Open problems on k-orbit polytopes
Gabe Cunningham, Daniel Pellicer
我们提出了35个公开问题的组合，几何和代数方面的k-轨道抽象多面体。我们还提出了一个理论的根源多面体，已经出现在以前的工作中，但还没有正式的。
We present 35 open problems on combinatorial, geometric and algebraic aspects of k-orbit abstract polytopes. We also present a theory of rooted polytopes that has appeared implicitly in previous work but has not been formalized before.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Orbit graphs and face-transitivity of k-orbit polytopes
k-轨道多面体的轨道图是一个在k个节点上的图，它显示了标志轨道如何通过标志邻接关系相关联。利用轨道图对k-轨道多面体进行了分类，并确定了k-轨道多面体何时是i-传递的。然后，我们提供了一个明确的分类三轨道多面体，我们描述了一个生成集的自同构群。
Politopality of 2-orbit maniplexes
本文基于作者与Hubard先前的研究结果，证明了部分2-orbit maniplex实际为多面体，并指出在恰好禁止两种反射的所有类别中均存在2-orbit polytopes，证明了至少有 $n^2-n+1$ 个类别非空。
Symmetry Type Graphs of Abstract Polytopes and Maniplexes
$k$ -轨道流形是在其自同构群的作用下具有标志的$k$轨道的流形。本文将映射的对称型图的概念推广到流形和多面体的对称型图，并利用它研究了$k$ -轨道流形和全传递3-流形。特别地，我们证明了不存在$k > 1$为奇数的完全传递的$k$ -轨道3-主丛，我们对3-轨道主丛进行了分类，并确定了3-和4-轨道主丛的所有面传递性.此外，我们给出了多面体或流形的自同构群的生成元，给定其对称型图。最后，我们将这些概念推广到有向多面体，特别是对有向2-轨道流形进行了分类，并给出了它们的保向自同构群的生成元。
Constructing Self-Dual Chiral Polytopes
一个抽象多面体是手征的，如果它的自同构群在旗上有两个轨道，使得相邻的旗属于不同的轨道。手性多面体的例子仍然很少，并且很少有构造可以创建具有特定性质的手性多面体。在本文中，我们展示了如何建立自对偶手征多面体混合结构的多面体。
Mixing Chiral Polytopes
一个秩为n的抽象多面体称为手征多面体，如果它的自同构群在旗上有两个轨道，使得相邻的旗属于不同的轨道。很难找到手性多面体的例子。一个“混合”的构造让我们结合多面体来构造新的规则和手征多面体。利用多胞形的手征群，我们可以给出两个多胞形的混合是手征的简单判据。
The Hopf Monoid of Orbit Polytopes
许多族的组合对象具有霍普夫幺半群结构。Aguiar和Ardila介绍了广义置换面的Hopf幺半群，并证明了它包含其他各种著名的组合族作为Hopf子幺半群，包括图、偏序集和拟阵。引入轨道多面体的Hopf幺半群，它是由在对称群作用下不变的广义置换面生成的。我们证明了模正规等价，这些多面体是双射与整数组成。我们解释的霍普夫结构，通过这个镜头，我们表明，应用第一福克函子这个霍普夫幺半群给出了一个霍普夫代数的组成。用非交换对称函数描述了轨道多面体的Hopf幺半群的特征群，并给出了其基本特征及其多项式不变量的组合解释.
Constructions of Chiral Polytopes of Small Rank
一个秩为n的抽象多面体称为手征多面体，如果它的自同构群在旗上正好有两个轨道，使得相邻的旗属于不同的轨道。本文给出了由同秩的有限手征多面体导出新的有限手征多面体的一般方法。特别是，该技术被用来构建许多新的例子在排名3，4和5。
Combinatorially two-orbit convex polytopes
任何组合自同构群在旗上有两个轨道的凸多胞体同构于欧几里德对称群在旗上有两个轨道的凸多胞体（等价地，同构于自同构群和对称群重合的凸多胞体）。因此，组合双轨道凸多胞体同构于已知的有限列表中的一个，所有这些都是三维的：立方八面体，二十面体，菱形十二面体或菱形三十面体。由凸多胞体构成的组合双轨道法向面对面镶嵌也是如此。
Two-Orbit Polytopes
本文研究双轨道多面体，探讨其结构特性及自同构群，揭示其在不同类别中的行为差异。
The smooth torus orbit closures in the Grassmannians
已知对于Grassmannian上的自然代数环面作用，环面轨道的闭包是环面簇，并且这些环面簇是光滑的当且仅当相应的拟阵多面体是单的。证明了单拟阵多胞形是单形的乘积，Grassmannian中的光滑环面轨道闭包是复射影空间的乘积。此外，证明了光滑环面轨道闭包是由相应的简单拟阵多面体唯一确定的。
All polytopes are coset geometries: characterizing automorphism groups of k-orbit abstract polytopes
本文证明任意抽象n-多面体均可作为陪集几何构造，通过生成元、关系和交条件刻画了k-轨道多面体自同构群，并证明对所有k≠2及n≥3存在具有布尔自同构群的k-轨道n-多面体。
Triangulations of root polytopes
设$Φ$是一个不可约的晶体学根系，而$\mathcal P$是它的根多面体，即，它的凸包。我们提供了一个统一的建设，为所有的根类型，一个三角形的方面的$\mathcal P$。我们还证明了，在每个轨道下的Weyl群的作用方面，三角是单模的根子格，取决于轨道。
On string quasitoric manifolds and their orbit polytopes
本文主要给出具有弦性质的拟流形的组合特征和拓扑描述。我们提供了2维和3维的简单多面体可实现为弦拟流形的轨道多面体的充要条件。特别地，得到了棱柱上弦拟素流形的完整描述。另一方面，我们刻画了不超过$2n+2$刻面的$n$维简单多面体上的弦拟流形。当轨道多面体是一个立方体与另一个简单多面体的连通和时，得到了进一步的结果。此外，还简要讨论了关于小覆盖的一个实模拟。
The Birkhoff polytope of the groups $\mathsf{F}_4$ and $\mathsf{H}_4$
我们计算集的多面体是凸壳的Coxeter组$\mathsf{F}_4$或$\mathsf{H}_4$的方面：对于组$\mathsf{F}_4$，我们发现$2$轨道的方面，这与以前的结果发表在\cite{birkhoff}。对于群$\mathsf{H}_4$，我们发现了$1063$的小平面轨道，它为\cite{birkhoff}的猜想提供了一个反例.
Two-orbit convex polytopes and tilings
对对称群在旗上有两条轨道的凸多胞体进行了分类。它们只存在于二维或三维空间中，而唯一的组合自同构群也是双轨道的是立方八面体、二十面体和它们的正六面体。组合正则双轨道凸多胞体是确定的2n-凸多面体，其中n > 1。我们还利用对称群具有两个标志轨道的凸多胞体对欧几里得空间的面对面镶嵌进行了分类。有许多族，平铺一维、二维或三维。唯一的这种镶嵌也是组合双轨道的是三六边形平面镶嵌，菱形平面镶嵌，四面体-八面体蜂窝和菱形十二面体蜂窝。
Affine Symmetries of Orbit Polytopes
轨道多面体是有限群$G \leq \operatorname{GL}(d,\mathbb{R})$下轨道的凸包。我们发展了一个一般的理论，可能的仿射对称群的轨道多面体。对于每个群，我们定义一个开的稠密的泛点集，使得泛点的轨道多面体具有共轭仿射对称群。我们证明了一般轨道多面体的对称群又是$G$，如果$G$本身是某个轨道多面体的仿射对称群，或者如果$G$是绝对不可约的。另一方面，我们描述了一些一般情况下，仿射对称群的增长。我们应用我们的理论表示多面体（有限矩阵群的凸包），并表明它们的仿射对称性可以有效地计算从一定的字符。我们用它来构造Baumeister等人的一个猜想的反例。[Advances in Math.222（2009），431- 452，Conjecture~5.4].
Semiregular abstract polyhedra with trivial facet stabilizer
本文构造了具有平凡面稳定化子的半正抽象多面体，展示了其可拥有无界的旗轨道数，同时仅有一个面轨道，并通过操作高阶正则和非正则多面体实现交替半正多面体的构造。
Two-orbit right-angled Polytopes and Hypertopes
本文针对腔室恰有两个轨道的拟阵与超拟阵，建立腔室系统商的通用构造框架，结合无acylindrically双曲群机制，构造出边标记为∞的2类双轨道超拟阵，所有构造对象均为无限的。
On the Size of Equifacetted Semi-Regular Polytopes
与经典的凸多胞体理论不同的是，有大量的半正则抽象多胞体，包括一些有趣的例子，展示了一些意想不到的现象。我们证明了即使是一个等距半正则抽象多面体在其组合自同构群下也可以有任意多个旗轨或面轨。
One-skeleton posets of Bruhat interval polytopes
该研究针对Bruhat区间多面体的1-骨架偏序集展开，证明其为格，完成该多面体为简单多面体的情形分类，解决了相关公开问题与猜想，还分类了Schubert簇中一般环面轨道闭包光滑的情形。
Permutation Polytopes of Cyclic Groups
我们研究了与轮换群相关的置换多面体的组合学和几何学，即，置换矩阵的循环群的凸包。我们给出了它们的维度和顶点度的公式。在群的生成元至多由两条轨道组成的情况下，我们可以给出相关置换多胞形的完整组合描述。在三个轨道的情况下，小平面结构已经相当复杂。对于一个大类的例子，我们表明，存在指数许多方面。
Combinatorial slicing problems of polytopes: How (not) to reconstruct a polytope from its slices
本文研究多胞体超平面截面的组合信息能否决定原多胞体组合类型，发现一般不能，但对足够一般的简单多胞体，中心截面的顶点数函数可决定完整组合类型，并证明组合版Busemann-Petty和Bourgain问题在所有维度均失败。
Galois orbits of torsion points over polytopes near atoral sets
该研究推广了扭点 Galois 轨道上的等分布定理至多胞体子集，给出收敛速度估计，并应用于二维高度收敛问题，附有计算严格度幂的算法。
Realizability of Polytopes as a Low Rank Matrix Completion Problem
本文给出了多面体的顶点与刻面之间的包含关系的充要条件。这里还给出了一组参数化线性模空间的矩阵和另一组参数化组合多面体的射影模空间的矩阵。
On Lattice-Free Orbit Polytopes
给定一个作用在$\mathbb{R}^n$坐标上的置换群，我们考虑无格多面体是一个整向量的轨道的凸包。这种多面体的顶点被称为\emph{core points}，它们在最近的一种利用整数凸优化问题的对称性的方法中起着关键作用。在这里，自然会出现这样的问题：对于哪些组，核心点的数量有限，直到通过该组固定的向量进行平移。本文考虑可迁置换群，证明了$2$ -齐次置换群的这种有限性。我们提供的工具，实际计算的核心点，并获得一个完整的列表中的所有$2$ -齐次组的代表度12。对于非$2$ -齐性的可传递群，我们猜想存在无穷多个核点，直到被全一向量平移为止。我们证明了我们的猜想两大类的群体：非本原群和群体，有一个无理不变子空间。
Unimodular equivalence of order and chain polytopes
解决了有限偏序集的序多面体与链多面体的幺模等价问题。
Gorenstein Fano Generic Torus Orbit closures in $G/P$
给定一个约化群$G$和一个抛物子群$P\subset G$，与maximaltorus $T$，我们认为（以下Dabrowski的工作）的封闭$X$的一般$T$ -轨道在$G/P$，并确定在组合terms时，环面品种$X$是$\mathbb{Q}$ -Gorenstein Fano，以这种方式扩展的分类光滑Fano通用闭包由Voskresenski \u和Klyachko。作为应用，我们应用Gorenstein Fano复曲面变种和自反多面体之间众所周知的对应关系，以展示哪些自反多面体对应于通用闭包--该列表包括自反根多面体。
Enumerative problems for arborescences and monotone paths on polytope graphs
凸多胞体$P$上的每个一般线性泛函$f$在$P$的图上诱导出一个方向.从所得到的有向图可以定义$P$上的$f$ -树形和$f$ -单调路的概念，以及$f$ -单调路的顶点集上的自然图结构.这些概念在几何组合学和优化中很重要。本文根据多面体$P$的维数和顶点数或面数，给出了多面体$f$ -树形图的个数、$f$-单调路的个数和$f$ -单调路的图的直径的界.
$2$-groups behaving as automorphism groups of regular $3$-polytopes
在本文中，我们分类的规则多面体的顺序$2^n$和Schläfli型$\{4, 2^{n-3}\}, \{4, 2^{n-4}\}$和$\{4, 2^{n-5}\}$的自同构群的$n \geq 10$，从而给出了一个问题的部分答案Schulte和Weiss在[问题上多面体，他们的群体，和实现，期刊Math. Hungarica 53（2006）231-255]。
Counting d-polytopes with d+3 vertices
完全解决了具有$d+3$顶点的组合不等价$d$维多面体的计数问题.劳埃德于1970年首次提出了这个问题的解决方案。但所获得的计数公式是不正确的，在格林鲍姆的书的新版本中指出。我们都纠正了劳埃德的错误，并提出了一个更详细和独立的解决方案，依赖于类似的枚举，但使用不同的枚举方法，涉及自动机。此外，我们引入并解决了计数定向和非手性（即稳定的反射下）$d$ -多面体与$d+3$顶点的问题。然后分析了给定大小的系数计算表的复杂性。最后，我们得到了$d$ -多面体、定向$d$ -多面体和具有$d+3$顶点的非手性$d$ -多面体个数的精确渐近公式.这细化了第一个渐近估计给出的Perles。
Inscribed Tverberg-Type Partitions for Orbit Polytopes
本文拓展Tverberg定理相关研究，证明对r阶群的忠实满维正交表示，ℝᵈ中t(r,d)-d个点的一般集可划分为r个子集，其凸包各取一点能构成等距群含该群的凸d多面体的顶点，且点数最优，涵盖平面正r边形等多种情形。
Derivations of large classes of facet-defining inequalities of the weak order polytope using ranking structures
有序多面体的研究对于解决各种具有挑战性的组合最优化问题是必不可少的。例如，将这些多面体的面定义不等式（FDIs）纳入分支和切割方法中，是迄今为止已知的最有效的解决方法之一。弱序多面体定义为$n$方案上所有二进制序的特征向量的凸包，这些方案是自反的、传递的和完备的，对于解决计算社会选择、偏好聚合和比较概率中的问题特别重要。在大多数情况下，弱序多面体的FDIs已经通过枚举和通过从其他组合多面体的FDIs推导而获得。本文推导了新的类的FDIs的弱序多面体利用等价表示的弱序作为一个排名的$n$对象，允许领带和分组特征向量，共享某些排名结构。此外，我们证明了以前通过枚举获得的一些FDIs实际上是这些基于排名的FDIs的特殊情况。
Graph edge contraction and subdivisions for adjacency polytopes
邻接多面体，也就是。与无向图相关联的对称边多面体已经在包括数论、离散几何和动力系统在内的几个看似独立的领域中被定义和研究。特别是，作者的动机来自Kuramoto方程的热带交叉问题。邻接多面体的规则剖分有助于解决这些问题。本文探讨了邻接多面体的规则剖分与其基础图沿边的收缩之间的联系。我们构造了一个特殊的正则剖分，它的单元格与原图的边收缩相关的邻接多面体的小平面一一对应。此外，这种细分导致原始图分解为“单元子图”。我们探讨组合，图论，和拟阵方面的这种连接。
A Polynomial Time Algorithm for Vertex Enumeration and Optimization over Shaped Partition Polytopes
我们考虑{ \em Shaped Partition Problem}，将实$k$ -空间中给定的$n$划分为$p$部分，以最大化一个任意目标函数，该目标函数对每个部分中的向量之和是凸的，且每个部分中的元素个数受到任意约束.为了解决这个问题，我们研究了{ \em Shaped Partition Polytope}作为解的凸包。成形分割问题捕获了${\cal N}{\cal P}$ -困难问题，例如最大割问题和旅行商问题，并且成形分割多面体可以具有指数级多个顶点和面，即使当$k$或$p$是固定的。与此相反，我们表明，当$k$和$p$是固定的，在$n$的顶点数是多项式，所有的顶点可以枚举和优化问题解决的强多项式时间。解释，我们表明，任何形状的分区多面体有$O(n^{k{p\choose 2}})$顶点，可以列举在$O(n^{k^2p^3})$算术运算，任何形状的分区问题是可解的$O(n^{kp^2})$算术运算。
Counterexample to a conjecture of Ziegler concerning a simple polytope and its dual
Ziegler的“Lectures on Polytopes”中的问题4.19断言，每个简单的$3$维多面体都具有这样的性质，即它的对偶可以被构造为原始简单多面体的顶点子集的凸包。在本文中，我们陈述了这个猜想的一个高维类似物，并提供了维数$d \geq 3$的一族反例。
Combinatorial Polytope Enumeration
我们描述了一个可证明完备的算法，用于生成R^d中所有组合不同的简单n面多面体的紧的、可能精确的超集，以及它们的图、f-向量和面格。该技术将重复的切割平面和平面扫描应用于d单形。我们的发电机有几个突出的问题在多面体理论的影响，包括不同的多面体的数量，边扩张的多面体图，和d-步骤猜想。
Number of vertices in Gelfand-Zetlin polytopes
讨论了Gelfand-Zetlin多面体中顶点的计数问题。也就是说，我们推导出一个常系数偏微分方程的指数母函数，这些号码。对于某些特殊类型的Gelfand-Zetlin多面体，顶点数可以由显式公式给出。
On the $f$-matching polytope and the fractional $f$-chromatic index
我们的动机是如何相似的$f$着色问题是经典的边着色问题，特别是关于图形参数的问题。在2010年，Zhang，Yu，and Liu给出了$f$ -匹配多面体的新描述，并导出了分数$f$ -色指数的公式，指出分数$f$ -色指数等于分数最大$f$ -度和分数$f$ -密度的最大值。不幸的是，这个公式是不正确的。我们提出了反例的描述的$f$ -匹配多面体和公式的分数$f$ -色指数。最后，我们证明了关于Goldberg猜想推广的一个简短引理。
The Diameters of Network-flow Polytopes satisfy the Hirsch Conjecture
本文用网络单纯形法解决了多面体组合学中的一个问题。我们证明了Hirsch猜想对所有网络流多面体的图的直径成立，特别是对具有$n$节点和$m$弧的网络，网络流多面体的直径永远不超过$m+n-1$ .证明这一点的一个关键步骤是证明经典运输多面体的相同结果。
A Fuss-Catalan variation of the caracol flow polytope
最近，一个组合的解释Baldoni和Vergne的广义Lidskii公式的流量多面体的体积是由Benedetti等人。这将计算Kostant分拆函数的问题转换为枚举一组称为统一图的对象的问题。我们设计了一个增强版本的组合模型来计算定义在一个家庭的图形称为k-caracol图的流量多面体的体积，从而在非可平面图的模型的第一个应用程序。在k=1和k=n-1时，我们恢复了经典Caracol图和Pitman-Stanley图的结果.此外，我们引入的概念，在度重力图流多面体，这是equinumerous与（出度）的重力图认为Benedetti等人。我们发现，对于k-caracol流多面体，这两种重力图满足一个自然的组合对应，这提出了一个有趣的问题，在两个相关的多面体的几何关系。
Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations
本文给出了一个开放的问题，抽象多面体的集合，无论是在多面体日在卡尔加里或在前面的研讨会上凸和抽象多面体在班夫国际研究站在2005年5月的讨论动机。
Some Algorithmic Problems in Polytope Theory
本文综述了关于凸多胞体的组合性质和几何性质的算法问题。我们列出了35个问题，每个问题的理论复杂性状态的当前状态的知识报告。这些问题被分为“坐标描述”、“组合结构”、“同构”、“优化”、“可实现性”和“超越多面体”等部分。
Antiprismless, or: Reducing Combinatorial Equivalence to Projective Equivalence in Realizability Problems for Polytopes
这篇文章展示了一个没有反棱柱的四维组合多面体，回答了Bernt Lindstöm提出的一个问题。因此，这个组合多面体的任何实现都有一个面，它不能在不倾倒的情况下休息。为此，我们提供了一个通用的方法来解决广泛的类的可实现性问题。具体来说，我们表明，任何半代数属性，面临继承，给定的财产持有的一些实现的每一个组合多面体的当且仅当财产持有从一些投影副本的每一个多面体。证明使用下面的结果。给定任何顶点具有代数坐标的多面体，存在具有指定面的组合“图章”多面体，其在所有实现中与给定多面体投影等价。在这里，我们构建了一个新的邮票多面体，是密切相关的Richter-Gebert的证明的普遍性4维多面体，我们推广了几个工具，证明。
On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems
我们表明，问题，以决定是否两个（凸）多面体，给出了他们的顶点小面的发病率，组合同构是图同构完成，即使是简单的或单纯的多面体。另一方面，我们给出了有界维数下组合多面体同构问题的一个多项式时间算法。此外，我们推导出决定两个由顶点或刻面描述给出的多面体是射影同构还是仿射同构的问题是图同构困难的。这篇论文的原始版本（2001年6月，11页）的标题是“关于与多面体有关的同构问题的复杂性”。当前版本和前一版本之间的主要区别是一个新的多项式时间算法的多面体同构在有界维数，不依赖于Luks的多项式时间算法检查两个图的有界价同构。进一步推广了几何同构问题的处理方法。
Scribability problems for polytopes
在本文中，我们研究了各种可写性问题的多面体。我们开始与经典的$k$ -scribability问题提出的施泰纳和推广的舒尔特，其中要求的存在$d$ -多面体，不能实现与所有$k$ -面相切的一个领域。我们回答这个问题的堆叠和循环多面体的所有值的$d$和$k$。然后我们继续研究Grünbaum和Shephard提出的弱可写性问题，通过给出非弱可外切的$3$ -多面体来完成Schulte的工作。最后，我们提出了新的$(i,j)$ -scribability问题，在一个强和弱的版本，推广了经典的。他们询问了$d$的存在性--当所有的$i$ -面都“避开”球体，而所有的$j$ -面都“切割”球体时，不能实现的多面体。我们提供了这样的例子，所有的情况下，$j-i \le d-3$。
Sum of Squares Certificates for Containment of $\mathcal{H}$-polytopes in $\mathcal{V}$-polytopes
给定一个$\mathcal{H}$ -多面体$P$和一个$\mathcal{V}$ -多面体$Q$，$P$是否包含在$Q$中的判定问题是共NP完全的.如果将$P$限制为标准立方体并且将$Q$限制为十字多面体的仿射像，则该硬度保持不变。虽然Freund和Orlin的硬度分类可以追溯到1985年，但对于一般尺寸，迄今为止似乎只有有限的进展。基于一个制定的问题的双线性可行性问题，我们研究了平方和证书，以决定包容问题。这些证书可以通过半定层次结构计算。作为一个主要结果，我们表明，在温和的和明确已知的前提下，半定的层次收敛在许多步骤。特别地，如果$P$包含在大的$\mathcal{V}$ -多面体$Q$中（在明确定义的意义上），则包含由层次结构的第一步证明。
On the Bond Polytope
给定图$G=(V,E)$，最大键问题搜索具有$S \subseteq V$的最大割$δ(S) \subseteq E$，使得$G[S]$和$G[V\setminus S]$连接。这个问题与著名的最大割问题密切相关，并以各种名称，如最大键，最大最小割和最大连通（边）割而闻名。键多面体是键的所有关联向量的凸包。与相应的最优化问题的联系类似，键合多胞形与割多胞形也是密切相关的。虽然切割多面体已经深入研究，有没有结果的债券多面体。我们开始对后者进行结构研究。我们调查切割和债券多面体之间的关系，并研究图形修改债券多面体及其刻面的效果。此外，我们还研究了键多面体的边和圈所产生的刻面定义不等式。特别是，这些产生一个完整的线性描述的债券多面体的循环和$3$连接平面$(K_5-e)$ -未成年人的自由图。此外，我们还将任意图上的最大键问题归结为$3$ -连通图上的最大键问题。这产生了一个线性时间算法的最大键$(K_5-e)$ -小自由图。
Maximum volume polytopes inscribed in the unit sphere
本文研究了在$d$维欧几里得空间中求内接于单位球面的具有给定顶点数的最大体积多面体的问题。我们解决了这个问题的多面体与$d+2$顶点在每一个层面上，和多面体与$d+3$顶点在奇数维。对于顶点为$d+3$的偶数维多面体，我们给出了一个部分解。
Embedding Divisor and Semi-Prime Testability in f-vectors of polytopes
我们得到的计算困难的f-向量的多面体展示减少的问题除数和半素可测性的问题的f-向量的多面体。进一步，我们证明了单纯多面体的f-向量的相应问题是多时可解的。我们证明这种计算差异的制度（条件上的素数和$P\neq NP$的密度的标准结构）是当尺寸$d$趋于无穷大和方面的数量是线性的$d$。
A special role of Boolean quadratic polytopes among other combinatorial polytopes
我们考虑几个家庭的组合多面体与以下NP-完全问题：最大割，布尔二次规划，二次线性序，二次分配，集划分，集包装，稳定集，3-分配。为了比较两族多面体，我们使用以下方法。我们说族$P$是仿射约化为族$Q$，如果对于每个多面体$p\in P$，存在$q\in Q$使得$p$仿射等价于$q$或$q$的一个面，其中$\dim q = O((\dim p)^k)$对于某个常数$k$。在这种比较下，上述家族被分裂成两个等价类。我们还表明，这两个类是简单的（在上述意义上）比家庭的poytopes以下问题：集覆盖，旅行商，0-1背包问题，3-可满足性，立方子图，偏序。特别是，布尔二次多面体出现在每一个提到的家庭多面体的面。
A Non-Degenerate Perturbation of the Assignment Polytope and its Application to Graph Matching
我们考虑在分配多面体上极大化一个连续凸函数。这些问题出现在图匹配（图同构的优化版本）和二次指派问题中。在最大化多面体上的凸函数的典型情况下，该问题可以通过使用诸如Tuy方法或Falk-Hoffman方法的单纯算法来解决，但是这些算法要求基础多面体是非退化的，这不是分配多面体的情况。在本说明中，我们将展示如何使用一个简单的扰动方案来创建一个“代理问题”，这是非退化和组合等价的原始问题。我们进一步提供了一个明确的代理问题，是非退化和组合等价的图匹配问题，当后者是作为一个凸最大化问题的建设。通过构建一个代理问题，已知先验的非退化和组合等价的图匹配，我们解决了一个“开放的问题”解决图匹配通过凸最大化首先提出的Maciel。
Determining inscribability of polytopes via rank minimization based on slack matrices
本文通过松弛矩阵的秩最小化问题，提供多面体可内接性的充要条件，并提出SDP近似方法，用于判断多面体的可内接性。
The Turán Polytope
图兰超图问题要求在一个$n$顶点上的$r$ -一致超图中找到不包含大小为$a$的团的最大$r$ -边数.当$r=2$，即，对于图，答案是众所周知的，可以在图兰定理中找到。但是，当使用$r\geq 3$时，问题仍然存在。我们将问题建模为整数规划，并将底层的多面体称为图兰多面体。我们画了后者和独立集多面体之间的平行：我们表明，广义和变换版本的网络和车轮的不平等也面定义的图兰多面体。我们还表明集团的不平等和我们所谓的加倍不等式是方面定义时，$r=2$。这些方面导致一个简单的新的多面体证明图兰定理。
A Facet Enumeration Algorithm for Convex Polytopes
本文提出一种简单新颖的凸多面体面枚举算法，在Matlab中实现，并通过已知多面体测试验证其有效性和效率，且因对偶性可推广至顶点枚举。
On the Importance of Studying the Membership Problem for Pedigree Polytopes
本文证明了谱系多面体的成员资格问题可通过构建递归分层网络在强多项式时间内求解，进而表明该多面体上的线性优化能高效解决对称旅行商问题，最终得出 NP=P 的结论。
Counting vertices of integral polytopes defined by facets
我们提出了一些复杂性的结果有关的问题的积分多面体定义的线性不等式系统的顶点计数。重点是小整数顶点的多面体，特别是0/1多面体和半整数多面体。
Permutation polytopes and indecomposable elements in permutation groups
每个n × n置换矩阵的群G有一个对应的置换多面体，P（G）：=conv（G）在R^{n × n}中。我们将P（G）的结构与G的传递性联系起来。特别地，我们证明了如果G有t个非平凡轨道，则min{2 t，floor（n/2）}是P（G）的图的直径的一个尖锐的上界;所以如果G是传递的，则直径至多为2.我们还证明了当G是2-传递的时，P（G）精确地达到其最大维数（n-1）^2。然后我们推广了I. Pak关于P（G）上随机游动的混合时间。我们的工作依赖于置换群的一个新结果，该结果涉及将置换写成不可分解置换的乘积。
The Tropical Division Problem and the Minkowski Factorization of Generalized Permutahedra
给定$\mathbb{R}^n$上的两个热带多项式$f, g$，给出了分解$f= h \odot g$存在性的一个刻划和分解$h$的构造.作为这个结果的一个衍生物，我们得到了一个平行的结果的Minkowski分解的多面体。使用我们的建设，我们表明，对于任何给定的多面体风扇有一个多面体因式分解的基础，即一个有限集的多面体，就任何多面体的正常风扇是由原来的风扇可以被唯一地写为一个签署Minkowski和。我们明确地研究了多项式拟阵及其推广的因式分解，Coxeter拟阵多面体，并给出了这类多面体的变形锥的超平面描述。
A Lost Counterexample and a Problem on Illuminated Polytopes
在1984年的一篇论文中，丹尼尔·A.马库斯声称有一个反例来证明他的猜想，即R^m中的最小正k-生成向量配置的大小至多为2 km。然而，反例从未发表，似乎已经丢失。1974年，彼得·马尼（Peter Mani）独立解决了哈德维格（Hadwiger）的一个问题，证明了每个“发光”的d维多面体必须至少有2d顶点。这两个研究是由盖尔对偶，一个基本的线性代数技术设计的Micha A。60年代的Perles因此，我们注意到，马尼的研究提供了一个反例马库斯猜想的参数，正是马库斯声称。在另一个方向上，与马库斯的工具，我们提供了一个答案，一个问题留下开放的马尼：可以“照明”d维多面体上的最小数量的顶点是非单纯的？
Reconstructing a Simple Polytope from its Graph
Blind和Mani（1987）证明了一个简单的凸多胞体的整个组合结构（顶点-小面关联）是由它的抽象图决定的。他们的证据不是建设性的。Kalai（1988）找到了一个简短、优雅的算法证明。然而，他的算法总是指数运行时间。我们证明了从一个简单的多面体P的图中重建其顶点-刻面关联的问题可以被公式化为一个组合最优化问题，该问题与在P上找到一个抽象的目标函数的问题是强对偶的（即，P的对偶多面体的刻面的剥壳顺序）。因此，我们推导出多项式证书的顶点-小面的关联，以及抽象的目标函数的P的图形。本文是一个变化的联合工作与迈克尔Joswig和Friederike Koerner（2001）。
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