Short time existence for harmonic map heat flow with time-dependent metrics
在这篇工作中，我们得到了区域流形中与光滑完备度量族耦合的调和映射热流的短时存在性结果。我们的结果推广了Li-Tam [The heat equation and harmonic maps of complete manifold，Invent.数学、1991]和Chen-Zhu [完备非紧流形上的里奇流的唯一性，微分几何杂志，2006].特别地，在$|\text{Rm}(g(t))|\leq a/t$和$g(t)$一致等价于$g(0)$的条件下，证明了在$M$上的调和映射热流沿着完备里奇流$g(t)$到曲率自上而下有界的完备流形上的调和映射热流的短时存在性.
2021-10-14 math.DG
Boundary regularity of harmonic map heat flows from RCD spaces into $CAT(0)$ spaces
Sun Yat-sen University（中山大学）
研究从RCD空间到CAT(0)空间的调和映射热流的边界正则性，针对广义Ricci曲率下有界情形。
2026-09-15 math.DG
Rigidity of Lipschitz map using harmonic map heat flow
受数量曲率几何中Lipschitz刚性问题的启发，我们证明了：如果闭光滑自旋流形允许一个到球面的非零次递减连续映射，则该映射的数量曲率在某处严格小于球面，或者该映射是距离等距映射.此外，该性质在弱意义下也适用于具有数量曲率下界的连续度量。这推广了Cecchini-Hanke-Schick最近工作中的一个结果，并回答了Gromov的一个问题。该方法是基于研究调和映射热流耦合的里奇流从粗糙的初始数据，以减少的情况下，光滑的度量和光滑的地图，使Llarull的结果可以应用。
2022-07-22 math.DG
Gradient estimates for the heat equation under the Ricci-Harmonic Map flow
本文建立了在里奇流下发展的流形$M$上热方程正解的梯度估计，并将其与$M$和第二流形$N$之间的调和映射流相耦合.证明了Li-Yau型Harnack不等式，并考虑了$M$是无边界完备流形和$M$是无边界紧致流形的情形.
2013-08-31 math.DG
Heat kernel estimates under the Ricci-Harmonic map flow
本文研究了两个流形之间的里奇流与调和映射流的耦合问题。我们得到相应的共轭热方程的基本解的估计，我们证明了一个类似的Perelman的微分Harnack不等式。作为应用，我们发现了$\mathbb{R}^n$中Sobolev嵌入定理中熵泛函与最佳常数之间的联系.
2013-10-06 math.DG
On the Heat Kernel under the Ricci Flow Coupled with the Harmonic Map Flow
我们估计了闭黎曼流形$M$上的热核，其中$dim(M)\geq 3$在Ricci-调和映射流下演化，结果依赖于Sobolev嵌入定理中的一些常数.在一个特殊的情况下，当数量曲率满足一定的自然不等式，我们得到，作为推论，一个类似于一个已知的固定度量的情况下的界限。
2013-08-31 math.DG
Liouville theorems for ancient solutions to the V-harmonic map heat flows II
本文利用精细梯度估计，在非负Bakry–Émery Ricci曲率与目标流形正曲率上界条件下，改进V-调和映射热流古老解的Liouville定理，并得到指数增长条件下拟调和映射的相应结果。
2024-12-06 math.DG
Liouville theorems for harmonic map heat flow along ancient super Ricci flow via reduced geometry
研究了沿古超里奇流的调和映射热流，从Perelman约化几何的观点导出了几个具有受控增长的Liouville定理.对于非正弯曲的目标空间，我们的增长条件是尖锐的。对于正弯曲的目标空间，我们的刘维尔定理即使在静态情况下也是新的（即，对于调和映射）;此外，我们指出，增长条件可以得到改善，几乎在静态情况下尖锐。这填补了Choi的Liouville定理和Schoen-Uhlenbeck构造的例子之间的空白。
2021-08-03 math.DG
Extrinsic bi-Conformal Heat Flow and its smoothness
本文提出双共形热流并证明其全局光滑性及无有限时间奇异性。
2026-03-04 math.DG
Heat flow of p-harmonic maps from complete manifolds into generalised regular balls
研究了完备黎曼流形间p-调和映射热流，证明了初始值在广义正则球中时的全局存在性，并在目标流形截面曲率非正或紧致时分别给出全局存在性与收敛性，推广了Liao-Tam的结果并推导了刘维尔型定理。
2023-09-11 math.DG
Global existence of the harmonic map heat flow into Lorentzian manifolds
本文研究了一类抛物椭圆型方程组，它是从紧致Riemann曲面$M$到Lorentz流形$N\times{\mathbb{R}}$的映射。该系统将调和映射型方程组转化为抛物型方程组，但保持$v$ -方程作为沿流的非线性二阶约束。通过假设目标Lorentz流形上的某些几何条件或初始映射的小能量，我们证明了抛物-椭圆系统的整体存在性结果。结果表明在给定的同伦类中存在Lorentz调和映射。
2019-01-03 math.DG
Harmonic map heat flow with rough boundary data
设$B_1$是$\Real^2$中的单位开圆盘，$M$是闭黎曼流形.本文首先证明了在给定初始数据$u_0\in H^1(B_1,M)$和边界数据$γ=u_0|_{\partial B_1}$的条件下，能量不随时间增加的调和映射热流在$H^1([0,T]\times B_1,M)$中弱解的唯一性.以前，这个唯一性结果是由Rivière（当$M$是圆球且初始数据的能量很小时）和Freire（当$M$是任意闭黎曼流形时）得到的，给定$u_0\in H^1(B_1,M)$和$γ=u_0|_{\partial B_1}\in H^{3/2}(\partial B_1)$。我们唯一性结果的要点是不需要边界正则性假设。其次，我们证明了调和映射热流的指数收敛性，假设能量在任何时候都是小的。
2010-10-16 math.DG
Exponential convergence rate of the harmonic heat flow
本文研究从紧致黎曼流形到完备非正曲率黎曼流形的映射的调和热流。我们证明了，如果调和热流收敛到一个极限调和映射，这是一个非退化的能量泛函的临界点，那么收敛速率是指数（在$L^2$范数）。
2021-05-17 math.DG
Mean curvature flow into an ambient Riemannian manifold evolving by Ricci flow coupled with harmonic map heat flow
本文研究在Ricci流与调和映射热流耦合演化的带边流形中，平均曲率流的变分、Harnack不等式、Huisken单调性公式及孤子构造与刻画。
2025-10-27 math.DG
Gauss maps of the Ricci-mean curvature flow
本文研究Ricci-中曲率流的Gauss映射. Ricci-中曲率流是环境流形上的中曲率流和里奇流的耦合方程。Ruh和Vilms证明了欧氏空间中极小子流形的Gauss映射是调和映射，Wang通过证明其Gauss映射满足调和映射热流方程，将这一结果推广到欧几里得空间中的中曲率流.本文导出了Ricci-中曲率流的Gauss映射的发展方程，作为直接推论，证明了当子流形的余维数为1时，Ricci-中曲率流的Gauss映射满足垂直调和映射热流方程。
2017-02-15 math.DG
Sub-Riemannian geodesics and heat operator on odd dimensional spheres
本文研究了球$S^{2n+1}$和球$S^{4n+3}$的亚黎曼几何，它们分别产生于由Hopf映射定义的主$S^1-$丛结构和由四元数Hopf映射定义的主$S^3-$丛结构. $S^1$作用导致$S^{2n+1}$的经典接触几何，而$S^3$作用则给出另一种类型的亚黎曼结构，其分布为corank 3。在这两种情况下，度量都是作为通常的黎曼度量对各自水平分布的限制而给出的。对于接触$S^7$情形，给出了内禀次拉普拉斯算子的显式表达式，并得到了次黎曼热算子与热算子在垂直方向上的对易关系.
2010-08-31 math.DG
Yang-Mills heat flow on gauged holomorphic maps
研究了规范全纯映射空间$\mathcal{H}(P,X)$上Yang-Mills型泛函的梯度流线，其中$P$是Riemann曲面$Σ$上的主丛，$X$是Kähler Hamilton $G$ -流形.对于紧的$Σ$，可能有边界，我们证明了梯度流的长时间存在性.流线收敛于泛函的临界点。因此，在$\mathcal{H}(P,X)$上存在一个在复杂规范群作用下不变的分层。辛涡是我们研究的泛函的零点。当$Σ$有边界时，类似于Donaldson对Hermitian Yang-Mills方程的结果，我们证明了只有一个层--$\mathcal{H}(P,X)$的任何元素都可以被复规范变换为一个辛涡旋.这是Mundet的Hitchin-Kobayashi结果在有边界曲面上的一个版本。
2016-12-02 math.DG
Well-posedness for the heat flow of polyharmonic maps with rough initial data
对于具有小BMO范数的初始数据，我们建立了从$R^n$到紧致无边界黎曼流形的多重调和映射的热流的局部和整体适定性.
2010-01-25 math.AP math.DG
Well-posedness for the heat flow of biharmonic maps with rough initial data
本文分别建立了局部（或全局）从$R^n$到紧致无边界黎曼流形具有小局部BMO（或BMO）的双调和映射的热流的适定性规范高效
2010-01-13 math.AP math.DG
Uniformity of harmonic map heat flow at infinite time
在单位2-圆盘上，我们证明了在小初始能量和固定边界条件下，沿任意调和映射热流的能量凸性。特别是对W. Minicozzi问这样的调和映射热流是否在W^{1，2}-拓扑中在时间上一致地强收敛到唯一的极限调和映射。
2012-02-26 math.AP math.DG
Partial regularity of the heat flow of half-harmonic maps and applications to harmonic maps with free boundary
我们引入了与半调和映射相关的热流，这是由Da Lio和Rivière引入的。这类映射在一维空间中具有补偿可积性，并与具有自由边界的调和映射有关。我们考虑一个新的流动与这些调和映射与自由边界，这实际上是由一个相当不寻常的热流半调和映射的动机。然后构造了该方程的弱解，并通过Ginzburg-Landau近似证明了它们在时空中的部分正则性.本文是对Struwe和Chen-Lin的研究的补充。
2022-06-18 math.AP math.DG
Heat flow for horizontal harmonic maps into a class of Carnot-Caratheodory spaces
我们将映射变形为一个黎曼流形，该流形相对于一个非正弯曲流形的浸没是水平的，并且通过一个水平同伦将满足Chow条件的映射变形为一个调和映射。
2003-12-07 math.CV math.DG
A stochastic approach to the harmonic map heat flow on manifolds with time-dependent Riemannian metric
首先证明了定义在流形上的时空调和映射的随机表示公式，并给出了演化黎曼度量。然后，我们应用这些公式推导出适当的曲率条件下的刘维尔型定理。时空调和映射是在时间上全局定义的，对应于调和映射热流的古老解。作为推论，我们在各种不同的情况下建立了这些古老解决方案的平凡性。
2014-03-26 math.DG math.PR
A Monotonicity Formula for the Extrinsic Biharmonic Map Heat Flow
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technical University of Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
该研究针对外在双调和映射热流，利用双调和热核性质推导出熵型量，并证明其在$n\leq 4$时具有单调性。
2026-09-24 math.AP math.DG
Heat flow for VT harmonic map from compact manifold
本文利用热流方法证明了从紧致黎曼流形到紧致流形的VT调和映射Dirichlet问题解的存在性，并在特定条件下获得了VT测地线的存在性。
2025-10-19 math.AP math.DG
Well-posedness for the heat flow of harmonic maps and the liquid crystals flow with rough initial data
研究了初始数据为BMO时从$R^n$到紧致无边界黎曼流形的调和映射的热流和初始数据为$\mathbb R^n$时$(u,d)$到紧致无边界黎曼流形的流体力学流的适定性.
2010-01-13 math.AP math.DG
Diffusive stability and self-similar decay for the harmonic map heat flow
本文研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^d$上的调和映射热流，得到了齐次Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{p}}_{p,\infty}(\mathbb{R}^d)$中小初值映射的无条件唯一性结果，其中$d<p<\infty$ .作为结果，我们得到的形式$\|\nabla u(t) \|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)}\leq Ct^{-\frac12}$的调和映射流的解决方案的衰减率。此外，在较强的空间局部化的初始条件的假设下，我们表明，时间衰减发生在一个自相似的方式。我们还解释了类似的结果适用于双调和映射热流和具有幂型非线性项的半线性热方程。
2023-01-05 math.AP math.DG
On uniqueness for the Harmonic Map Heat Flow in supercritical dimensions
研究了能量超临界维调和映射热流等变约化的唯一性问题。结果表明，一般情况下，奇异数据可以产生两个不同的解决方案，这两个都是稳定的，并满足当地的能量不等式。我们还讨论了如何唯一性可以检索。
2017-08-21 math.AP math.DG
Mapping properties of the heat operator on edge manifolds
我们考虑热算子作用在具有完备和不完备边度量的空间上的微分形式上。在后一种情况下，我们研究的热算子的霍奇拉普拉斯代数边界条件的边缘奇异。我们建立了热算子的映射性质，恢复和推广了光滑流形和圆锥空间的经典结果。估计，加上热算子的强连续性，得到某些半线性抛物型方程解的短时存在性。我们的讨论回顾并概括了Jeffres和Loya的早期工作。
2013-07-10 math.AP math.DG
A new conformal heat flow of harmonic maps
本文提出调和映射的新共形热流，通过映射与共形因子的耦合演化推迟奇点形成，并证明除有限多个点外光滑的Struwe型全局弱解存在。
2023-04-03 math.AP math.DG
Continuous in time bubble decomposition for the harmonic map heat flow
本文研究平面到二维球面映射的调和映射热流，证明解在连续时间中趋近多气泡构型族，并由此推出任意时间序列均存在发生气泡化的子序列。
2023-04-12 math.AP math.DG
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
High-jet relations of the heat kernel embedding map and applications
对[BBG]中构造的任意紧致黎曼流形$(M,g)$及其从M到$l^2$的热核嵌入映射$psi_t$，研究了$M$上$x$上$psi_t$关于标准规范正交基的高阶导数.当热流时间$t$为0时，这些导数向量之间的极限角是与$g$、$x$和规范正交基的选择无关的普适常数。给出了中曲率和黎曼曲率的几何应用。探讨了$psi_t$无限喷流空间的代数结构。
2013-08-14 math.DG math.SP
On uniqueness of heat flow of harmonic maps
本文建立了到（N，h）中具有充分小重整化能量的调和映射的热流的唯一性，条件是N是单位球面$S^{k-1}$或无边界紧致黎曼齐次流形.对于这类解，我们还建立了$t\ge t_0>0$的Dirichlet能量的凸性和在无穷远处的唯一极限性质.作为推论，证明了当$q>2$和$l>n$满足Serrin条件时，到任意无边界紧致黎曼流形N中的调和映射的热流的唯一性，其梯度属于$L^q_t L^l_x$.
2012-09-24 math.AP math.DG
Plateau flow or the heat flow for half-harmonic maps
本文通过把半 Laplace 算子解释为球上 Dirichlet-to-Neumann 算子，建立半调和映射热流的经典存在性理论，并指出其与盘型极小曲面 Plateau 问题梯度流的联系。
2022-07-14 math.AP math.DG
Regularized $n$-Conformal heat flow and global smoothness
本文提出结合正则化 $n$-调和映射流与共形度量演化的正则化 $n$-共形热流，并证明其不会形成有限时间奇点，从而获得全局光滑性。
2025-02-15 math.AP math.DG
Deformation of contracting maps under the harmonic map heat flow
本文受Lee-Wan工作启发，研究正曲率闭流形间收缩映射的刚性，分析曲率拼挤与含任意$k$个奇异值的收缩条件的关联。
2024-12-14 math.AP math.DG math.GT
Manifold embeddings by heat kernels of connection Laplacian
我们证明了任何闭$n$维流形$(M,g)$都可以嵌入一个由连通Laplacian的热核构造的映射，以及一个由$δ$ -net $\{q_i\}_{i=1}^{N_0}$通过一个重新缩放技巧在某个时刻截断的热核$t$构造的映射.时间$t$和$N_0$在维数、里奇曲率及其导数、注入半径和体积上都是有界的。此外，这两个地图可以任意接近等距。
2021-12-15 math.DG math.SP
Heat flows on hyperbolic spaces
本文发展了研究负曲空间上热流收敛问题的新方法，证明了球面$\mathbb{S}^{n-1}$上的任何拟共形映射，$n\geq 3$，都可以扩张到$n$维双曲空间上，使得从这一扩张出发的热流收敛到拟等距调和映射.这意味着Schoen-Li-Wang猜想：$\mathbb{S}^{n-1}$的每一个拟共形映射，$n\geq 3$，都可以推广到$n$维双曲空间的调和拟等距.
2015-06-14 math.DG math.GT
Smoothness of conformal heat flow of harmonic maps
本文研究调和映射共形热流的光滑性，证明其无有限时间奇性，并在小能量或能量一致集中条件下给出长时间收敛结果。
2025-02-19 math.AP math.DG
Lipschitz regularity of harmonic map heat flows into $CAT(0)$ spaces
Sun Yat-sen University（中山大学）
本文证明了谐映射热流进入CAT(0)空间的弱解在空间和时间上均具有Lipschitz连续性，并建立了Eells-Sampson型Bochner不等式。
2026-02-05 math.AP math.DG
Stable type II blowup for the 7 dimensional 1-corotational energy supercritical harmonic map heat flow
在1-共转对称性的附加假设下，我们考虑了从$\mathbb{R}^d$到$\mathbb{S}^d$的能量-超临界调和映射热流。我们感兴趣的是7维的情况下，这是之间的边界I型爆破制度。对于这个问题，我们构造了一个稳定的有限时间爆破解决方案的条件下的共旋对称，通过浓度的普遍配置文件$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$，其中$Q$是固定的解决方案的方程和速度是由速率$$λ(t) \sim \frac{\sqrt{(T-t)}}{|\log(T-t)|},$$，这对应于Biernat预测的速度。
2017-10-28 math.AP math.DG
Rigidity of contracting map using harmonic map heat flow
受Tsai-Tsui-Wang问题启发，本文利用调和映射热流的长时间存在性，证明了在Ricci曲率支配条件下距离非增映射必为Riemann淹没或等距映射的刚性结果。
2024-11-21 math.AP math.DG math.GT
Ergodic and Entropic Behavior of the Harmonic Map Heat Flow to the Moduli Space of Flat Tori
本文研究调和映射热流在平坦环面模空间中的遍历行为与熵性质，证明流对能量泛函的稳定性及测度收敛性，同时建立几何流与信息论收敛的联系。
2026-03-09 math.DG math.DS
Harmonic Map Heat Flow Coupled to a Green-Potential
School of Arts and Sciences, North China Institute of Aerospace Engineering（华北航天工程学院文理学院）
本文提出一种耦合Green势的调和映射热流，通过能量源重构共形因子实现重整化，证明全局解并分解极限能量为气泡树，防止有限时间爆破。
2026-09-23 math.AP math.DG
The harmonic heat flow of almost complex structures
定义并研究了与黎曼结构$(M, g)$相容的殆复结构的调和热流。这是调和映射热流的张量值版本。我们证明，如果初始几乎复杂的结构$J$有小的能量（取决于规范$|\nabla J|$），那么流存在的所有时间和收敛到Kähler结构。我们还证明了如果初始能量足够小，但在同伦类中不存在Kähler结构，则存在有限时间奇异性。一个主要的技术工具是一个版本的单调性公式，类似于调和映射热流理论。我们还构造了一个具有小能量的平面四圆环上的殆复结构，使得在这样的初始数据下，谐波热流在有限时刻爆破。
2019-07-29 math.AP math.DG
Heat flow of harmonic maps into CAT($0$)-spaces
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Dipartimento di Matematica “Felice Casorati”, Università di Pavia（帕维亚大学费利切·卡索拉蒂数学系）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学数学系）
本文提出新方法证明调和映射到CAT(0)空间热流的全局存在性和唯一性，证明解的空间Lipschitz连续性，解决长期未解问题，引入新的动态变分原理和Eells-Sampson定理新证明。
2026-04-06 math.AP math.DG
Convergence of Ricci flow and long-time existence of Harmonic map heat flow
本文建立了渐近紧致可积shrinker的ancient Ricci flow及相应奇点情形下harmonic map heat flow的长时间存在性，提供全局parabolic gauge并证明切流唯一性，同时分类了ancient flows并得出奇点最优收敛速率。
2025-04-03 math.AP math.DG
Asymptotic Expansion of the Heat Trace of the Thermoelastic Dirichlet-to-Neumann map
本文研究了具有双曲项的黎曼流形上热弹性方程Dirichlet-to-Neumann映射的热迹的渐近展开。通过提供一种方法，我们可以得到所有的系数的渐近展开。特别地，我们明确地给出了涉及体积和边界的总中曲率的前两个系数。
2022-06-03 math-ph math.AP math.DG
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
2016-10-29 math-ph math.AP math.DG
Estimates on the Laplace Operator in Heat Flows of Harmonic Maps
针对调和映射热流，本文利用球坐标在奇点外建立 Laplace 算子估计，并将其用于一般 Ericksen–Leslie 系统的高阶估计，考察 $\mathbb{T}^2$、$\mathbb{T}^3$ 边界条件。
2024-10-29 math-ph math.AP math.DG
Embeddings of Riemannian manifolds with heat kernels and eigenfunctions
我们证明了任何n维闭黎曼流形都可以嵌入由有限个点在某一时刻的热核构造的映射。这个时间和这个数都可以用维数、里奇曲率的下界、内射半径和体积来界定。由此可见，流形可以被拉普拉斯算子的有限个本征函数嵌入。同样，这个数字只取决于几何边界和维度。此外，这两个地图可以任意接近等距。在附录中，我们得到了谐波半径的定量估计，因此，所需的本征函数或热核的数量的估计也可以量化。
2014-07-23 math.AP math.DG
On the heat diffusion for generic Riemannian and sub-Riemannian structures
在本文中，我们提供了小时间热核渐近割迹在三个相关的情况下：一般的低维黎曼流形，一般的3D接触子黎曼流形（接近的起点）和一般的4D拟接触子黎曼流形（接近的一个一般的起点）。作为一个副产品，我们表明，对于一般的低维黎曼流形，唯一的奇点的指数映射，作为一个拉格朗日映射，可以出现沿最小化测地线是$A_3$和$A_5$（在Arnol'd的学校的分类）。我们表明，在非通用的情况下，一个聚宝盆的渐近可能发生，即使是黎曼曲面。
2013-12-11 math.AP math.DG
A Heat Flow for Diffeomorphisms of Flat Tori
本文研究抛物型发展方程$\partial_t u=(|Du|^{2}+2|\det Du|)^{-1} Δu$，其中$u : M\times[0,\infty) \to N$是紧致平面之间的发展映射.我们使用张量最大值原理的诱导度规建立双边界的奇异值的杜，这表明，不同于调和映射热流，该流保持同态。然后，改变Du的变量，我们就可以建立张力场系数的$C^α$估计，因此（由于拟线性结构和Schauder估计），我们得到了充分的正则性和长时间存在性。我们得出结论，一些能量估计，以显示收敛到一个仿射仿射同态。
2016-09-27 math.AP math.DG
