullstellenetrance的图形区分问题，也证明了一个不等式的二项分布，可能是独立的利益。
2017-07-06 math.CO
Monochromatic Subgraphs in Randomly Colored Graphons
设$T(H, G_n)$是固定连通图$G_n$的顶点均匀随机着色的单色副本数。当$\{G_n\}_{n \geq 1}$是稠密图的收敛序列时，本文给出了$T(H, G_n)$的极限分布的一个完整刻画.当颜色的数量增长到无穷大时，取决于期望值是否保持有界，$T(H, G_n)$要么收敛到独立泊松变量的有限线性组合，要么收敛到正态分布。另一方面，当颜色的数量固定时，$T(H, G_n)$收敛到独立中心卡方随机变量的（可能无限的）线性组合。这将经典的生日问题推广到网络中的一般单色子图，该问题涉及理解$T(K_s, K_n)$的渐近性，即完全图$K_n$中单色$s$ -团的数量（$s$ -在一组$n$朋友中匹配生日）。
2021-03-02 math.CO math.PR
Ordered and colored subgraph density problems
本文研究三个极值问题：纠正星计数渐近结果，确定有序图中最小顶点星副本的极值，并首次给出特定三色完全图的密度完整结果。
2024-03-18 math.CO
The action of the Weyl group on the $E_8$ root system
设$Γ$是$E_8$根系的根上的图，其中任何两个不同的顶点$e$和$f$由颜色等于$e$和$f$的内积的边连接。对于任何颜色集合$c$，设$Γ_c$是$Γ$的子图，它由所有$240$顶点和颜色位于$c$中的所有边组成。我们认为集团，即，$Γ$的完全子图，其是单色的，或者其大小至多为$3$，或者对于某些颜色集$c$是$Γ_c$中的最大团，或者其顶点是$E_8$根多面体的面的顶点。我们证明了，除了两个例外，两个这样的团是共轭下的自同构群的$Γ$当且仅当它们是同构的着色图。此外，对于从一个这样的团$K$到另一个团的同构$f$，我们给出了$f$扩展到$Γ$的自同构的充分必要条件，根据$f$的某些特殊的$K$的大小为7的子图的限制。
2021-07-18 math.CO
On the clique number of random Cayley graphs and related topics
本文用纯组合方法证明随机凯莱图的团数高概率为 O(log N log log N)，改进了 Alon 的上界，并据此证明 Alon 关于凯莱图团数与独立数均为 O(log N) 的猜想对几乎所有阿贝尔群成立，还构造了自补凯莱图以强形式解决 Alon–Orlitsky 问题。
2024-12-30 cs.DM math.CO math.NT
Unavoidable patterns
设\mathcal{F}_k表示2k个顶点上的2-边着色完全图族，其中一种颜色形成一个k阶团或两个k阶不相交团. Bollobás证明了对任意ε>0和正整数k，存在n（k，ε）使得n阶完全图\geq n（k，ε）的任意2-边染色包含\mathcal{F}_k的一个成员，其中n阶完全图\geq n（k，ε）的每种颜色至少有ε{nPDMATHABMO 2}条边.卡特勒和蒙塔格证明了这个猜想，他们证明了n（k，ε）<4^{k/ε}。我们给出了这个猜想的一个简单得多的证明，另外证明了对于某个常数c，n（k，ε）<ε^{-ck}。对于所有的k和ε，这个界紧到指数中的常数因子。我们也讨论了类似的结果，比赛和超图。
2008-04-06 math.CO
On Colorful Kruskal--Katona Theorems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究利用熵技术确定了边染色图中彩虹三角形的最大数量上界，并揭示了最优构造与仿射平面的关联，同时探讨了更大团计数的奇偶性差异。
2026-10-02 math.CO
$(2,2)$-colourings and clique-free $σ$-hypergraphs
我们考虑$r$ -经典意义下的一致超图$H$的顶点着色，即没有一条边的所有顶点都被赋予相同的颜色，以及$(2,2)$ -$H$的着色，其中任何边的顶点都被赋予两种颜色.这是一个特殊情况下的约束着色介绍了Bujtas和Tuza，反过来，是一个概括的Voloshin的着色混合超图。我们研究了$χ(H)$，经典色数，和$H$的$(2,2)$ -谱，即$H$具有$(2,2)$ -着色的整数$k$的集合，其中$H$恰好使用$k$颜色。我们提出了超图的扩展，保持色数和$(2,2)$ -谱，但经常重复，不增加集团数的$H$超过一个固定的数字。特别地，我们提出了稀疏的$(2,2)$ -无色数的$σ$ -超图具有任意大的色数-这些$r$ -一致超图的作者在早期的论文中进行了研究。利用这些思想，我们推广了一些已知的$3$ -一致超图，这些超图具有带隙的$(2,2)$ -谱.我们相信，这项工作是第一次提出的超图，同时保持$χ(H)$和$(2,2)$ -谱的$H$。
2014-02-13 math.CO
Spectral characterization of mixed extensions of small graphs
图$G$的一个混合扩张是由图$G$通过将图$G$的每个顶点替换为团或角而得到的图$H$，其中来自图$G$的不同顶点的图$H$的顶点相邻当且仅当原始顶点在$G$中相邻.如果$G$的顶点不超过三个，则$H$的邻接本征值除了最多三个之外都等于$0$或$-1$。本文考虑了图的逆问题，并确定了至多有三个特征值不等于$0$和$-1$的图的类$\cal G$.忽略孤立点，我们发现$\cal G$是由至多三个顶点上的图的所有混合扩张以及路径$P_4$和$P_5$的某些特定混合扩张组成的.
2018-03-01 math.CO
Odd clique minors in graphs with independence number two
本文研究独立数不超过2的图的奇 Hadwiger 猜想，证明在满足指定团规模或不含特定诱导子图的条件下，此类图必含阶为 $\lceil n/2\rceil$ 的奇团子式。
2025-05-14 math.CO
Line graphs and the transplantation method
我们研究了混合Dirichlet-Neumann边界条件的等谱性，并扩展了以前导出的移植方法的图论公式。在布朗运动理论的指导下，我们引入了点着色和边着色的线图，并由此得到了块对角移植矩阵。特别地，我们将移植方法重新表述为自由半群的表示，并提供了一种生成邻接共谱加权有向图的方法。
2015-04-13 math.CO math.SP
On the spectral characterization of mixed extensions of $P_3$
图$G$的混合扩张是通过将$G$的每个顶点替换为团或角而从$G$获得的图$H$，而当$G$中的$x$和$y$相邻时，$H$中与$G$的不同顶点$x$和$y$相对应的两个顶点相邻。如果$G$是路径$P_3$，则$H$最多有三个不等于$0$和$-1$的邻接特征值。最近，第一作者对具有上述特征值性质的图进行了分类。利用这种分类方法，我们研究了由邻接谱决定的$P_3$的混合扩张.我们提出了几个共谱家庭，并在计算机的帮助下，我们发现所有的图在大多数$25$顶点是共谱的混合扩展的$P_3$。
2019-07-20 math.CO
Semi-Inducibility of some small graphs
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；University of Illinois, Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
本文研究了某些小图的半诱导性，通过分析红蓝边染色完全图中H的副本数量，得出了四个和五个顶点图的精确结果，并为树和星图提供了通用结论。
2026-01-06 math.CO
A Brooks-like result for graph powers
图$G$的着色在于找到颜色的分配$c: V(G)\to\{1,\ldots,p\}$，使得任何一对相邻顶点接收不同的颜色。使着色存在的最小整数$p$称为$G$的色数，用$χ(G)$表示。研究了图的幂的色数，即由图$G$通过在距离至多为$k$的每对顶点之间增加一条边而得到的图.对于$k=1$，Brooks定理指出，除了$Δ+1$顶点上的团之外，每个最大度$Δ\geqslant 3$的连通图都可以用$Δ$颜色着色（即比朴素上限少一种颜色）。对于$k\geqslant 2$，一个类似的结果成立：除了摩尔图，天真的上限可以降低2。我们证明，对于$k\geqslant 3$和每个$Δ$，我们实际上可以备用$k-2$颜色，除了有限数量的图。然后我们将此值改进为$Θ((Δ-1)^{\frac{k}{12}})$。
2019-12-24 cs.DM math.CO
New Results on Edge-coloring and Total-coloring of Split Graphs
本文针对 σ=2 的分裂图，利用按伸缩指数划分的结构，刻画 Class 2 与 Type 2 图，并为 Class 1、Type 1 图提供边着色和全着色的多项式算法。
2024-06-12 cs.DM math.CO
Mean Ramsey-Turán numbers
图的$ρ$ -平均染色是图的边的染色，使得与每个顶点关联的颜色的平均数至多为$ρ$。对于图$H$和$ρ\geq 1$，{ \em mean Ramsey-Turán number} $RT(n,H,ρ-mean)$是在没有$H$的单色副本的条件下，具有$n$顶点的$ρ$ -平均着色图可以具有的最大边数。证明了在不存在$H$的单色副本的条件下，一个具有$n$顶点的$k$边着色图所能拥有的最大边数为$RT(n,K_m,2-mean)=RT(n,K_m,2)$，其中$RT(n,H,k)$.证明了该猜想对$K_3$成立.我们还证明了$RT(n,H,ρ-mean) \leq RT(n,K_{χ(H)},ρ-mean)+o(n^2)$ .这个结果对于团数等于其色数的图$H$是紧的。特别地，我们得到，如果$H$是一个3-色图有一个三角形，那么$RT(n,H,2-mean) = RT(n,K_3,2-mean)+o(n^2)=RT(n,K_3,2)+o(n^2)=0.4n^2(1+o(1))$。
2004-08-09 math.CO
Ramsey properties of semilinear graphs
一个图$G$是复杂度为$t$的半线性图，如果$G$的顶点是某个$d\in\mathbb{Z}^{+}$的$\mathbb{R}^{d}$的元素，且$G$的边由$t$线性函数$f_1,\dots,f_t:\mathbb{R}^{d}\times \mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$的符号模式定义.我们发现，半线性图的常数复杂性有非常驯服的拉姆齐性质。更精确地说，我们证明了，如果$G$是一个半线性图的复杂度$t$，其中不包含团的大小$s$和没有独立的集的大小$n$，那么$G$有最多$O_{s,t}(n)\cdot(\log n)^{O_t(1)}$顶点。我们还表明，对数项不能省略。特别地，这意味着如果$G$是在$n$顶点上具有恒定复杂度的半线性图，并且$G$不包含大小为$s$的团，则$G$可以用$\mbox{polylog}(n)$颜色适当地着色。在过去的60年里，半线性图的着色问题被广泛地研究了几个特殊的例子，如移位图，某些几何对象的交和不交图，重叠图。我们的主要结果提供了一个一般的上限色数的所有这些，看似无关，图。此外，我们还考虑了半线性图的对称Ramsey问题。已知如果在$\mathbb{R}^{d}$中存在$N$盒的交图（这样的图是复杂度为$2d$的半线性图），其不包含大小为$n$的团或独立集，则$N=O_d(n^2(\log n)^{d-1…
2021-02-24 math.CO
Bears with Hats and Independence Polynomials
本文研究图上的猜帽游戏，引入分数帽子色数$\hatμ$，并揭示其与图独立多项式的联系，从而实现多项式时间内计算弦图参数、以最大度界定参数及求出团、路径和环的精确值。
2023-10-01 cs.DM math.CO
On two problems in Ramsey-Turán theory
Alon，Balogh，Keevash和Sudakov证明了在所有的$n$ -顶点图中，对于所有固定的$k$和$r=2,3$，$(k-1)$ -分图Turán图最大化了不同的$r$ -边着色数，且没有单色的$K_k$.本文对具有次线性独立数的$n$ -顶点图中的$r=2$渐近地确定了这个函数。有些令人惊讶的是，与Alon-Balogh-Keevash-Sudakov的结果不同，Ramsey-Turán理论的极值构造作为一个自然的候选者，即使在2色的情况下，也不会最大化所有具有次线性独立数的图中没有单色团的不同边着色的数量。在第二个问题中，我们渐近地确定了具有$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点无$K_k$图$G$中三角形的最大数目.这些极图具有与经典Ramsey-Turán问题的极图类似的结构，即~当边缘的数量最大化时。
2017-04-24 math.CO
Short rainbow cycles in edge-colored graphs
本文扩展了Guo关于Aharoni彩虹圈猜想的研究，证明了当边着色图中超过半数的颜色类为大小为2的匹配或三角形时，必然存在长度为 $O(\log n)$ 的短彩虹圈，并验证了该对数界的数量级正确性。
2023-11-21 math.CO math.PR
Hitting forbidden induced subgraphs on bounded treewidth graphs
对于固定图$H$，$H$-IS-删除问题要求给定图$G$，对于集合$S \subseteq V(G)$的最小尺寸，使得$G\setminus S$不包含$H$作为导出子图。受以前关于有界树宽图上的击中（拓扑）子图和子图的工作的启发，我们有兴趣确定，对于固定图$H$，最小函数$f_H(t)$，使得$H$ -IS-删除可以在时间$f_H(t) \cdot n^{O(1)}$中求解，假设指数时间假设（ETH），其中$t$和$n$分别表示输入图的树宽和顶点数。我们证明了对于$H$在$h \geq 3$顶点上的每个图，都有$f_H(t) = 2^{O(t^{h-2})}$，如果$H$是团或独立集，则有$f_H(t) = 2^{O(t)}$。我们通过推广Cygan等人[MFCS 2014]对子图版本的简化，提出了一些下界。特别是，我们表明，当$H$稍微偏离一个集团，功能$f_H(t)$遭受急剧的跳跃：如果$H$是从一个集团的大小$h$通过删除一个边缘，然后$f_H(t) = 2^{Θ(t^{h-2})}$。我们还表明，$f_H(t) = 2^{Ω(t^{h})}$时，$H=K_{h,h}$，这种减少回答了一个开放的问题米。Pilipczuk [MFCS 2011]关于子图版本的函数$f_{C_4}(t)$。受Cygan等人[MFCS 2014]的启发，我们还考虑了该问题的彩色变体，其中$G$的…
2022-09-08 cs.CC cs.DS math.CO
A characterisation of edge-affine $2$-arc-transitive covers of $\K_{2^n,2^n}$
我们介绍的概念，一个\emph{$n$-dimensional mixed dihedral group}，一般类的群体，我们给一个图论的特征。特别地，如果$H$是$n$维混合二面体群，则我们构造$H$的边传递Cayley图$Γ$，使得$Γ$的团图$Σ$是$\K_{2^n,2^n}$的$2$ -弧传递正规覆盖，其中$\Aut(Σ)$的子群诱导$\K_{2^n,2^n}$上的特定\emph{edge-affine}作用。反之，证明了若$Σ$是$\K_{2^n,2^n}$的$2$ -弧传递正规覆盖，且$\Aut(Σ)$的子群在$\K_{2^n,2^n}$上诱导一个\emph{edge-affine}作用，则$Σ$的线图$Γ$是$n$维混合二面体群的Cayley图.此外，我们给出了一类$n$维混合二面体群的显式构造。这个家庭解决了一个问题提出的李关于正常覆盖的素数幂阶的“基本”$2$ -弧传递图。特别是，我们构造，为每个$n\geq 2$，$2$ -弧传递正常覆盖$2$ -权力秩序的“基本”图$\K_{2^n,2^n}$。
2022-11-30 math.CO
Density version of the Ramsey problem and the directed Ramsey problem
我们讨论的一个变种的拉姆齐和有向拉姆齐问题。首先，考虑一个完全图的$n$顶点和一个双染色的边缘，使得每一个边缘是着色与至少一种颜色和双着色的边缘$|E_{RB}|$的数量是给定的。我们的目标是找到一个单色集团的最大尺寸$f$，这是保证这样的着色。类似地，在第二个问题中，我们考虑$n$顶点上的半完全有向图，使得双向边数$|E_{bi}|$已给定。我们的目标是限制的大小$F$的最大传递子锦标赛，保证这样的有向图。应用概率和分析工具和建设性的方法，我们表明，如果$|E_{RB}|=|E_{bi}| = p{n\choose 2}$，（$p\in [0,1)$），那么$f, F < C_p\log(n)$，其中$C_p$只依赖于$p$，而如果$m={n \choose 2} - |E_{RB}| <n^{3/2}$，那么$f= Θ(\frac{n^2}{m+n})$。后一种情况与Turán型极值图论密切相关。
2016-01-21 math.CO
Exact distance coloring in trees
对于整数$q\ge 2$和偶数$d$，考虑由一棵大的完全$q$ -ary树通过用一条边连接树中距离恰好为$d$的任意两个顶点而得到的图.这个图有团数$q+1$，本文的目的是证明它的色数是$Θ\big(\tfrac{d \log q}{\log d}\big)$。这是不知道的，这个图的色数增长与$d$。作为一个简单的推论，我们的结果，我们给出了一个否定的答案的问题，范登Heuvel和Naserasr，问是否有一个常数$C$，使任何奇数$d$，任何平面图可以着色最多$C$颜色，使任何一对顶点的距离正好$d$有不同的颜色。最后，我们研究了树的区间着色问题（其中对于某些实数$c>1$，距离至少为$d$且至多为$cd$的顶点必须被赋予不同的颜色），给出了有界度树的区间着色的一个上界.
2018-06-11 math.CO
On the Complexity of the Positive Semidefinite Zero Forcing Number
图的正迫零数（英语：Positive zero forcing number）是一个由非传统类型的图着色所产生的图参数，并且与更传统的迫零版本有关。我们建立了迫零和快速混合搜索之间的关系，这意味着迫零问题的一些NP-完全性结果。对于弦图，关于正迫零和团覆盖之间的关系有很多了解。基于最优树覆盖和森林覆盖的构造，我们提出了一个线性时间算法来计算弦图的正迫零数。我们还证明了它是NP-完全的，以确定是否有一个图的正迫零集的一个附加的性质。
2014-07-25 math.CO
A family of $2$-groups and an associated family of semisymmetric, locally $2$-arc-transitive graphs
一个混合二面体群是一个群$H$，它有两个不相交的子群$X$和$Y$，每个初等交换的阶为$2^n$，使得$H$由$X\cup Y$和$H/H'\cong X\times Y$生成。本文对每个$n\geq 2$，构造了一个幂零类$3$和阶$2^a$的混合二面体$2$ -群$H$，其中$a=(n^3+n^2+4n)/2$，以及一个相应的图$Σ$，它是$H$的一个Cayley图的团图.证明了$Σ$是半对称的，即${\rm Aut}(Σ)$作用在$Σ$的边上是传递的，而作用在$Σ$的顶点上是不传递的.这些图是第一个已知的半对称图构造的群体，而不是$2$生成（实际上$H$需要$2n$发电机）。此外，我们还证明了$Σ$是局部$2$ -弧传递的，并且是“基本”局部$2$ -弧传递图${\rm K}_{2^n,2^n}$的正规覆盖.因此，这类图的构造有助于研究基本局部$2$ -弧传递图的素幂阶正规覆盖--这是C.~ H.~李
2023-03-01 math.CO
Colorful Minors
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与力学学院）；LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学法国国家科学研究中心）；KAIST, School of Computing（韩国科学技术院计算机学院）
本文提出彩色极小图概念，发展其结构理论，并展示其在算法中的应用。
2026-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
Polynomial Compressibility and Forbidden Oriented Forests
School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）
该研究构造了有向图反例，反驳了有向团数有界时τ-有界性的多项式猜想，并证明禁止图产生多项式τ-有界类仅当基础图为森林，同时给出若干具体界。
2026-09-29 math.CO
