Well-posedness for the heat flow of biharmonic maps with rough initial data
Changyou Wang
本文分别建立了局部（或全局）从$R^n$到紧致无边界黎曼流形具有小局部BMO（或BMO）的双调和映射的热流的适定性规范高效
This paper establish the local (or global, resp.) well-posedness of the heat flow of biharmonic maps from $R^n$ to a compact Riemannian manifold without boundary with small local BMO (or BMO, resp.) norms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ancient Solutions to the Biharmonic Heat Equation
本文研究了四次热方程的古老解，并将其与多项式有界函数的空间维度联系起来，扩展了Colding和Minicozzi的研究。
A Monotonicity Formula for the Extrinsic Biharmonic Map Heat Flow
该研究针对外在双调和映射热流，利用双调和热核性质推导出熵型量，并证明其在$n\leq 4$时具有单调性。
Lie point symmetries of the biharmonic heat equation on surfaces of revolution
本文利用李对称分析对旋转曲面上的双调和热方程进行分类，发现其与调和热方程具有相同的李对称性，并推导出相似约化与精确解，深化了对对称曲面上方程的理解。
Some local estimates and a uniqueness result for the entire biharmonic heat equation
考虑欧几里得空间上双调和热方程的光滑解，其中对于R中的某个k，对于[0，T]中的所有t，拉普拉斯算子在时刻t的平方从上到下由k/t整体有界.我们证明当地，在空间和时间，估计这样的解决方案。我们解释了如何这些估计意味着唯一的光滑解决方案在这一类。
Local uniform convergence and eventual positivity of solutions to biharmonic heat equations
该研究针对无穷柱体及欧氏空间上的双调和热方程及其推广形式，运用傅里叶变换和谱方法，证明了解的局部最终正性，分析了大时间下解的渐近行为与正性性质。
Heat flow of extrinsic biharmonic maps from a four dimensional manifold with boundary
设$(M,g)$是一个四维带边紧致黎曼带边流形，$(N,h)$是一个无边紧致黎曼流形.在Dirichlet边界条件下，证明了从$M$到$N$的非本征双调和映射的热流的唯一整体弱解的存在性.我们还讨论了解在奇异时刻附近的行为。作为直接应用，我们证明了在任意Dirichlet边界条件下从$M$到$N$的光滑外赋双调和映射的存在性.
Energy identity of approximate biharmonic maps to Riemannian manifolds and its application
本文研究了具有双张力场的黎曼流形上的近似双调和映射序列在四维弱收敛情形下的性质，其中双张力场是有界于$L^p$（$p>\frac43$）中的。我们证明了一个能量恒等式，它用$\mathbb R^4$上的100个非平凡双调和映射上的Hessian能量之和来解释Hessian能量的损失.作为推论，我们得到了双调和映射在无穷远时刻热流的一个能量恒等式。
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear biharmonic heat equations
研究了以双调和算子为四阶椭圆主部的线性和非线性抛物型方程Cauchy问题解的正性.一般情况下，四阶抛物型方程的柯西问题由于基本解的符号改变而不具有保正性。对于正的初始数据，最终具有局部正性，但是在短的时间尺度上，通常也会具有负性区域。本文的第一个目的是在初值上找到线性双调和热方程Cauchy问题解的存在性的充分条件，使其解在整个空间和所有时间都是正的。第二个目标是应用这些结果证明一类半线性双调和抛物型方程Cauchy问题整体正解的存在性。
Local well-posedness and global existence for the biharmonic heat equation with exponential nonlinearity
本文证明了双调和热方程$\partial_{t} u+ Δ^2 u=f(u),\;t>0,\;x\in\R^N,$在Orlicz空间中的局部适定性，其中对于大的$u.$有$f(u)\sim \mbox{e}^{u^2}$.在初始值很小的条件下，对于指数非线性$f$，使得$f(u)\sim u^m$为$u\to 0,$ $m$整数且$N(m-1)/4\geq 2$，我们证明了解是整体的.此外，我们得到了非线性双调和热方程和非线性热方程的大时间衰减估计。我们的结果推广到非线性多调和热方程。
Regularity and uniqueness of the heat flow of biharmonic maps
本文在重整化总能量的小性条件下，建立了到单位球面及任意无边界紧致黎曼流形的双调和映射热流的正则性与唯一性，并证明了Hessian能量凸性及时间无穷大处的唯一极限。
Critical $O(d)$-equivariant biharmonic maps
研究了临界维数下的$O(d)$ -等变双调和映射.我们研究的一个主要结果涉及相应的热流。更准确地说，我们证明了爆破发生在双调和映射热流从$B^4(0, 1)$到$S^4$。据我们所知，这是双调和映射热流爆破的第一个例子。由于双调和情形下的最大值原理的不适用性，这样的结果一直难以证明。此外，我们分类可能的$O(4)$ -等变双调和映射从$\mathbf{R}^4$到$S^4$，我们表明，存在，在对比的调和映射模拟，等变双调和映射从$B^4(0,1)$到$S^4$的周围缠绕$S^4$，因为我们希望很多次。我们相信，这里开发的想法可能是有用的其他高阶抛物型方程的研究。
Double Criticality for a Hardy-Rellich Biharmonic Heat Equation in an Exterior Domain
研究外域上含奇异Hardy-Rellich势、加权非线性和正源项的双调和热方程弱解的存在性与非存在性，识别两种不同临界情形，提出Fujita型临界指数及源项衰减指数的第二临界指数，扩展了Tobakhanov近期工作。
The Biharmonic Heat Equation with General Dynamic Boundary Conditions
本文研究了在有界空间域中受动态边界条件影响的四阶热方程，结合共轭线性形式方法和半群理论，探讨了方程的定性性质，包括算子的自伴随性、解集的紧性以及谱性质，还分析了半群的生成和主要性质。
Time analyticity of the biharmonic heat equation, the heat equation with potentials and some nonlinear heat equations
本文研究了三个微分方程的点态时间解析性。它们是双调和热方程、带位势的热方程和一类具有$p$阶幂非线性项的非线性热方程。势包括所有的非负势。对于前两个方程，我们证明了如果$u$满足$(x,t)\in \mathrm{M}\times [0,1]$中的某些增长条件，则$u$是时间解析的。这里$\mathrm{M}$是$R^d$或一个完全的非紧流形，其Ricci曲率由一个常数下有界。然后得到了$u(x,t)$在$t=0$上依时间解析的充要条件.应用这种方法，我们还得到了倒向方程可解的一个充分必要条件，该条件在一般情况下是不适定的。对于具有$p$阶幂非线性项的非线性热方程，证明了解在时间$t\in (0,1]$上是解析的，如果它在$\mathrm{M}\times[0,1]$中有界且$p$是正整数.此外，我们调查的情况下，$p$是一个有理数与更强的假设$0<C_3 \leq |u(x,t)| \leq C_4$。它也表明，解决方案可能不会在时间上分析，如果它被允许是$0$。作为引理，我们得到了$\partial_t^k Γ(x,t;y)$的估计，其中$Γ(x,t;y)$是流形上的热核，并给出了系数的显式估计。一个有趣的观点是，一个解在时间上可能是解析的，即使它在空间变量$x$中是不光滑的，这意味着空间和时间的解析性可以是独立的。此外，对于一般流形，空间解析性可能不成立，因为它需要曲率及其导…
Extrapolation of well posedness for higher order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了高阶散度型椭圆型微分算子的边值问题。我们建立了Besov空间$\dot B^{p,p}_s$，$p\leq 1$中边界数据问题的适定性，给出了$s$和$p>1$的适当值的适定性.我们使用$0$和$1$之间的平滑参数$s$;这允许我们考虑非齐次微分方程。结合Maz'ya的研究结果，I.米特雷亚湾Mitrea，and Shaanova，这使我们能够为高阶算子建立新的适定性结果，高阶算子的系数在或接近于空间$VMO$，双调和算子，四阶算子接近于双调和算子.
On the critical behavior for the semilinear biharmonic heat equation with forcing term in an exterior domain
本文研究外区域中带强迫项的半线性双调和热方程在六类齐次边界条件下的临界行为，运用测试函数法与比较原理推导出Fujita意义下的临界指数及Lee-Ni第二临界指数，并给出次临界与临界情况下的有限时间爆破结果和寿命估计。
Singular standing-ring solutions of nonlinear partial differential equations
我们提出了一个一般的框架来构造奇异解的非线性发展方程，成为奇异的d维球，其中d>1。这些解的渐近分布和爆破速率与相应的一维方程在一点处变为奇异的解的渐近分布和爆破速率相同。我们对下列方程的这些新的奇异解进行了详细的数值研究：非线性薛定谔方程，双调和非线性薛定谔方程，非线性热方程和非线性双调和热方程.
Well-posedness for the heat flow of polyharmonic maps with rough initial data
对于具有小BMO范数的初始数据，我们建立了从$R^n$到紧致无边界黎曼流形的多重调和映射的热流的局部和整体适定性.
Diffusive stability and self-similar decay for the harmonic map heat flow
本文研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^d$上的调和映射热流，得到了齐次Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{p}}_{p,\infty}(\mathbb{R}^d)$中小初值映射的无条件唯一性结果，其中$d<p<\infty$ .作为结果，我们得到的形式$\|\nabla u(t) \|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)}\leq Ct^{-\frac12}$的调和映射流的解决方案的衰减率。此外，在较强的空间局部化的初始条件的假设下，我们表明，时间衰减发生在一个自相似的方式。我们还解释了类似的结果适用于双调和映射热流和具有幂型非线性项的半线性热方程。
Well-posedness for the heat flow of harmonic maps and the liquid crystals flow with rough initial data
研究了初始数据为BMO时从$R^n$到紧致无边界黎曼流形的调和映射的热流和初始数据为$\mathbb R^n$时$(u,d)$到紧致无边界黎曼流形的流体力学流的适定性.
The Calabi flow with rough initial data
本文证明了存在一个维数常数$δ> 0$，使得在给定任何背景Kähler度量$ω$的情况下，初始数据$u_0$满足\begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in L^\infty (M) \text{ and } (1- δ)ω< ω_{u_0} < (1+δ)ω, \end{equation*}的Calabi流存在唯一的短时解，并且立即变光滑，其中$ω_{u_0} : = ω+\sqrt{-1}\partial \bar\partial u_0$ .存在时间取决于初始数据$u_0$和度量$ω$。作为推论，我们得到对于任何满足\begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in C^0(M) \text{ and } ω_{u_0} > 0, \end{equation*}的初始数据，Calabi流都是短时存在的，这应该解释为一个“连续的Kähler度量”.一个主要的技术成分是Schauder型估计的双调和热方程的黎曼流形与时间加权Hölder范数。
Perturbation of well-posedness and layer potentials for higher-order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了散度型高阶椭圆型微分算子的边值问题。我们考虑两个密切相关的主题，非齐次问题和分数光滑空间中的边界数据问题。在分数阶光滑空间中建立了关于带边界数据的非齐次问题的适定性的$L^\infty$扰动结果.结合先前已知的结果，这使我们能够建立新的适定性结果的二阶算子的系数接近是真实的和t-独立的，四阶算子接近的双调和算子。
Heat kernels and regularity for rough metrics on smooth manifolds
我们考虑了光滑流形上的粗糙度量和由这种度量诱导的相应的拉普拉斯算子。我们证明了全局连续的热核存在，并在空间和时间上局部Hölder连续。这是通过加权索伯列夫空间中具有有界可测系数的散度型算子的弱解的局部抛物Harnack估计来完成的。
Heat Equation With a Geometric Rough Path Potential in One Space Dimension: Existence and Regularity of Solution
利用正则化方法构造了具有分布值位势的热方程的一个解。当势函数为Hölder连续函数的广义导数时，所得解的正则性符合标准抛物理论.
Well-posedness of half-harmonic map heat flows for rough initial data
本文基于Koch-Tataru理论和Carleson测度估计，为半调和映射热流构建了尺度临界的低正则性框架，引入了比传统空间更广泛的新初始数据类，并证明了其存在性、唯一性与连续依赖性。
The heat equation with rough boundary conditions and holomorphic functional calculus
本文考虑光滑区域上具有Dirichlet边界条件的Laplace算子。我们证明了它有一个有界的$H^\infty$ -演算的加权$L^p$ -空间的权力的重量落在经典类的$A_p$ -重量。此外，我们刻画了该算子的域，并推导出椭圆和抛物正则性的几个结果。特别地，我们得到了具有粗糙非齐次边界数据的热方程的一个新的极大正则性结果。
Global existence and optimal decay for a three-dimensional penalized Navier--Stokes system with biharmonic damping
研究三维抛物型系统作为不可压缩Navier-Stokes方程的近似，结合多种耗散机制。证明任意$L^2$初始数据弱解全局存在，小$H^2$初始数据全局强解存在唯一，$L^1\cap H^2$初始数据有最优衰减估计，且先验估计对惩罚参数一致。
Non-linear Rough Heat Equations
本文定义并求解了一个$dy_t=Δy_t dt+ dX_t(y_t)$形式的发展方程，其中$Δ$表示$L^p(\mathbb{R}^n)$形式空间上的Laplace算子，$X$是一个有限维噪声非线性方程，其典型形式由$X_t(φ)=\sum_{i=1}^N x^{i}_t f_i(φ)$给出，其中每个$x=(x^{(1)},...,x^{(N)})$是一个生成粗糙路径的$γ$函数，每个$f_i$是定义在$L^p(\mathbb{R}^n)$上的一个足够光滑的函数.通常的粗糙路径理论的推广允许处理这样的系统仔细构造。
Analysis and Simulation of a Fluid-Heat System in a Thin, Rough Layer in Contact With a Solid Bulk Domain
研究薄层与固体本体域间流-热耦合，考虑温度依赖粘度和对流热传输，分析非线性系统存在性、唯一性和能量估计，并通过多尺度收敛理论推导有效界面模型，通过数值模拟验证结果。
Rough Hypoellipticity for the Heat Equation in Dirichlet Spaces
本文在较弱的附加假设下，证明了Dirichlet空间中热方程解的局部有界性和连续性。我们考虑对称的局部正则狄利克雷形式，满足温和的假设：（a）截断函数的存在性，（b）局部超压缩性假设，和（c）弱非对角上界。在这种情况下，局部弱解的热方程，和他们的时间导数，被证明是局部有界的，他们进一步局部连续，如果半群承认一个局部连续的密度函数。给出了结果的应用，包括局部有界热核的存在性讨论，热方程古解的$L^\infty$结构结果.最后一节给出了一个特殊的情形，其中$L^\infty$的非对角上界是由半群的超压缩性得到的。本文是[7]的继续。
Local and global existence of solutions to a fourth-order parabolic equation modeling kinetic roughening and coarsening in thin films
本文研究了方程$\partial_tu+\mbox{div}\left(\nablaΔu-{\bf g}(\nabla u)\right)=0$的Cauchy问题和初边值问题。该方程已被提出作为一个连续模型的动力学粗化和粗化的薄膜。在Cauchy问题中，只要向量值函数${\bf g}$是连续的，且初始数据$u_0$位于$C^1(\mathbb{R}^N)$中，且$\nabla u_0(x)$在$\mathbb{R}^N$上一致连续且有界，则弱解的局部存在性是有保证的;如果我们假设${\bf g}$是局部Lipschitz的，且对于某些$c>0, α\in (2, 3)$，$\sup_{\mathbb{R}^N}|\nabla u_0|<\infty$，满足增长条件$|{\bf g}(ξ) |\leq c|ξ|^α$，并且空间$L^{\frac{(α-1)N}{3-α}}(\mathbb{R}^N) $中的$u_0$的范数足够小。这是通过探索双调和热核的各种性质来完成的。在初始边值问题中，我们假设${\bf g}$是连续的，并且对于某些$c, α\in (0,\infty)$满足增长条件$|{\bf g}(ξ) |\leq c|ξ|^α+c$。我们的研究表明，如果$α\leq 1$，我们有一个弱解的整体存在性，而如果$1<α<\frac{N^2+2N+4}{N^2}$只能建立一个局部…
A remark on pathwise well-posedness of the 1-$d$ stochastic heat equation
研究圆上带乘性噪声的一维随机热方程路径适定性，结合卷积Young和粗糙积分理论与随机张量估计方法，在Young和粗糙情形下建立其路径适定性，改进前人结果，在粗糙情形获最优结果。
Global rough solution for $L^2$-critical semilinear heat equation in the negative Sobolev space
本文考虑$L^2$ -临界半线性热方程$h(0,x)=h_0$的Cauchy整体问题，其中$h$是定义在$ \R^+\times\R^d$上的未知实函数.在这方面的研究中，大多数的初始数据$h_0$属于Lebesgue空间$L^p(\R^d)$（对于某些$p\ge 2$）或亚临界索伯列夫空间$H^{s}(\R^d)$（对于$s>0$）。本文证明了存在依赖于$d$的正常数$\varepsilon_0$，使得柯西问题对于任何初始数据$h_0$都是局部和全局适定的，该初始数据$h_0$是径向的，在负索伯列夫空间$\dot H^{-\varepsilon_0}(\R^d)$中，包括以某个$p<2$为子空间的$L^p(\R^d)$.此外，还考虑了无条件唯一性和$L^2$ -估计的时间$t\to0$和$t\to +\infty$.
$L^p$-regularity for fourth order elliptic systems with antisymmetric potentials in higher dimensions
本文建立了所有超临界维数下带反对称势的四阶椭圆系统的最优$L^p$-正则性理论，改进了Struwe的Hölder正则性定理，并扩展了调和映射的$L^p$-正则性理论。
Roughness-induced effects on the thermomicropolar fluid flow through a thin domain
本文研究了粗糙边界薄通道中热微极流体流动的渐近行为，通过推导不同渐近模型揭示粗糙度对平均速度和微旋转的影响。
Wick Renormalized Parabolic Stochastic Quantization Equations on Rough Metric Measure Spaces
本文在具有亚高斯热核行为的度量测度空间上，给出了求解Wick重整化随机量化方程的充分条件，并构造了全局解的不变测度，适用于分形等粗糙空间。
Geometric stochastic heat equations
我们考虑一类自然的由时空白噪声驱动的$\mathbf{R}^d$值一维随机偏微分方程，该方程在$\mathbf{R}^d$上的同态群的作用下形式不变.这类方程包括KPZ方程、乘性随机热方程、加性随机热方程和粗糙Burgers型方程。我们展示了一个单参数家庭的解决方案理论具有以下性质：-对于所有的SPDE在我们的类的解决方案是以前可用的，在我们的家庭中的每一个解决方案与以前构造的解决方案相一致，无论是使用Itô演算（加法和乘法随机热方程），粗糙路径理论（粗糙Burgers型方程），或霍普夫-科尔变换（KPZ方程）。- 每一个解决方案的理论是等变的作用下的同胚群，即正式计算得到的身份处理的噪音作为一个光滑函数是有效的。- 每一个溶液理论都满足伊藤等距的一个类似物。- 导致我们的解决方案的理论的抵消消失的点，方程同意领先的顺序与添加剂随机热方程。特别是，第2点和第3点表明，令人惊讶的是，我们的解理论具有类似于同时适用于斯特拉托诺维奇和伊藤解的性质。对于数值在任意黎曼流形上的调和映射流的自然噪声扰动，我们证明了所有这些解理论是一致的。特别是，这使我们能够精确地识别过程相关联的马尔可夫扩展的狄利克雷形式对应的$L^2$ -梯度流的布朗回路措施。
Initial behavior of solutions to the Yang-Mills heat equation
本文研究了具有粗糙初值的Yang-Mills热方程解的小时间行为。我们考虑初始值为$A_0\in H_{1/2}(M)$的解$A(t)$，其中$M$是$\mathbb{R}^3$或全部$\mathbb{R}^3$中的有界凸区域.对于$p=2$和$6$，将确定$A(t)$的时间导数的$L^p(M)$范数及其曲率$B(t)$的行为，作为$t\downarrow 0$，以及这些导数的$H_1(M)$范数。
The Yang-Mills heat flow with random distributional initial data
我们构造的局部解的杨米尔斯热流（在DeTurck规范）的一类随机分布的初始数据，其中包括3D高斯自由场。其主要思想，这可以追溯到工作的布尔甘以及工作的达普拉托-德彪西，是分解成一个粗糙的线性部分和一个光滑的非线性部分的解决方案，并控制后者的概率参数。在一个同伴的工作中，我们使用本文的主要结果，提出了一种方法对建设3D杨米尔斯措施。
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