On the close interaction between algorithmic randomness and constructive/computable measure theory
这是一个建设性的和可计算的测度论的调查，重点是与算法的随机性的密切联系。我们给一个简短的历史建设性的测度论从布劳威尔到现在，强调如何Schnorr随机性是随机性的概念隐含在工作的布劳威尔，主教，Demuth，和其他人。我们调查了一些最近的结果表明，经典的几乎处处收敛定理可以用来描述许多常见的随机性概念，包括Schnorr随机性，可计算随机性，和马丁-洛夫随机性。最后，我们将更详细地介绍可计算测度论，展示所有主要方法基本上是等价的（即使定义可能有很大差异）。
2019-03-16 cs.LO math.LO
Lowness, randomness, and computable analysis
分析概念有助于我们通过算法测试来理解实数的随机性。它们也影响随机性和低级概念之间的相互作用。我们提供了一个调查，写在罗德唐尼的60岁生日之际。
2016-07-24 math.CA math.LO
Effective randomness, strong reductions and Demuth's theorem
我们研究Demuth定理的推广，该定理指出，在tt-约化下的Martin-Löf随机实数的图像是可计算的或图灵等价于Martin-Löf随机实数。我们表明，Demuth定理适用于Schnorr随机性和可计算的随机性（回答富兰克林的问题），但它不能加强取代图灵等价的声明中的定理与WTT-等价。我们还提供了一些额外的结果图灵和TT度的实数是随机的一些可计算的措施。
2011-10-26 math.LO
Probabilistic vs deterministic gamblers
当所有确定性赌徒都失败时，概率性赌徒能任意致富吗？我们在算法随机性的背景下研究这个问题，引入了一个新的概念--几乎处处可计算随机性。二进制序列$X$是a.e.\可计算随机的，如果不存在概率可计算策略，该概率可计算策略是完全的并且在$X$上成功，用于预言机的正度量。利用烟花技术，我们构造了一个序列，它是部分可计算随机的，但不是a.e.可计算随机。我们还证明了a.e.之间的分离。可计算随机性和部分可计算随机性，这恰好发生在均匀几乎处处占优势的图灵度中。
2021-12-08 math.LO
Randomness for computable measures and initial segment complexity
我们研究了序列初始段的Kolmogorov复杂性的可能增长率，这些序列相对于$2^ω$上的一些可计算测度是随机的，即所谓的适当序列。我们的主要结果如下：（1）我们证明了真序列$X$的初始段复杂度由可计算函数下界（即$X$是复的）当且仅当$X$关于某个可计算的连续测度是随机的. (2)我们证明了一个统一的版本，以前的结果不成立：有一个家庭的复杂的序列是随机的，相对于一个单一的可计算的措施，使每一个可计算的，连续的措施$μ$，在这个家庭中的一些序列不能是随机的$μ$。(3)我们证明了存在初始段复杂度增长非常缓慢的真序列，即存在一个真序列的初始段复杂度是无限次低于每个可计算函数，甚至存在一个真序列的初始段复杂度是由所有可计算函数决定的. (4)我们证明了各种事实的图灵度等序列，并表明它们是有用的研究某些类的病理措施$2^ω$，即小型措施和平凡的措施。
2016-11-08 math.LO
Closure of resource-bounded randomness notions under polynomial time permutations
一个无限位序列称为递归随机的，如果没有可计算的策略投注沿着序列有无限的资本。众所周知，递归随机性的性质在可计算置换下是封闭的。我们调查类似的语句定义的投注策略，可计算的资源范围内的随机性概念。假设S是一个多项式时间可计算的置换的字符串集合在一元字母表（标识为N）。如果S的逆不是多项式有界的，则很容易构造多项式时间随机比特序列Z，使得ZoS不是多项式时间随机的。因此，我们应该只考虑满足逆是多项式有界的额外条件的置换S。现在，封闭依赖于复杂性理论中的附加假设。我们的第一个结果表明，如果BPP包含一个超多项式确定性时间类，那么多项式时间随机性不被某些置换S保持，使得事实上S及其逆都在P中。我们的第二个结果表明，多项式空间随机性被具有多项式有界逆的多项式时间置换保持，所以如果P = PSPACE，那么多项式时间随机性被保持。
2017-09-26 cs.CC math.LO
Characterizing the strongly jump-traceable sets via randomness
我们证明了如果一个集合$A$是从每个超低1-随机集可计算的，那么$A$是强跳可追踪的。这个定理表明，可计算可列（c.e.）强跳迹集就是c.e.可从每个超低1-随机集计算的集。我们还证明了类似的结果supernatant：一个c.e.\集合是强跳迹的当且仅当它是从每个超高1-随机集可计算的。最后，我们证明了对于每个具有极限条件的费用函数$c$，存在一个1-随机$Δ^0_2$集$Y$，使得每个c.e.\设置$A \le_T Y$服从$c$。为此，我们将费用函数强度和随机性强度概念联系起来。这一结果给出了费用函数服从性与从$Δ^0_2$ 1-随机集可计算性之间的完全对应。
2011-09-30 math.LO
Schnorr randomness for noncomputable measures
本文探讨了一种新的定义的Schnorr随机性的不可计算的措施。我们说$x$是一致Schnorr $μ$ -随机的，如果$t(μ,x)<\infty$对于所有下半可计算函数$t(μ,x)$使得$μ\mapsto\int t(μ,x)\,dμ(x)$是可计算的。我们证明了一些定理，证明这是正确的定义，享有许多相同的性质，马丁-洛夫随机不可计算的措施。尽管如此，我们的一些证明与马丁-勒夫的情况有很大的不同，需要从可计算分析中获得新的想法。
2017-08-04 math.LO
Computable randomness is about more than probabilities
我们引入了一个概念，可计算的随机性无穷序列，概括了经典的版本在两个重要的方面。首先，我们对可计算随机性的定义与不精确的概率模型有关，在这个意义上，我们考虑的是较低的期望（或概率集），而不是经典的“精确”概率。其次，我们考虑的是元素在有限样本空间取值的序列，而不是二元序列。有趣的是，我们发现每个序列相对于至少一个较低的期望是可计算随机的，并且信息量更大的较低期望具有更少的可计算随机序列。这就引出了一个有趣的问题：相对于一个唯一的、信息量最大的较低期望，每个序列是否都是可计算随机的？我们对这个问题进行了一些详细的研究，并提供了部分答案。
2020-09-22 math.LO math.PR
Algorithmic Randomness and Capacity of Closed Sets
我们研究了闭集空间的测度、容量和算法随机性之间的关系。对于任何可计算测度m，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族K的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了测度m的条件，刻画了m-随机闭集的容量等于零的情况。这包括经典概率论中的新结果以及算法随机性的结果。对于某些可计算的措施，我们构造有效的封闭集的正容量和勒贝格措施零。我们证明了对于可计算测度，实q是上半可计算的当且仅当存在一个具有容量q的有效闭集。
2011-09-22 cs.LO math.LO
Rank and randomness
我们证明了对于每个可计算序数$α>0$，在每个马丁-洛夫随机$Δ^0_2$度中，都有可能找到Cantor-Bendixson秩$α$的序列$R$，同时确保归纳证明$R$秩的序列对于单个可数支持的可计算测度都是马丁-洛夫随机的。这是对Downey、Wu和Yang最近的一个结果的随机度的加强，可以理解为它的随机版本。
2019-10-09 math.LO
Trivial measures are not so trivial
虽然关于各种非均匀可计算测度的算法随机性得到了很好的研究，但很少关注关于可计算\emph{trivial}测度的算法随机性，其中如果$μ$的支持由可数序列集合组成，则$2^ω$上的测度$μ$是平凡的。在这篇文章中，它表明，有更多的结构，平凡的可计算措施比以前怀疑。
2015-03-21 math.LO
Randomness and Non-ergodic Systems
我们的特点，满足Birkhoff的遍历定理在一定的可计算性条件下的算法随机性。首先，我们使用切割和堆叠的方法证明，如果康托空间的元素x不是马丁-洛夫随机的，则存在可计算的保测变换和可计算集合，证明x对于遍历定理来说不是典型的，这给了我们V 'yugin定理的逆。进一步证明了若x是弱2-随机的，则它对所有可计算的保测变换和所有下半可计算函数都满足遍历定理。
2012-06-12 math.DS math.LO
How much randomness is needed for statistics?
在算法随机性中，当人们想要定义关于某个不可计算度量$λ$的随机性概念时，需要做出选择。一种方法是允许随机性测试将度量$λ$作为oracle访问（我们称之为“经典方法”）。另一种方法是相反的，其中随机性测试是完全有效的，并且不能访问$λ$中包含的信息（我们称这种方法为“希波克拉底”）。虽然希波克拉底的方法通常更具限制性，但在某些情况下，两者是一致的。第一作者在2010年指出，在随机性的概念被认为是马丁-洛夫随机性和测量$λ$是伯努利测量的特殊情况下，经典随机性和希波克拉底随机性重合。在本文中，我们证明了这一结果不再适用于其他概念的随机性，即可计算的随机性和随机性。
2014-08-12 math.LO
Logic Blog 2012
2012年的逻辑博客主要关注以下内容：随机性和可计算分析/遍历论;系统化算法随机性概念;可追溯性;更高的随机性;从可计算性理论和代数中校准等价关系的复杂性。
2013-02-15 math.LO
Randomness and Differentiability
我们通过有效函数的可微性来描述一些主要的算法随机性概念。(1)作为主要结果，我们证明了[0，1]中的实数z是可计算随机的当且仅当每个非减可计算函数[0，1]->R在z处可微. (2)证明了[0，1]中的实数z是弱2-随机的当且仅当每个几乎处处可微的可计算函数[0，1]->R在z处可微. (3)重铸经典语言的结果可以追溯到1975年的建构主义者Demuth，我们表明，真正的z是ML随机的当且仅当每个可计算的有界变差函数是可微的z，同样的绝对连续的功能。我们还使用我们的分析方法来表明，可计算的随机性的真正的基础不变，并得出其他的保存结果的随机性概念。
2014-04-07 cs.LO math.LO
Continuous Randomness via Transformations of 2-Random Sequences
本研究通过分析2-随机序列的多种变换，证明了相关序列及其Turing跳、经多种有效算子作用后的结果均关于∅'-可计算连续测度满足Martin-Löf随机性，给出了非正当连续随机序列的实例。
2024-03-06 math.LO
Algorithmic randomness in harmonic analysis
Hofstra University（霍夫斯特拉大学）；University of Dallas（达拉斯大学）；Sam Houston State University（山姆休斯顿州立大学）
本文研究了调和分析中算法随机性与函数收敛性的关系，证明了傅里叶级数和Poisson积分的径向极限与Martin-Löf和Schnorr随机实数的联系。
2026-01-06 cs.LO math.LO
Independence, Relative Randomness, and PA Degrees
我们研究的实数对是相互马丁-勒夫随机相对于一个共同的，不一定是可计算的概率测度。我们表明，范Lambalgen定理的广义版本持有不可计算的概率措施，太。我们研究，对于一个给定的真正的$A$，$A$的\emph{independence spectrum}，所有$B$的集合，使存在一个概率测度$μ$，使$μ\{A,B\} = 0$和$(A,B)$是$μ\timesμ$ -随机的。我们证明了如果$A$是r.e.，则没有$Δ^0_2$集合在$A$的独立谱中。我们将这一事实应用于PA学位。特别地，我们证明了如果$A$是r.e.，并且$P$具有PA度，使得$P \not\geq_{T} A$，然后是$A \oplus P \geq_{T} 0'$。
2012-07-11 math.LO
Algorithmic Randomness For Amenable Groups
我们发展了空间$A^G$的算法随机性理论，其中$A$是有限字母表，$G$是可计算顺从群。在这种情况下，我们给出了Shannon-McMillan-Breiman定理的一个有效版本。推广了Simpson等价拓扑熵和豪斯多夫维数的一个结果.这个证明利用工作的奥恩斯坦和韦斯，我们也提出。
2018-03-21 math.LO
Effective Capacity and Randomness of Closed Sets
本文研究了{0，1}* 的非空闭子集空间的测度与容度之间的关系。对于任何可计算测度，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了随机闭集的容量等于零或大于0的条件。我们构造了一个有效的封闭集，具有正容量和勒贝格测度为零。
2010-06-02 cs.IT cs.LO math.IT
Algorithmic randomness for Doob's martingale convergence theorem in continuous time
在算法随机性的背景下，研究了布朗运动上可计算连续时间鞅的Doob鞅收敛定理。给出了定理成立的样本点类的一个刻画。这些点被称为Doob随机点。证明了一个点是Doob随机的，如果它的尾部在一定意义下是可计算随机的。此外，Doob随机性严格弱于可计算随机性，与Schnorr随机性不可比拟。
2014-12-17 cs.LO math.LO math.PR
Layerwise computability and image randomness
数学随机性理论始于一个单独的随机对象的概念。为了合理，这个概念应该有一些自然的属性;特别是，一个对象应该是随机的关于图像分布，当且仅当它有一个随机的原像。这一结果（对于可计算分布和映射，以及Martin-Löf随机性）是已知的很长一段时间（民间传说）;在本文中，我们证明了它的自然推广分层可计算映射，并讨论相关的定量结果。
2016-07-14 cs.IT math.IT math.LO
Algorithmic randomness and the weak merging of computable probability measures
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文通过Kullback-Leibler散度定义算法随机性，探讨可计算概率测度的弱合并特性。
2026-03-07 cs.IT math.IT math.LO
Coarse Reducibility and Algorithmic Randomness
Ω的子集A的粗略描述是Ω的子集D，使得A和D的对称差具有渐近密度0。我们研究在何种程度上可以有效地恢复非计算信息从所有粗糙的描述一个给定的集合A，特别是当A是有效的随机在某种意义上。我们证明了如果A是1-随机的，B是可计算的，那么B是K-平凡的，这意味着如果A实际上是弱2-随机的，那么B是可计算的。我们的主要工具是一种紧致性定理的锥避免描述，这也使我们能够证明相同的结果1-genericity弱2-随机性的地方。在另一个方向上，我们证明了如果A是图灵约化为0 '的1-随机集，则存在不可计算的c. e.集合A的每个粗描述都是可计算的，但不是所有的K-平凡集合都是某个1-随机集的每个粗描述都可计算的。我们研究了粗约化的一致和非一致概念。一个集合Y可以一致粗约化为X，如果存在一个图灵泛函Phi使得如果D是X的粗描述，那么Phi^D是Y的粗描述。一个集合B可以非一致粗约化为A，如果A的每一个粗描述都计算B的一个粗描述。我们表明，一定的自然嵌入到粗糙度（均匀和非均匀）的图灵度是不满射。我们还表明，如果两个集是相互弱3-随机，那么他们的粗度形成一个最小的对，在均匀和非均匀的情况下，但这并不是真的每一对相对2-随机集，至少在非均匀粗度。
2015-05-07 math.LO
Optimal bounds for single-source Kolmogorov extractors
字符串$σ$的随机率（或维数）是比率$C(σ)/|σ|$，其中$C(σ)$是$σ$的柯尔莫哥洛夫复杂度。虽然众所周知，单个可计算变换无法增加所有序列的随机率，但Fortnow、Hitchcock、Pavan、Vinodchandran和Wang表明，对于任何$0<α<β<1$，存在有限数量的可计算变换，使得任何速率至少为$α$的字符串都可以通过其中一种变换变成速率至少为$β$的字符串。然而，他们的证明只给出了变换次数和随机性增加率之间的对应关系的非常宽松的界限。通过将这个问题转化为（超）图上的组合数学，我们提供了一个紧界，即：使用$k$变换，可以得到从速率$α$到任何速率$β< kα/(1+(k-1)α)$的增加，这是最优的。
2019-11-24 math.LO
Algorithmic tests and randomness with respect to a class of measures
本文考虑不同随机性概念的定量版本：算法测试测量非随机性的量（并且对于非随机序列是无限的）。我们从康托空间（和马丁-洛夫随机性）上的可计算测度开始，然后考虑一致随机性（测试是序列和测度的函数，不一定是可计算的）和任意构造性度量空间。我们还考虑测试类的措施，特别是伯努利措施康托空间，并显示它们是如何相关的统一测试和原始马丁-洛夫定义。我们表明，Hyppocratic（盲，预言）的随机性是等效的均匀随机性的措施，在一个有效的正交有效紧类。我们还考虑了稀疏集和在线随机性的概念，并展示了它们如何在我们的框架中表达。
2011-05-26 cs.IT math.IT math.LO
Equivalent characterizations of partial randomness for a recursively enumerable real
一个实数α称为递归可逼近的，如果存在一个可计算的、递增的有理数序列收敛于α。一个递归可重算实数α的随机性可以用以下几个概念来描述：程序大小复杂度、马丁-勒夫检验、蔡廷的Ω数、α的控制性和Ω相似性、可计算的、递增的有理数序列收敛到α的普适性，以及普适概率。在本文中，我们推广了这些随机性的部分随机性的概念，参数化的概念以上的每一个实数T \in（0，1]。因此，我们提出了几个等价的部分随机性的递归可列实数的特征。
2008-05-17 cs.CC cs.IT math.IT
Algorithmic Randomness, Effective Disintegrations, and Rates of Convergence to the Truth
本文利用有效概率论方法，在可计算Polish空间上引入有效分解理论，刻画了条件期望收敛到真值的概率1集合与收敛速率，并证明了基于算法随机点的收敛性与可计算收敛速率的存在性，为Bayes概率论基础提供了统一的新框架。
2024-06-01 math.LO math.PR
Algorithmic randomness, reverse mathematics, and the dominated convergence theorem
我们从算法随机性的角度分析了L^1（2^omega）的可计算元素序列的逐点收敛性。本文考虑了控制收敛定理的两种表示方法，并证明了在RCA_0上，每一种表示方法都等价于Cantor空间的每个G_delta正测度子集都有一个元素的断言.这最后一个陈述，反过来，相当于弱弱柯尼希引理相对于任何集合的图灵跳跃。它也等价于断言相对于任何给定集合存在2-随机数的语句与Sigma_2集合原理的合取。
2012-05-09 math.LO
Solovay functions and their applications in algorithmic randomness
经典版本的柯尔莫哥洛夫复杂性是不可计算的。然而，在1975年Solovay表明，有可计算的功能$f > K+O(1)$，使无限多字符串$σ$，$f(σ)=K(σ)+O(1)$，其中$K$表示前缀自由柯尔莫哥洛夫复杂性（而$C$表示平原柯尔莫哥洛夫复杂性）。这样的$f$现在被称为Solovay函数。证明了用Solovay函数代替$K$可以得到关于$K$的许多经典结果.例如，函数$g$的以下三个属性对于函数$K$都成立。(i)项$\sum_n 2^{-g(n)}$的和是一个马丁-勒夫随机实数。(ii)序列A是Martin-Löf随机的当且仅当$C(A \upharpoonright n) > n -g(n)-O(1)$。(iii)序列A是K-平凡的当且仅当$K(A \upharpoonright n) < g(n) + O(1)$。我们表明，当固定这三个属性中的任何一个时，在所有可计算函数中，Solovay函数都具有这一属性。此外，这种特征相应地扩展到更大的右c. e.类。功能协调发展的
2016-03-28 math.LO
Schnorr Randomness and Effective Bayesian Consistency and Inconsistency
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究从可计算概率与算法随机性视角，结合Schnorr随机性，解决了Diaconis和Freedman关于贝叶斯规则一致性参数的问题，强化了Martin-Löf随机性相关结果。
2026-10-19 math.LO math.ST stat.TH
Effective Aspects of Bernoulli Randomness
本文研究了Bernoulli随机序列，即，序列是马丁-洛夫随机相对于伯努利措施$μ_p$为一些$p\in[0,1]$，其中我们允许的可能性，$p$是不可计算的。我们特别关注的情况下，基本的伯努利参数$p$是适当的（即马丁-勒夫随机相对于一些可计算的措施）。我们证明了对于每一个伯努利参数$p$，如果存在一个序列，这是正确的和马丁-洛夫随机关于$μ_p$，那么$p$本身必须是正确的，并探讨这一结果的进一步后果。我们还研究了伯努利随机序列的图灵度，例如，包含伯努利随机序列的图灵度与包含马丁-洛夫随机序列的图灵度不一致。最后，我们考虑了几种可能的方法来表征盲伯努利随机性，其中相应的马丁-洛夫测试没有访问伯努利参数$p$，并表明这些无法表征盲伯努利随机性。
2019-03-22 math.LO
Randomness and uniform distribution modulo one
我们从序列的均匀分布的角度阐述了实数的马丁-洛夫和施诺尔随机性的概念。本文给出了一个实数用序列的经典均匀分布表示为Schnorr随机数的必要条件。这扩展了Avigad证明的结果序列的线性函数与整数系数更广泛的经典类的Koksma序列的功能。并且，通过要求单位区间内的每个可计算开集（分别为具有可计算测度的可计算开集）的等分布，我们给出了Martin-Löf（分别为Schnorr）随机性的一个充分条件.
2021-11-27 math.LO math.NT
Von Neumann Entropy and Quantum Algorithmic Randomness
本文研究量子算法随机性与冯·诺依曼熵的关系，证明可计算量子Schnorr随机态的熵密度极限为1，定义量子s-测试并建立熵密度与覆盖s的关系，推导熵密度下界与强量子随机性的关联及量子Schnorr随机性的一致可积等价条件。
2024-12-24 cs.IT math.IT math.LO
Randomness and initial segment complexity for probability measures
研究了Cantor空间上概率测度的算法随机性。我们称无限位序列空间上的测度$μ$是ML绝对连续的，如果非ML随机位序列关于~ $μ$形成一个零集.我们认为这是测度的弱随机性概念。我们从示例开始，并提供与Solovay测试相关的鲁棒性属性。我们的主要工作连接我们的弱随机性的概念，以增长的初始段的复杂性措施~ $μ$，后者被定义为一个$μ$平均超过复杂的字符串的相同长度。我们表明，一个最大的增长意味着我们的弱随机性，但也有两个影响的莱文-Schnorr定理失败。讨论了测度的$C$ -平凡性和$K$ -平凡性，并将这两个概念联系起来.在这里，平凡性意味着初始段复杂性的增长尽可能慢。我们表明，充分马丁-洛夫随机性的措施意味着ML绝对连续性;相反的失败，因为只有后者的属性是兼容的原子。在最后一节中，我们考虑弱随机性相对于一般遍历可计算的措施。我们寻求适当的有效版本的Shannon-McMillan-Breiman定理和Brudno定理的位序列被替换的措施。最后，我们提出几个开放性问题。
2020-10-16 math.LO
Kolmogorov Complexity and Solovay Functions
Solovay证明了无前缀Kolmogorov复杂度函数K存在一个可计算的上界f，使得对于无穷多个x，f（x）= K（x）。本文考虑一类可计算函数f，使得对所有x，K（x）≤ f（x）+O（1），对无穷多个x，f（x）≤ K（x）+ O（1），我们称之为Solovay函数.我们发现，Solovay函数提出有趣的连接与随机性的概念，如马丁-洛夫随机性和K-平凡。
2009-02-06 cs.CC cs.IT math.IT
Computability in infinite Galois theory and algorithmically random algebraic fields
本文在无限伽罗瓦理论中发展可计算性工具，定义代数域的算法随机性，证明存在连续统多个随机代数扩张及非随机的不可计算代数域，并部分刻画随机代数域集合的指标集。
2024-07-03 math.LO math.NT
Effective Martingales with Restricted Wagers
可计算随机性的经典模型考虑取实数或有理值的鞅。Bienvenu et al.（2012）和Teutsch（2014）最近的工作表明，当鞅取整数值时，经典模型的基本特征会发生变化。我们比较的预测能力的鞅的赌注属于三个不同的子集的有理数：（a）所有的有理数，（b）有理数不包括一个穿孔的邻域为0，（c）整数。我们还考虑了三个不同的成功标准：（i）积累无限数量的货币，（ii）消费无限数量的货币，（iii）使积累的资本振荡。（a）-（c）和（i）-（iii）的九个组合定义了九个可计算随机性的概念。我们提供了一个完整的表征这些概念之间的关系，并表明它们形成五个线性有序类。我们的结果解决了Bienvenu et al.（2012），Teutsch（2014）和Chalcraft et al.（2012）提出的突出问题，并加强了现有的结果。
2015-04-15 cs.LO math.LO
