arXiv 0802.27052008-02math.LOmath.PR

测度及其随机实

Measures and their random reals

Jan Reimann, Theodore A. Slaman

摘要：

研究了Cantor空间上实数关于任意概率测度的随机性。我们证明了每一个不可计算的实数在某种测度下都是非平凡随机的。证明中构造的概率测度可以具有原子。如果我们排除原子的存在，即只考虑连续测度，那么每个非超算术实数对于连续测度都是随机的。另一方面，在超算术图灵度中，可以找到对任何连续测度都不是随机的实数的例子。

英文摘要：

We study the randomness properties of reals with respect to arbitrary probability measures on Cantor space. We show that every non-computable real is non-trivially random with respect to some measure. The probability measures constructed in the proof may have atoms. If one rules out the existence of atoms, i.e. considers only continuous measures, it turns out that every non-hyperarithmetical real is random for a continuous measure. On the other hand, examples of reals not random for any continuous measure can be found throughout the hyperarithmetical Turing degrees.

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