Computable randomness and monotonicity
Alex Galicki
证明了$z\in\R^n$是可计算随机的当且仅当$\R^n$上的每个可计算单调函数在$z$上可微.
We show that $z\in\R^n$ is computably random if and only if every computable monotone function on $\R^n$ is differentiable at $z$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Computable randomness and betting for computable probability spaces
与马丁-勒夫随机性和施诺尔随机性不同，可计算随机性在康托空间之外还没有定义，除了一些特殊的情况。本文给出了这样一个定义（实际上是几个等价的定义），并进一步给出了从Cantor空间到任意可计算概率空间中抽象随机性的“逐位”定义的一般方法。同样的方法也适用于给可计算的概率空间的可计算和Schnorr随机性的机器表征，扩展了以前已知的结果。本文提出了一种新的随机性-自同态随机性-作者希望它能有助于解决Kolmogorov-Loveland随机性是否等价于Martin-Löf随机性的问题。最后一部分是对未来研究的展望。
Van Lambalgen's Theorem for uniformly relative Schnorr and computable randomness
我们纠正宫部的证明范Lambalgen定理的真值表Schnorr随机性（我们将呼吁一致相对Schnorr随机性）。一个直接的推论是范兰伯根的Schnorr随机性定理的一个方向。在文献中声称这个推论（以及可计算随机性的类似结果）是“范·兰巴根定理证明的直接修改”。“事实并非如此，我们指出原因。我们还指出了一个错误宫部的证明范Lambalgen定理的真值表可约随机性（我们将呼吁一致相对可计算的随机性）。虽然我们不修复错误，我们证明了一个较弱的版本的范Lambalgen定理，其中每一半是可计算的随机一致相对于其他。
Strong Kurtz Randomness and Binary Expansions of Reordered Computable Numbers
本文研究左可计算数的一个子集，证明实数重排序可计算当且仅当它是左可计算且非强Kurtz随机，并刻画了强Kurtz随机性、二进制展开的免疫性质及有效维数。
We show that there exists a bitsequence that is not computably random for which its odd bits are computably random and its even bits are computably random relative to the odd bits. This implies that the uniform variant of van Lambalgen's theorem fails for computable randomness. (The other direction of van Lambalgen's theorem is known to hold in this case, and known to fail for the non-uniform variant.)
Randomness and differentiability in higher dimensions
本文给出了两个关于多元函数算法随机性和可微性的定理。首先，我们证明了Rademacher定理的一个有效形式：我们证明了可计算随机性蕴含着多元可计算Lipschitz函数的可微性。其次，我们证明了弱2-随机性等价于可计算a.e.的可微性。多元可微函数。
A result of Shen says that if $F\colon2^{\mathbb{N}}\rightarrow2^{\mathbb{N}}$ is an almost-everywhere computable, measure-preserving transformation, and $y\in2^{\mathbb{N}}$ is Martin-Löf random, then there is a Martin-Löf random $x\in2^{\mathbb{N}}$ such that $F(x)=y$. Answering a question of Bienvenu and Porter, we show that this property holds for computable randomness, but not Schnorr randomness. These results, combined with other known results, imply that the set of Martin-Löf randoms is the largest subset of $2^{\mathbb{N}}$ satisfying this property and also satisfying randomness preser…
This is a survey of constructive and computable measure theory with an emphasis on the close connections with algorithmic randomness. We give a brief history of constructive measure theory from Brouwer to the present, emphasizing how Schnorr randomness is the randomness notion implicit in the work of Brouwer, Bishop, Demuth, and others. We survey a number of recent results showing that classical almost everywhere convergence theorems can be used to characterize many of the common randomness notions including Schnorr randomness, computable randomness, and Martin-Löf randomness. Last, we go into…
Analytic concepts contribute to our understanding of randomness of reals via algorithmic tests. They also influence the interplay between randomness and lowness notions. We provide a survey, written on the occasion of Rod Downey's 60th birthday.
Effective randomness, strong reductions and Demuth's theorem
我们研究Demuth定理的推广，该定理指出，在tt-约化下的Martin-Löf随机实数的图像是可计算的或图灵等价于Martin-Löf随机实数。我们表明，Demuth定理适用于Schnorr随机性和可计算的随机性（回答富兰克林的问题），但它不能加强取代图灵等价的声明中的定理与WTT-等价。我们还提供了一些额外的结果图灵和TT度的实数是随机的一些可计算的措施。
Can a probabilistic gambler get arbitrarily rich when all deterministic gamblers fail? We study this problem in the context of algorithmic randomness, introducing a new notion -- almost everywhere computable randomness. A binary sequence $X$ is a.e.\ computably random if there is no probabilistic computable strategy which is total and succeeds on $X$ for positive measure of oracles. Using the fireworks technique we construct a sequence which is partial computably random but not a.e.\ computably random. We also prove the separation between a.e.\ computable randomness and partial computable rand…
We study the possible growth rates of the Kolmogorov complexity of initial segments of sequences that are random with respect to some computable measure on $2^ω$, the so-called proper sequences. Our main results are as follows: (1) We show that the initial segment complexity of a proper sequence $X$ is bounded from below by a computable function (that is, $X$ is complex) if and only if $X$ is random with respect to some computable, continuous measure. (2) We prove that a uniform version of the previous result fails to hold: there is a family of complex sequences that are random with respect to…
Characterizing the strongly jump-traceable sets via randomness
我们证明了如果一个集合$A$是从每个超低1-随机集可计算的，那么$A$是强跳可追踪的。这个定理表明，可计算可列（c.e.）强跳迹集就是c.e.可从每个超低1-随机集计算的集。我们还证明了类似的结果supernatant：一个c.e.\集合是强跳迹的当且仅当它是从每个超高1-随机集可计算的。最后，我们证明了对于每个具有极限条件的费用函数$c$，存在一个1-随机$Δ^0_2$集$Y$，使得每个c.e.\设置$A \le_T Y$服从$c$。为此，我们将费用函数强度和随机性强度概念联系起来。这一结果给出了费用函数服从性与从$Δ^0_2$ 1-随机集可计算性之间的完全对应。
This paper explores a novel definition of Schnorr randomness for noncomputable measures. We say $x$ is uniformly Schnorr $μ$-random if $t(μ,x)<\infty$ for all lower semicomputable functions $t(μ,x)$ such that $μ\mapsto\int t(μ,x)\,dμ(x)$ is computable. We prove a number of theorems demonstrating that this is the correct definition which enjoys many of the same properties as Martin-Löf randomness for noncomputable measures. Nonetheless, a number of our proofs significantly differ from the Martin-Löf case, requiring new ideas from computable analysis.
We introduce a notion of computable randomness for infinite sequences that generalises the classical version in two important ways. First, our definition of computable randomness is associated with imprecise probability models, in the sense that we consider lower expectations (or sets of probabilities) instead of classical 'precise' probabilities. Secondly, instead of binary sequences, we consider sequences whose elements take values in some finite sample space. Interestingly, we find that every sequence is computably random with respect to at least one lower expectation, and that lower expect…
Algorithmic Randomness and Capacity of Closed Sets
我们研究了闭集空间的测度、容量和算法随机性之间的关系。对于任何可计算测度m，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族K的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了测度m的条件，刻画了m-随机闭集的容量等于零的情况。这包括经典概率论中的新结果以及算法随机性的结果。对于某些可计算的措施，我们构造有效的封闭集的正容量和勒贝格措施零。我们证明了对于可计算测度，实q是上半可计算的当且仅当存在一个具有容量q的有效闭集。
We show that for each computable ordinal $α>0$ it is possible to find in each Martin-Löf random $Δ^0_2$ degree a sequence $R$ of Cantor-Bendixson rank $α$, while ensuring that the sequences that inductively witness $R$'s rank are all Martin-Löf random with respect to a single countably supported and computable measure. This is a strengthening for random degrees of a recent result of Downey, Wu, and Yang, and can be understood as a randomized version of it.
Trivial measures are not so trivial
虽然关于各种非均匀可计算测度的算法随机性得到了很好的研究，但很少关注关于可计算\emph{trivial}测度的算法随机性，其中如果$μ$的支持由可数序列集合组成，则$2^ω$上的测度$μ$是平凡的。在这篇文章中，它表明，有更多的结构，平凡的可计算措施比以前怀疑。
How much randomness is needed for statistics?
在算法随机性中，当人们想要定义关于某个不可计算度量$λ$的随机性概念时，需要做出选择。一种方法是允许随机性测试将度量$λ$作为oracle访问（我们称之为“经典方法”）。另一种方法是相反的，其中随机性测试是完全有效的，并且不能访问$λ$中包含的信息（我们称这种方法为“希波克拉底”）。虽然希波克拉底的方法通常更具限制性，但在某些情况下，两者是一致的。第一作者在2010年指出，在随机性的概念被认为是马丁-洛夫随机性和测量$λ$是伯努利测量的特殊情况下，经典随机性和希波克拉底随机性重合。在本文中，我们证明了这一结果不再适用于其他概念的随机性，即可计算的随机性和随机性。
Randomness and Non-ergodic Systems
我们的特点，满足Birkhoff的遍历定理在一定的可计算性条件下的算法随机性。首先，我们使用切割和堆叠的方法证明，如果康托空间的元素x不是马丁-洛夫随机的，则存在可计算的保测变换和可计算集合，证明x对于遍历定理来说不是典型的，这给了我们V 'yugin定理的逆。进一步证明了若x是弱2-随机的，则它对所有可计算的保测变换和所有下半可计算函数都满足遍历定理。
Logic Blog 2012
2012年的逻辑博客主要关注以下内容：随机性和可计算分析/遍历论;系统化算法随机性概念;可追溯性;更高的随机性;从可计算性理论和代数中校准等价关系的复杂性。
Lowness for Integer-Valued Randomness
一个实数称为整数值随机数，如果没有整数值鞅可以赢得任意多的资本下注反对它。一个实数是低整数值随机数，如果没有整数值鞅递归A可以成功的整数值随机实数。我们表明，低整数值的随机性与递归性相一致，是可计算的随机性的情况下。
Continuous Randomness via Transformations of 2-Random Sequences
本研究通过分析2-随机序列的多种变换，证明了相关序列及其Turing跳、经多种有效算子作用后的结果均关于∅'-可计算连续测度满足Martin-Löf随机性，给出了非正当连续随机序列的实例。
Randomness and Differentiability
我们通过有效函数的可微性来描述一些主要的算法随机性概念。(1)作为主要结果，我们证明了[0，1]中的实数z是可计算随机的当且仅当每个非减可计算函数[0，1]->R在z处可微. (2)证明了[0，1]中的实数z是弱2-随机的当且仅当每个几乎处处可微的可计算函数[0，1]->R在z处可微. (3)重铸经典语言的结果可以追溯到1975年的建构主义者Demuth，我们表明，真正的z是ML随机的当且仅当每个可计算的有界变差函数是可微的z，同样的绝对连续的功能。我们还使用我们的分析方法来表明，可计算的随机性的真正的基础不变，并得出其他的保存结果的随机性概念。
An infinite bit sequence is called recursively random if no computable strategy betting along the sequence has unbounded capital. It is well-known that the property of recursive randomness is closed under computable permutations. We investigate analogous statements for randomness notions defined by betting strategies that are computable within resource bounds. Suppose that S is a polynomial time computable permutation of the set of strings over the unary alphabet (identified with N). If the inverse of S is not polynomially bounded, it is easy to build a polynomial time random bit sequence Z su…
Algorithmic randomness in harmonic analysis
本文研究了调和分析中算法随机性与函数收敛性的关系，证明了傅里叶级数和Poisson积分的径向极限与Martin-Löf和Schnorr随机实数的联系。
Independence, Relative Randomness, and PA Degrees
我们研究的实数对是相互马丁-勒夫随机相对于一个共同的，不一定是可计算的概率测度。我们表明，范Lambalgen定理的广义版本持有不可计算的概率措施，太。我们研究，对于一个给定的真正的$A$，$A$的\emph{independence spectrum}，所有$B$的集合，使存在一个概率测度$μ$，使$μ\{A,B\} = 0$和$(A,B)$是$μ\timesμ$ -随机的。我们证明了如果$A$是r.e.，则没有$Δ^0_2$集合在$A$的独立谱中。我们将这一事实应用于PA学位。特别地，我们证明了如果$A$是r.e.，并且$P$具有PA度，使得$P \not\geq_{T} A$，然后是$A \oplus P \geq_{T} 0'$。
We develop the theory of algorithmic randomness for the space $A^G$ where $A$ is a finite alphabet and $G$ is a computable amenable group. We give an effective version of the Shannon-McMillan-Breiman theorem in this setting. We also extend a result of Simpson equating topological entropy and Hausdorff dimension. This proof makes use of work of Ornstein and Weiss which we also present.
Effective Genericity and Differentiability
我们证明了一个实数x是1-generic的当且仅当每个可微可计算函数在x处有连续导数。这提供了一个对应的最近的结果连接有效的随机性与可微性的概念。我们还考虑了可计算函数和多项式时间可计算函数。
Effective Capacity and Randomness of Closed Sets
本文研究了{0，1}* 的非空闭子集空间的测度与容度之间的关系。对于任何可计算测度，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了随机闭集的容量等于零或大于0的条件。我们构造了一个有效的封闭集，具有正容量和勒贝格测度为零。
Algorithmic randomness for Doob's martingale convergence theorem in continuous time
在算法随机性的背景下，研究了布朗运动上可计算连续时间鞅的Doob鞅收敛定理。给出了定理成立的样本点类的一个刻画。这些点被称为Doob随机点。证明了一个点是Doob随机的，如果它的尾部在一定意义下是可计算随机的。此外，Doob随机性严格弱于可计算随机性，与Schnorr随机性不可比拟。
Algorithmic randomness theory starts with a notion of an individual random object. To be reasonable, this notion should have some natural properties; in particular, an object should be random with respect to image distribution if and only if it has a random preimage. This result (for computable distributions and mappings, and Martin-Löf randomness) was known for a long time (folklore); in this paper we prove its natural generalization for layerwise computable mappings, and discuss the related quantitative results.
We show that a computable function $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ has Luzin's property (N) if and only if it reflects $Π^1_1$-randomnes, if and only if it reflects $Δ^1_1(\mathcal O)$-randomness, and if and only if it reflects $\mathcal O$-Kurtz randomness, but reflecting Martin-Löf randomness or weak-2-randomness does not suffice. Here a function $f$ is said to reflect a randomness notion $R$ if whenever $f(x)$ is $R$-random, then $x$ is $R$-random as well. If additionally $f$ is known to have bounded variation, then we show $f$ has Luzin's (N) if and only if it reflects weak-2-randomness,…
Propagation of partial randomness
设f是从0和1的有限序列到实数的可计算函数。我们证明了强f-随机性意味着相对于PA-度的强f-随机性。我们还证明：如果X是强f-随机且图灵可约为Y，其中Y是相对于Z随机的Martin-L“，则X是相对于Z的强f-随机的。此外，我们证明了类似的传播结果的其他概念的部分随机性，包括非K-平凡性和autocomplicity。我们证明了相对于PA-度的f-随机性蕴含强f-随机性，因此f-随机性并不蕴含相对于PA-度的f-随机性。
Coarse Reducibility and Algorithmic Randomness
Ω的子集A的粗略描述是Ω的子集D，使得A和D的对称差具有渐近密度0。我们研究在何种程度上可以有效地恢复非计算信息从所有粗糙的描述一个给定的集合A，特别是当A是有效的随机在某种意义上。我们证明了如果A是1-随机的，B是可计算的，那么B是K-平凡的，这意味着如果A实际上是弱2-随机的，那么B是可计算的。我们的主要工具是一种紧致性定理的锥避免描述，这也使我们能够证明相同的结果1-genericity弱2-随机性的地方。在另一个方向上，我们证明了如果A是图灵约化为0 '的1-随机集，则存在不可计算的c. e.集合A的每个粗描述都是可计算的，但不是所有的K-平凡集合都是某个1-随机集的每个粗描述都可计算的。我们研究了粗约化的一致和非一致概念。一个集合Y可以一致粗约化为X，如果存在一个图灵泛函Phi使得如果D是X的粗描述，那么Phi^D是Y的粗描述。一个集合B可以非一致粗约化为A，如果A的每一个粗描述都计算B的一个粗描述。我们表明，一定的自然嵌入到粗糙度（均匀和非均匀）的图灵度是不满射。我们还表明，如果两个集是相互弱3-随机，那么他们的粗度形成一个最小的对，在均匀和非均匀的情况下，但这并不是真的每一对相对2-随机集，至少在非均匀粗度。
Algorithmic randomness and the weak merging of computable probability measures
本文通过Kullback-Leibler散度定义算法随机性，探讨可计算概率测度的弱合并特性。
Given any 1-random set $X$ and any $r\in(0,1)$, we construct a set of intrinsic density $r$ which is computable from $r\oplus X$. For almost all $r$, this set will be the first known example of an intrinsic density $r$ set which cannot compute any $r$-Bernoulli random set. To achieve this, we shall formalize the {\tt into} and {\tt within} noncomputable coding methods which work well with intrinsic density.
Logic Blog 2013
2013年的逻辑博客主要关注以下几点：1.更高的随机性。其中，确定了$Π^1_1$随机性和更高的弱2随机性的Borel复杂度。2.逆向数学及其与随机性的关系。例如，乔丹定理在分析中的力量是什么？(His定理指出，每个有界变差函数是两个非减函数的差。3.随机性和可计算分析。这集中在一个真正的$z$的随机性和勒贝格密度的有效封闭集在$z$的连接。4.探索波兰度量空间的相似关系，如等距，或具有Gromov-Hausdorff距离$0$。特别是他们的复杂性进行了研究。5.可计算性理论和随机性之间的各种联系。
We investigate the strength of a randomness notion $\mathcal R$ as a set-existence principle in second-order arithmetic: for each $Z$ there is an $X$ that is $\mathcal R$-random relative to $Z$. We show that the equivalence between $2$-randomness and being infinitely often $C$-incompressible is provable in $\mathsf{RCA}_0$. We verify that $\mathsf{RCA}_0$ proves the basic implications among randomness notions: $2$-random $\Rightarrow$ weakly $2$-random $\Rightarrow$ Martin-Löf random $\Rightarrow$ computably random $\Rightarrow$ Schnorr random. Also, over $\mathsf{RCA}_0$ the existence of comp…
The rate of randomness (or dimension) of a string $σ$ is the ratio $C(σ)/|σ|$ where $C(σ)$ is the Kolmogorov complexity of $σ$. While it is known that a single computable transformation cannot increase the rate of randomness of all sequences, Fortnow, Hitchcock, Pavan, Vinodchandran, and Wang showed that for any $0<α<β<1$, there are a finite number of computable transformations such that any string of rate at least $α$ is turned into a string of rate at least $β$ by one of these transformations. However, their proof only gives very loose bounds on the correspondence between the number of trans…
Equivalent characterizations of partial randomness for a recursively enumerable real
一个实数α称为递归可逼近的，如果存在一个可计算的、递增的有理数序列收敛于α。一个递归可重算实数α的随机性可以用以下几个概念来描述：程序大小复杂度、马丁-勒夫检验、蔡廷的Ω数、α的控制性和Ω相似性、可计算的、递增的有理数序列收敛到α的普适性，以及普适概率。在本文中，我们推广了这些随机性的部分随机性的概念，参数化的概念以上的每一个实数T \in（0，1]。因此，我们提出了几个等价的部分随机性的递归可列实数的特征。
Algorithmic Randomness, Effective Disintegrations, and Rates of Convergence to the Truth
本文利用有效概率论方法，在可计算Polish空间上引入有效分解理论，刻画了条件期望收敛到真值的概率1集合与收敛速率，并证明了基于算法随机点的收敛性与可计算收敛速率的存在性，为Bayes概率论基础提供了统一的新框架。
Classical versions of Kolmogorov complexity are incomputable. Nevertheless, in 1975 Solovay showed that there are computable functions $f > K+O(1)$ such that for infinitely many strings $σ$, $f(σ)=K(σ)+O(1)$, where $K$ denotes prefix-free Kolmogorov complexity (while $C$ denotes plain Kolmogorov complexity). Such an $f$ is now called a Solovay function. We prove that many classical results about $K$ can be obtained by replacing $K$ by a Solovay function. For example, the three following properties of a function $g$ all hold for the function $K$. (i) The sum of the terms $\sum_n 2^{-g(n)}$ is a…
Ramsey-type graph coloring and diagonal non-computability
函数是对角不可计算的（d.n.c.）如果它对泛部分可计算函数对角化。民主党全国委员会函数在算法随机性和逆向数学中起着核心作用。洪水和Towsner问哪些功能h，原则说明存在一个h有界d.n.c.函数（DNR_h）蕴含Ramsey型König引理（RWKL）。本文证明了对任意可计算阶h，存在DNR_h的~ $ω$ -模型，它不是Ramsey型双色图着色原理（RCOLOR 2）的非模型，因此也不是RWKL的模型.证明结合了浓密树强迫和Lerman，Solomon和Towsner介绍的技术，将可计算的非约简转换为分离的omega模型。
In this paper, we study Bernoulli random sequences, i.e., sequences that are Martin-Löf random with respect to a Bernoulli measure $μ_p$ for some $p\in[0,1]$, where we allow for the possibility that $p$ is noncomputable. We focus in particular on the case in which the underlying Bernoulli parameter $p$ is proper (that is, Martin-Löf random with respect to some computable measure). We show for every Bernoulli parameter $p$, if there is a sequence that is both proper and Martin-Löf random with respect to $μ_p$, then $p$ itself must be proper, and explore further consequences of this result. We a…
Schnorr Randomness and Effective Bayesian Consistency and Inconsistency
该研究从可计算概率与算法随机性视角，结合Schnorr随机性，解决了Diaconis和Freedman关于贝叶斯规则一致性参数的问题，强化了Martin-Löf随机性相关结果。
Von Neumann Entropy and Quantum Algorithmic Randomness
本文研究量子算法随机性与冯·诺依曼熵的关系，证明可计算量子Schnorr随机态的熵密度极限为1，定义量子s-测试并建立熵密度与覆盖s的关系，推导熵密度下界与强量子随机性的关联及量子Schnorr随机性的一致可积等价条件。
We reformulate slightly Russell's notion of typicality, so as to eliminate its circularity and make it applicable to elements of any first-order structure. We argue that the notion parallels Martin-Löf (ML) randomness, in the sense that it uses definable sets in place of computable ones and sets of ``small'' cardinality (i.e., strictly smaller than that of the structure domain) in place of measure zero sets. It is shown that if the domain $M$ satisfies $cf(|M|)>\aleph_0$, then there exist $|M|$ typical elements and only $<|M|$ non-typical ones. In particular this is true for the standard model…
We investigate which infinite binary sequences (reals) are effectively random with respect to some continuous (i.e., non-atomic) probability measure. We prove that for every n, all but countably many reals are n-random for such a measure, where n indicates the arithmetical complexity of the Martin-Löf tests allowed. The proof is based on a Borel determinacy argument and presupposes the existence of infinitely many iterates of the power set of the natural numbers. In the second part of the paper we present a metamathematical analysis showing that this assumption is indeed necessary. More precis…
Inherent enumerability of strong jump-traceability
我们证明了每个强跳迹集服从每个良性费用函数。此外，我们还证明了每个强跳迹集都是可从可计算的强跳迹集计算的。这使我们能够概括c.e.的性质。强跳迹集到所有这样的集合。例如，强跳可溯集在图灵度中引入一个理想;强跳可溯集恰好是那些可以从所有超低马丁-洛夫随机集计算的集合;强跳可溯集恰好是那些作为$\text{Demuth}_{\text{BLR}}$ -随机性的基础的集合;强跳可溯等价于强超低性。
Kolmogorov Complexity and Solovay Functions
Solovay证明了无前缀Kolmogorov复杂度函数K存在一个可计算的上界f，使得对于无穷多个x，f（x）= K（x）。本文考虑一类可计算函数f，使得对所有x，K（x）≤ f（x）+O（1），对无穷多个x，f（x）≤ K（x）+ O（1），我们称之为Solovay函数.我们发现，Solovay函数提出有趣的连接与随机性的概念，如马丁-洛夫随机性和K-平凡。
Denjoy, Demuth, and Density
我们考虑两个经典定理的有效版本，勒贝格密度定理和Denjoy-Young-Saks定理。对于第一个，我们证明了一个Martin-Loef随机实$z\in [0,1]$是图灵不完全的当且仅当每个包含$z$的有效闭类$C \subseteq [0,1]$在$z$处有正密度。在更强的假设下，$z$是不是LR-硬，我们证明了$z$有密度1在每个这样的类。这些结果已被应用于解决两个开放的问题之间的相互作用的图灵度的Martin-Loef随机实数和$K$ -平凡集：非杯和覆盖问题。我们说$f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$在$z \in [0,1]$满足Denjoy替换，如果导数$f'(z)$存在，或者在$z$的上下导数分别是$+\infty$和$-\infty$。Denjoy-Young-Saks定理指出，每个函数$f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$几乎在每个$z\in[0,1]$都满足Denjoy替代。我们回答了Kucera在2004年提出的一个问题表明，一个真正的$z$是可计算的随机当且仅当每个可计算的功能$f$满足Denjoy替代$z$。对于马尔可夫可计算函数，它只定义在可计算实数上，我们可以使用伪导数来制定Denjoy替代方案。如果每个马尔可夫可计算函数在$z$满足Denjoy替换，则称一个实$z$ DA-随机。我们大大加强了Demuth（评论）的…
Computability in infinite Galois theory and algorithmically random algebraic fields
本文在无限伽罗瓦理论中发展可计算性工具，定义代数域的算法随机性，证明存在连续统多个随机代数扩张及非随机的不可计算代数域，并部分刻画随机代数域集合的指标集。
Uniform distribution and algorithmic randomness
一个开创性的定理由于外尔国家，如果（a_n）是任何序列的不同整数，然后，几乎所有的实数x，序列（a_n x）是均匀分布模1。特别是，对于单位区间中的几乎每个x，序列（a_n x）对于每个不同整数的可计算序列（a_n）都是模一均匀分布的。把这样的x称为“UD random”。这里证明了每个Schnorr随机实都是UD随机的，但也有Kurtz随机实不是UD随机的。另一方面，外尔定理相对于一个特定的有效闭零集仍然成立，所以有UD随机实不是库尔兹随机。
Effective Martingales with Restricted Wagers
可计算随机性的经典模型考虑取实数或有理值的鞅。Bienvenu et al.（2012）和Teutsch（2014）最近的工作表明，当鞅取整数值时，经典模型的基本特征会发生变化。我们比较的预测能力的鞅的赌注属于三个不同的子集的有理数：（a）所有的有理数，（b）有理数不包括一个穿孔的邻域为0，（c）整数。我们还考虑了三个不同的成功标准：（i）积累无限数量的货币，（ii）消费无限数量的货币，（iii）使积累的资本振荡。（a）-（c）和（i）-（iii）的九个组合定义了九个可计算随机性的概念。我们提供了一个完整的表征这些概念之间的关系，并表明它们形成五个线性有序类。我们的结果解决了Bienvenu et al.（2012），Teutsch（2014）和Chalcraft et al.（2012）提出的突出问题，并加强了现有的结果。
How powerful are integer-valued martingales?
在算法随机性理论中，核心概念之一是可计算随机性。一个无限二进制序列X是可计算随机的，如果没有递归鞅（策略）可以通过对X的比特值下注而赢得无限多的钱。在经典模型中，所考虑的鞅是实值的，也就是说，鞅所下的赌注可以是任意实数。本文研究了一个更严格的模型，其中只考虑整数值鞅，并研究了由该模型诱导的随机序列类。
The interplay of classes of algorithmically random objects
我们研究算法随机闭子集的$2^ω$，算法随机连续函数从$2^ω$到$2^ω$，和算法随机Borel概率测度$2^ω$，特别是这三类对象之间的相互作用。我们的主要工具是保持随机性和它的逆，即无随机性无希洛原则，这两个原则一起说，给定有效紧概率空间和有效波兰空间之间的几乎处处定义的可计算映射，一个实数对于前推测度是马丁-洛夫随机的当且仅当它的原像对于定义域上的测度是随机的。这些工具使我们能够证明新的事实，其中一些回答了以前的开放问题，并更简单地重新证明了一些已知的结果。我们的主要结果如下。首先，我们回答一个开放的问题Barmapalias，布罗德黑德，岑策尔，Remmel，韦伯表明，$\mathcal{X}\subseteq2^ω$是一个随机闭集当且仅当它是一组零的随机连续函数的$2^ω$。作为推论，我们得到了$2^ω$上随机连续函数集在复合下不闭的结果.其次，我们在$2^ω$上的测度空间上构造了一个可计算测度$Q$，使得$\mathcal{X}\subseteq2^ω$是随机闭集当且仅当$\mathcal{X}$是$Q$ -随机测度的支集。我们还建立了随机闭集和卡尔弗在以前的工作中研究的随机措施之间的对应关系。最后，我们研究了随机连续函数的值域，证明了随机连续函数的值域的勒贝格测度总是包含在$(0,1)$中。
Growth and irreducibility in path-incompressible trees
本文研究了路径不可压缩树的有效随机性保持变换，证明了部分具有无穷路径的树无法通过可计算预言机使用计算完美路径随机树，稀疏完美路径不可压缩树几乎必然可被有效稠密化，并刻画了路径随机树的分支密度。
Measures and their random reals
研究了Cantor空间上实数关于任意概率测度的随机性。我们证明了每一个不可计算的实数在某种测度下都是非平凡随机的。证明中构造的概率测度可以具有原子。如果我们排除原子的存在，即只考虑连续测度，那么每个非超算术实数对于连续测度都是随机的。另一方面，在超算术图灵度中，可以找到对任何连续测度都不是随机的实数的例子。
We examine several notions of randomness for elements in a given $Π^0_1$ class $\mathcal{P}$. Such an effectively closed subset $\mathcal{P}$ of $2^ω$ may be viewed as the set of infinite paths through the tree $T_{\mathcal{P}}$ of extendible nodes of $\mathcal{P}$, i.e., those finite strings that extend to a member of $\mathcal{P}$, so one approach to defining a random member of $\mathcal{P}$ is to randomly produce a path through $T_{\mathcal{P}}$ using a sufficiently random oracle for advice. In addition, this notion of randomness for elements of $\mathcal{P}$ may be induced by a map from $2…
Every Computably Enumerable Random Real Is Provably Computably Enumerable Random
我们证明了每一个可计算可列（c.e.）随机实数在皮亚诺算术（PA）中可证明为c. e.随机证明中的一个主要步骤是证明“实数是c. e”的定理。和随机当且仅当它是通用无前缀图灵机的停机概率“可以在PA中得到证明。我们的证明比标准的证明简单，也可用于原定理。我们的正结果可以与可计算函数的情况进行对比，其中并非每个可计算函数在PA中都是可证明可计算的，或者更有趣的是，几乎所有随机有限字符串在PA中都不是可证明随机的。我们还证明了两个否定的结果：a）存在一个通用机，它的通用性在PA中不能得到证明; b）存在一个通用机$U$，使得基于$U$，PA不能证明其停机概率的随机性。本文还包括一个更尖锐的形式的Kraft-Chaitin定理，以及正式证明这一定理的书面与证明助手伊莎贝尔。
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