一个非格周期点集在五维中优于最优格填充-覆盖常数
A non-lattice periodic point set beating the optimal lattice packing-covering constant in dimension five
- Universität Rostock（罗斯托克大学）
- MSM Programing d.o.o.（MSM程序有限公司）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文构造了五维空间中一个2-周期非格点集，其填充-覆盖常数低于已知最优格常数，证明五维填充-覆盖问题的最优解并非格。
AI中文摘要：
点集 $X\subseteq\mathbb{R}^d$ 的填充-覆盖常数为 $\gamma(X)=\mu(X)/\rho(X)$，即覆盖半径除以填充半径。在格中，其最小值 $\gamma_d$ 在 $d\leq 5$ 时已知，由 $\mathsf{A}_2^*$、$\mathsf{A}_3^*$ 以及 Horváth 格 $\mathsf{Ho}_4$、$\mathsf{Ho}_5$ 取得；Böröczky 证明了 $\gamma_3$ 在无格限制下也是最优的，但对于 $d=4,5$，非格问题此前尚未解决。我们构造了一个 $\mathbb{R}^5$ 中的 $2$-周期非格点集，其 $\gamma = 9/\sqrt{40} = 1.423024\ldots < \gamma_5 = \sqrt{3/2+\sqrt{13}/6} = 1.4494568\ldots$，因此在五维中，填充-覆盖问题并非由格解决。
英文摘要：
The packing-covering constant of a point set $X\subseteq\mathbb{R}^d$ is $γ(X)=μ(X)/ρ(X)$, the covering radius divided by the packing radius. Among lattices, its minimum $γ_d$ is known for $d\leq 5$, attained by $\mathsf{A}_2^*$, $\mathsf{A}_3^*$, and Horváth's lattices $\mathsf{Ho}_4$, $\mathsf{Ho}_5$; Böröczky proved that $γ_3$ is optimal without the lattice restriction, but for $d=4,5$ the non-lattice problem was open. We exhibit a $2$-periodic non-lattice point set of $\mathbb{R}^5$ with $γ= 9/\sqrt{40} = 1.423024\ldots < γ_5 = \sqrt{3/2+\sqrt{13}/6} = 1.4494568\ldots$, so that in dimension five the packing-covering problem is not solved by lattices.
