Some results on the structure of multipoles in the study of snarks
多极子是我们通过切割三次图的一些边而获得的片段。作为切割的结果，多极$M$具有带有一个自由端的悬挂边，我们称之为半边。然后，每一个3-边染色的多极诱导一个染色或状态的半边，满足奇偶引理。多极子在研究三次图的蛇纹图（即不能3-边着色的三次图）中得到了广泛的应用。给出了色完备和色闭多极子的状态和结构的一些结果。特别地，我们给出了色完备多极子的最小阶的线性上下界，并计算了它的精确状态数。给定两个具有相同半边数的多极子$M_1$和$M_2$，我们说$M_1$可约化为$M_2$，如果$M_2$的状态集是$M_1$的状态集的非空子集，并且$M_2$的顶点数少于$M_1$ .函数$v(m)$定义为具有$m$半边的不可约多极子的最大顶点数。$v(m)$的精确值仅为$m\le 5$所知。我们证明了树和循环多极子是不可约的，作为副产品，$v(m)$有一个线性下界。
2013-08-02 math.CO
Three-edge-coloring (Tait coloring) cubic graphs on the torus: A proof of Grünbaum's conjecture
本文证明可嵌入环面的循环4边连通立方体图除类Petersen图外均可3边着色，刻画了环面snark的点积构造，并推出环面图上的强化版Tutte 4流结论。
2025-05-11 math.CO
Normal 6-edge-colorings of some bridgeless cubic graphs
在一个三次图的边着色中，如果一条边和与之相邻的四条边的颜色集分别恰好有五种或恰好三种不同的颜色，则该边是贫边或富边。在边着色中，如果边的着色是丰富的或贫乏的，则该边是正常的。三次图的正规$k$ -边染色是用$k$颜色进行边染色使得图的每条边都是正规的。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正常的$k$ -边染色。正规边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。证明无桥三次图的$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想。此外，Jaeger能够证明它包含了经典的猜想，如循环双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。最近，两个作者能够证明，任何简单的立方图允许正常的$7$ -边染色，这个结果是最好的可能。本文证明了任意无爪无桥三次图、置换蛇、树型蛇都有正规的$6$ -边染色。最后，我们证明了任何无桥三次图$G$都允许$6$ -边染色，使得$G$的至少$\frac{7}{9}\cdot |E|$边是正规的。
2019-10-27 cs.DM math.CO
On the minimum vertex cover of snarks
Federal University of Ceará（福塔莱萨联邦大学）
本研究针对奇环图，证明判定其是否存在指定大小顶点覆盖为NP完全问题，并确定了多个奇环图子类的顶点覆盖数。
2026-08-14 math.CO
An infinite family of Type 1 fullerene nanodiscs
研究富勒烯纳米盘的全着色问题，证明任意纳米盘中心层4-全可着色，并在半径r=5+3k时扩展至整个纳米盘，构造出Type 1纳米盘的无穷族。
2024-03-24 math.CO
Generation and Properties of Snarks
对于许多未解决的问题，关于圈和匹配的图，它是已知的，这是足够的证明他们为\emph{snarks}，类的非平凡3-正则图，不能3-边着色。在本文的第一部分中，我们提出了一个新的算法生成所有的非同构的snark的一个给定的顺序。我们实现的新算法比以前的程序生成咆哮快14倍，生成弱咆哮快29倍。利用这个程序，我们已经生成了所有的非同构snark上的$n\leq 36$顶点。以前已发布了最多$n=28$顶点的列表。在本文的第二部分中，我们分析了生成的咆哮集的一些属性和结构。我们发现，一些最强的版本的循环双盖猜想举行的所有这些订单的咆哮，耶格的彼得森着色猜想，这反过来又意味着，富尔克森猜想没有小的反例。在这些积极的结果相比，我们还发现反例，以前发表的八个关于圈覆盖和一般圈结构的三次图。
2013-06-28 cs.DM math.CO
Cubic graphs with colouring defect 3
本研究针对着色亏格为3的蛇形图（不可3-边着色的立方图）建立约化理论，证明其可约化为非平凡亏格3蛇形图或由高亏格非平凡蛇形图顶点膨胀得到的图，并探讨了结果在Berge与Fulkerson猜想中的应用。
2023-10-02 math.CO
Ban--Linial's Conjecture and treelike snarks
一个无桥三次图$G$称为有2-二分图，如果存在$G$的2-顶点着色（不一定是真的）使得：（i）色类具有相同的基数，（ii）单色分量是孤立的顶点或边。在2016年，Ban和Linial证明了除了著名的Petersen图之外，每个无桥立方图都允许2-二分。在同一文件中，它表明，每一类I无桥立方图承认这样的二分法。在图论中，第二类无桥三次图被称为Snark，特别是那些过度指数至少为5的图，即其边集不能被四个完美匹配覆盖的图。此外，在[J.图论，86（2）（2017），149- 158]中，Esperet等人指出，Ban-Linial猜想的可能反例必须具有至少5的循环流数。同一作者还指出，虽然经验证据表明，从彼得森图获得的几个图承认2-二分法，但它们不能提供任何一般证明。尽管有一些零星的计算结果，到目前为止，还没有一个普遍的结果已经证明了过度的指数和循环流数至少为5。在这项工作中，我们表明，树状的咆哮，这是一个无限的家庭的咆哮严重依赖于彼得森图和他们的循环流数和过度指数至少为5，承认2-二分法。
2022-04-19 math.CO
Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44
snarks族--不能是3边着色的连通无桥三次图--是图论中几个重要和长期存在的理论的潜在反例来源。这些包括循环双覆盖猜想，Tutte的5-flow猜想，Fulkerson猜想和其他几个猜想。接近这些构造的一种方法是通过研究snarks的结构性质和构造具有给定性质的小例子。在本文中，我们处理的问题，确定一个非平凡的snark（即，这是循环4-边连接，围长至少为5）的奇数至少为4的最小阶。结合结构分析和大量的计算，我们证明了奇度至少为4且循环连通度为4的snark的最小阶为44。以前它是已知的，这样的咆哮必须有至少38个顶点[J. Combin。Theory Ser.B103（2013），468- 488]，并且Lukot'ka等人[Electron. J. Combin. 22（2015），#P1.51]。证明需要确定36个顶点上的所有循环4-边连接的咆哮，这将先前编译的所有此类咆哮的列表扩展到34个顶点[J. Combin. Theory Ser. B，loc. cit.]。作为一个副产品，我们使用这个新的列表来测试几个假设的有效性，其中咆哮可以是最小的反例。
2019-01-10 cs.DM math.CO
The smallest nontrivial snarks of oddness 4
一个三次图的奇性是指该图的2-因子中奇回路的最小数目。这个不变量被广泛认为是三次图的不可着色性的最重要的度量之一，因此在围绕snark（连通三次图不允许适当的3-边着色）的许多问题和问题的研究中反复出现。在[Ars Math. Contemp. 16（2019），277-298]我们已经证明了具有循环连通度4和奇度4的snark的最小顶点数是44。我们现在显示，正好有31个这样的咆哮，它们都有周长5。这些咆哮是由Petersen图的子图和少量额外的顶点建立的。根据它们的结构，它们分为六类，每一类都会产生一个无限的snark家族，其奇数至少为4，并且顺序递增。我们解释了这31个Snark的奇度为4的原因，并证明了这31个Snark构成了44个顶点上的循环连通度为4且奇度为4的Snark的完备集。证明是一个纯粹的理论方法与计算机进行的大量计算相结合。
2019-01-30 cs.DM math.CO
On snarks that are far from being 3-edge colorable
本文构造了两个具有高奇性和低周长的无穷snark族。使用这种结构，我们还给出了一个反例，建议加强Fulkerson的猜想表明，彼得森图是不是唯一的循环4-边连通的三次图，需要至少五个完美匹配，以覆盖其边缘。此外，给出的反例有一个有趣的性质，即没有2-因子可以是循环双覆盖的一部分。
2012-03-09 cs.DM math.CO
Quest for graphs of Frank number $3$
在图$G$的方向$O$中，当且仅当$O-e$是强连通的时，边$e$是可删除的。对于一个$3$ -边连通图$G$，Hörsch和Szigeti定义了Frank数为最小$k$，对于该最小$k$，$G$允许$k$方向，使得$G$的每条边$e$在至少一个$k$方向上是可删除的.他们证明了对每个$3$ -边连通图$G$，Frank数至多为$3$.他们证明了Petersen图具有Frank数$3$，但这是唯一具有此性质的例子。本文给出了一类具有Frank数$3$的图. Hörsch和Szigeti证明了每一个$3$ -边可着色的$3$ -边连通图至多有$3$的Frank数.考虑非$3$边可着色图作为Frank数大于$2$的候选图是很有吸引力的。有时候，讽刺是找到关键例子或反例的好来源。人们可能会怀疑各种snark都应该有Frank编号$3$。然而，我们证明了几个候选无限类的snark具有Frank数$2$。以及广义Petersen图$GP(2s+1,s)$。我们根据自己的经验制定了许多计划。
2022-09-19 math.CO
On a metric property of perfect colorings
给定图的一个完美染色，证明了该图的邻接矩阵的两行之间的$L_1$距离不小于该染色的参数矩阵的相应行之间的$L_1$距离.借助于代数方法，我们对完美$2$ -染色、距离- $l$图和距离正则图中的完美染色，导出了这个结果的推论.我们还提供了例子，当所获得的性质拒绝几个假定的参数矩阵的完美染色的无限图。
2021-02-03 math.CO
Proper conflict-free coloring of sparse graphs
图的{ \it真无冲突$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上只出现一次.这一概念由Fabrici等人正式提出，证明了平面图有一个正确的无冲突8-染色，并构造了一个没有正确的无冲突5-染色的平面图。Caro、Petruševski和Škrekovski进一步研究了这个着色概念，特别是研究了保证$c\in\{4,5,6\}$正确的无冲突$c$ -着色的最大平均度的上界。沿着这些路线，我们完全确定的最大平均度的图$G$，表示为$mad(G)$，这保证了一个适当的无冲突的$c$着色所有$c$的阈值，也提供了紧密的例子。也就是说，对于$c\geq 5$，我们证明了一个图$G$与$mad(G)\leq \frac{4c}{c+2}$有一个适当的无冲突$c$ -染色，除非$G$包含一个$1$ -细分的$c+1$顶点上的完全图。当$c=4$，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{12}{5}$有一个适当的无冲突$4$ -染色，除非$G$包含一个诱导$5$ -圈.此外，我们还证明了围长至少为5的平面图有一个适当的无冲突$7$ -染色。
2022-04-12 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
2021-11-08 math.CO
On proper colorings of hypergraphs
设$\mathcal{H}$是最大顶点度为$Δ$的超图，使得它的每个超边至少包含$δ$顶点.令$k=\lceil\frac{2Δ}δ\rceil$。我们证明了（i）超图$\mathcal{H}$允许点按$k+1$颜色染色. (ii)超图$\mathcal{H}$允许$k$色的正常点染色，如果$δ\ge 3$和$k\ge 3$ .作为这些结果的结果，我们推导出动态着色的颜色数的上界。
2011-11-07 math.CO
A proper total coloring distinguishing adjacent vertices by sums of some product graphs
本文考虑一个真全染色，它是用和来区分邻顶点的，如果每两个邻顶点的关联边的颜色之和与顶点的颜色之和不同. Pilsniak和Wozniak \cite{PW}首先介绍了这种着色，并提出了一个猜想，即区分邻顶点的和所需的最小颜色数小于或等于最大度加上$3$。研究了图的和与积区分邻顶点的真全染色。我们发现这些图满足猜想。
2014-12-08 math.CO
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
2024-05-26 cs.DM math.CO
Rainbow induced subgraphs in proper vertex colorings
对于给定的图$H$，我们定义$ρ(H)$为图$G$的最小阶，使得$G$的每一个真点染色都包含一个与$H$同构的彩虹诱导子图.我们给出了$ρ(H)$的上界和下界，计算了某些类图的精确值，并考虑了一个有趣的组合问题与路径的$ρ(H)$的计算。本研究的动机是一些想法，在线图着色算法。
2011-05-18 math.CO
Edge Coloring Signed Graphs
我们定义了一个边着色的方法签署的图，这意味着这样的着色是适当的。我们的方法有许多理想的性质：它专门针对通常的边染色的概念时，签署的图是全负的，它有一个自然的定义，在一个线图的顶点染色，和所需的最小颜色数的签署单图的适当着色是有界的Δ + 1以上平行于Vizing定理。事实上，Vizing定理是关于符号图的更困难的定理的特殊情况。
2018-12-04 math.CO
Ordinary and measurable colorings of Euclidean three-space
该研究利用OpenAI的平面特征定律刚性定理，证明三维欧氏空间的普通色数与可测色数相等，且均介于7和15之间。
2026-10-15 math.CO
Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
2007-04-20 math.CO
Restricted extension of sparse partial edge colorings of hypercubes
我们考虑以下类型的问题：给定$d$维超立方体$Q_d$的部分正确$d$ -边着色，以及$Q_d$的非着色边的允许颜色列表，我们可以仅使用列表中的颜色将部分着色扩展到正确的$d$ -边着色吗？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分着色和色表满足一定的稀疏性条件。
2017-11-03 math.CO
Nordhaus-Guddam Type Relations of Three Graph Coloring Parameters
设G是一个单图。图G的顶点的染色称为：（i）2-真染色，如果距离为2的顶点接收不同的颜色;（ii）内射染色，如果拥有共同邻居的顶点接收不同的颜色;（iii）正方形染色，如果距离至多为2的顶点接收不同的颜色。本文研究了2-真色数、单射色数和平方色数的Nordhaus-Guddam型不等式.
2012-09-11 math.CO
On the existence of a rainbow 1-factor in proper coloring of K_{rn}^{(r)}
El-Zanati等人证明了：对于完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任意1-因子分解$\mathcal{F}$，若其具有$r\geq 2$和$n\geq 3$，则存在彩虹1-因子.我们推广了他们的结果，证明了在完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任何带有$r\geq 2$和$n\geq 3$的适当染色中，都存在彩虹1-因子。
2007-11-19 math.CO
On cubic bridgeless graphs whose edge-set cannot be covered by four perfect matchings
确定覆盖立方无桥图的边集所需的完美匹配数的问题与Berge和Fulkerson的一个著名猜想密切相关。本文证明了对一个给定的立方无桥图判定这个数是否至多为4是NP-完全的。我们还构造了一个无限族$\cal F$的snark（围长至少为5且色指数为4的循环4-边连通三次图），其边集不能被4个完美匹配覆盖.已知的此类图表只有两个。事实证明，家庭$\cal F$也有有趣的性质，最短的周期覆盖问题。任何具有$m$边的三次无桥图的最短圈覆盖的长度至少为$\tfrac43m$，并且证明了这个不等式对$\cal F$图是严格的.我们还构造了第一个已知的snark，没有长度小于$\tfrac43m+2$的循环覆盖。
2013-11-15 math.CO
Proper edge coloring with rainbow diamonds
受Gyárfás和Sárközy定义的B-着色启发，提出一种新的边着色D-着色，要求每个菱形子图是彩虹的，并给出D-色指数上界及猜想。
2026-06-05 math.CO
Nowhere-Harmonic Colorings of Graphs
图的真点着色与它的边界映射有关，也称为它的符号点边关联矩阵。图的顶点拉普拉斯算子是边界映射的自然扩张，它使我们引入无处调和着色和类似的色多项式以及斯坦利定理，该定理将色多项式的负评价与非循环方向联系起来。此外，我们还讨论了一些例子，证明无处调和着色更复杂，从枚举的角度比适当的着色。
2010-11-17 math.CO
The forb-flex method for odd coloring and proper conflict-free coloring of planar graphs
本研究提出贪心着色新工具forb-flex方法，结合放电法改进了平面图奇着色与正常无冲突着色的色数上界，优化了已有研究结果。
2024-01-26 math.CO
On restricted colorings of $(d,s)$-edge colorable graphs
如果一个循环的边被两种不同的颜色正确着色，则该循环是$2$着色的。一个$(d,s)$ -边可着色图$G$是一个$d$ -正则图，它允许一个适当的$d$ -边着色，其中$G$的每条边至少在$s-1$ $2$ -着色$4$ -圈中.给定一个$(d,s)$ -边可着色图$G$和满足一定稀疏性条件的$G$的边的禁色列表分配$L$，证明了$G$存在一个避免$L$的$d$ -边适当着色，即$G$的适当边着色$φ$，使得对$G$的每条边$e$都有$φ(e) \notin L(e)$.
2019-05-25 math.CO
Majority dominator colorings of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图.图$G$的多数支配着色是指图的每个顶点至少支配一个色类的一半的真着色。多数支配色数$χ_{md}(G)$是$G$的多数支配着色中颜色类的最小数目。本文研究了图的多数支配染色的性质。利用色数、控制色数、最大度、控制数和独立数得到了紧的上、下界。我们还研究了所选图族的多数支配染色数。
2022-12-28 math.CO
About Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。本文回答了\cite{dun}关于图的秋天着色与其它几类图的秋天着色之间的关系的一些问题。
2009-09-15 math.CO
Graceful Coloring of Ladder Graphs
一个非空图$G=(V,E)$的优美k-染色是一个真点染色$f:V(G)\rightarrow\lbrace 1,2,...,k \rbrace$，$k\geq 2$，它诱导一个由$f^{*}(uv) = |f(u)-f(v)|$定义的真边染色$f^{*}:E(G)\rightarrow\lbrace 1, 2, . . . , k-1 \rbrace $，其中$u,v\in V(G)$ .使$G$具有优美$k$ -染色的最小$k$称为优美色数$χ_{g}(G)$ .本文研究了几类梯形图的优美色数。
2022-11-29 math.CO
Partially normal 5-edge-colorings of cubic graphs
在一个三次图的正常边染色中，如果与$e$相邻的边所使用的颜色集的基数为3或5，则边$e$是正常的。Petersen着色猜想认为每个无桥三次图都有正规5-边着色，也就是说，有一个真5-边着色使得所有的边都是正规的。本文证明了与Petersen着色猜想有关的一个结果。参数$μ_3$是Steffen在2015年引入的三次图的度量。我们的结果表明，每一个无桥三次图$G$都有一个适当的5-边染色，使得至少$|E(G)|-μ_3(G)$（不小于$\frac{4}{5}|E(G)|$）有许多边是正规的.这一结果改进了B 'ılková和Šámal的一些早期结果.
2019-11-15 math.CO
Coloring Distance Graphs on the Integers
给定一个正整数的集合D，整数上的关联距离图是以整数为顶点的图，如果它们的差在D中，则不同顶点之间有一条边。研究了距离图的色数。我们证明了，如果$D = {d_1,d_2,d_3,...}$，且对所有n都有$d_n | d_{n+1}$，则距离图有一个适当的4-染色。我们进一步找到了所有这类距离图的精确色数。其次，我们刻画了具有周期真染色的距离图，并给出了色数与周期真染色存在性之间的关系。
1998-05-19 math.CO
Strongly proper connected coloring of graphs
基于\emph{strong}边着色的概念，研究了图的\emph{connected coloring}的一个新的变形（每个颜色类形成一个\emph{induced}匹配）.特别地，如果边缘着色路径的颜色序列在至多两个距离内不包含相同项，则该边缘着色路径是\emph{strongly proper}。图$G$的\emph{strong proper connected}染色是指图$G$的每对顶点至少由一条强真路连接的染色，用spc（$G$）表示图$G$的这种染色所需的最少颜色数.本文证明了对于任何$2$ -连通图$G$，上界spc（$G$）$\leq$ {5}成立.另一方面，我们证明了存在具有任意大围长的$2$连通图满足spc（$G$）$\geq$ {4}.此外，我们还证明了圈长可被$3$整除的图满足spc（$G$）$\leq{3}$ .我们还简要地考虑了其他连接着色定义的各种限制的颜色序列的连接路径。例如，在$G$的\emph{nonrepetitive connected coloring}中，每对顶点都应该由颜色序列为\emph{nonrepetitive}的路径连接，也就是说，它不包含两个相邻的相同块。我们证明了$2$ -连通图是$15$ -可着色的，而$4$ -连通图是$6$ -可着色的，在连通非重复意义下.一个类似的结论与有限的上限的颜色的数量保持了更广泛的各种连接着色…
2023-02-08 math.CO
On Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。我们记${\rm Fall}(G)$为所有正整数$k$的集合，其中$G$具有下降$k$ -着色。本文研究了图的字典积和图的范畴积的落染色，并回答了\cite{dun}中关于完全图的范畴积的落染色的一个问题.然后，我们研究了并图的秋天染色。然后证明了图的降$k$ -染色可以约化为图在指定集合中的真$k$ -染色。然后，我们刻画了图的Mycielskian的秋天染色。最后，证明了对每个二部图$G$，${\rm Fall}(G^{c})\subseteq \{χ(G^{c}) \}$，判定是否为${\rm Fall}(G^{c})=\{χ(G^{c}) \}$是多项式时间的.
2009-09-15 math.CO
Proper conflict-free list-coloring, odd minors, subdivisions, and layered treewidth
本文研究图的正常无冲突列表着色问题，针对稀疏图与稠密图分别证明了两个逆命题，给出相关问题的部分答案，还得到子式闭族的更优界及分层树宽有界图的着色数上界，可应用于(g,k)-平面图。
2023-07-02 math.CO
Avoiding and extending partial edge colorings of hypercubes
考虑超立方体的部分边着色的推广和避免问题，即给定$d$维超立方体$Q_d$的部分边着色$φ$，我们关心的是是否存在$Q_d$的正确$d$ -边着色，它与在$φ$下着色的每条边的着色$φ$一致;或者，类似地，如果在$φ$下着色的每个边上存在与$φ$不一致的适当的$d$ -边着色。特别地，我们证明了对任何$d\geq 1$，如果$φ$是$Q_d$的部分$d$ -边染色，则$φ$是可避免的，如果每种颜色都出现在至多$d/8$边上，并且该染色满足一个相对温和的结构条件，或者$φ$是适当的，并且每种颜色都出现在至多$d-2$边上.我们还证明了如果$d$可被$3$整除且$φ$的每一个颜色类都是诱导匹配，则同样的结论也成立。此外，对于所有的$1 \leq k \leq d$，我们的特征在于，其中配置组成的部分着色$φ$的$d-k$边缘和部分着色$ψ$的$k$边缘，有一个扩展的$φ$，避免了$ψ$。
2021-04-01 math.CO
An introduction to equitable DP coloring of graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；University of Illinois at Urbana--Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文介绍了一种更一般的公平DP着色概念，扩展了传统公平着色的定义，并研究了这一新参数的性质。
2026-05-18 math.CO
Proper Distinguishing Colorings with Few Colors for Graphs with Girth at Least 5
图$G$的可区别色数$χ_D(G)$是$G$的真染色$φ$中的最小颜色数，使得$G$的唯一保持$φ$的所有颜色的自同构是恒等映射。柯林斯和特伦克指出，如果$G$与周长至少为5和$G\ne C_6$相连，则$χ_D(G)\le Δ+1$。我们证明了这个猜想。
2018-10-17 math.CO
A note on fall colorings of Kneser graphs
图G的秋天染色是指图G的k种颜色的真染色，使得每个顶点在其闭邻域上都能看到所有的k种颜色。本文刻画了KG（n，2）型Kneser图的所有秋天染色.
2018-11-09 math.CO
Connectedness and Hamiltonicity of graphs on vertex colorings
给定一个图$H$，设$G^j_k(H)$是其顶点是$H$的真$k$ -着色的图，如果$H$在至多$j$顶点上包含一个连通子图，该连通子图包括着色不同的所有顶点，则其边连接两个着色。$G^1_k(H)$的性质已经被研究过，包括连通性和哈密尔顿性。引入并研究了参数$g_k(H)$和$h_k(H)$，它们分别表示使$G^j_k(H)$连通或Hamilton的最小$j$.
2015-07-19 math.CO
Asymptotically optimal neighbor sum distinguishing total colorings of graphs
给定图$G$的一个适当的全$k$ -染色$c:V(G)\cup E(G)\to\{1,2,\ldots,k\}$，我们定义一个顶点$v$的值为$c(v) + \sum_{uv \in E(G)} c(uv)$ .使$G$有一个其值构成一个真染色的真全$k$ -染色的最小整数$k$是$G$的邻和可区别色数数$χ"_Σ(G)$。Pilogniak和Woogniak（2013）证明了$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)+3$对于任何具有最大度$Δ(G)$的简单图。在本文中，我们证明了这个界是渐近正确的，通过显示$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)(1+o(1))$。我们的论证的主要思想依赖于Przybytelo（2014）关于邻域和可区别边着色的证明。
2016-08-05 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
Remarks on proper conflict-free colorings of graphs
一个图的顶点染色称为关于邻域的\textit{conflict-free}，如果对于每个非孤立顶点，在其（开）邻域中有一种颜色只出现一次。如[Fabrici等人，\textit{Proper Conflict-free and Unique-maximum Colorings of Planar Graphs with Respect to Neighborhoods}，arXiv preprint]中，图$G$的任何这样的适当着色中的颜色的最小数目是$G$的PCF色数，记为$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$。本文对树、圈、超立方体和完全图的剖分等几类基本图确定了这个图参数的值。我们也给出了$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$的上界的其他图参数。特别是，我们表明，$χ_{\mathrm{pcf}}(G) \leq5Δ(G)/2$和表征平等。对$4\le k\le 6$建立了图的PCF $k$ -可染性的几个充分条件.本文的结论与几个开放的问题。
2022-03-02 math.CO
On irredundance coloring and irredundance compelling coloring of graphs
本文研究图的非冗余着色与非冗余强制着色，定义并详细分析了非冗余色数和非冗余强制色数，探讨它们与其他着色及控制参数之间的关系。
2023-11-29 math.CO
Proper conflict-free 7-coloring of planar graphs
Instituto de Ingeniería Matemática – CIMFAV, Facultad de Ingeniería, Universidad de valparaíso（瓦尔帕莱索大学工程学院数学工程研究所-CIMFAV）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）
该研究针对不含K₅、Q₆子式的图，证明其恰当无冲突着色的7色上界，改进平面图此前的8色上界，还推导了不含Kₖ₊₁子式图的奇偶无冲突着色的2k-1色相关结论。
2026-08-04 math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Extremal H-colorings of trees and 2-connected graphs
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保邻接映射. $H$ -着色推广了图中的独立集和真着色等概念。最近有很多关于极值问题的研究，即在一个固定的族中找到最大化或最小化$H$ -着色数的图。在本文中，我们证明了这方面的几个结果。首先，我们找到一类图${\mathcal H}$，它具有这样的性质：对于每个$H \in {\mathcal H}$，使$H$ -着色数最小的$n$ -顶点树是路$P_n$ .然后，我们提出了一个新的证明定理的Sidorenko，有效的大$n$，即对于每个$H$的明星$K_{1,n-1}$是$n$顶点树，最大限度地提高了$H$ -着色。我们的证明使用了一个稳定的技术，我们也用它来表明，对于任何非正规$H$（和某些正规$H$）的完全二分图$K_{2,n-2}$最大化的$H$ -着色的$n$ -顶点$2$ -连通图的数量。最后，我们证明了$C_n$圈使$n$ -顶点$2$ -连通图的真染色数最大化.
2016-10-20 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: I. Acyclic, star, and treewidth colorings
我们证明了对任意固定整数$m \geq 1$，最大度$Δ$的图有一个用$O(Δ^{(m+1)/m})$颜色着色的图，其中每个连通的双色子图至多包含$m$边.这一结果统一了先前已知的上界的颜色的数量足够的某些类型的图着色，包括星形着色，其中$O(Δ^{3/2})$颜色足够，和非循环着色，其中$O(Δ^{4/3})$颜色足够。我们的证明使用了Alon，McDiarmid和Reed的概率方法。这个结果也给出了以前未知的上界，包括这样一个事实，即最大程度$Δ$的图有一个适当的着色与$O(Δ^{9/8})$颜色，其中每个双色子图是平面的，以及一个适当的着色与$O(Δ^{13/12})$颜色，其中每个双色子图有树宽最多$3$。
2022-09-23 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
