有效闭集测度和随机性

利用分析中的几乎处处定理研究随机性

Using almost-everywhere theorems from analysis to study randomness

我们通过分析和遍历论中的几乎处处定理的有效版本来研究算法的随机性概念。有效化是指由可计算的集合所描述的对象，例如下半可计算的函数。相应的随机性概念略强于\ML \（ML）随机性。我们建立了几个等价关系。给定ML-随机实数$z$，以下所需的附加随机性强度是等价的。\n（1）所有包含$z$的有效闭类在$z$处具有密度$1$。\n（2）一致左不变的非减函数增量在$z$是可微的。\n（3）$z$是每个下半可积函数的Lebesgue点。我们还考虑了左c. e.的收敛性。鞅和Birkhoff逐点遍历定理意义下的收敛性。最后，我们研究了$Π^0_n$和$Σ^1_1$类密度的随机性概念。

关于随机性和一般性的有效概念之间的相互作用

On the interplay between effective notions of randomness and genericity

在本文中，我们研究了使用有效的随机预言机计算有效的通用序列的能力和局限性。以前，我们知道每个2-随机序列计算一个1-类属序列（如Kautz所示），每个2-随机序列与每个2-类属序列形成图灵度中的最小对（如Nies，Stephan和Terwijn所示）。我们加强这些结果表明，每个Demuth随机序列计算一个1-通用序列（这回答了一个开放的问题所提出的Barmpalias，日，和刘易斯），每个Demuth随机序列形成一个最小的对每个PB-通用序列（其中PB-通用性是一个有效的概念，严格的通用性之间的1-通用性和2-通用性）。此外，我们证明，对于每一个comeager $\mathcal{G}\subseteq 2^ω$，有一些弱2-随机序列$X$计算一些$Y\in\mathcal{G}$，一个结果，使我们能够提供一个相当完整的分类，以各种概念的有效随机性如何相互作用的图灵度与各种概念的有效泛型。

关于一类测度的随机性检验

Algorithmic tests and randomness with respect to a class of measures

本文考虑不同随机性概念的定量版本：算法测试测量非随机性的量（并且对于非随机序列是无限的）。我们从康托空间（和马丁-洛夫随机性）上的可计算测度开始，然后考虑一致随机性（测试是序列和测度的函数，不一定是可计算的）和任意构造性度量空间。我们还考虑测试类的措施，特别是伯努利措施康托空间，并显示它们是如何相关的统一测试和原始马丁-洛夫定义。我们表明，Hyppocratic（盲，预言）的随机性是等效的均匀随机性的措施，在一个有效的正交有效紧类。我们还考虑了稀疏集和在线随机性的概念，并展示了它们如何在我们的框架中表达。

Martin-Löf随机性和Galton-Watson过程

Martin-Löf randomness and Galton-Watson processes

Barmpalias等人研究的分布下的Martin-Löf随机闭集的成员恰好是通过具有生存参数$\frac{2}{3}$的Martin-Löf随机Galton-Watson树的无限路。作为这样的成员，充分条件是有效豪斯多夫维数严格大于$γ=\log_2 \frac{3}{2}$，必要条件是有效豪斯多夫维数大于或等于$γ$。

Martin-Lof随机性、不变测度与可数齐次结构

Martin-Lof randomness, invariant measures and countable homogeneous structurs

利用拓扑动力学（顺从性）、组合学（结构拉姆齐理论）和模型论（Fra\”{i}ss\' e极限）的思想，研究可数集对称群$S_\infty$的闭顺从子群$G$，其中$S_\infty$具有点式收敛拓扑拓扑.我们构造$G$ -不变测度的通用最小流与这些组$G$，而且，算法的方式。这导致了识别的通用元素，在这个意义上是马丁-L\”的随机，这些流相对于构造的不变测度。沿着这些路线，我们研究的随机元的$S_\infty$，这是置换，转换递归提出的普遍结构到这样的结构，这是马丁-L”的随机。

能量随机性

Energy randomness

能量随机性是Diamondstone和Kjos-Hanssen引入的部分随机性的概念，用于描述可以成为马丁-洛夫随机闭集元素的序列（在Barmpalias，Brodhead，Cenzer，Dashti和Weber的意义上）。它也被艾伦、比恩韦努和斯拉曼应用于刻画马丁-勒夫随机布朗运动可能的零次。在本文中，我们证明了$X \in 2^ω$是$s$ -能量随机的当且仅当$\sum_{n\inω} 2^{sn - KM(X\upharpoonright n)} < \infty$，通过先验复杂性$KM$提供了一个表征的能量随机性。这与Allen、Bienvenu和Slaman的问题有关。

Russell's typicality as another randomness notion

We reformulate slightly Russell's notion of typicality, so as to eliminate its circularity and make it applicable to elements of any first-order structure. We argue that the notion parallels Martin-Löf (ML) randomness, in the sense that it uses definable sets in place of computable ones and sets of ``small'' cardinality (i.e., strictly smaller than that of the structure domain) in place of measure zero sets. It is shown that if the domain $M$ satisfies $cf(|M|)>\aleph_0$, then there exist $|M|$ typical elements and only $<|M|$ non-typical ones. In particular this is true for the standard model…

多重递归与数学随机性

Multiple Recurrence and Algorithmic Randomness

这项工作有助于研究有效版本的“几乎处处“定理的分析和遍历论通过算法的随机性的方案。我们确定的水平的随机性所需的一个点在康托空间$ \{0,1\}^{\NN}$与统一的措施和通常的转变，使有效版本的Furstenberg的多重递归定理举行迭代开始的点。我们考虑递归到具有不同程度的有效性的闭集：clopen，$\PPI$与可计算的措施，和$\PPI$。Kurtz、Schnorr和\ML \随机性的概念分别被证明是足够的。对于$\{0,1\}^{\NN^{\normalsize k}}$上的$k$交换移位算子，我们得到了类似的多重递归结果。

Effective Randomness for Continuous Measures

We investigate which infinite binary sequences (reals) are effectively random with respect to some continuous (i.e., non-atomic) probability measure. We prove that for every n, all but countably many reals are n-random for such a measure, where n indicates the arithmetical complexity of the Martin-Löf tests allowed. The proof is based on a Borel determinacy argument and presupposes the existence of infinitely many iterates of the power set of the natural numbers. In the second part of the paper we present a metamathematical analysis showing that this assumption is indeed necessary. More precis…

粗可约性和算法随机性

Coarse Reducibility and Algorithmic Randomness

Ω的子集A的粗略描述是Ω的子集D，使得A和D的对称差具有渐近密度0。我们研究在何种程度上可以有效地恢复非计算信息从所有粗糙的描述一个给定的集合A，特别是当A是有效的随机在某种意义上。我们证明了如果A是1-随机的，B是可计算的，那么B是K-平凡的，这意味着如果A实际上是弱2-随机的，那么B是可计算的。我们的主要工具是一种紧致性定理的锥避免描述，这也使我们能够证明相同的结果1-genericity弱2-随机性的地方。在另一个方向上，我们证明了如果A是图灵约化为0 '的1-随机集，则存在不可计算的c. e.集合A的每个粗描述都是可计算的，但不是所有的K-平凡集合都是某个1-随机集的每个粗描述都可计算的。我们研究了粗约化的一致和非一致概念。一个集合Y可以一致粗约化为X，如果存在一个图灵泛函Phi使得如果D是X的粗描述，那么Phi^D是Y的粗描述。一个集合B可以非一致粗约化为A，如果A的每一个粗描述都计算B的一个粗描述。我们表明，一定的自然嵌入到粗糙度（均匀和非均匀）的图灵度是不满射。我们还表明，如果两个集是相互弱3-随机，那么他们的粗度形成一个最小的对，在均匀和非均匀的情况下，但这并不是真的每一对相对2-随机集，至少在非均匀粗度。

多项式时间置换下资源有界随机性概念的封闭性

Closure of resource-bounded randomness notions under polynomial time permutations

一个无限位序列称为递归随机的，如果没有可计算的策略投注沿着序列有无限的资本。众所周知，递归随机性的性质在可计算置换下是封闭的。我们调查类似的语句定义的投注策略，可计算的资源范围内的随机性概念。假设S是一个多项式时间可计算的置换的字符串集合在一元字母表（标识为N）。如果S的逆不是多项式有界的，则很容易构造多项式时间随机比特序列Z，使得ZoS不是多项式时间随机的。因此，我们应该只考虑满足逆是多项式有界的额外条件的置换S。现在，封闭依赖于复杂性理论中的附加假设。我们的第一个结果表明，如果BPP包含一个超多项式确定性时间类，那么多项式时间随机性不被某些置换S保持，使得事实上S及其逆都在P中。我们的第二个结果表明，多项式空间随机性被具有多项式有界逆的多项式时间置换保持，所以如果P = PSPACE，那么多项式时间随机性被保持。

Uniform distribution和算法随机性

Uniform distribution and algorithmic randomness

一个开创性的定理由于外尔国家，如果（a_n）是任何序列的不同整数，然后，几乎所有的实数x，序列（a_n x）是均匀分布模1。特别是，对于单位区间中的几乎每个x，序列（a_n x）对于每个不同整数的可计算序列（a_n）都是模一均匀分布的。把这样的x称为“UD random”。这里证明了每个Schnorr随机实都是UD随机的，但也有Kurtz随机实不是UD随机的。另一方面，外尔定理相对于一个特定的有效闭零集仍然成立，所以有UD随机实不是库尔兹随机。

有效闭集的极小界与成员

Minimal bounds and members of effectively closed sets

本文通过构造一个无极小覆盖成员的非空特殊 $Π^0_1$ 类，证明了极小覆盖的度不能作为 $Π^0_1$ 类的基。

算法随机对象类的相互作用

The interplay of classes of algorithmically random objects

我们研究算法随机闭子集的$2^ω$，算法随机连续函数从$2^ω$到$2^ω$，和算法随机Borel概率测度$2^ω$，特别是这三类对象之间的相互作用。我们的主要工具是保持随机性和它的逆，即无随机性无希洛原则，这两个原则一起说，给定有效紧概率空间和有效波兰空间之间的几乎处处定义的可计算映射，一个实数对于前推测度是马丁-洛夫随机的当且仅当它的原像对于定义域上的测度是随机的。这些工具使我们能够证明新的事实，其中一些回答了以前的开放问题，并更简单地重新证明了一些已知的结果。我们的主要结果如下。首先，我们回答一个开放的问题Barmapalias，布罗德黑德，岑策尔，Remmel，韦伯表明，$\mathcal{X}\subseteq2^ω$是一个随机闭集当且仅当它是一组零的随机连续函数的$2^ω$。作为推论，我们得到了$2^ω$上随机连续函数集在复合下不闭的结果.其次，我们在$2^ω$上的测度空间上构造了一个可计算测度$Q$，使得$\mathcal{X}\subseteq2^ω$是随机闭集当且仅当$\mathcal{X}$是$Q$ -随机测度的支集。我们还建立了随机闭集和卡尔弗在以前的工作中研究的随机措施之间的对应关系。最后，我们研究了随机连续函数的值域，证明了随机连续函数的值域的勒贝格测度总是包含在$(0,1)$中。

图极限（Graphons）与结构极限（Theons）中的弱随机性

Weak randomness in graphons and theons

本文刻画了强持久遗传图族为替换封闭图族，并完全分类了满足弱随机 Erdős--Hajnal 性质的替换封闭图族，即具有少量素图的图族，且将结果推广到有限关系结构。

Schnorr随机性与有效贝叶斯一致性及不一致性

Schnorr Randomness and Effective Bayesian Consistency and Inconsistency

该研究从可计算概率与算法随机性视角，结合Schnorr随机性，解决了Diaconis和Freedman关于贝叶斯规则一致性参数的问题，强化了Martin-Löf随机性相关结果。

Cantor空间有效闭集上的可数链与无穷联

Countable chains and infinite joins in effectively closed sets of Cantor space

证明了存在可数的非空的特殊$Π^0_1$类$\{\mathcal{P}_i\}_{i\inω}$的无穷序列，使得任何$\mathcal{P}_i$的元素的无穷并集都不能计算其停机集.然后，我们给出了一个广义形式的下锥和上锥避免无限工会。也就是说，我们表明，对于任何特殊的$Π^0_1$类$\mathcal{P}$和任何可数序列的集合在$\mathcal{P}$，$\mathcal{P}$有一个成员是不可计算的无限联盟的元素的序列。我们还证明了上锥对应，即对于任何非递归集$X$，每个非空的$Π^0_1$类包含一个可数序列的成员，其连接不计算$X$。最后证明了存在一个度谱是可数无限严格链的$Π^0_1$类.

The intersection of algorithmically random closed sets and effective dimension

In this article, we study several aspects of the intersections of algorithmically random closed sets. First, we answer a question of Cenzer and Weber, showing that the operation of intersecting relatively random closed sets (with respect to certain underlying measures induced by Bernoulli measures on the space of codes of closed sets), which preserves randomness, can be inverted: a random closed set of the appropriate type can be obtained as the intersection of two relatively random closed sets. We then extend the Cenzer/Weber analysis to the intersection of multiple random closed sets, identi…

关于可计算域嵌入与差闭域

On computable field embeddings and difference closed fields

我们研究了可计算域的可计算自同构何时可以有效地扩展为它的（可计算）代数闭包的可计算自同构。然后，我们应用我们的结果和技术来研究有效的嵌入可计算差分字段到可计算差分闭字段。

关于Horowitz和Shelah的Borel极大最终差族

On Horowitz and Shelah's Borel maximal eventually different family

我们证明存在一个封闭的（实际上是有效封闭的，即，$Π^0_1$）最终不同的家庭（在ZF或更少的工作）。

实数上的抗碰撞哈希洗牌

Collision-resistant hash-shuffles on the reals

本文构造了一个实数上的抗碰撞单向实函数，在保持随机性且无有效概率逆的同时，确保碰撞概率为零且每个实数具有不可数逆像。

路径不可压缩树的增长与不可约性

Growth and irreducibility in path-incompressible trees

本文研究了路径不可压缩树的有效随机性保持变换，证明了部分具有无穷路径的树无法通过可计算预言机使用计算完美路径随机树，稀疏完美路径不可压缩树几乎必然可被有效稠密化，并刻画了路径随机树的分支密度。

极大最终不同族的Compactness

Compactness of maximal eventually different families

证明了在$\prod_n F(n)$（$F\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\cup\{\mathbb{N}\}$）形式的空间中存在一个有效闭的极大最终差分函数族，并给出了当存在一个有效紧的极大最终差分函数族时的一个精确判据.

$Π^0_1$类的随机成员

The random members of a $Π^0_1$ class

我们研究了给定$Π^0_1$类$\mathcal{P}$中元素的随机性的几个概念。$2^ω$的这种有效闭合子集$\mathcal{P}$可以被视为通过$\mathcal{P}$的可扩展节点的树$T_{\mathcal{P}}$的无限路径的集合，即，扩展到$\mathcal{P}$的成员的那些有限字符串，因此定义$\mathcal{P}$的随机成员的一种方法是使用足够随机的oracle来随机地产生通过$T_{\mathcal{P}}$的路径用于通知。此外，$\mathcal{P}$的元素的随机性的这个概念可以由从$2^ω$到$\mathcal{P}$的映射来导出，该映射相对于$T_{\mathcal{P}}$是可计算的，并且该概念甚至具有根据柯尔莫哥洛夫复杂度的表征。另一种方法是通过对$\mathcal{P}$上的勒贝格测度进行条件化来定义$\mathcal{P}$上的相对测度，如果$\mathcal{P}$具有勒贝格测度0，则这变得有趣。最后，人们可以根据$T_{\mathcal{P}}$水平上的支化量来定义$\mathcal{P}$成员的不可压缩性概念。我们探讨了一些概念的同质性$Π^0_1$类，灵感来自van Lambalgen的工作。一个关键的发现是，在一个特定的类足够同质的$Π^0_1$类$\mathcal{P}$，这些方法都是一致的。最后讨论了正测度的$Π^0_1$类的随…

限制复杂性重新审视[再一次]

Limit complexities revisited [once more]

这篇文章的主要目的是把一些已知的结果在一个共同的角度，并简化其证明。我们开始一个简单的证明结果Vereshchagin说，$\limsup_n C(x|n)$等于$C^{0'}(x)$。然后，我们用同样的论证证明了前缀复杂度、二叉树上的先验概率的类似结果，证明了关于有效开集的极限的Conventional定理，并改进了Muchnik关于极限频率的结果。作为副产品，我们得到了Miller证明的2-随机性的一个判据：序列$X$是2-随机的当且仅当存在$c$使得$X$的任意前缀$x$是某个串$y$的前缀使得$C(y)\ge |y|-c$ . (In 20世纪60年代，Kolmogorov提出了这个属性，作为可能的随机性定义之一。我们还得到了Miller和Nies提出的另一个2-随机性准则：$X$是2-随机的当且仅当对某些$c$和$X$的无穷多个前缀$x$有$C(x)\ge |x|-c$.这是我们的旧论文的修改版本，其中包含了一个较弱（和繁琐）的版本Conventional '结果，证明使用了低基定理（在相当奇怪的方式）。完整的版本是作为一个猜想在那里制定的。这个猜想后来被康诺利证明了。Bruno Bauwens（个人通信）指出，证明也可以通过简单修改我们原来的论点来获得，我们在他的许可下复制Bauwens的论点。

具有和不具有可计算点的可计算闭欧氏子集

Computable Closed Euclidean Subsets with and without Computable Points

空集当然不包含可计算点。另一方面，由于Zaslavskii，Tseitin，Kreisel和Lacombe的令人惊讶的结果断言存在非空的co-r. e。闭集缺乏可计算点：集是'大'的意义上积极勒贝格措施。我们观察到，一定的大小实际上是必要的：每一个非空的co-r. e。不含可计算点的闭实集具有连续势。这导致我们调查的各种类别的可计算的真正的子集是否一定包含一个（不一定有效地找到）可计算的点。