On joins and intersections of subgroups in free groups
Sergei V. Ivanov
研究了自由群的广义子群的（广义）并和交图。我们将展示如何反驳引理的Imrich和穆勒在这些图，以及如何修复这个引理。
We study graphs of (generalized) joins and intersections of finitely generated subgroups of a free group. We show how to disprove a lemma of Imrich and Müller on these graphs and how to repair this lemma.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Intersection properties of stable subgroups and bounded cohomology
证明了有限生成群的有限稳定子群集合具有有限高、有限宽和有界填充。然后，我们使用知识的共轭交叉，以表征双曲嵌入子群，可以同时扩展到周围组的拟同构的有限家庭。
Finite groups in which every cyclic subgroup is the intersection of maximal subgroups
本文刻画了每个循环子群均为极大子群交集的有限群的结构，并与所有真子群均为极大子群交集的性质进行对比。
On the intersections of solvable Hall subgroups in finite groups
本文考虑如下猜想：若有限群$G$有可解的$π$ -Hall子群$H$，则存在元素$x,y,z,t\in G$使得恒等式$H\cap H^x\cap H^y\cap H^z\cap H^t=O_π(G)$成立.最小反例是几乎单群的李型。
Intersection of parabolic subgroups in even Artin groups of FC-type
证明了偶次生成的FC-型Artin群的抛物子群的交也是抛物子群.
The symmetry of intersection numbers in group theory
对于有限生成群的适当子群，定义了一个子群与另一个子群的相交数，并证明了这个相交数是对称的.我们也给出了这个数字的解释。
On the intersection of solvable Hall subgroups in finite simple exceptional groups of Lie type
设有限几乎单群的单基柱同构于李型例外群，它有一个可解Hall子群。则存在子群的四个共轭使得它们的交是平凡的。
Toroidality and projective-planarity of intersection graphs of subgroups of finite groups
让$G$成为一个组。$G$的子群交图记为$\mathscr{I}(G)$，是以$G$的所有真子群为顶点的图，且$\mathscr{I}(G)$中的两个不同顶点相邻当且仅当相应的子群在$G$中有非平凡交.本文对子群交图为环面或射影平面的有限群进行了分类。此外，我们还对子群的交图为二部、完全二部、树、星图、单圈、无圈、圈、路或完全不连通之一的有限群进行了分类。对于子群的交图中不含$K_5$，$K_4$，$C_5$，$C_4$，$P_4$，$P_3$，$P_2$，$K_{1,3}$，$K_{2,3}$或$K_{1,4}$之一的有限群，我们也将其分类为子图.我们估计了有限群的子群的交图的围长。此外，我们还利用有限群的交图刻画了某些有限群。最后得到了群的子群的交图的团覆盖数，并证明了群的子群的交图是弱$α$ -完美的。
Intersections of Magnus subgroups and embedding theorems for cyclically presented groups
单关系群的Magnus子群是由生成元的真子集自由生成的自由子群。两个这样的子群可以以明显的方式相交，也可以以更大的例外方式相交。利用单关系群的Magnus子群的非例外交条件，给出了循环表示群中含有非交换自由子群的判别准则。
On the rank of the intersection of free subgroups in virtually free groups
证明了虚自由群中自由子群的交的秩的一个估计，它类似于自由群中子群的Hanna Neumann不等式和群的自由积中子群的S.V.Ivanov估计.我们还证明了一个更一般的估计的自由子群的交集的秩的基本群的有限图的群与有限棱道群。
Intersection of maximal subgroups in prosolvable groups
设$H$是一个投射有限群的一个开子群，它可以表示为$G.$的极大子群的交集给定一个正实数$η,$，我们说$H$是一个$η$ -交集，如果存在一族极大子群$M_1,\ldots,M_t$使得$H=M_1\cap\ldots\cap M_t$和$|G:M_1|\cdots|G:M_t|\le |G:H|^η$ .我们研究了这个属性的含义及其对群结构的影响。
On a question of L.A. Shemetkov concerning the intersection of $\cal F$-maximal subgroups of finite groups
研究了$\cal F$ -极大子群的交对有限群结构的影响。特别是，回答一个问题的L. A Shemetkov我们给条件下，遗传饱和形成$\cal F$具有的性质，任何有限群$G$，${\cal F}$ -超中心的$G$符合交叉的所有$\cal F$ -极大子群的$G$。
Intersections of automorphism fixed subgroups in the free group of rank three
证明了在秩为3的自由群中，给定任意多个自同构，它们的固定子群的交等于另一个单自同构的固定子群。
Intersection of Solvable Hall subgroups in finite groups
本文证明了：如果S是一个单典型群，群G包含在S的内对角自同构中且包含S，H是G的一个可解Hall子群，则存在H的五个共轭，它们的交是平凡的.
On the intersection of subgroups in free groups: echelon subgroups are inert
自由群$F$的子群$H$称为在$F$中惰性，如果对于每个$G < F$，$H$与$G$的交集的秩不大于$G$的秩。本文推广了已知的惰性子群族。证明了1-生成元自同态的惯性性质。自由群中的等差、梯子群是惰性的。梯队子群是通过一组生成元定义的，这些生成元相对于自由群的某个有序基呈梯队形式，并且可以被视为自由因子的推广。例如，n-生成的自由群的自同构的固定子群是梯队子群。证明主要遵循图论或组合方法。
Morse and stable subgroups via the coset intersection complex
本文在陪集交集复形框架下，证明了在群陪集交集复形的特定条件下，无限指标的Morse子群是稳定的，从而建立了Morse子群与稳定子群的等价性。
Burnside Condition on Some Intersection Subgroups
本文利用Stallings在1983年引入的图、核图、浸入图和覆盖图等概念，证明了自由群的子群与Burnside条件相交的Burnside条件.
Intersections of conjugates of Magnus subgroups of one-relator groups
在单关系子群的理论中，Magnus子群是通过省略发生在给定关系子中的生成元而得到的自由子群，起着重要的结构作用。在前一篇文章中，作者证明了：如果给定一个单关系群的两个不同的Magnus子群M和N，其自由基为S和T，则M和N的交要么是由S和T的交生成的自由子群P，要么是P与一个无限循环群的自由积积.本文的主要结果是：如果M和N是单关系群G的Magnus子群（不一定是不同的），g和h是G的元素，则gMg^{-1}和hNh^{-1}的交集是循环的（并且可能是平凡的），或者gh^{-1}是NM的元素，在这种情况下交集是M和N的交集的共轭。
The intersections of the lower central series and the subgroups of finite p-index of Generalized Baumslag-Solitar tree groups
本文针对底图为树的广义Baumslag-Solitar群，计算了其下中心序列的交γ_ω(G)及有限p-指数子群的交(N_p)_ω(G)。
Intersection of conjugate solvable subgroups in symmetric groups
本文证明了对于基柱同构于几乎单群$S$的可解子群$G$，存在$ (n\ge5)$使得$G \cap G^x \cap G^y \cap G^z \cap G^t =1.$
On intersections of locally quasiconvex subgroups
该研究针对双曲群的无挠局部拟凸子群，证明了其交的秩可由原二子群的秩界定，补充了双曲群子群交的秩相关结论。
Intersection graph of cyclic subgroups of groups
设$G$是一个群。$G$的循环子群的交图（记为$\mathscr I_c(G)$）是以$G$的所有真循环子群为顶点的图，并且$\mathscr I_c(G)$中的两个不同顶点相邻当且仅当它们的交是非平凡的.本文对循环子群的交图为全不连通的、完全、星、路、圈之一的有限群进行了分类。我们证明了对给定的有限群$G$，$girth(\mathscr I_c (G)) \in \{3, \infty\}$ .此外，我们对所有循环子群的交图为平面的有限非循环交换群进行了分类。对于任意群$G$，我们确定了$\mathscr I_c (G)$的独立数、团覆盖数，并证明了$\mathscr I_c (G)$是弱$α$ -完美的.在其他结果中，我们确定了$\mathscr I_c (\mathbb{Z}_n)$是正则的$n$的值，并估计了它的控制数。
Co-spectral radius of intersections
研究了离散群$Γ$的子群$H$的余谱半径在取交下的行为.我们的主要结果是不变随机子群的共谱半径在与确定共顺从子群相交时不会下降。作为一个应用，我们证明了独立共服从不变随机子群的交是共服从的。
Intersection of Parabolic Subgroups in Euclidean Braid Groups: a short proof
本文利用群同构关系，为欧几里得辫群中抛物子群的任意交集仍为抛物子群这一已知结论提供了一个简短证明。
Kurosh rank of intersections of subgroups of free products of orderable groups
证明了右可序群的自由积的子群$H$和$K$的交的约化Kurosh秩被$H$和$K$的约化Kurosh秩的积上界.特别地，取具有平凡顶点群和棱道群的群的图的基本群及其Bass-Serre树，我们的定理就成为通常的自由群的加强HannaNeumann猜想所期望的不等式.
On parabolic subgroups of Artin groups
给定一个Artin群$A_Γ$，研究$A_Γ$的一个常用策略是将其约化为定义图具有小直径的抛物子群，即证明$A_Γ$具有一个特定性质当且仅当$A_Γ$的所有“小”抛物子群都具有此性质。由于“小”的抛物子群是$A_Γ$的拼图块，人们需要研究它们的行为，特别是它们的交集。我们在这里解决的猜想说，类的抛物子群的$A_Γ$是封闭的交。在完备Artin群中抛物子群的交是抛物的假设下，证明了完备抛物子群与任意抛物子群的交是抛物的.此外，我们使用Bass-Serre理论和Deligne复形的推广，将$A_Γ$的完备抛物子群的相交行为与不动点性质和$A_Γ$的自动连续性联系起来。
Sylow subgroups for distinct primes and intersection of nilpotent subgroups
研究不同素数的Sylow子群与nilpotent子群交集的性质，提出并验证了关于包含最小性的猜想，并在特定群类中得出了结论。
Dominating Sets in Intersection Graphs of Finite Groups
设$G$是一个群。$G$的交图$Γ(G)$是一个无环无重边无向图，定义如下：顶点集是$G$的所有真非平凡子群的集合，两个不同顶点$H$和$K$之间存在一条边当且仅当$H\cap K \neq 1$其中$1$表示$G$的平凡子群.本文研究了有限群的交图的控制集。它证明了顶点集的一个子集是一个控制集当且仅当相应子群的并包含所有极小子群的并。我们将阿贝尔群按其控制数进行分类，并找到了某些特定类群的上界。子群交与Burnside环有关。引入了$G$ -集的交图的概念（在一定程度上推广了群的交图的一般定义），并利用Burnside环中满足某种性质的子群建立了$Γ(G)$的控制数的一般上界. $G$的交图是单纯复形的$1$ -骨架，其面是非平凡相交的真子群的集合。我们称之为$G$的单纯复交复形，并证明了它与$G$的真非平凡子群的序复形具有相同的同伦类型。证明了如果$Γ(G)$的控制数是$1$，则$G$的交复形是可收缩的.
Intersections of Sylow 2-subgroups in symmetric groups
本研究计算对称群$S_n$与交错群$A_n$中随机Sylow 2-子群平凡相交的渐近概率，补充了相关学者的近期研究成果。
Regular subgroups with large intersection
本文研究了对称群$\mathrm{Sym}(\mathbb{F}_2^n)$中初等交换正则子群与其正规化子的Sylow $2$ -子群之间的关系，并考虑到它们在对称密码学中的应用.
Intersection of conjugate solvable subgroups in finite classical groups
我们考虑Vdovin（2010）在“Kourovka notebook”（问题17.41）中提出的以下问题：设$H$是有限群$G$的可解子群，该群没有非平凡的可解正规子群。$H$是否总存在五个共轭且其交是平凡的？这个问题与Babai，Goodman和Pyber（1997）关于有限群中正规可解子群指数的上界的猜想密切相关。特别是，Vdovin问题的一个肯定的答案产生，如果$G$有一个可解的子群的指数$n$，那么它有一个可解的正规子群的指数最多$n^5$。Vdovin（2012）将该问题简化为$G$几乎是单群的情况。设$G$是一个几乎单群，其基柱同构于一个单线性群、酉群或辛群。对于所有这样的群体$G$，我们提供了一个积极的回答Vdovin的问题。
On the intersection of tame subgroups in groups acting on trees
设$G$是作用在树$T$上的群，树具有有限个有界阶的边稳定子.我们提供，在一些非常有趣的情况下，在$H$和$K$的复杂性方面的两个驯服的子群$H$和$K$的$G$的交集$H\cap K$的复杂性的上界。特别是，我们得到的Kurosh秩$Kr(H\cap K)$的交叉口的Kurosh秩$Kr(H)$和$Kr(K)$方面的界限，在$H$和$K$自由地作用在边缘的$T$。
Intersection-saturated groups without free subgroups
本研究提出交饱和群的新判据，据此找到包括Thompson群、Grigorchuk群在内的新实例，证明了无交换自由子群的有限表现交饱和群存在，解决了Delgado等人的问题。
The intersection of the subgroups of finite $p$-index in a multiple HNN-extension of an infinite cyclic group
本文研究了无限循环群的多重 HNN 扩张中有限 $p$-指数正规子群的交集，并推广了 Moldavanskii 对 Baumslag-Solitar 群的结果。
Intersections of subgroups in virtually free groups and virtually free products
本说明包含以下推广的弗里德曼-Mineyev定理（早期称为汉娜诺依曼猜想）的（短）证明：如果$A$和$B$是非平凡的自由子群的虚拟自由群包含一个自由子群的指数$n$，然后$rank(A\cap B)-1\leqslant n\cdot(rank(A)-1)\cdot(rank(B)-1)$。此外，我们得到了一个虚拟的免费产品模拟这个结果。
On the intersection of the $\cal F$-maximal subgroups and the generalized ${\cal F}$-hypercentre of a finite group
设$\cal F$是一类群。一组$G$的主要因素$H/K$被称为\emph{${\cal F}$-central in $G$}，提供$(H/K)\rtimes (G/C_{G}(H/K)) \in {\cal F}$。我们写$Z_{π{\cal F}}(G)$表示$G$的所有正规子群的乘积，其$G$ -主因子的阶至少可被$π$中的一个素数整除，是$\cal F$ -中心的。我们称之为$Z_{π{\cal F}}(G)$的$π{\cal F}$ -超中心的$G$。在$G$中，如果（a）$U\in {\cal F}$，并且（b）如果$U\leq V\leq G$和$V\in {\cal F}$，则称为$U=V$，则群$G$的子群$U$称为\emph{$\cal F$-maximal}。本文研究了有限群的所有$\cal F$ -极大子群的交的性质。特别地，我们分析了$Z_{π{\cal F}}(G)$与$G$的所有$\cal F$ -极大子群的交集重合的条件。
Stallings automata for free-times-abelian groups: intersections and index
我们将经典的Stallings理论（将自由群的子群描述为自动机）扩展到自由群和阿贝尔群的直积：在引入丰富的自动机（即，自动机与额外的阿贝尔标签），我们得到一个明确的双射子群和某种类型的这种丰富的自动机，这-因为它发生在自由群-是可计算的，在生成的情况下。这种方法提供了一个整洁的几何描述（甚至非线性生成的）交叉点的非豪森家庭内的非线性生成的子群。特别地，我们给出了子群交问题和有限指标问题的几何解，分别提供了递归基和断面。
Additive subgroups of Q: logarithmic description and intersection configurations
本文提出对数框架编码有理数加法子群，通过素数指数序列实现分类，并完整刻画了子群交集构型的可实现性条件。
The Index Problem for Subgroup Intersections
本文用伽罗瓦对应将子群交集的索引问题转化为群论问题，简化并推广了先前关于数域索引三元组的研究。
Algorithmic Problems in Amalgams of Finite Groups: Conjugacy and Intersection Properties
Stallings提出的处理自由群的生成子群的几何方法被成功地用于解决自由群及其子群的判定问题。在本文中，我们采用作者发展的广义Stallings方法来解决有关有限群混合的有限生成子群的各种算法问题。
On the intersection of fixed subgroups of $F_n\times F_m$
本文研究 $F_n\ imes F_m$ 中固定子群的交集问题，证明对单同态与自同态可判定，一般情形未知，特定类型等价于波斯特对应问题。
Winding and Unwinding and Essential Intersections in $\mathbb{H}^3$
设$G = \langle A,B \rangle$是$\mathbb{H}^2$的等距群（双曲平面）的非初等二生成元子群。如果$G$是离散的，自由的，几何有限的，它的商是一条裤子，在以前的工作中，我们产生了一个公式的数量的本质自相交（ESI）的任何原始测地线的商。ESI是测地线在接缝上具有自相交的点。Basmajian和Chas最近研究了任意双曲曲面上测地线的自相交问题。在这里，我们将我们的结果推广到两个生成子群$G$的等距$\mathbb{H}^3$，双曲三维空间，这是离散的，自由的和几何有限的。我们推广了我们的定义，并给出了几何解释，他们在商流形。我们证明了它们满足相同的公式。
Coset intersection graphs for groups
设H，K是G的子群.我们研究了这些子群的左陪集和右陪集的交性质。
On parabolic subgroups of Artin-Tits groups
抽象的。本文讨论了一个猜想：Artin-Tits群的抛物子群的交是抛物子群.我们证明了猜想是等价的，先验的，较弱的猜想。我们还证明了一个具体的情况下的猜想。一路上，我们提供了简短的和几乎自包含的代数证明的几个经典结果的阿廷-山茨群，如那些范德列克的标准抛物子群的交集。
Abelian Groups With Isomorphic Intersection Graphs
设G是一个群。G的交图G（G）是一个无环无向图无向图，其顶点集是G的所有真非平凡子群的集合，两个不同顶点X和Y之间存在一条边当且仅当X \ Y 6= 1，其中1表示G的平凡子群：文[2]证明了两个具有同构交图的（非循环）有限阿贝尔群是同构的。本文研究了这一猜想，并证明了它几乎是真的。对任意有限阿贝尔群D，设Dnc是D的所有非循环Sylow子群的乘积：我们的主要结果是：给定任意两个（非平凡）有限交换阿贝尔群A和B，它们的交图G（A）和G（B）同构当且仅当群Anc和Bnc同构，且A和B的（非平凡）循环Sylow子群的集合之间存在满足一定条件的双射.因此，特别地，两个有限阿贝尔群同构的交图将同构提供的群体之一没有（非平凡）循环Sylow子群。我们的方法是基本的。
On the intersections of finitely generated subgroups of free groups: reduced rank to full rank
我们表明，共轭类的交叉$A\cap B^g$的数量，为固定的自由群的非线性生成的子群$A, B<F$，是有界以上的秩的$A$和$B$，这证实了沃尔特诺依曼的直觉。这一结果以前只在$A$或$B$是循环的情况下由Helfer和Wise的$w$ -循环定理以及Louder和Wilton的独立定理才知道。为了证明我们的主要定理，我们介绍了新的结果，关于结构的纤维产品的有限图。我们的工作与广义定义的图浸入，使我们的结果适用于理论的正规语言。例如，我们给出了一个判定两个正则语言的交集的非空性的新算法。
Uniform Intersection Numbers and Subgroup-Based Generating Graphs of Groups
该研究确定了双循环群等的一致交数，通过基于子群的生成图$\boldsymbol{\textit{G}}(G)$刻画交数为2的群，分类有限群，并证明$\boldsymbol{\textit{G}}(\boldsymbol{\textit{Z}}_n)$为哈密顿图的充要条件。
Normalisers of parabolic subgroups of Artin--Tits groups and Tits cone intersections
该文研究Artin-Tits群抛物子群的正规化子与Tits锥交集，证明有限型Γ对应空间为K(π,1)，一般Γ的Brink-Howlett群胚通用覆盖由墙腔结构刻画，推广Ko定理并回答相关问题。
On the intersection of $\mathfrak{F}$-maximal subgroups of a finite group
本文研究了有限群G的所有F-极大子群交集Int_F(G)的性质，证明了Int_F(G/Int_F(G))≈1当且仅当F包含所有其所有F-子群均为F-子正规的群，推导了Skiba和Beidleman等人的相关结论。
On the Intersection Numbers of Finite Groups
一个非平凡有限群$G$的覆盖数，记作$σ(G)$，是集合论并等于$G$的$G$的真子群的最小数目。本文主要研究群的覆盖数的一个对偶问题，它涉及有限群的极大子群。对于一个非平凡有限群$G$，我们定义$G$的相交数，记作$ι(G)$，为交等于$G$的弗拉蒂尼子群的极大子群的最小个数.我们阐明了这个不变量的一些基本性质，并给出了当$G$是非平凡有限幂零群时$ι(G)$的一个精确公式.此外，我们还确定了几个非幂零群的无限族的相交数。最后，我们讨论了一个推广的相交数的非平凡有限群，并提出了一些开放的问题，这些不变量。
The Hanna Neumann Conjecture and the rank of the join
HannaNeumann猜想给出了自由群的n-生成子群的交的一个界.我们探索了该结果的自然扩张，结果证明该结果仅在有限指数情况下为真，并提供了一般情况的反例。我们还看到，基于图的方法产生的随机子群的自由群开发的Bassino，Nicaud和Weil是非常适合于产生子群与非平凡的交叉。同样的方法，然后使用生成一个反例，以类似的猜想古兹曼。
On rank of the join of two subgroups in a free group
设$H, K$是一个自由群的两个平行生成的子群，$\langle H, K \rangle$表示由$H, K$生成的子群，称为$H, K$的并，且$H$，$K$在$\langle H, K \rangle$中均不具有有限指数.证明了满同态$ζ: \langle H, K \rangle \to F_2$的存在性，其中$F_2$是秩为2的自由群，使得$ζ$对$H$和$K$的限制都是内射，而$ζ$对$H \cap K $的限制$ζ_0 : H \cap K \to ζ(H) \cap ζ(K) $对$ζ(H) \cap ζ(K)$是满射.这是作为自由群中两个双生成子群的广义并的秩的一个类似结果的推论而得到的。
Subgroup and Coset Intersection in abelian-by-cyclic groups
本文研究无限群中的子群交与陪集交判定问题，通过将二者归约为 Shifted Monomial Membership 问题，证明其在有限生成 abelian-by-cyclic 群中可判定，并讨论推广到任意 metabelian 群的障碍。
Intersection of subgroups in free groups and homotopy groups
证明了自由群中三个子群的交与第三同伦群$π_3$的计算有关。这推广了Gutierrez-Ratcliffe将两个子群的交集与$π_2$的计算联系起来的一个结果。设$K$是一个二维CW-复形，其子复形为$K_1,K_2,K_3$，使得$K=K_1\cup K_2\cup K_3$和$K_1\cap K_2\cap K_3$是$K$的1-骨架$K^1$.我们构造了$π_1(K)$ -模$$ π_3(K)\to \frac{R_1\cap R_2\cap R_3}{[R_1,R_2\cap R_3][R_2,R_3\cap R_1][R_3,R_1\cap R_2]}, $$的一个自然同态，其中$R_i=ker\{π_1(K^1)\to π_1(K_i)\}, i=1,2,3$和$π_1(K)=F/R_1R_2R_3$在右交换群上的作用是通过$F$中的共轭定义的.在某些情况下，定义的映射是同构。最后，我们讨论了上述映射在群同调中的某些应用。
On Products of Quasiconvex Subgroups in Hyperbolic Groups
关于双曲群中的拟凸性的一个有趣的问题是寻找在有限交下闭的拟凸子集类。一个已知的例子是所有拟凸子群的类。然而，还没有太多的了解结构的任意拟凸子集。在这项工作中，我们研究产品的拟凸子群的性质，我们表明，这样的集合是拟凸的，他们的有限交叉有一个类似的代数表示，因此，也是拟凸的。
Realizable ranks of joins and intersections of subgroups in free groups
著名的汉娜·诺伊曼猜想（现在的弗里德曼-米尼耶夫定理）给出了一个非阿贝尔自由群的任意子群$H$和$K$的交集的秩的上界。关于$H\vee K$的等级来“量化”这个界限是一个有趣的问题，$H\vee K$是由$H$和$K$生成的子群。我们描述了一组可实现的值$(rk(H\vee K),rk(H\cap K))$为任意$H$，$K$，并推测，这个轨迹是完整的。借助于Dicks在他的合并图猜想中引入的图，我们研究了$H$和$K$的核图的拓扑推出的组合结构.这使我们能够证明$H\vee K$、$H\cap K$的秩上的某些条件是不可实现的，从而肯定地解决了古兹曼的“群论猜想”的剩余开放情况$m=4$。这反过来又暗示了关于具有$6$ -free基本群的双曲$3$ -流形的相应“几何猜想”的有效性。最后，我们证明了主要的猜想描述的情况下，$rk(H)=2$的可实现值的轨迹。
The intersection of subgroups in free groups and linear programming
本文利用线性规划的方法研究了自由群的非线性生成子群的交问题。我们证明了如果$H_1$是自由群$F$的一个n-生成子群，则$H_1$的WN-系数$σ(H_1)$是有理数的，并且可以在$H_1$的大小上在确定性指数时间内计算.该系数$σ(H_1)$是最小非负实数，使得对于$F$的每个生成的子群$H_2$，$\bar {\rm r}(H_1, H_2) \le σ(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2)$为真，其中$\bar{ {\rm r}} (H) := \max ( {\rm r} (H)-1,0)$是$H$的降秩，${\rm r} (H)$是$H$的秩，并且$\bar {\rm r}(H_1, H_2)$是$H_1$和$H_2$的广义交集的降秩。我们还证明了$F$的子群$H_2^* = H_2^*(H_1)$的存在性，使得$\bar {\rm r}(H_1, H_2^*) = σ(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2^*)$，$H_2^*$的Stallings图$Γ(H_2^*)$在$H_1$的大小上至多具有双指数大小，并且$Γ(H_2^*)$可以在$H_1$的大小上以指数时间构造.
Intersection configurations in free and free times free-abelian groups
本文研究了自由群与自由乘自由阿贝尔群中的相交构型，证明了Howson性质是非交换自由群中的唯一障碍，并为FTFA群提供了判定多重相交有限生成性及计算基的算法，最终证明任何相交构型在足够大的FTFA群中均可实现。
Linear programming and the intersection of free subgroups in free products of groups
利用线性规划的方法研究群的自由积的无因子生成子群的交问题。例如，我们证明了：如果$H_1$是两个有限群$G_1$，$G_2$的自由积$G_1 * G_2$的无因子生成的非循环子群，则$H_1$的WN-系数$σ(H_1)$是有理数的，并且可以在$H_1$的大小上用指数时间计算.该系数$σ(H_1)$是最小正实数，使得对于$G_1 * G_2$的每个生成的无因子子群$H_2$，$\bar {\rm r} (H_1, H_2) \le σ(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2)$为真，其中$\bar{ {\rm r}} (H) = \max ( {\rm r} (H)-1,0)$是$H$的降秩，${\rm r}(H)$是$H$的秩，以及$\bar {\rm r}(H_1, H_2)$是$H_1$和$H_2$的广义交集的降秩。对于两个有限群$G_1$，$G_2$的自由积$G_1 * G_2$，证明了存在一个无因子子群$H_2^* = H_2^*(H_1)$，使得$\bar {\rm r}(H_1, H_2^*) = σ(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2^*)$，$H_2^*$至多具有$H_1$大小的两倍指数大小，并且$H_2^*$可以在$H_1$大小的指数时间内构造.
Frattini and related subgroups of Mapping Class Groups
设$Γ_{g,b}$表示亏格为$g$的闭可定向曲面的保向映射类群，其中该曲面具有$b$穿孔.对于群$G$，令$Φ_f(G)$表示$G$中所有有限指数极大子群的交。基于Ivanov提出的当$G$是$Γ_{g,b}$的一个生成子群时$Φ_f(G)$是否为幂零的问题，本文计算了$Γ_{g,b}$的某些子群的$Φ_f(G)$.特别是，我们回答伊万诺夫的问题是肯定的，这些子群的$Γ_{g,b}$。
On Intersection of Conjugate Subgoups
给出了计算共轭子群的交的几种算法。
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