Unimodular equivalence of order and chain polytopes
Takayuki Hibi, Nan Li
解决了有限偏序集的序多面体与链多面体的幺模等价问题。
The problem when the order polytope and the chain polytope of a finite partially ordered set are unimodularly equivalent will be solved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Existence of a regular unimodular triangulation of the edge polytopes of finite graphs
本文利用基本FHM-图的一些简单数据，给出了基本FHM-图的边多面体具有正则幺模三角剖分的几个判别准则。我们进一步应用我们的标准的几个例子的图，并表明，他们的边多面体具有定期幺模三角剖分。
Unimodular covers of multiples of polytopes
设P是d维格多面体。证明了存在一个只依赖于d的自然数c_d，使得对每个自然数c >= c_d，倍数cP都有一个幺模覆盖.实际上，我们给出了c_d的一个次指数上界，并给出了有理锥的幺模覆盖的一个类似结果。
Unimodular triangulations of sufficiently large dilations
整数多面体是顶点具有整数坐标的多面体。$\mathbb{R}^d$中整多面体的幺模三角剖分是其中所有单形都与体积$1/d!$积分的三角剖分。Knudsen、Mumford和Waterman的一个经典结果指出，对于每个整数多面体$P$，存在一个正整数$c$使得$cP$有一个幺模三角剖分。我们加强这一结果表明，对于每一个整数多面体$P$，存在$c$，使每一个正整数$c' \ge c$，$c'P$承认一个幺模三角。这回答了该地区一个长期存在的问题。
Ehrhart-Equivalence, Equidecomposability, and Unimodular Equivalence of Integral Polytopes
Ehrhart多项式是广泛研究的结构，它插值积分$n$ -多面体的膨胀的离散体积。然而，Ehrhart多项式的系数仍然没有被完全理解，并且不知道两个多面体何时具有等价的Ehrhart多项式。本文建立了Ehrhart-equivalence与其它等价形式之间的关系：$\mathbb{R}^n$中两个整数$n$ -多面体的$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等可分解性和么模等价性.我们猜想任意两个Ehrhart-equivalent整$n$ -多面体$P,Q\subset\mathbb{R}^n$是$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等分解为$\frac{1}{(n-1)!}$ -th么模单形的，从而推广了$n=1, 2, 3$的已知情况.我们还创建了一个算法来检查的任何两个积分$n$ -单纯形在$\mathbb{R}^n$的幺模等价。然后，我们发现并证明了一个新的单模等价的积分$2$ -单纯形和单模等价的$n$维金字塔之间的一一对应。最后，我们证明了在$\mathbb{R}^n$中存在积分$n$ -单形，它们对所有$n \ge 2$不是幺模等价的。
Unimodular Smooth Fano Polytopes and their Relation with Ewald Conditions
本文引入幺模光滑 Fano 多面体（USFP），证明其满足三种 Ewald 条件，并利用 Seymour 分解定理给出刻画，同时将深度单调多面体的对偶性质推广到 USFP。
A Regular Unimodular Triangulation of the Matroid Base Polytope
本文构造了任意拟阵基多面体的首个正则幺模三角剖分，并将其推广至整广义置换多面体，解决了此前幺模覆盖存在性未知的问题。
Unimodular polytopes and column number bounds on polytopal totally unimodular matrices via Seymour's decomposition theorem
本文通过塞缪尔分解定理证明了完全单模矩阵列数的精确上界，该结果改进了赫勒的经典界，并展示了单模多面体与顶点构成仿射格基的性质相关联。
Unimodular triangulations of dilated 3-polytopes
由于Knudsen，Mumford和Waterman（1973），环面簇理论中的一个开创性结果断言，对于每个格多面体$P$，存在正整数$k$，使得扩张多面体$kP$具有幺模三角剖分。在第3维中，Kantor和Sarkaria（2003）已经证明了$k=4$对每个多面体都有效。但这并不意味着每个$k>4$都能正常工作。我们在这里研究的值的$k$的结果表明：1。它包含所有的合数。2.它是一个加法半群。这两个属性意味着$k$唯一可能不起作用的值（除了已知不起作用的1和2之外）是$k\in\{3,5,7,11\}$。一个特设的建设，我们表明，$k=7$和$k=11$也工作，除了在这种情况下，三角测量不能保证是“标准”的边界。总之，唯一的开放病例是$k=3$和$k=5$。
Birkhoff polytopes of different type and the orthant-lattice property
Birkhoff多胞形定义为$n\times n$置换矩阵的凸包，是Ehrhart理论中研究得很好的多胞形。已知这个多面体有许多理想的性质，例如Gorenstein性质和存在规则的幺模三角剖分。在本文中，我们研究的Birkhoff多面体的有限不可约Coxeter群的其他类型的类似物。我们专注于一个类型$B$ Birkhoff多面体$\mathcal{BB}(n)$所产生的签署置换矩阵，并证明它和它的对偶多面体是自反的，因此Gorenstein，也具有定期，单模三角剖分。注意到，我们的三角证明不依赖于组合结构的$\mathcal{BB}(n)$，我们定义了一个正交格属性多面体的概念，并用它来证明更一般的结果存在的定期，单模三角和单模覆盖的一个重要的家庭的自反多面体。最后，我们通过评论的一些连接到盖尔对偶，伯克霍夫多面体的其他类型，和可能的应用程序的正交格属性。
Oda's conjecture for reflexive polytopes: some special cases
本文在若干特殊条件下证明了自反多胞体的Oda猜想，包括单纯自反多胞体与含原点的格多胞体满足特定顶点和格点条件的情形，以及面幺模多胞体和几乎余幺模自反多胞体对的情形。
Existence of unimodular triangulations - positive results
格多面体的幺模三角剖分出现在代数几何、交换代数、整数规划以及组合数学中。在这篇文章中，我们回顾了几类多面体，并保持其存在的幺模三角剖分和建设。我们包括，特别是，第一个有效的证明经典的结果由克努森-芒福德-沃特曼指出，每一个格多面体有一个膨胀，承认一个幺模三角。我们的证明产生了一个明确的（虽然双指数）的膨胀因子。
Marked poset polytopes: Minkowski sums, indecomposables, and unimodular equivalence
本文分析了标记偏序集多面体，推广了Hibi和Li的一个结果，回答了标记链多面体与标记序多面体是否是幺模等价的问题。这两个多面体都自然地出现在半单李代数的表示论中，因此我们可以给出标记偏序集上的一个充要条件，使得相应的部分旗簇的环面退化是同构的.我们进一步证明了这种标记偏序集多面体的格点集是0-1多面体格点集的Minkowski和。此外，我们提供了一个分解的标记偏序集到不可分解的标记偏序集，这方面的Minkowski和分解的标记链多面体多面体。
Equatorial Flow Triangulations of Gorenstein Flow Polytopes
本文应用Bruns和Römer的赤道三角剖分技术，给出Gorenstein流多面体未被研究的三角剖分的纯组合描述，证明其与框架法所得三角剖分不同，还找到投影自反多面体的面描述，并在强平面偏序集下生成序多面体新幺模三角剖分。
Sums of sets of lattice points and unimodular coverings of polytopes
如果$P$是一个格多面体（即，$\mathbf{R}^n$中格点的有限集的凸包），则$P$中$h$格点的每个和都是$h$ -fold和集$hP$中的格点.然而，$h$折叠和集$hP$中的格点不一定是$P$中的$h$格点之和.证明了：若多胞形$P$是幺模单形的并，则$h$ -fold和集$hP$中的每个格点都是$P$中$h$格点的和.
Unimodular covers of 3-dimensional parallelepipeds and Cayley sums
本文证明了三维空间中平行六面体、中心对称多胞体及特定Cayley和类具有幺模覆盖，改进了先前IDP结果。
Unimodular Equivalence of Integral Simplices
本文提出了一种基于置换赫尔mite规范形的算法，解决了积分单纯形的单模等价性问题，并证明了高维金字塔的单模等价性条件。
Log-concavity and Approximate Counting for Totally Unimodular Polytopes
本文提出全幺模多胞体格点数的下界，基于Gurvits容量优化，实现近似计数算法，并证明相关猜想。
Most $(0,1)$-polytopes are not normal
该研究证明随维度增大，$d$维$(0,1)$-多面体的正规类比例以双指数速率趋于零，分类低维多面体并找到首个具旗帜幺模三角剖分但环面环非Koszul的多面体，还给出非正规的δ-拟阵多面体示例。
Enumeration of lattice polytopes by their volume
Lagarias和Ziegler的一个著名结果表明，对于固定的常数d和K，有200多个等价类的d维格多面体的体积至多为K。我们描述了一个算法的完全枚举这样的等价类为任意常数d和K。该算法，它给出了另一个证明的有限性结果，实现了小值K，高达6维。由此产生的数据库包含并扩展了几个现有的数据库，并已用于纠正其他分类中的错误。当专门用于三维光滑多面体时，它扩展了Bogart等人以前的分类，劳伦兹和伦德曼此外，我们给出了一个结构定理，光滑多面体与少数格点，证明他们有一个二次三角剖分，我们使用，与分类，描述光滑多面体具有小体积的任意维。在三维中，我们列举了所有的单形有多达11个内部格点，我们用它们来猜想一组尖锐的不等式的系数的Ehrharth *-多项式，统一现有的几个代数。最后，我们提取和讨论最小的有趣的例子，从分类，我们研究的频率的属性，如被跨越，非常充足，IDP，并有一个么模覆盖或三角。特别是，我们找到了最小的多面体，这是非常充足的，但不是IDP，并与一个幺模覆盖，但没有一个幺模三角剖分。
Nef-partitions arising from unimodular configurations
自反多面体已经从组合学、交换代数和代数几何的角度进行了研究。自反多面体$\mathcal{P}$的nef-划分是分解$\mathcal{P}=\mathcal{P}_1+\cdots+\mathcal{P}_r$，使得每个$\mathcal{P}_i$是包含原点的格多面体。Batyrev和van Straten给出了一种组合方法，用于显式构造由nef-划分得到的Calabi-Yau完全相交的镜像对。本文利用Gröbner基技巧，给出了一个由幺模组态产生的nef-划分的大族.
Isolating a Vertex via Lattices: Polytopes with Totally Unimodular Faces
我们提出了一个几何方法去随机化的隔离引理Mulmuley，Vazirani和Vazirani。特别是，我们的方法产生一个准多项式家庭的权重，其中每个权重是一个整数和准多项式有界的，可以隔离任何0/1多面体的顶点，每个面位于一个仿射空间定义的一个完全么模矩阵。这包括完全么模约束给出的多面体，并推广了最近的去随机化的隔离引理的二分完美匹配和拟阵相交。我们证明了我们的结果相关联的一个格的多面体的每个面，并表明，如果有一个完全么模的核心矩阵，这个格，然后在3/2的最短向量的长度向量的数量是多项式有界的。这后一个几何事实的证明是组合的，并遵循一个多项式约束的电路数量的大小在3/2的最短电路在一个经常拟阵。这是本文的技术核心，依赖于西摩分解定理的一个变种。将Karger关于图的最小割数的一个有影响的结果推广到正则拟阵。
Normal polytopes and ellipsoids
我们证明：（1）格3-多面体中的幺模单形覆盖多面体边界的邻域当且仅当多面体是非常充足的，（2）R^3中每个椭球中的格点的凸包都有幺模覆盖，（3）对任意d ≥ 5，R^d中存在椭球，使得这些椭球中的格点的凸包不是偶法向的。第（3）部分回答了布伦斯、米哈莱克和作者的一个问题。
A matroidal criterion for flow polytopes to be order polytopes
研究有向无环图流多胞体与序多胞体的关系，核心方法是收缩闲置边，主要贡献为证明\(\mathcal{F}(G)\)与序多胞体单模等价当且仅当\(\widetilde G\)是\(st -\)平面图，以及在特定条件下给出图是\(st -\)平面图的充要条件。
Vertex-Maximal Lattice Polytopes Contained in 2-Simplices
由平面热带曲线的射线数的边界问题出发，我们研究了以下问题：给定$n\in\mathbb{N}$和一个么模$2$ -单纯形$Δ$，$n\cdot Δ$中包含的格多面体的最大顶点数是多少？我们确定这个数字为$\mathbb{N}$的一个无限子集，通过提供一个家庭的顶点极大多面体，并给出其他情况下的界限。
Regular dyadic triangulations of delta-matroid polytopes
本文证明每个delta-拟阵多面体（及更一般的整B型广义置换多面体）存在正则二进三角剖分，其最大单纯形体积为2的幂，并指出B型中唯一非幺模单纯形例外，基于B型根配置的完全二进性。
Two enriched poset polytopes
本文针对增广序多面体与增广链多面体，构造了对应Stanley转移映射的分段线性双射，证明二者Ehrhart多项式相同，并给出了两类多面体的显式幺模三角剖分。
Signed Poset Polytopes
本文定义并研究带符号序多面体与带符号链多面体，给出其凸包和半空间表示、幺模三角剖分、$h^*$-多项式及Gorenstein性质刻画。
Type B c-Birkhoff polytopes are order polytopes
本文证明 B 型 c-Birkhoff 多胞体与堆偏序集的序多胞体单模等价，从而回答了此前关于 A 型结果的推广问题。
The numbers of edges of the order polytope and the chain poyltope of a finite partially ordered set
设$P$是任意有限偏序集.证明了序多面体${\mathcal O}(P)$的边数等于链多面体${\mathcal C}(P)$的边数。进一步证明了作为${\mathcal O}(P)$的$1$ -骨架的有限单图的度序列与${\mathcal C}(P)$的度序列相等当且仅当${\mathcal O}(P)$与${\mathcal C}(P)$是单模等价的.
Boundary $h^\ast$-vectors and unimodular triangulations
本文通过正则单模三角剖分和 toric 理想的 Gröbner 衰减研究了格点多面体边界上的 $h^\ast$-多项式，推导了边界 $h^\ast$-多项式与正则单模三角剖分 $h$-多项式的关系，并建立了德恩-索默维尔型关系。
Chain polytopes and algebras with straightening laws
证明了有限偏序集的链多面体的环面是有限分配格上具有拉直律的代数。因此，特别是每一个链多面体拥有一个正规的幺模三角形所产生的一个标志复杂。
Projective Equivalences of k-neighbourly Polytopes
本文证明了与McMullen关于多面体的射影变换问题有关的定理：设$2\leq k\leq \lfloor{\frac{d}{2}}\rfloor$和$ν{(d, k)}$是使$\mathbb{R}^d$中一般位置上的$ν{(d,k)}$点的任意集合都能通过允许的射影变换映射到k-邻域多面体的顶点上的最大数，则$d + \left\lceil{\frac{d}{k}}\right\rceil +1 \leq ν{(d, k)} < 2d-k +1$ .
Triangulations, order polytopes, and generalized snake posets
本文研究了由广义蛇偏序集类及其交不可约元偏序集所产生的序多面体。在同秩的广义蛇偏序集中，刻画了序多面体具有最小和最大体积的广义蛇偏序集。我们给出了这些顺序多面体的电路的组合特征，然后得出结论，每个三角是么模。对于一个广义的蛇字，我们计数的翻转这些顺序多面体的规范三角剖分的数量。本文确定了滤子格来自于梯子的偏序集的序多面体的翻转图是对称群的Cayley图。最后，我们介绍了三角剖分的一个操作称为扭曲，并证明扭曲保持定期三角剖分。
Order-Chain Polytopes
给定两个具有良好组合和代数性质的整多面体族$X$和$Y$，生成新多面体类的自然方法是取交集$\mathcal{P}=\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2$，其中$\mathcal{P}_1\in X$，$\mathcal{P}_2\in Y$ .由此产生了两个基本问题：1）当$\mathcal{P}$是整数时，以及2）$\mathcal{P}$是否继承了$\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$的“旧类型”或具有“新类型”，即$\mathcal{P}$是否单模等价于$X\cup Y$中的某个多面体。本文主要研究了有序多面体和链式多面体，并在此基础上构造了一类新的多面体，称之为有序链式多面体。在对它们的体积的研究中，我们发现了一个自然的关系，Escherborg和Mahajan的最大化下降统计量的结果。
Gorenstein Fano polytopes arising from order polytopes and chain polytopes
Richard Stanley引入了由有限偏序集$P$生成的序多面体$\mathcal{O}(P)$和链多面体$\mathcal{C}(P)$，并证明了$\mathcal{O}(P)$的Ehrhart多项式与$\mathcal{C}(P)$的Ehrhart多项式相等.此外，第一作者和李南研究了$\mathcal{O}(P)$和$\mathcal{C}(P)$的么模等价问题.本文研究了三个整凸多胞体$Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{O}(Q))$，$Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$和$Γ(\mathcal{C}(P), -\mathcal{C}(Q))$，其中$P$和$Q$是具有$| P | = | Q |$的偏序集.首先，将表明$Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$的Ehrhart多项式与$Γ(\mathcal{C}(P), -\mathcal{C}(Q))$的Ehrhart多项式一致。当$P$和$Q$具有共同的线性扩张时，证明了这三个凸多胞体具有相同的Ehrhart多项式.其次，解决了偏序集$P$和$Q$的特征问题，使得$Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{O}(Q))$或$Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$或$Γ(\mathca…
Cubic graphs, their Ehrhart quasi-polynomials, and a scissors congruence phenomenon
幺模群的剪刀同余猜想类似于希尔伯特的第三个问题，即多面体的等分解性。Liu和Osserman研究了与顶点度为1或3的图自然相关的多面体的Ehrhart拟多项式。本文证明了Haase和McAllister关于这类多面体的剪刀同余猜想。证明中的关键要素是图上的最近邻交换和自然产生的分段么模变换。
Order polytopes of generalized snake posets are $h^*$-real-rooted
证明了广义蛇形偏序集序多面体的Ehrhart $h^*$-多项式是实根的，通过将其与非嵌套车多项式建立联系。
Chainlink Polytopes and Ehrhart-Equivalence
本文提出 chainlink polytopes，基于 circular fence posets 的秩序列对称性，构造具有相同 Ehrhart 拟多项式的非同构有理多胞体对无限族，并证明 circular rank polynomials 的单峰性猜想。
Laplacian polytopes of simplicial complexes
给定一个（有限）单纯复形，我们定义它的$i$ -th Laplacian多面体为它的$i$ -th Laplacian矩阵的列的凸包.这扩展了由Braun和Meyer引入的有限单图的拉普拉斯单形。在研究了这些多面体的基本性质之后，我们着重研究了$(d+1)$ -单形$\partial(σ_{d+1})$边界的$d$ -次Laplacian多面体。如果$d$是奇的，那么对于图来说，第$d$个拉普拉斯多面体在这种情况下是一个$(d+1)$ -单形。如果$d$是偶数，我们证明了$\partial(σ_{d+1})$的$d$次拉普拉斯多面体组合等价于$d+2$顶点上的$d$维循环多面体.此外，我们还对$\partial(σ_{d+1})$的$d$次Laplacian多面体给出了一个显式的正则幺模三角剖分.这使我们能够计算归一化体积，并表明，$h^\ast$ -多项式是实根和单峰，如果$d$是奇数和偶数，分别。
Equivalence classes for smooth Fano polytopes
设$\mathcal{F}(n)$是光滑Fano $n$ -多胞形直到单胞等价的集合。本文考虑了$\mathcal{F}(n)$的F-等价类或I-等价类，并引入了F-孤立或I-孤立光滑Fano $n$ -多面体.首先，我们描述了$\mathcal{F}(5)$的所有F-等价类和I-等价类。给出了具有$n+3$顶点的光滑Fano $n$ -多面体的F-等价类（I-等价类）的完整刻画，并构造了一族I-孤立光滑Fano多面体.
Polyhedral aspects of score equivalence in Bayesian network structure learning
本文讨论了族变量多面体和特征嵌入多面体的面和刻面，它们是用于统计学习贝叶斯网络结构的整数线性规划方法中的特殊多面体。一个共同的形式的线性目标，以最大限度地在这方面导致的概念，得分等价（SE），无论是线性目标和家庭变量多面体的脸。我们的线性空间的SE目标的特点，并建立一个一对一的对应关系SE面的家庭变量多面体，面对的特征嵌入多面体，和标准化的超模功能。SE刻面的特征在于相应的超模函数的极值给出了一个优雅的方法来验证不等式是否是SE刻面定义的家庭变量多面体。我们还表明，当最大限度地提高SE目标，可以消除线性约束的家庭变量多面体，对应于非SE方面。然而，我们表明，仅仅考虑SE方面是不够的，作为反例显示，人们必须考虑的线性不等式的限制，对应于方面的特征，嵌入多面体，尽管事实上，他们可能不会定义方面的家庭变量模式。
Two-Dimensional Faces of Order and Chain Polytopes
该研究明确了偏序集P的序多面体与链多面体的二维面的组合描述，证明链多面体的正方形面数与序多面体相等、三角形面数不少于序多面体，且除二者幺模等价外该不等式严格成立，验证了Hibi和Li猜想的i=2情形。
Antiprismless, or: Reducing Combinatorial Equivalence to Projective Equivalence in Realizability Problems for Polytopes
这篇文章展示了一个没有反棱柱的四维组合多面体，回答了Bernt Lindstöm提出的一个问题。因此，这个组合多面体的任何实现都有一个面，它不能在不倾倒的情况下休息。为此，我们提供了一个通用的方法来解决广泛的类的可实现性问题。具体来说，我们表明，任何半代数属性，面临继承，给定的财产持有的一些实现的每一个组合多面体的当且仅当财产持有从一些投影副本的每一个多面体。证明使用下面的结果。给定任何顶点具有代数坐标的多面体，存在具有指定面的组合“图章”多面体，其在所有实现中与给定多面体投影等价。在这里，我们构建了一个新的邮票多面体，是密切相关的Richter-Gebert的证明的普遍性4维多面体，我们推广了几个工具，证明。
Enumeration and Unimodular Equivalence of Empty Delta-Modular Simplices
考虑一类由具有$Δ$ -模矩阵的线性不等式组$A x \leq b$定义的单形.一个矩阵称为$Δ$ -模的，如果它的所有秩序子行列式在一个绝对值上都被$Δ$包围。在我们的工作中，我们称一个单纯形$Δ$ -模，如果它可以定义一个系统$A x \leq b$与一个$Δ$ -模矩阵$A$。我们称一个单纯形为空，如果它不包含整数坐标的点。在文献中，一个单形被称为格单形，如果它的所有顶点都有整数坐标。一个格单形称为空的，如果它不包含除顶点之外的整数坐标的点。最近，假设$Δ$是固定的，它被证明的$Δ$ -模空单形模么模等价关系的数量是有界的一个多项式的维数。我们证明了类似的事实适用于$Δ$ -模空格单形类。作为主要的结果，再次假设参数$Δ$的值是固定的，我们表明，所有的单模等价类的两种类型的单形可以列举的多项式时间算法。作为次要的结果，我们证明了存在一个多项式时间算法的问题，以检查一对给定的$Δ$ -模块化，不一定是空的，单纯形的么模等价关系。
Equivalence Classes of Full-Dimensional 0/1-Polytopes with Many Vertices
令$Q_n$表示顶点集为$V_n=\{0,1}^n$的$n$维超立方体. $Q_n$的0/1-多面体是$V_n$的子集的凸包。本文研究了超立方体对称下全维0/1-多面体等价类的计数问题。在计算机程序的帮助下，艾希霍尔泽完成了$Q_4$、$Q_5$和最多12个顶点的$Q_6$的全维0/1-多面体的等价类的枚举。本文给出了一个计算$Q_n$的多个$2^{n-3}$顶点的全维0/1-多面体的等价类数的方法。作为应用，我们完成了$Q_6$的顶点数大于12的全维0/1-多面体的等价类的计数。
On permutation polytopes - notions of equivalence
阐明了有效等价的概念，并对有效等价的置换群进行了几何刻画。特别是，我们提出的例子表明，后者不对应于仿射等价多面体，从而回答[BHNP 09]的问题2.12。我们将我们的表征应用到我们的例子中，并提出几个问题。
Integer decomposition property for Cayley sums of order and stable set polytopes
具有整数分解性质的格多面体出现在数学的许多领域。已知如果格多面体的Cayley和具有IDP，则它们的Minkowski和也具有IDP。本文研究了有限偏序集的序多面体与有限单图的独立集多面体的Cayley和。证明了序多面体的Cayley和与完美图的独立集多面体具有正则幺模三角剖分和IDP，从而它们的Minkowski和也具有正则幺模三角剖分和IDP.此外，还证明了对于图的序多面体和独立集多面体，下列条件是等价的：（i）Cayley和是Gorenstein;（ii）Minkowski和是Gorenstein;（iii）图是完美的.
Information-Geometric Equivalence of Transportation Polytopes
本文讨论概率单形中的运输多面体（即具有规定边缘的分类二元概率分布集）。研究了这类多面体之间的信息投影，给出了这类映射是同胚的一个充分条件。
Some Algebraic Properties of Lecture Hall Polytopes
本文研究了$s$ -演讲厅单形及其推广的一些基本代数和几何性质。我们发现，所有的$s$ -讲堂秩序多面体，同时推广$s$ -讲堂单纯形和秩序多面体，满足一个属性，这意味着整数分解性质。这回答了Hibi、Olsen和Tsuchiya的一个猜想。通过将$s$ -讲堂多面体与凹洞多面体相联系，我们利用这一性质证明了$s$ -讲堂单形的族允许具有无平方初始理想的二次Gröbner基。因此，我们发现，所有的$s$ -演讲厅单形的$s$的一阶差分序列是一个$0,1$ -序列有一个正规的和幺模三角剖分。这回答了第二个猜想的希比，奥尔森和土屋，它给出了部分答案猜想的贝克，布劳恩，柯普，萨维奇和Zafeirakopoulos。
Column convex matrices, $G$-cyclic orders, and flow polytopes
我们研究了由$\sum_{i\in I} z_{i}\leq 1$形式的不等式定义的多面体，其中的不等式可以被重排为一个包含列凸$\{0,1\}$ -矩阵的矩阵不等式，对于$I\subseteq [d]$和非负$z_i$.这些推广了斯坦利研究的多面体，以及Ayyer，Josuat-Vergès和Ramassamy的连续坐标多面体。我们证明了这些多面体和流多面体的有向无圈图$G$的哈密尔顿路径，我们称之为脊髓图之间的积分等价。我们表明，这些流多面体的体积是一组部分循环的顺序定义的图$G$的扩展的数量。作为一个特殊的情况下，我们恢复连续坐标多面体卷的结果。我们研究的组合学的$k$ -欧拉数，这是经典的欧拉数的推广，并出现作为一个特殊的家庭的脊椎图的流量多面体的体积。我们表明，他们的改进，Ramassamy的$k$ -Entringer数，可以实现为一个Kostant分拆函数的值，满足一个家庭的广义boustrophedon递归，并沿根方向的对数凹。最后，通过我们的主要积分等价和已知的连续坐标多面体的$h^*$ -多项式公式，我们给出了非嵌套脊图的流多面体的$h^*$ -多项式的一个组合公式.对于一般的脊椎图，我们提出了一个猜想的上，下界的$h^*$ -多项式。
A refinement of the edge theorem for order and chain polytopes
本文改进序多面体与链多面体的边定理，通过连通凸子集划分边并证明对应类基数相等，给出边数闭式公式，并揭示已知双射的结构，同时比较边方向、边长与直径，讨论对组合优化的影响。
The Newton polytope of the discriminant of a quaternary cubic form
本文确定了四元三次型判别式的$166\,104$极值单项式。这些是在双射与$D$ -等价类的正规三角剖分的$3$ -扩张四面体。我们描述了如何计算这些三角和它们的$D$ -等价类，以达到我们的主要结果。该计算带来了几个挑战，例如有效地处理大量的三角测量，以及设计一种适当快速的算法来计算$D$ -等价类。
Enriched chain polytopes
Stanley引入了由有限偏序集$P$产生的格多面体$\mathcal{C}_P$，称之为$P$的链多面体. $\mathcal{C}_P$的几何结构与$P$的组合结构有很好的关系。特别地，$\mathcal{C}_P$的Ehrhart多项式由$P$的阶多项式给出。本文结合$P$，引入了一种格多面体$\mathcal{E}_{P}$，称之为$P$的富链多面体，并研究了这种多面体的几何性质和组合性质.借助于Gröbner基上的代数技巧，我们看到$\mathcal{E}_P$是一个具有旗正则幺模三角剖分的自反多面体。而且，$\mathcal{E}_P$的$h^*$ -多项式等于球面的旗三角剖分的$h$ -多项式.另一方面，通过证明$\mathcal{E}_P$的Ehrhart多项式与$P$的左富集阶多项式重合，从Stembridge和Petersen的工作可以得出$\mathcal{E}_P$的$h^*$ -多项式是$γ$ -正的。证明了$\mathcal{E}_P$的$γ$ -多项式与标志单纯复形的$f$ -多项式相等.
Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations
凸集、多面体、组合拓扑等基本数学工具在几何建模、网格划分、计算机视觉、医学成像、机器人等应用领域中有着广泛的应用。这份报告可以看作是一个教程和一套说明凸集，多面体，多面体，组合拓扑，Voronoi图和Delaunay三角剖分。它是为广大数学爱好者准备的。我对V-多面体和H-多面体的等价性以及V-多面体和H-多面体的等价性进行了相当全面的处理，这有点难。特别是，傅立叶-Motzkin消元法（一个版本的高斯消去法的不等式）进行了详细讨论。我还包括一些材料的射影空间，射影地图和极对偶w.r. t。一个非退化的二次曲面，以定义一个适当的概念“投影多面体”的基础上锥。据我们所知，这种射影多面体的概念是新的。我们还认为，我们的一些证明建立等价的V-多面体和H-多面体是新的。
Tropical Incidence Relations, Polytopes, and Concordant Matroids
在本文中，我们开发了一个热带模拟的经典旗品种，我们称之为标志Dressian。我们发现的关系，我们称之为"热带发病关系"，当一个热带线性空间包含在另一个，并表明，标志Dressian是一个热带prevariety。在2步旗Dressians的情况下，我们称之为“热带发病率prevariants”，我们发现在这个空间中的点之间的等价性和诱导的超单形的细分，推广两个部分的等价D。Speyer关于热带线性空间的一个定理。我们试图将Speyer等价的第三部分推广到协调拟阵，并得到一些部分结果。
Two double poset polytopes
对于每一个偏序集P，Stanley（1986）关联了两个多面体，序多面体和链多面体，它们的几何性质反映了P的组合性质。Malvenuto和Littenauer（2011）引入了“双偏序集”，即具有两个偏序的（有限）集，作为Stanley标记偏序集的推广。许多组合构造可以自然地用双偏序集来表述。我们引入了“双序多面体”和“双链多面体”，并充分证明了它们可以几何地捕获双偏序集，即，两个偏序之间的相互作用。我们描述的面部结构，Ehrhart多项式，和这些多面体的双偏序集的组合方面的卷。我们还描述了一个奇怪的连接到盖辛格的估值多面体，我们的特点2级多面体在我们的双偏序集多面体。组合优化中的Fulkerson“抗阻塞”多面体是图的独立集多面体和偏序集的链多面体的子类。我们确定的几何Minkowski和凯莱和反阻塞多面体。特别是，我们描述了一个典型的细分的反阻塞多面体的Minkowski总和，便于计算的Ehrhart（准）多项式和卷。这也产生了双偏序集多面体的规范三角剖分。最后，我们研究了与双偏序集多面体相关联的仿射半群环。我们表明，他们有二次Groebner基地，这给出了一个代数描述的第一部分中所描述的幺模旗三角剖分。
Combinatorics of the geometry of Wilson loop diagrams I: equivalence classes via matroids and polytopes
威尔逊圈图是研究SYM $N=4$理论散射振幅的重要工具，以前的工作表明它与正粒子有关。我们刻画了两个威尔逊圈图给出相同正拟阵的条件，证明了一个重要的子图子类（正合子图）对应于一致拟阵，并列举了对应于每个正拟阵胞的不同威尔逊圈图的个数.我们还给出了由威尔逊圈图产生的正粒子与伴随面体方向之间的对应关系。
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
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