Minimum packing density for sets of four integers
本文证明了在所有四个整数的集合中，集合{0,1,4,6}具有最小填充密度1/7。
2025-01-02 math.CO
Domination and 2-degree-packing numbers in graphs
图$G$的控制集是一个集$D\subseteq V(G)$，使得$G$的每个顶点要么在$D$中，要么与$D$中的一个顶点相邻. $G$的控制数，$γ(G)$，是控制集的最小阶。一个图$G$的边子集$R$是2度填充的，如果来自$R$的任意三条边不具有相同的关联点. $G$的2度填充数，$ν_2(G)$，是$G$的2度填充的最大阶。本文证明了任何简单图$G$都满足$γ(G)\leqν_2(G)-1$ .此外，我们还给出了满足$γ(G)=ν_2(G)-1$的简单连通图$G$的一个刻画.
2020-03-09 math.CO
Directed Steiner path packing and directed path connectivity
对于一个有向图$D=(V(D), A(D))$，以及一个包含$r\in S$和$|S|\geq 2$的集合$S\subseteq V(D)$，一条有向$(S, r)$ -Steiner路径，或者简单地说，一条$(S, r)$ -路径是一条从包含$S\subseteq V(P)$的$r$开始的有向路径$P$.如果两个$(S, r)$ -路径没有公共弧，则称它们是弧不相交的。如果两条弧不相交的$(S, r)$ -路的公共顶点集恰好是$S$，则称它们是内部不相交的。令$κ^p_{S,r}(D)$（分别$λ^p_{S,r}(D)$）是内部不相交的最大数量（分别为arc-disjoint）$(S, r)$-$D$中的路径。$D$的有向路径$k$ -连通性被定义为$$κ^p_k(D)= \min \{κ^p_{S,r}(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k, r\in S\}.$$类似地，$D$的有向路径$k$ -弧连通性被定义为$$λ^p_k(D)= \min \{λ^p_{S,r}(D)\mid S\subseteq V(D), |S|=k, r\in S\}.$$有向路径$k$ -连通性和有向路径$k$ -弧连通性也被称为有向路径连通性，其将无向图上的路径连通性扩展到有向图，并且可以被视为有向图的经典连通性的推广。本文得到了欧拉有向图和对称有向图上的$κ^p_{S,…
2022-12-14 cs.CC math.CO
Integer packing sets form a well-quasi-ordering
整数包装集是具有以下性质的非负整数向量的集合：如果向量$x$在该集合中，则具有$y \leq x$的每个非负整数向量$y$也在该集合中.随机包装集自然出现在随机优化中。事实上，任何填充多面体中的整数点集都是整数填充集。本文的主要结果是，整数包装集，包括有序，形成良好的拟序。这一结果使我们能够回答最近提出的问题Bodur等人。事实上，我们证明了k-聚集封闭的任何包装多面体再次包装多面体。我们的主要结果的一般性，使我们能够提供一个推广到非多面体集：的k-聚集闭包的任何下集的$\mathbb{R}^n_+$是一个包装多面体。
2020-05-30 math.CO math.OC
Leaves for packings with block size four
本文研究了完全图$K_n$中边不相交的$4$ -团的最大填充问题。当使用$n \equiv 1$或$4 \pmod{12}$时，这些只是区组设计。在其他同余类，有必要揭露的边缘，我们研究可能的“离开”这些边缘引起的图形。我们特别强调$n \equiv 0$或$3 \pmod{12}$的情况下，当休假是$2$ -定期。Colbourn和Ling在这种情况下解决了Hamilton叶的情况。我们扩展他们的建设，并使用几个额外的直接和递归的建设，以实现各种$2$ -定期叶。对于不同的子集$S \subseteq \{3,4,5,\dots\}$，我们建立明确的下界$n$，以保证存在的最大包装与任何可能的离开，其周期长度属于$S$。
2019-05-29 math.CO
A dual view of Roman Domination: The 2-limited packing problem
RPTU University Kaiserslautern-Landau（凯泽斯劳滕-兰道理工大学）
本文将罗马 domination 问题与 2 限制打包问题进行比较，证明二者在树结构上为强对偶，从而通过解决 2 限制打包问题来解决罗马 domination 问题。
2026-02-10 math.CO
Patterns without a popular difference
哪些有限集$P \subseteq \mathbb{Z}^r$与$|P| \ge 3$具有以下性质：对于每个$A \subseteq [N]^r$，存在某个非零整数$d$使得$A$包含$d \cdot P = \{d p : p \in P\}$的$(α^{|P|} - o(1))N^r$平移，其中$α= |A|/N^r$？Green表明所有3点$P \subseteq \mathbb{Z}$都具有上述性质。Green和Tao证明了形式为$P = \{a, a+b, a+c, a+b+c\} \subseteq \mathbb{Z}$的4点集也具有该性质。我们证明了没有其他集合具有上述性质。此外，对于各种$P$，我们提供了新的上限上的数量的$d \cdot P$，可以保证找到的翻译。
2021-07-30 math.CO math.NT
$β$-Packing Sets in Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$α$ -支配的，如果对于所有的$v\in V-S$，$|N(v) \cap S | \geq α|N(v)|.$ $G$的$α$ -支配数等于$G$中的一个$α$ -支配集合$S$的最小基数.自从Dunbar等人在2000年提出了$α$ -支配以来，人们对各种图进行了研究，并开发了各种边界。本文通过翻转$α$ -控制定义中的不等式，提出了一个新的参数。我们称一个集合$S \subset V$是图$G$的一个$β$ -packing集，如果$S$是一个真极大集，具有这样的性质：对于所有顶点$v \in V-S$，$|N(v) \cap S| \leq β|N(v)|$对于某些$0 < β\leq 1.$，$G$的$β$ - packing数（$β$ -pack（$G$））等于$G$中一个$β$ -packing集的最大基数.在本研究中，我们确定了几类图的$β$ -packing（$G$），并探讨了$β$ -packing集的一些性质。关键词：$β$ -填充，$α$ -控制，图论，图参数
2019-05-31 math.CO
Difference sets and power residues
设$p\geq 3$为素数，$n\geq 1$为整数。令$K\subseteq {\mathbb{F}_p}$表示具有$0\in K$的固定子集。设$A\subseteq ({\mathbb{F}_p})^n$是一个任意子集，使得$$\{ \mathbf{a}-\mathbf{b}:~\mathbf{a},\mathbf{b}\in A,\mathbf{a}\neq \mathbf{b}\}\cap K^n=\emptyset. $$。然后我们证明了指数上界$$ |A|\leq ( p-|K|+ 1 )^n. $$。
2018-12-05 math.CO math.NT
On Multiplicative Sidon Sets
使用$g:=\gcd(a,b)$修复整数$b>a\geq1$。如果对于所有$x,y\in S$都是$ax\neq by$，则集合$S\subseteq\mathbb{N}$是\emph{$\{a,b\}$-multiplicative}。对于所有的$n$，我们确定了$[n]$中具有最大基数的$\{a,b\}$ -乘法集，并得出了$\{a,b\}$ -乘法集的最大密度为$\frac{b}{b+g}$的结论.对于$A, B \subseteq \mathbb{N}$，如果$ax=by$对所有$a\in A$、$b\in B$和$x,y\in S$都隐含$a = b$和$x = y$，则集合$S\subseteq\mathbb{N}$是\emph{$\{A,B\}$-multiplicative}。对于$1 < a < b < c$和$a, b, c$互质，我们给出了一个O（1）时间的算法来逼近$\{\{a\},\{b,c\}\}$ -乘法集的最大密度到任意给定的精度.
2012-09-20 math.CO math.NT
Packing and domination parameters in digraphs
给定一个有向图$D=(V,A)$，如果$B$的顶点之间没有弧连接，并且对于任意两个顶点$x,y\in B$，$x$和$y$的内邻集是不相交的，则集合$B\subset V$是$D$中的填充集。集合$S$是$D$中的控制集（开控制集），如果不在$S$中（在$V$中）的每个顶点在$S$中都有内邻。此外，如果由$S$导出的子图没有孤立点，则称控制集$S$为全控制集.本文研究了有向图的最大势填充集和最小势（全开）控制集。证明了有向树的填充和控制的两个最优集达到相同的值，并给出了它的一些应用，给出了所有连通反功能有向图的类似等式，刻画了所有满足这些等式的有向图$D$.此外，对有向图分别给出了填充集和控制集的最大和最小基数的精确界。最后，我们提出了两个开放的问题的解决方案，涉及总的和开放的最小基数控制集，指出在[澳大利亚。J. Combin。39（2007），283- 292]。
2018-05-10 math.CO
One-Dimensional Packing: Maximality Implies Rationality
每一组自然数确定$q \in (-1,1)$收敛的生成函数，其行为如同$q \rightarrow 1^-$确定芽。这些芽承认一个自然的偏序，可以用来比较的方式，既概括了有限集的基数和密度的无限集的自然数集的大小。对于任何正整数的有限集$D$，如果$S$的两个元素没有相差$D$的元素，则将集合$S$称为“$D$ -避免”。它表明，任何$D$ -避免集是最大的类中的$D$ -避免集（相对于芽序）最终是周期的。这意味着对填料也有类似的结果。证明了对于所有的$D$，存在唯一的极大$D$ -避免集，并且它的芽明显大于所有其他$D$ -避免集的芽.
2017-11-10 math.CO
On the tractability of some natural packing, covering and partitioning problems
在本文中，我们固定7种类型的无向图：路径，路径与规定的端点，电路，森林，生成树，（不一定是生成）树和削减。给定一个无向图$G=(V,E)$和两个“对象类型”$\mathrm{A}$和$\mathrm{B}$，我们考虑以下问题。\textbf{Packing problem:}我们能否在$G$的边集$E$中找到一个类型为$\mathrm{A}$的对象和一个类型为$\mathrm{B}$的对象，使得它们是边不相交的？\textbf{Partitioning problem:}我们可以将$E$划分为$\mathrm{A}$类型的对象和$\mathrm{B}$类型的对象吗？\textbf{Covering problem:}我们可以用一个类型为$\mathrm{A}$的对象和一个类型为$\mathrm{B}$的对象来覆盖$E$吗？该框架包括44个自然图论问题。这些问题中的一些在以前是众所周知的，例如用两个生成树覆盖图的边集，或者找到边不相交的$s$-$t$路径$P$和$s'$ - $t'$路径$P'$。然而，许多其他的不是，例如，我们可以找到边不相交的$s$-$t$路径$P\subseteq E $和生成树$T\subseteq E$吗？大多数这些以前未知的问题被证明是NP完全的，其中许多甚至在平面图中。本文确定了这44个问题的地位。对于NP完全问题，我们还研究了平面问题，对于多项式问题，…
2014-07-18 cs.CC math.CO
Lattice Packings of Cross-polytopes from Reed-Solomon Codes and Sidon Sets
描述了$ n $维交叉多面体（$ \ell_1 $球）的晶格填充的两种构造，当$ n \to \infty $时，其密度超过任何现有构造的密度至少$ 2^{\frac{n}{\ln n}(1 + o(1))} $倍。第一类格是显式的，并且通过将构造A应用于一类Reed-Solomon码而获得。第二个家族具有次指数构造复杂性，并且基于有限阿贝尔群中的Sidon集的概念。基于Sidon集的构造也给出了在$ \mathbb{Z}^n $中填充固定半径$ r \geqslant 3 $的离散交叉多面体的已知最高渐近密度.
2022-05-26 cs.DM cs.IT math.CO
Packing branchings under cardinality constraints on their root sets
Edmonds关于树形图的基本定理刻画了有向图中具有指定根集的$k$两两弧不交生成树形图的存在性。本文研究了根集基数约束下有向图中分支的树形扩充填充问题。设$D=(V+x,A)$是一个有向图，$\mathcal{P}=$ $\{I_{1}, \ldots, I_{l} \}$是$[k]$的一个划分，$c_{1}, \ldots, c_{l}, c'_{1}, \ldots, c'_{l}$是非负整数，使得$α\in [l]$的$c_α \leq c'_α$，$F_{1}, \ldots, F_{k}$是$k$的弧不交$x$ -树状图，使得$α\in [l]$的$\sum_{i \in I_α}d_{F_{i}}^{+}(x)$ $\leq c'_α$.给出了$F_{1}, \ldots, F_{k}$何时可以完备为弧不相交的生成$x$ -树形$F^{*}_{1}, \ldots, F^{*}_{k}$的一个刻画，使得对于任何$α\in [l]$，$ c_α \leq \sum_{i \in I_α}d^{+}_{F^{*}_{i}}(x)$ $ \leq c'_α$ .
2020-02-09 math.CO
On compact packings of the plane with circles of three radii
欧几里得平面的紧致圆包装$P$是一组圆，它们将相互不相交的开放圆盘结合在一起，具有以下性质：对于每个圆$S\in P$，存在最大索引集$\{A_{0},\ldots,A_{n-1}\}\subseteq P$，使得对于每个$i\in\{0,\ldots,n-1\}$，圆$A_{i}$与圆$S$和$A_{i+1\mod n}.$都相切。我们证明了存在至多$13617$对$(r,s)$和$0<s<r<1$，对于它们存在紧致圆。由半径为$s$、$r$和$1$的圆组成的平面的填充。我们讨论计算的确切值，这样的$0<s<r<1$多项式的根，并展示了一个选择的紧凑的圆包装组成的圆的三个半径。我们还讨论了明显的不可行性计算\emph{all}这些价值观的当代消费者的硬件与本文所采用的方法。
2019-07-28 math.CO math.MG
Germ order for one-dimensional packings
每一组自然数确定$q \in (-1,1)$收敛的生成函数，其行为如同$q \rightarrow 1^-$确定芽。这些细菌承认一个自然的偏序，可以用来比较自然数的集合的方式，推广了有限集的基数和密度的无限集。对于任何正整数的有限集$D$，如果$S$的两个元素没有相差$D$的元素，则将集合$S$称为“$D$ -避免”。我们研究的问题，确定固定的$D$，所有的$D$避免集是最大的胚芽顺序。在许多情况下，我们可以证明只有一个这样的集合。我们将其应用于一维包装问题的研究。
2020-06-22 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
On k-(total) limited packing in graphs
本文研究图的 k-全受限 packing 数，重点给出树在 k=2 时的结果，并讨论乘积图的 2-(全)受限 packing 数及 k-受限 packing 划分数。
2024-05-06 math.CO
Induced odd cycle packing number, independent sets, and chromatic number
图$G$的导出奇圈包装数$iocp(G)$是最大整数$k$，使得$G$包含由$k$组成的导出子图.受几何图应用的启发，Bonamy et al.~ \cite{indoc}证明了具有有界诱导奇圈填充数、有界VC维数和线性独立数的图对于其独立数存在随机EPTAS.我们证明了VC维数有界的假设是不必要的，展示了一个随机算法，对于任何整数$k\ge 0$和$t\ge 1$和任何$n$ -顶点图$G$的诱导奇循环包装数最多$k$返回时间$O_{k,t}(n^{k+4})$一个独立的$G$的集合，其大小至少是$α(G)-n/t$与高概率。另外，我们给出了具有有界奇圈填充数的图的$χ$ -有界性结果，并利用这些结果设计了一个仅假设有界诱导奇圈填充数的独立数的QPTAS。
2021-11-12 cs.DM cs.DS math.CO
Packing internally disjoint Steiner paths of data center networks
本文研究数据中心网络 $D_{k,n}$ 的 3-路径连通度，并证明在 $k\geq1$、$n\geq6$ 时其精确值为 $\lfloor(2n+3k)/4\rfloor$。
2024-01-24 math.CO
Suitable sets of permutations, packings of triples, and Ramsey's theorem
如果在至少一个置换中每个符号在其他$t-1$的每个子集之前，则$\{1,2,\ldots,v\}$的一组$N$置换是$t$适合的。极值问题的确定最小尺寸$N$等集为给定的$v$和$t$是主题的经典研究由Dushnik在1950年和斯宾塞在1971年。Colbourn最近引入了合适的核心的概念作为等价对象的合适的置换集，并研究了确定最大的$v=\text{SCN}(t,N)$，使得一个合适的核心存在于给定的$t$和$N$的对偶问题。Chan和Jedwab证明，当$N=\lfloor\frac{t+1}{2}\rfloor\lceil\frac{t+1}{2}\rceil+l$，SCN $(t,N)$的值是渐近$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$，如果$l$是一个固定的整数。在本文中，我们改进了这一结果表明，这也是正确的，当$l=O(\ln t)$使用拉姆齐理论。当$v$大于$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$时，我们利用三元组填充给出了新的显式核构造，利用扩展Ramsey染色给出了新的随机核构造.
2018-08-08 math.CO
Intersections of shifted sets
考虑一个集合$A\subseteq\mathbb{N}$与另一个集合$B\subseteq\mathbb{N}$的元素的移位，并根据$A$和$B$的相对渐近大小证明了交集性质.我们的主要定理的一个推论如下：如果$A=\{a_n\}$使得$a_n=o(n^{k/k-1})$，则$k$ -递归集$R_k(A)=\{x\mid |A\cap(A+x)|\ge k\}$包含任意大的有限集的距离集。
2014-11-28 math.CO
Infinite families of optimal systems of biangular lines related to representations of $\textrm{SL}(2,\mathbb{F}_q)$
如果线填充的相干性尽可能小，则线填充是最优的。最有趣的最佳线填充的例子是在一些已知的相干性下界中实现相等。本文给出了实和复双角线填充的两个无限族。新的填充分别在实的或复的第二Levenshtein界中实现相等。这两个无限族都是通过分析有限群SL $(2,\mathbb{F}_q)$的已知表示而构造的。到目前为止，唯一已知的满足第二Levenshtein界的无限族与最大互无偏基集（MUB）有关。类似于与MUB的最大集合相关的线包装，这里给出的线包装与相互无偏加权矩阵的最大集合相关。另一个相似之处是新的填充是投射2-设计。后一个属性连同足够大的基数的新包装意味着一些改进的最大已知基数的真正和复杂的双角紧框架。
2022-07-17 math.CO math.FA
On Lattice Packings and Coverings of Asymmetric Limited-Magnitude Balls
对于有限误差信道，我们构造了整数纠错码和覆盖码。代码是用适当的错误球填充或覆盖空间的网格。一些结构达到一个渐近的包装/覆盖密度是恒定的。结果是通过各种方法，包括使用代码的汉明度量，模块化$B_t$ -序列，$2$倍西顿集，避免算术级数。
2020-05-29 cs.IT math.CO math.IT
On additive properties of sets defined by the Thue-Morse word
本文研究了正整数集合$\nats$的子集的一些加法性质：$\nats$的子集$A$称为{ \it $k$ -summable}（其中$k\in\ben$），如果$A$对某些自然数的$k$ -项序列$x_1<x_2 < ... < x_k$包含$\textstyle \big{\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq {1,2,...,k\} \big}$.我们说$A \subseteq \nats$是有限FS-大的，如果$A$对每个正整数$k$是$k$ -可和的。我们说$A \subseteq \nats$是无限FS-大的，如果对于每个正整数$k,$，$A$包含对于某个自然数的无限序列$x_1<x_2 < ... $的${\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F\leq k}$。我们说$A\subseteq \nats $是一个IP集，如果$A$包含${\sum_{n\in F}x_n | \emp\neq F\subseteq \nats and #F<\infty}$，对于某个自然数的无穷序列$x_1<x_2 < ... $。根据有限和定理[5]，所有IP-集的集合是划分正则的，即，如果$A$是IP集，则对于$A$的任何有限分区，该分区的一个单元是IP集。这里我们证明了所有有限FS…
2013-03-02 math.CO math.GN
Paired Domination versus Domination and Packing Number in Graphs
给定图$G=(V(G), E(G))$，图$G$的最小控制集、最小成对控制集和最小全控制集的大小分别用$γ(G)$、$γ_{\rm pr}(G)$和$γ_{t}(G)$表示。对于正整数$k$，$G$中的$k$ -填充是集合$S \subseteq V(G)$，使得对于$S$中的每对不同顶点$u$和$v$，$u$和$v$之间的距离至少为$k+1$。$k$填充数是最大$k$填充的阶数，用$ρ_{k}(G)$表示.众所周知，$γ_{\rm pr}(G) \le 2γ(G)$。本文证明了判定$γ_{\rm pr}(G) = 2γ(G)$是否为偶图是NP-难的。我们提供了一个简单的表征树与$γ_{\rm pr}(G) = 2γ(G)$，这意味着一个多项式时间的识别算法。我们还证明了，即使是一个二部图，它是NP-困难的，以确定是否$γ_{\rm pr}(G)=γ_{t}(G)$。最后证明了判定是否为$γ_{\rm pr}(G)=2ρ_{4}(G)$和是否为$γ_{\rm pr}(G)=2ρ_{3}(G)$都是NP难的。
2019-11-11 cs.DM math.CO
A new upper bound for the size of $s$-distance sets in boxes
令$q,d\geq 2$为整数。定义$$ J(q,d):=\frac 1q \Big( \min_{0<x<1} \frac{1-x^q}{1-x} x^{-\frac{q-1}{d}}\Big). $$令$\mbox{$ \cal G $}\subseteq {\mathbb R}^n$为任意子集.我们表示由$d(\mbox{$ \cal G $})$的一组（非零）之间的距离$\mbox{$ \cal G $}$：$$ d(\mbox{$\cal G$}):=\{d( p_1, p_2):~ p_1, p_2\in \mbox{$\cal G$}, p_1\ne p_2\}. $$我们的主要结果是一个新的上界的大小$s$距离集的盒子。更具体地，令$A_i\subseteq \mathbb R$、$|A_i|=q\geq 2$为每个$1\leq i\leq n$的子集。考虑框$\mbox{$ \cal B $}:=\prod_{i=1}^n A_i\subseteq {\mathbb R}^n$。假设$\mbox{$ \cal G $}\subseteq \mbox{$ \cal B $}$是一个集合，使得$|d(\mbox{$ \cal G $})|\leq s$。设$d:=\frac{n(q-1)}{s}$。然后$$|\mbox{$\cal G$}|\leq 2(qJ(q,d)…
2018-12-27 math.CO
Optimal Packings of 22 and 33 Unit Squares in a Square
令$s(n)$为可将$n$非重叠单位正方形装入的最小正方形的边长。2010年，作者展示了$s(13)=4$和$s(46)=7$。与Keaney和Shiu的结果$s(6)=3$一起，这些结果强烈地表明，对于$m\ge 3$，特别是对于值$m=5,6$，$s(m^2-3)=m$对应于位于先前结果之间的情况。在这篇文章中，我们确实表明，$s(m^2-3)=m$为$m=5,6$，这意味着最有效的包装22和33平方是平凡的。为了实现我们的结果，我们修改了众所周知的方法，不可避免的点集，取代它们与连续变化的家庭这样的集合。
2016-06-12 math.CO
Improved Bounds on Sidon Sets via Lattice Packings of Simplices
阿贝尔群$ G $中的$ B_h $集（或$ h $阶的Sidon集）是$ G $的任何子集$ \{b_0, b_1, \ldots,b_{n}\} $，具有所有和$ b_{i_1} + \cdots + b_{i_h} $直到被加数的阶都不同的性质。令$ ϕ(h,n) $表示包含基数为$ n + 1 $的$ B_h $集的最小阿贝尔群的阶。证明了\[ \lim_{h \to \infty} \frac{ ϕ(h,n) }{ h^n } = \frac{1}{n! δ_L(\triangle^n)} , \]，其中$ δ_L(\triangle^n) $是欧氏空间中$ n $ -单形的格填充密度.这确定了渐近的情况下，这个密度是已知的（$ n \leq 3 $），并在其余情况下，$ ϕ(h,n) $的改进的界限。给出了有限阿贝尔群中$ h $阶基的单形格覆盖的相应几何刻画。
2017-09-28 cs.CG cs.IT math.CO
A non-lattice periodic point set beating the optimal lattice packing-covering constant in dimension five
Universität Rostock（罗斯托克大学）；MSM Programing d.o.o.（MSM程序有限公司）
本文构造了五维空间中一个2-周期非格点集，其填充-覆盖常数低于已知最优格常数，证明五维填充-覆盖问题的最优解并非格。
2026-09-28 math.CO math.MG
Grundy dominating sequences and zero forcing sets
在图$G$中，顶点序列$v_1,v_2,\dots,v_m$是Grundy控制的，如果对于所有的$2\le i \le m$，我们有$N[v_i]\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]$，并且是Grundy全控制的，如果对于所有的$2\le i \le m$，我们有$N(v_i)\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N(v_j)$。最长Grundy（全）控制序列的长度已被一些作者研究过。在本文中，我们引入了两个类似的概念时，对邻域的要求改为$N(v_i)\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N[v_j]$或$N[v_i]\not\subseteq \cup_{j=1}^{i-1}N(v_j)$。在前一种情况下，我们建立了一个强连接的迫零数的图，而我们确定的复杂性的判定问题在后一种情况下。我们还研究了这四个概念之间的关系，并讨论了它们的计算复杂性。
2017-02-02 math.CO
Alliance free and alliance cover sets
$Γ=(V,E)$中的\emph{defensive}（\emph{offensive}）$k$ - \emph{alliance}是一组$S\subseteq V$，使得$S$中的每个$v$（在$S$的边界中）在$S$中具有比其在$V\setminus S$中至少多$k$个邻居。如果对于所有防御（进攻）$k$ -联盟$S$，$S\setminus X\neq\emptyset$，则集合$X\subseteq V$是\emph{defensive}（\emph{offensive}）$k$-\emph{alliance free,}，即，$X$不包含任何防御（进攻）$k$ -联盟作为子集。集合$Y \subseteq V$是\emph{defensive}（\emph{offensive}）\emph{alliance cover}，如果对于所有防御（进攻）$k$ -联盟$S$，$S\cap Y\neq\emptyset$，即，$Y$包含至少一个来自每个防御（进攻）$k$ -$Γ$联盟的顶点。本文给出了防御（进攻）$k$ -联盟自由集和防御（进攻）$k$ -联盟覆盖集的一些数学性质，包括防御（进攻）$k$ -联盟自由（覆盖）集的基数的紧界.
2008-12-08 math.CO
Finite field Nikodym problem for spread line sets
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究了有限域上的Nikodym问题，提出并证明了关于展开线集的点集大小的猜想。
2026-01-29 math.CO
Subsets of Products of Finite Sets of Positive Upper Density
本文证明了对每个正整数序列$(m_q)_{q}$和对每个实$0<δ\leqslant1$都有一个正整数序列$(n_q)_{q}$，使得对每个有限集序列$(H_q)_{q}$，使得对每个$q\in\mathbb{N}$和对每个$D\subseteq \bigcup_k\prod_{q=0}^{k-1}H_q$都有$|H_q|=n_q$，且性质为$$\limsup_k \frac{|D\cap \prod_{q=0}^{k-1} H_q|}{|\prod_{q=0}^{k-1}H_q|}\geqslantδ$$，存在一个序列$(J_q)_{q}$，其中对所有$q$都有$J_q\subseteq H_q$和$|J_q|=m_q$，使得对于无穷多个$k.$的$\prod_{q=0}^{k-1}J_q\subseteq D$这给了我们一个著名的拉姆齐理论结果的密度版本。利用序列$(m_q)_{q}$给出了序列$(n_q)_{q}$的一些估计.
2012-11-16 math.CO
On some conjectures concerning critical independent sets of a graph
设$G$是一个顶点集为$V(G)$的简单图.如果来自$S$的两个顶点不相邻，则集合$S\subseteq V(G)$是独立的。对于$X\subseteq V(G)$，$X$的差是$d(X) = |X|-|N(X)|$，如果$d(A) = \max \{d(X): X\subseteq V(G) \text{ is an independent set}\}$（可能是$A=\emptyset$），则独立集合$A$是关键的。设$\text{nucleus}(G)$和$\text{diadem}(G)$分别是$G$中所有最大尺寸临界独立集的交集和并集。本文给出了涉及$\text{nucleus}(G)$和$\text{diadem}(G)$的König-Egerváry图的两个新的刻画.我们还证明了一个相关的下界的独立数的图。这项工作回答了Jarden，Levit和Mandrescu提出的几个问题。
2015-09-16 cs.DM math.CO
$S$-packing colorings of distance graphs with distance sets of cardinality $2$
本文研究了距离图 $G(\mathbb{Z},\{k,t\})$ 的 $S$-packing 染色，补充了早期结果，完整确定了当 $S$ 中所有项不超过 2 时 $S$-packing 色数的所有取值，并给出了不同 $S$ 序列下的具体色数公式。
2024-05-29 math.CO
Product sets in sets of returns and positivity of symmetric ergodic averages
该研究推广了Bergelson等人的结果，证明可和群中足够大的集合包含满足乘积集关系的大子集，还针对有限生成幂零群建立了多项式类似结果。
2026-11-05 math.CO math.DS math.GR
Nowhere dense Ramsey sets
本文针对拉姆齐集，构造了无限构型，其任何有限着色都有单色副本，但存在高密度子集不含该副本，与密度概念互补。
2025-08-07 math.CO
On the containment $I^{(3)} \subseteq I^2$ and configurations of triple points in Böröczky line arrangements
我们研究集的三重点的Böröczky的安排线的背景下，由Harbourne和Huneke提出的遏制问题。我们表明，在类的这些安排，最小的反例的包容$I^{(3)} \subseteq I^2$时，得到的线的数量等于12。
2022-02-10 math.AC math.AG math.CO
Decomposition of multiple packings with subquadratic union complexity
设$k$是一个正整数，$\mathcal{X}$是由无穷多个弧连通紧集构成的平面的一个$k$ -fold packing，这意味着平面上的每个点至多属于$k$集.假设有一个函数$f(n)=o(n^2)$，它的性质是$\mathcal{X}$的任何$n$成员最多确定$f(n)$洞，这意味着它们的并集的补最多有$f(n)$有界连通分支。我们使用的工具，从极值图论和拓扑Helly定理证明，$\mathcal{X}$可以分解成最多$p$（$1$ -倍）包装，其中$p$是一个常数，只依赖于$k$和$f$。
2016-01-05 cs.CG cs.DM math.CO
Critical sets, crowns, and local maximum independent sets
一个集合$S\subseteq V(G)$是独立的（或稳定的），如果没有两个顶点从$S$是相邻的，和$\mathrm{Ind}(G)$，我们的意思是所有独立的$G$集的集合。如果$\left\vert A\right\vert -\left\vert N(A)\right\vert =\max\{\left\vert I\right\vert -\left\vert N(I)\right\vert :I\in \mathrm{Ind}(G)\}$，则集合$A\in\mathrm{Ind}(G)$是临界的（我们写为$A\in CritIndep(G)$），其中$N(I)$表示$I$的邻域。如果是$S\in\mathrm{Ind}(G)$，并且存在从$N(S)$到$S$的匹配，则$S$是一个冠，我们写为$S\in Crown(G)$。令$Ψ(G)$是图$G$的所有局部极大独立集的族，即，如果$S$是由$S\cup N(S)$导出的子图中的最大独立集，则称为$S\inΨ(G)$。本文证明了$CritIndep(G)\subseteq Crown(G)$ $\subseteqΨ(G)$对任何图都成立。此外，我们提出了一些类的图，这些家庭重合，形成greedoids或更一般的集系统，我们称之为增广。
2020-08-11 cs.DM math.CO
Erdös-Ko-Rado sets of flags of finite sets
有限集合$S$的标志是$S$的非空真子集的集合$f$，使得对于所有的$A,B\in f$为$A\subseteq B$或$B\subseteq A$。集合$\{|A|:A\in f\}$称为$f$的类型。当对于所有$A\in f$和$B\in f'$为$A\cap B=\emptyset$或$A\cup B=S$时，两个标志$f$和$f'$处于一般位置（相对于$S$）。我们研究了一个固定类型的$T$，是相互不一般的位置，并在这些集合的最大基数感兴趣的标志集。这是经典的Erdös-Ko-Rado问题的推广。我们将给出一些基本事实，并确定几个非平凡情况下的最大基数。为此，我们将定义顶点为标志的图，问题是确定这些图的独立数。
2021-05-14 math.CO
Edge open packing: complexity, algorithmic aspects, and bounds
本文研究边开放装填问题，证明其在多类图上的 NP 完全性，给出树上的线性时间算法，并刻画极值图、建立删边子图的新界。
2024-03-01 cs.DM math.CO
Standard monomials and extremal point sets
我们说一个集合系统$\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$粉碎了一个集合$S\subseteq [n]$，如果$S$的每个可能子集都表现为$S$与$\mathcal{F}$的某个元素的交集，我们用$\text{Sh}(\mathcal{F})$表示被$\mathcal{F}$粉碎的集合族。根据Sauer-Shelah引理我们知道，一般来说，每个集合系统$\mathcal{F}$至少粉碎$|\mathcal{F}|$集合，如果$|\text{Sh}(\mathcal{F})|=|\mathcal{F}|$，我们称一个集合系统粉碎极值。Mészáros和Rónyai给出了破碎极值的代数特征，这提供了将概念推广到一般有限点集的可能性。在这里，我们扩展的结果集系统到这个更一般的设置，并作为一个应用程序，加强了李，张和董的结果。
2019-08-08 math.CO
Nontrivial independent sets of bipartite graphs and cross-intersecting families
设$G(X,Y)$是一个连通的、不完全的二部图，其图的顶点为$|X|\leq |Y|$ .如果$A\subseteq X$或$A\subseteq Y$，则称$G(X,Y)$的独立集$A$是平凡的。否则，$A$是非平凡的。用$α(X,Y)$表示$G(X,Y)$的最大非平凡独立集的大小。证明了若$G(X,Y)$的自同构群在$X$和$Y$上可迁，则有$α(X,Y)=|Y|-d(X)+1$，其中$d(X)$是$X$中顶点的公共度.给出了$G(X,Y)$的最大非平凡独立集的结构。作为这一结果的应用，我们给出了两个交叉- $t$ -相交的有限集族、有限向量空间族和置换族的大小的上界。
2011-01-12 math.CO
Improved Helly numbers of product sets
本文改进了形如 $A^d$ 的乘积集的 Helly 数上界，涵盖指数网格及同余关系定义的整数集，给出了更紧的界。
2025-04-23 math.CO math.MG
F-finite embeddabilities of sets and ultrafilters
设$S$是半群，$n\in\mathbb{N}$是正自然数，$A,B\subseteq S$，$\mathcal{U},\mathcal{V}\inβS$，$\mathcal{F}\subseteq\{f:S^{n}\rightarrow S\}$ .我们说$A$是$\mathcal{F}$ -可嵌入$B$，如果对于每个有限集合$F\subseteq A$，有一个函数$f\in\mathcal{F}$，使得$f\left(A^{n}\right)\subseteq B$，我们说$\mathcal{U}$是$\mathcal{F}$ -可嵌入$\mathcal{V}$，如果对于每个集合$B\in\mathcal{V}$，有一个集合$A\in\mathcal{U}$，使得$A$是$\mathcal{F}$ -可嵌入$B$。我们表明，$\mathcal{F}$ -有限嵌入可以用来研究某些组合性质的集和超滤有限结构。我们引入了集合和超滤极大的$\mathcal{F}$ -有限嵌入性的概念，其存在性在非常温和的假设下被证明。$\mathcal{F}$的不同选择可以用来刻画许多组合上有趣的集/超滤子为极大集/超滤子，例如厚集，AP-富集，$\overline{K(βS)}$等，$\mathcal{F}$ -有限可嵌入的极大超滤子集可以用$\mathcal{F}$来代数刻画.这个属性可以用来给出…
2015-03-31 math.CO math.LO
An Omega(n^2) Lower Bound for Random Universal Sets for Planar Graphs
一个集合$U\subseteq \reals^2$是$n$ -泛的，如果所有的$n$ -顶点平面图都有平面直线嵌入到$U$中.我们证明了，如果$Q \subseteq \reals^2$由随机和均匀地从单位正方形中选择的点组成，那么$Q$必须具有基数$Ω(n^2)$，以便以高概率成为$n$ -普适的。这表明，概率方法，至少在其基本形式，不能用于建立一个通用集上的$o(n^2)$上限。
2019-09-11 cs.CG cs.DM math.CO
On the Hausdorff dimension of pinned distance sets
我们证明了，如果$A$是一个博雷尔集在平面上的相等Hausdorff和包装尺寸$s>1$，那么一组固定的距离$\{ |x-y|:y\in A\}$有充分的豪斯多夫维数的所有$x$以外的一组豪斯多夫维数$1$（特别是，对于许多$x\in A$）。这验证了一个强大的变体法尔科纳的距离集猜想套相等的豪斯多夫和包装尺寸，端点$s=1$之外。
2018-01-26 math.CA math.CO math.MG
Edge open packing on subclasses of chordal graphs
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文针对弦图上的最大边开装填开放问题，在真区间图、块图、分裂图三类弦图子类上分别给出多项式时间算法，为该问题提供部分解答并丰富弦图边装填的算法研究。
2026-07-30 cs.DM math.CO
Maximal Orthoplectic Fusion Frames from Mutually Unbiased Bases and Block Designs
在实或复欧几里得空间中构造最优线填充是一项极其困难的任务，因为它包括寻找最大等角线集的问题。在等角线是不可能的制度，一些最佳包装是已知的，例如，那些实现正交绑定相关的最大集的相互无偏基地。在本文中，我们调查包装的子空间，而不是线，并确定在这种情况下的极大性的影响。我们利用存在的真实或复杂的最大相互无偏基地的组合设计策略，以找到最佳的子空间包装，实现orthoplex界。我们还表明，相互无偏基地的最大集合之间的转换与某些平衡不完全区组设计和格拉斯曼2-设计的坐标投影。最大正交融合框架的例子已经出现在Shor，Sloane和Zauner的作品中。它们在真实情况下是4的幂，在复杂情况下是2的幂。
2016-07-15 math.CO math.FA
Bohr sets in sumsets III: expanding difference sets and almost Bohr sets
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院计算与应用数学约翰·拉德森研究所）；Colorado School of Mines（科罗拉多矿业学院）；University of Denver（丹佛大学）；University of Mississippi（密西西比大学）
研究离散阿贝尔群中正Banach上密度子集的差集包含几乎Bohr集的条件，并证明某些特殊集合（如平方数集、素数减一集等）具有使差集加该集合后包含Bohr集的性质，同时回答了两个关于Bohr拓扑稠密集与正密度集和是否为分段Bohr集的问题。
2026-05-25 math.CO math.DS
Packing nearly optimal Ramsey R(3,t) graphs
在1995年，Kim通过构造一个无三角形且独立数不超过C \sqrt{n \log n}的n-顶点图，证明了Ramsey界R（3，t）\ge c t^2/ \log t。通过将完全图K_n近似地分解为这种近似最优Ramsey R（3，t）图的一个packing，我们推广了这个著名的结果，这个结果最好是可能的，直到常数的值。更精确地说，对任意ε>0，我们找到一个n-顶点图G_i的边不交集合（G_i）_i，使得（a）每个G_i是无三角形的，且独立数至多为C_ε \subseteq，（b）所有G_i的并至少包含（1-ε）条\binom{n}{2}边.我们的算法证明通过经由半随机（即，Rodl nibble型）的三角形自由过程的变化。作为应用，我们证明了Fox，Grinshpun，Liebenau，Person和Szabo在拉姆齐理论中的一个猜想（关于Burr，Erdos，Lovasz在1976年引入的一个拉姆齐型参数）.也就是说，用s_r（H）表示H的r-Ramsey极小图的最小度，从而封闭了H=K_3的对数间隙，建立了s_r（K_3）= Θ（r^2 \log r）.
2017-11-16 cs.DM math.CO math.PR
