Lowness, randomness, and computable analysis
André Nies
分析概念有助于我们通过算法测试来理解实数的随机性。它们也影响随机性和低级概念之间的相互作用。我们提供了一个调查，写在罗德唐尼的60岁生日之际。
Analytic concepts contribute to our understanding of randomness of reals via algorithmic tests. They also influence the interplay between randomness and lowness notions. We provide a survey, written on the occasion of Rod Downey's 60th birthday.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lowness for isomorphism, countable ideals, and computable traceability
我们表明，每一个可数理想的程度是低同构包含在主理想的程度是低同构，通过调整一个确切的对建设。我们进一步表明，在无超免疫程度内，同构的低度完全独立于可计算可追溯性。
Lowness for Integer-Valued Randomness
一个实数称为整数值随机数，如果没有整数值鞅可以赢得任意多的资本下注反对它。一个实数是低整数值随机数，如果没有整数值鞅递归A可以成功的整数值随机实数。我们表明，低整数值的随机性与递归性相一致，是可计算的随机性的情况下。
Degrees of and lowness for isometric isomorphism
通过研究度量结构的等距同构的低性，为将可计算结构理论推广到度量结构领域做出了贡献。证明了度量空间的同构低度与等距同构低度和等距低度一致。我们还研究了某些限制的概念低的等距同构相对于固定的可计算的介绍，并在这种情况下，我们得到分类的程度低的等距同构相对于某些勒贝格空间的标准副本。
Randomness and lowness notions via open covers
算法随机性研究的一条主线是低度概念。给定一个随机性概念R，我们问哪些序列A相对于A使R保持不变（即，R^A = R）？这样的序列对于R来说是低的。这个问题延伸到一对随机性概念R和S，其中S更弱：对于哪一个A是S^A仍然弱于R？在过去的几年中，许多结果的特点是低随机性的序列，其低计算强度。一些结果也给出了低序列的测度论特征。例如，Kjos-Hanssen证明了对于Martin-L，A是低的随机性当且仅当每个A-c. e.测度小于1的开集可以用c.e.开测度集小于1。在本文中，我们给出了一系列结果，表明各种各样的低概念可以用类似的方式表达，即，通过某种类型的开集覆盖某种类型的开集的能力。这提供了一个统一的框架，澄清了随机性概念的低研究，并允许我们给出一些已知结果的简单证明。我们还使用这个框架来证明新的结果，包括表明类低（MLR;SR）和低（W2 R;SR）相吻合，回答了Nies的问题。其他的应用包括随机性概念的特征，一个广泛适用的解释，为什么随机性的低与测试的低是相同的，以及一个简单的证明，低（W2 R;S）=低（MLR;S），其中S是马丁-L的类可计算或Schnorr随机序列。最后一节使用可和函数和收敛测度机代替开覆盖给出了低度概念的刻画。最后，我们简单证明Nies的一个结果，即Low（MLR）= Low（MLR; CR）。
Taking the path computably travelled
我们定义一个实的$A$是低的路径在Baire空间（或康托空间），如果每个$Π^0_1$类有一个$A$ -可计算的元素有一个可计算的元素。我们证明了Baire空间中的路的低度与Cantor空间中的路的低度是等价的，而且这些概念也等价于同构的低度。
Lowness notions, measure and domination
我们表明，积极的措施支配意味着统一的几乎处处支配，这个证明转化为一个证明在子系统WWKL $_0$（但不是在RCA $_0$）的等价性的各种勒贝格测度正则性陈述介绍了Dobrinen和辛普森。这项工作还使我们能够证明，弱$2$ -随机性的低与马丁-勒夫随机性的低相同（Nies独立获得的结果）。使用相同的技术，我们证明了$\leq_{LR}$蕴涵$\leq_{LK}$，推广了马丁-洛夫随机性低意味着$K$低的事实。
Lowness for the class of Schnorr random reals
我们回答一个问题的Ambos-Spies和Kučera在肯定的。他们问，当一个实数对于Schnorr随机性来说很低时，它对于Schnorr检验来说是否已经很低了。
Continuous higher randomness
我们调查的作用，连续减少和连续相对化的背景下，更高的随机性。我们定义了一个更高的模拟图灵约化，并表明它与更高的随机性，例如相对于范-Lambalgen定理和米勒-余/莱文定理。我们研究了随机性连续相对化的低度，并证明了Martin-Löf随机性低度的不同特征的高级类似物的等价性。我们还利用高阶随机序列来计算高阶$K$ -平凡集。我们给出了更高的随机性概念之间的分离，特别是更高的弱2-随机性和$Π^1_1$ -随机性。为了做到这一点，我们调查类的函数可计算的Kleene的~ $O$的基础上强形式的上限引理。
Fixpoints and relative precompleteness
我们在数论的背景下研究相对预完全性，并将其与低度的概念联系起来。我们引入了数的整除性的概念，并用它来表明，对于可整除数类，低和相对预完全性与可计算性相一致。我们还研究了Skolem函数的复杂性所产生的Arslanov的完整性准则与参数。我们表明，适当整除的号码，这些Skolem功能具有最大可能的图灵度。特别是，这适用于部分可计算函数的标准编号和c.e.集.
Higher Kurtz randomness
一个实$x$是$Δ^1_1$ -Kurtz随机（$Π^1_1$-Kurtz随机），如果它不在闭空$Δ^1_1$集（$Π^1_1$集）中.证明了存在一个$Π^1_1$ -Kurtz随机超度锥.我们将$Δ^1_1$ -Kurtz随机性的低度表征为$Δ^1_1$主导和$Δ^1_1$半可追踪。
Computable randomness and betting for computable probability spaces
与马丁-勒夫随机性和施诺尔随机性不同，可计算随机性在康托空间之外还没有定义，除了一些特殊的情况。本文给出了这样一个定义（实际上是几个等价的定义），并进一步给出了从Cantor空间到任意可计算概率空间中抽象随机性的“逐位”定义的一般方法。同样的方法也适用于给可计算的概率空间的可计算和Schnorr随机性的机器表征，扩展了以前已知的结果。本文提出了一种新的随机性-自同态随机性-作者希望它能有助于解决Kolmogorov-Loveland随机性是否等价于Martin-Löf随机性的问题。最后一部分是对未来研究的展望。
Computable randomness and monotonicity
证明了$z\in\R^n$是可计算随机的当且仅当$\R^n$上的每个可计算单调函数在$z$上可微.
Van Lambalgen's Theorem for uniformly relative Schnorr and computable randomness
我们纠正宫部的证明范Lambalgen定理的真值表Schnorr随机性（我们将呼吁一致相对Schnorr随机性）。一个直接的推论是范兰伯根的Schnorr随机性定理的一个方向。在文献中声称这个推论（以及可计算随机性的类似结果）是“范·兰巴根定理证明的直接修改”。“事实并非如此，我们指出原因。我们还指出了一个错误宫部的证明范Lambalgen定理的真值表可约随机性（我们将呼吁一致相对可计算的随机性）。虽然我们不修复错误，我们证明了一个较弱的版本的范Lambalgen定理，其中每一半是可计算的随机一致相对于其他。
Strong Kurtz Randomness and Binary Expansions of Reordered Computable Numbers
本文研究左可计算数的一个子集，证明实数重排序可计算当且仅当它是左可计算且非强Kurtz随机，并刻画了强Kurtz随机性、二进制展开的免疫性质及有效维数。
Uniform van Lambalgen's theorem fails for computable randomness
证明了存在一个非可计算随机的位序列，它的奇位是可计算随机的，它的偶位相对于奇位是可计算随机的。这意味着范·兰巴根定理的一致变体在可计算随机性上失败了。(The已知范·兰巴尔根定理的另一个方向在这种情况下成立，并且已知对于非均匀变体失败。
On the close interaction between algorithmic randomness and constructive/computable measure theory
这是一个建设性的和可计算的测度论的调查，重点是与算法的随机性的密切联系。我们给一个简短的历史建设性的测度论从布劳威尔到现在，强调如何Schnorr随机性是随机性的概念隐含在工作的布劳威尔，主教，Demuth，和其他人。我们调查了一些最近的结果表明，经典的几乎处处收敛定理可以用来描述许多常见的随机性概念，包括Schnorr随机性，可计算随机性，和马丁-洛夫随机性。最后，我们将更详细地介绍可计算测度论，展示所有主要方法基本上是等价的（即使定义可能有很大差异）。
Randomness and differentiability in higher dimensions
本文给出了两个关于多元函数算法随机性和可微性的定理。首先，我们证明了Rademacher定理的一个有效形式：我们证明了可计算随机性蕴含着多元可计算Lipschitz函数的可微性。其次，我们证明了弱2-随机性等价于可计算a.e.的可微性。多元可微函数。
When does randomness come from randomness?
沈的一个结果说，如果$F\colon2^{\mathbb{N}}\rightarrow2^{\mathbb{N}}$是几乎处处可计算的，保测变换，并且$y\in2^{\mathbb{N}}$是Martin-Löf随机的，则存在Martin-Löf随机$x\in2^{\mathbb{N}}$使得$F(x)=y$。通过讨论Bienvenu和Porter的一个问题，我们证明了这个性质适用于可计算的随机性，但不适用于Schnorr随机性。这些结果，结合其他已知的结果，意味着马丁-洛夫随机集是$2^{\mathbb{N}}$的最大子集满足这个性质，也满足随机性保持：如果$F\colon2^{\mathbb{N}}\rightarrow2^{\mathbb{N}}$是几乎处处可计算的，测度保持映射，如果$x\in2^{\mathbb{N}}$是随机的，那么$F(x)$是随机的。
Effective randomness, strong reductions and Demuth's theorem
我们研究Demuth定理的推广，该定理指出，在tt-约化下的Martin-Löf随机实数的图像是可计算的或图灵等价于Martin-Löf随机实数。我们表明，Demuth定理适用于Schnorr随机性和可计算的随机性（回答富兰克林的问题），但它不能加强取代图灵等价的声明中的定理与WTT-等价。我们还提供了一些额外的结果图灵和TT度的实数是随机的一些可计算的措施。
Computable randomness is about more than probabilities
我们引入了一个概念，可计算的随机性无穷序列，概括了经典的版本在两个重要的方面。首先，我们对可计算随机性的定义与不精确的概率模型有关，在这个意义上，我们考虑的是较低的期望（或概率集），而不是经典的“精确”概率。其次，我们考虑的是元素在有限样本空间取值的序列，而不是二元序列。有趣的是，我们发现每个序列相对于至少一个较低的期望是可计算随机的，并且信息量更大的较低期望具有更少的可计算随机序列。这就引出了一个有趣的问题：相对于一个唯一的、信息量最大的较低期望，每个序列是否都是可计算随机的？我们对这个问题进行了一些详细的研究，并提供了部分答案。
Probabilistic vs deterministic gamblers
当所有确定性赌徒都失败时，概率性赌徒能任意致富吗？我们在算法随机性的背景下研究这个问题，引入了一个新的概念--几乎处处可计算随机性。二进制序列$X$是a.e.\可计算随机的，如果不存在概率可计算策略，该概率可计算策略是完全的并且在$X$上成功，用于预言机的正度量。利用烟花技术，我们构造了一个序列，它是部分可计算随机的，但不是a.e.可计算随机。我们还证明了a.e.之间的分离。可计算随机性和部分可计算随机性，这恰好发生在均匀几乎处处占优势的图灵度中。
Algorithmic Randomness and Capacity of Closed Sets
我们研究了闭集空间的测度、容量和算法随机性之间的关系。对于任何可计算测度m，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族K的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了测度m的条件，刻画了m-随机闭集的容量等于零的情况。这包括经典概率论中的新结果以及算法随机性的结果。对于某些可计算的措施，我们构造有效的封闭集的正容量和勒贝格措施零。我们证明了对于可计算测度，实q是上半可计算的当且仅当存在一个具有容量q的有效闭集。
Randomness for computable measures and initial segment complexity
我们研究了序列初始段的Kolmogorov复杂性的可能增长率，这些序列相对于$2^ω$上的一些可计算测度是随机的，即所谓的适当序列。我们的主要结果如下：（1）我们证明了真序列$X$的初始段复杂度由可计算函数下界（即$X$是复的）当且仅当$X$关于某个可计算的连续测度是随机的. (2)我们证明了一个统一的版本，以前的结果不成立：有一个家庭的复杂的序列是随机的，相对于一个单一的可计算的措施，使每一个可计算的，连续的措施$μ$，在这个家庭中的一些序列不能是随机的$μ$。(3)我们证明了存在初始段复杂度增长非常缓慢的真序列，即存在一个真序列的初始段复杂度是无限次低于每个可计算函数，甚至存在一个真序列的初始段复杂度是由所有可计算函数决定的. (4)我们证明了各种事实的图灵度等序列，并表明它们是有用的研究某些类的病理措施$2^ω$，即小型措施和平凡的措施。
Characterizing the strongly jump-traceable sets via randomness
我们证明了如果一个集合$A$是从每个超低1-随机集可计算的，那么$A$是强跳可追踪的。这个定理表明，可计算可列（c.e.）强跳迹集就是c.e.可从每个超低1-随机集计算的集。我们还证明了类似的结果supernatant：一个c.e.\集合是强跳迹的当且仅当它是从每个超高1-随机集可计算的。最后，我们证明了对于每个具有极限条件的费用函数$c$，存在一个1-随机$Δ^0_2$集$Y$，使得每个c.e.\设置$A \le_T Y$服从$c$。为此，我们将费用函数强度和随机性强度概念联系起来。这一结果给出了费用函数服从性与从$Δ^0_2$ 1-随机集可计算性之间的完全对应。
Randomness and Non-ergodic Systems
我们的特点，满足Birkhoff的遍历定理在一定的可计算性条件下的算法随机性。首先，我们使用切割和堆叠的方法证明，如果康托空间的元素x不是马丁-洛夫随机的，则存在可计算的保测变换和可计算集合，证明x对于遍历定理来说不是典型的，这给了我们V 'yugin定理的逆。进一步证明了若x是弱2-随机的，则它对所有可计算的保测变换和所有下半可计算函数都满足遍历定理。
Schnorr randomness for noncomputable measures
本文探讨了一种新的定义的Schnorr随机性的不可计算的措施。我们说$x$是一致Schnorr $μ$ -随机的，如果$t(μ,x)<\infty$对于所有下半可计算函数$t(μ,x)$使得$μ\mapsto\int t(μ,x)\,dμ(x)$是可计算的。我们证明了一些定理，证明这是正确的定义，享有许多相同的性质，马丁-洛夫随机不可计算的措施。尽管如此，我们的一些证明与马丁-勒夫的情况有很大的不同，需要从可计算分析中获得新的想法。
Randomness and Differentiability
我们通过有效函数的可微性来描述一些主要的算法随机性概念。(1)作为主要结果，我们证明了[0，1]中的实数z是可计算随机的当且仅当每个非减可计算函数[0，1]->R在z处可微. (2)证明了[0，1]中的实数z是弱2-随机的当且仅当每个几乎处处可微的可计算函数[0，1]->R在z处可微. (3)重铸经典语言的结果可以追溯到1975年的建构主义者Demuth，我们表明，真正的z是ML随机的当且仅当每个可计算的有界变差函数是可微的z，同样的绝对连续的功能。我们还使用我们的分析方法来表明，可计算的随机性的真正的基础不变，并得出其他的保存结果的随机性概念。
Closure of resource-bounded randomness notions under polynomial time permutations
一个无限位序列称为递归随机的，如果没有可计算的策略投注沿着序列有无限的资本。众所周知，递归随机性的性质在可计算置换下是封闭的。我们调查类似的语句定义的投注策略，可计算的资源范围内的随机性概念。假设S是一个多项式时间可计算的置换的字符串集合在一元字母表（标识为N）。如果S的逆不是多项式有界的，则很容易构造多项式时间随机比特序列Z，使得ZoS不是多项式时间随机的。因此，我们应该只考虑满足逆是多项式有界的额外条件的置换S。现在，封闭依赖于复杂性理论中的附加假设。我们的第一个结果表明，如果BPP包含一个超多项式确定性时间类，那么多项式时间随机性不被某些置换S保持，使得事实上S及其逆都在P中。我们的第二个结果表明，多项式空间随机性被具有多项式有界逆的多项式时间置换保持，所以如果P = PSPACE，那么多项式时间随机性被保持。
Rank and randomness
我们证明了对于每个可计算序数$α>0$，在每个马丁-洛夫随机$Δ^0_2$度中，都有可能找到Cantor-Bendixson秩$α$的序列$R$，同时确保归纳证明$R$秩的序列对于单个可数支持的可计算测度都是马丁-洛夫随机的。这是对Downey、Wu和Yang最近的一个结果的随机度的加强，可以理解为它的随机版本。
Algorithmic randomness in harmonic analysis
本文研究了调和分析中算法随机性与函数收敛性的关系，证明了傅里叶级数和Poisson积分的径向极限与Martin-Löf和Schnorr随机实数的联系。
Trivial measures are not so trivial
虽然关于各种非均匀可计算测度的算法随机性得到了很好的研究，但很少关注关于可计算\emph{trivial}测度的算法随机性，其中如果$μ$的支持由可数序列集合组成，则$2^ω$上的测度$μ$是平凡的。在这篇文章中，它表明，有更多的结构，平凡的可计算措施比以前怀疑。
How much randomness is needed for statistics?
在算法随机性中，当人们想要定义关于某个不可计算度量$λ$的随机性概念时，需要做出选择。一种方法是允许随机性测试将度量$λ$作为oracle访问（我们称之为“经典方法”）。另一种方法是相反的，其中随机性测试是完全有效的，并且不能访问$λ$中包含的信息（我们称这种方法为“希波克拉底”）。虽然希波克拉底的方法通常更具限制性，但在某些情况下，两者是一致的。第一作者在2010年指出，在随机性的概念被认为是马丁-洛夫随机性和测量$λ$是伯努利测量的特殊情况下，经典随机性和希波克拉底随机性重合。在本文中，我们证明了这一结果不再适用于其他概念的随机性，即可计算的随机性和随机性。
Logic Blog 2012
2012年的逻辑博客主要关注以下内容：随机性和可计算分析/遍历论;系统化算法随机性概念;可追溯性;更高的随机性;从可计算性理论和代数中校准等价关系的复杂性。
Effective Capacity and Randomness of Closed Sets
本文研究了{0，1}* 的非空闭子集空间的测度与容度之间的关系。对于任何可计算测度，可计算容量T可以通过令T（Q）是与Q有非空交集的闭集族的测度来定义。我们证明了一个有效的版本Choquet的能力定理表明，每一个可计算的能力，可以得到一个可计算的措施，以这种方式。我们建立了随机闭集的容量等于零或大于0的条件。我们构造了一个有效的封闭集，具有正容量和勒贝格测度为零。
Continuous Randomness via Transformations of 2-Random Sequences
本研究通过分析2-随机序列的多种变换，证明了相关序列及其Turing跳、经多种有效算子作用后的结果均关于∅'-可计算连续测度满足Martin-Löf随机性，给出了非正当连续随机序列的实例。
Algorithmic randomness for Doob's martingale convergence theorem in continuous time
在算法随机性的背景下，研究了布朗运动上可计算连续时间鞅的Doob鞅收敛定理。给出了定理成立的样本点类的一个刻画。这些点被称为Doob随机点。证明了一个点是Doob随机的，如果它的尾部在一定意义下是可计算随机的。此外，Doob随机性严格弱于可计算随机性，与Schnorr随机性不可比拟。
Layerwise computability and image randomness
数学随机性理论始于一个单独的随机对象的概念。为了合理，这个概念应该有一些自然的属性;特别是，一个对象应该是随机的关于图像分布，当且仅当它有一个随机的原像。这一结果（对于可计算分布和映射，以及Martin-Löf随机性）是已知的很长一段时间（民间传说）;在本文中，我们证明了它的自然推广分层可计算映射，并讨论相关的定量结果。
Algorithmic randomness and the weak merging of computable probability measures
本文通过Kullback-Leibler散度定义算法随机性，探讨可计算概率测度的弱合并特性。
Algorithmic tests and randomness with respect to a class of measures
本文考虑不同随机性概念的定量版本：算法测试测量非随机性的量（并且对于非随机序列是无限的）。我们从康托空间（和马丁-洛夫随机性）上的可计算测度开始，然后考虑一致随机性（测试是序列和测度的函数，不一定是可计算的）和任意构造性度量空间。我们还考虑测试类的措施，特别是伯努利措施康托空间，并显示它们是如何相关的统一测试和原始马丁-洛夫定义。我们表明，Hyppocratic（盲，预言）的随机性是等效的均匀随机性的措施，在一个有效的正交有效紧类。我们还考虑了稀疏集和在线随机性的概念，并展示了它们如何在我们的框架中表达。
Equivalent characterizations of partial randomness for a recursively enumerable real
一个实数α称为递归可逼近的，如果存在一个可计算的、递增的有理数序列收敛于α。一个递归可重算实数α的随机性可以用以下几个概念来描述：程序大小复杂度、马丁-勒夫检验、蔡廷的Ω数、α的控制性和Ω相似性、可计算的、递增的有理数序列收敛到α的普适性，以及普适概率。在本文中，我们推广了这些随机性的部分随机性的概念，参数化的概念以上的每一个实数T \in（0，1]。因此，我们提出了几个等价的部分随机性的递归可列实数的特征。
Independence, Relative Randomness, and PA Degrees
我们研究的实数对是相互马丁-勒夫随机相对于一个共同的，不一定是可计算的概率测度。我们表明，范Lambalgen定理的广义版本持有不可计算的概率措施，太。我们研究，对于一个给定的真正的$A$，$A$的\emph{independence spectrum}，所有$B$的集合，使存在一个概率测度$μ$，使$μ\{A,B\} = 0$和$(A,B)$是$μ\timesμ$ -随机的。我们证明了如果$A$是r.e.，则没有$Δ^0_2$集合在$A$的独立谱中。我们将这一事实应用于PA学位。特别地，我们证明了如果$A$是r.e.，并且$P$具有PA度，使得$P \not\geq_{T} A$，然后是$A \oplus P \geq_{T} 0'$。
Algorithmic Randomness For Amenable Groups
我们发展了空间$A^G$的算法随机性理论，其中$A$是有限字母表，$G$是可计算顺从群。在这种情况下，我们给出了Shannon-McMillan-Breiman定理的一个有效版本。推广了Simpson等价拓扑熵和豪斯多夫维数的一个结果.这个证明利用工作的奥恩斯坦和韦斯，我们也提出。
Algorithmic Randomness, Effective Disintegrations, and Rates of Convergence to the Truth
本文利用有效概率论方法，在可计算Polish空间上引入有效分解理论，刻画了条件期望收敛到真值的概率1集合与收敛速率，并证明了基于算法随机点的收敛性与可计算收敛速率的存在性，为Bayes概率论基础提供了统一的新框架。
Normality, Relativization, and Randomness
本文基于广义数表示系统提出正规性的自然相对化，定义超正规数与高度正规数，并刻画其在算法随机性层级中的位置及与维数1序列的关系。
Effective Genericity and Differentiability
我们证明了一个实数x是1-generic的当且仅当每个可微可计算函数在x处有连续导数。这提供了一个对应的最近的结果连接有效的随机性与可微性的概念。我们还考虑了可计算函数和多项式时间可计算函数。
Coarse Reducibility and Algorithmic Randomness
Ω的子集A的粗略描述是Ω的子集D，使得A和D的对称差具有渐近密度0。我们研究在何种程度上可以有效地恢复非计算信息从所有粗糙的描述一个给定的集合A，特别是当A是有效的随机在某种意义上。我们证明了如果A是1-随机的，B是可计算的，那么B是K-平凡的，这意味着如果A实际上是弱2-随机的，那么B是可计算的。我们的主要工具是一种紧致性定理的锥避免描述，这也使我们能够证明相同的结果1-genericity弱2-随机性的地方。在另一个方向上，我们证明了如果A是图灵约化为0 '的1-随机集，则存在不可计算的c. e.集合A的每个粗描述都是可计算的，但不是所有的K-平凡集合都是某个1-随机集的每个粗描述都可计算的。我们研究了粗约化的一致和非一致概念。一个集合Y可以一致粗约化为X，如果存在一个图灵泛函Phi使得如果D是X的粗描述，那么Phi^D是Y的粗描述。一个集合B可以非一致粗约化为A，如果A的每一个粗描述都计算B的一个粗描述。我们表明，一定的自然嵌入到粗糙度（均匀和非均匀）的图灵度是不满射。我们还表明，如果两个集是相互弱3-随机，那么他们的粗度形成一个最小的对，在均匀和非均匀的情况下，但这并不是真的每一对相对2-随机集，至少在非均匀粗度。
Optimal bounds for single-source Kolmogorov extractors
字符串$σ$的随机率（或维数）是比率$C(σ)/|σ|$，其中$C(σ)$是$σ$的柯尔莫哥洛夫复杂度。虽然众所周知，单个可计算变换无法增加所有序列的随机率，但Fortnow、Hitchcock、Pavan、Vinodchandran和Wang表明，对于任何$0<α<β<1$，存在有限数量的可计算变换，使得任何速率至少为$α$的字符串都可以通过其中一种变换变成速率至少为$β$的字符串。然而，他们的证明只给出了变换次数和随机性增加率之间的对应关系的非常宽松的界限。通过将这个问题转化为（超）图上的组合数学，我们提供了一个紧界，即：使用$k$变换，可以得到从速率$α$到任何速率$β< kα/(1+(k-1)α)$的增加，这是最优的。
Schnorr Randomness and Effective Bayesian Consistency and Inconsistency
该研究从可计算概率与算法随机性视角，结合Schnorr随机性，解决了Diaconis和Freedman关于贝叶斯规则一致性参数的问题，强化了Martin-Löf随机性相关结果。
Demuth's path to randomness
OsvaldDemuth（1936- 1988）从俄国构造数学学派的观点出发，研究了构造性分析。在他的工作过程中，他介绍了各种概念的有效零集，当措辞在古典语言，产生了一些重大的算法随机性的概念。此外，他证明了几个结果连接建设性的分析和随机性，只是后来重新发现。在本文中，我们跟踪的路径，采取Demuth从他的建构主义根源，他的建设性分析，算法的随机性和可计算性理论之间的相互作用的深入和创新的工作。我们将特别关注（i）Demuth的工作的可微性马尔可夫可计算函数和他的研究建设性版本的Denjoy替代，（ii）Demuth的独立发现的主要概念的算法随机性，以及发展Demuth随机性，和（iii）的相互作用的真值表reductionary，算法随机性，和semigenericity在Demuth的工作。
Von Neumann Entropy and Quantum Algorithmic Randomness
本文研究量子算法随机性与冯·诺依曼熵的关系，证明可计算量子Schnorr随机态的熵密度极限为1，定义量子s-测试并建立熵密度与覆盖s的关系，推导熵密度下界与强量子随机性的关联及量子Schnorr随机性的一致可积等价条件。
Randomness and uniform distribution modulo one
我们从序列的均匀分布的角度阐述了实数的马丁-洛夫和施诺尔随机性的概念。本文给出了一个实数用序列的经典均匀分布表示为Schnorr随机数的必要条件。这扩展了Avigad证明的结果序列的线性函数与整数系数更广泛的经典类的Koksma序列的功能。并且，通过要求单位区间内的每个可计算开集（分别为具有可计算测度的可计算开集）的等分布，我们给出了Martin-Löf（分别为Schnorr）随机性的一个充分条件.
Algorithmic randomness, reverse mathematics, and the dominated convergence theorem
我们从算法随机性的角度分析了L^1（2^omega）的可计算元素序列的逐点收敛性。本文考虑了控制收敛定理的两种表示方法，并证明了在RCA_0上，每一种表示方法都等价于Cantor空间的每个G_delta正测度子集都有一个元素的断言.这最后一个陈述，反过来，相当于弱弱柯尼希引理相对于任何集合的图灵跳跃。它也等价于断言相对于任何给定集合存在2-随机数的语句与Sigma_2集合原理的合取。
Solovay functions and their applications in algorithmic randomness
经典版本的柯尔莫哥洛夫复杂性是不可计算的。然而，在1975年Solovay表明，有可计算的功能$f > K+O(1)$，使无限多字符串$σ$，$f(σ)=K(σ)+O(1)$，其中$K$表示前缀自由柯尔莫哥洛夫复杂性（而$C$表示平原柯尔莫哥洛夫复杂性）。这样的$f$现在被称为Solovay函数。证明了用Solovay函数代替$K$可以得到关于$K$的许多经典结果.例如，函数$g$的以下三个属性对于函数$K$都成立。(i)项$\sum_n 2^{-g(n)}$的和是一个马丁-勒夫随机实数。(ii)序列A是Martin-Löf随机的当且仅当$C(A \upharpoonright n) > n -g(n)-O(1)$。(iii)序列A是K-平凡的当且仅当$K(A \upharpoonright n) < g(n) + O(1)$。我们表明，当固定这三个属性中的任何一个时，在所有可计算函数中，Solovay函数都具有这一属性。此外，这种特征相应地扩展到更大的右c. e.类。功能协调发展的
Partial randomness and dimension of recursively enumerable reals
一个实的α称为递归可递归的（“r.e.如果存在一个收敛于α的可计算的递增有理数序列。众所周知，r.e.实α可以用以下概念以各种方式表征：程序大小复杂度、马丁-勒夫检验、蔡廷Ω数、α的控制和Ω相似性、可计算的、递增的有理序列收敛到α的普适性、普适概率。在本文中，我们通过在（0，1]中用实数T来参数化上述每个概念，将随机性的这些特征推广到部分随机性的概念上，其中部分随机性的概念是通过程序大小复杂度来更强地表示压缩率。作为结果，我们提出了10个等价的部分随机性的r.e.真的由此得到的部分随机性的特征是强大的，有许多重要的应用。其中之一是提出了一个单独的r.e.维数的等价刻画。真的Hausdorff维数和压缩率与程序大小复杂度（或部分随机性）的等价性是近二十年来许多研究者的一系列工作建立起来的。我们提出了10个等价的特征的一个单独的r. e的维数。真的
Multiple Recurrence and Algorithmic Randomness
这项工作有助于研究有效版本的“几乎处处“定理的分析和遍历论通过算法的随机性的方案。我们确定的水平的随机性所需的一个点在康托空间$ \{0,1\}^{\NN}$与统一的措施和通常的转变，使有效版本的Furstenberg的多重递归定理举行迭代开始的点。我们考虑递归到具有不同程度的有效性的闭集：clopen，$\PPI$与可计算的措施，和$\PPI$。Kurtz、Schnorr和\ML \随机性的概念分别被证明是足够的。对于$\{0,1\}^{\NN^{\normalsize k}}$上的$k$交换移位算子，我们得到了类似的多重递归结果。
Kolmogorov Complexity and Solovay Functions
Solovay证明了无前缀Kolmogorov复杂度函数K存在一个可计算的上界f，使得对于无穷多个x，f（x）= K（x）。本文考虑一类可计算函数f，使得对所有x，K（x）≤ f（x）+O（1），对无穷多个x，f（x）≤ K（x）+ O（1），我们称之为Solovay函数.我们发现，Solovay函数提出有趣的连接与随机性的概念，如马丁-洛夫随机性和K-平凡。
Uniform distribution and algorithmic randomness
一个开创性的定理由于外尔国家，如果（a_n）是任何序列的不同整数，然后，几乎所有的实数x，序列（a_n x）是均匀分布模1。特别是，对于单位区间中的几乎每个x，序列（a_n x）对于每个不同整数的可计算序列（a_n）都是模一均匀分布的。把这样的x称为“UD random”。这里证明了每个Schnorr随机实都是UD随机的，但也有Kurtz随机实不是UD随机的。另一方面，外尔定理相对于一个特定的有效闭零集仍然成立，所以有UD随机实不是库尔兹随机。
Russell's typicality as another randomness notion
我们稍微改写了罗素的典型性概念，以消除其循环性，使其适用于任何一阶结构的元素。我们认为，这个概念与Martin-Löf（ML）随机性相似，因为它使用可定义集合来代替可计算集合和“小”基数集合（即，严格小于结构域的值）来代替测量零点集。证明了若定义域$M$满足$cf(|M|)>\aleph_0$，则存在$|M|$典型元，只有$<|M|$非典型元.特别是对于二阶算术的标准模型${\cal R}$，这是正确的。通过允许定义公式中的参数，我们得到了相对典型性，它满足了范兰巴尔根关于相对随机性的大多数公理。然而，范兰巴根的定理是错误的相对典型性。典型实数的类与ML-随机、Schnorr随机和可计算随机实数的类是不可比较的（相对于$\subseteq$）。此外，典型的实数类在图灵度和跳跃操作下（两种方式）都是封闭的。
Effective Randomness for Continuous Measures
我们研究哪些无限二进制序列（实数）相对于某些连续（即，非原子的）概率测度。我们证明，对于每一个n，但可数许多实数是n-随机的这样一个措施，其中n表示允许的马丁-洛夫测试的算术复杂性。证明是基于一个博雷尔确定性参数，并假定存在无穷多个迭代的幂集的自然数。在论文的第二部分中，我们提出了一个元数学分析，表明这个假设确实是必要的。更确切地说，存在一个可计算函数G，使得对于任何n，“除了可数个实数之外，所有实数对于连续概率测度都是G（n）-随机的”这一陈述在$ZFC^-_n$中无法证明。这里$ZFC^-_n$代表Zermelo-Fraenkel集合论与选择公理，其中幂集公理被替换为自然数的幂集的n次迭代的存在。后一个事实的证明依赖于对随机性的一个非常普遍的障碍，即内部可定义性结构的存在。
Effective Martingales with Restricted Wagers
可计算随机性的经典模型考虑取实数或有理值的鞅。Bienvenu et al.（2012）和Teutsch（2014）最近的工作表明，当鞅取整数值时，经典模型的基本特征会发生变化。我们比较的预测能力的鞅的赌注属于三个不同的子集的有理数：（a）所有的有理数，（b）有理数不包括一个穿孔的邻域为0，（c）整数。我们还考虑了三个不同的成功标准：（i）积累无限数量的货币，（ii）消费无限数量的货币，（iii）使积累的资本振荡。（a）-（c）和（i）-（iii）的九个组合定义了九个可计算随机性的概念。我们提供了一个完整的表征这些概念之间的关系，并表明它们形成五个线性有序类。我们的结果解决了Bienvenu et al.（2012），Teutsch（2014）和Chalcraft et al.（2012）提出的突出问题，并加强了现有的结果。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。