A lower bound on minimal number of colors for links
Kazuhiro Ichihara, Eri Matsudo
我们证明了非零行列式链环的所有有效$n$ -着色的最小颜色数至少为$1+\log_2 n$。
We show that the minimal number of colors for all effective $n$-colorings of a link with non-zero determinant is at least $1+\log_2 n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Minimal coloring number for Z-colorable links
对于行列式为零的链路，Z-着色被定义为Fox着色的推广。我们称一个链接有一个图，其中承认一个非平凡的Z-着色的Z-可着色的链接。Z-可着色链路的最小着色数是链路的图上的非平凡Z-着色的最小颜色数。本文给出了非可裂Z-可着色链具有最小极小着色数的充分条件。
Minimal coloring number for $\mathbb{Z}$-colorable links II
一个$\mathbb{Z}$-可着色链路的最小着色数是链路图上非平凡$\mathbb{Z}$-着色的最小颜色数。在本文中，我们证明了任何不可分裂的$\mathbb{Z}$-可着色链的最小染色数是4。作为一个例子，我们考虑通过将给定链接的每个组件替换为几个平行链而获得的链接，我们称之为链接的平行。我们发现，一个甚至平行的链接是$\mathbb{Z}$-着色的情况下，除了2平行与非零环绕数。然后，我们给出了一个简单的方法来获得一个图，达到最小的染色数，甚至平行的链接。
Coloring links by the symmetric group of degree three
我们考虑了度为$3$的对称群$S_3$对链路着色的颜色数。对于节点，这样的着色对应于Fox 3-着色，因此颜色的数量必须是1或3。但是，对于链接，$S_3$使用4种或5种颜色进行着色。本文证明了：如果一个2-桥环允许$S_3$用5种颜色染色，则该环也允许用4种颜色染色.
Minimal coloring numbers on minimal diagrams of torus links
我们确定的最小数量的颜色为非平凡的$\mathbb{Z}$ -着色的标准极小图的$\mathbb{Z}$ -可着色环面链接。还包括这样的$\mathbb{Z}$着色和这样的$\mathbb{Z}$着色的仅四种颜色的完整分类，其通过在链接图上使用机架着色来示出。
Minimal coloring number on minimal diagrams for $\mathbb{Z}$-colorable links
证明了任何$\mathbb{Z}$ -可着色链都有一个图，它允许至多四种颜色的非平凡$\mathbb{Z}$ -着色.本文研究了$\mathbb{Z}$ -可着色链的极小图上的非平凡$\mathbb{Z}$-着色的极小颜色数问题。证明了对于任意正整数$N$，存在一个$\mathbb{Z}$可着色链路的极小图，使得图上的任意$\mathbb{Z}$着色至少有$N$颜色.另一方面，它表明，某些$\mathbb{Z}$着色环面链接有最小的图表承认$\mathbb{Z}$着色只有四种颜色。
On an invariant for colored classical and singular links
本文针对Aicardi提出的彩色链环不变量$F(L)$，基于定向彩色4价平面图的图形演算构建其状态和模型，并将该不变量拓展至定向彩色奇异链环。
On the Maximum Number of Colors for Links
对于每个奇素数p，并为每个非分裂链接承认非平凡的p-着色，我们证明了福克斯颜色的最大数量是p。我们还证明了，我们可以组装一个非平凡的p-着色与任何数量的颜色，从最小到最大数量的颜色。此外，对于任意有理环，我们证明了它的任意Schubert标准形都存在一个非平凡的染色，模其行列式，它使用了所有可用的颜色。如果这个行列式是一个奇素数，那么这个舒伯特范式的任何非平凡着色，模行列式，使用所有可用的颜色。我们还证明了在舒伯特标准形的交叉数等于两倍的行列式的链接减去2。还证明了环面链及其着色能力的事实。
Twisted intersection colorings, invariants and double coverings of twisted links
扭曲链路是经典链路的推广，对应于加厚曲面中链路的稳定等价类。本文引入了图的扭交染色，并利用这种染色构造了扭链环的两个不变量。作为应用，我们证明了存在无穷多对双绞线，使得每对双绞线的两个双绞线不等价，但它们的双覆盖是等价的。我们还介绍了一种方法，构造一对双绞线的双重覆盖是等效的。
Quandle Coloring Quivers of (p, 2)-Torus Links
Quandle着色图是Karina Cho和Sam Nelson提出的一种图结构，它定义在一个有向纽结或环的quandle着色集合上。研究了（p，2）-环面纽结和环链关于二面角圈的圈染色箭图。
Minimal Numbers of Fox Colors and Quandle Cocycle Invariants of Knots
关系将被描述quandle上循环不变和最小数量的颜色用于非平凡的福克斯着色的结和链接。特别地，利用Quandle上循环不变量给出了最小数的一个下界.
Widths of links via diagram colorings
本研究通过链环图着色定义链环不变量，证明其与标准Morse函数下的各类链环宽度概念一致，该方法算法化且易编程实现，还计算了万余个14交叉以内链环的最大宽度。
Coloring link diagrams by Alexander quandles
本文利用Alexander Quandles研究了连通图的可着色性。证明了若约化的Alexander多项式$Δ_{L}(t)$为零，则$L$允许由任何非平凡的Alexander quandle $Q$进行的非平凡染色;若$Δ_{L}(t)=1$，则$L$只允许由任何Alexander quandle $Q$进行的平凡染色;还证明了若$Δ_{L}(t)\not=0, 1$，则$L$允许由Alexander quandle $Λ/(Δ_{L}(t))$进行的非平凡染色.
On the Potential Function of the Colored Jones Polynomial with Arbitrary Colors
该研究针对任意色链环的有色琼斯多项式势函数展开，得到链环补空间的锥流形结构，建立鞍点方程与链环补空间双曲性的关联，为Chen-Yang猜想提供了证据。
A refined upper bound for the hyperbolic volume of alternating links and the colored Jones polynomial
本文给出了交替连杆的双曲体积的一个精确的上界，它是由其色琼斯多项式的前三个和后三个系数表示的。
Coloring invariants for links in $Σ_g\times S^1$
本文针对亏格g的闭定向曲面Σ_g与S¹的乘积空间中的链环，研究其着色不变量及推广形式的定义问题，属于几何拓扑领域的理论研究。
Two-tone colorings and surjective dihedral representations for links
本文针对多分支链环引入双色着色方法，给出了链环群容许满射二面体群表示的条件，并证明至少含3个分支的链环群存在到任意次数二面体群的满射同态。
Quandle coloring quivers of links using dihedral quandles
K. Cho和S.纳尔逊引入了quandle着色的概念，这是一个quiver值的链接不变量，和quandle上循环的概念，这是quandle着色的增强，通过分配给每个顶点的权重使用quandle 2-上循环计算。本文利用二面角quandle研究了quandle染色箭图，并引入了影子quandle染色箭图和影子quandle上圈箭图的概念，它们是quandle染色箭图和quandle上圈箭图的影子形式.我们证明了，当我们使用一个素数阶的二面角quandle时，quandle染色箭图等价于quandle染色数;当我们使用一个素数阶的二面角quandle和Mochizuki的3-上循环时，影子quandle上循环箭图等价于影子quandle上循环不变量.
Minimal sufficient sets of colors and minimum number of colors
本文首先研究了p=11和p = 13的极小充分色集。对于奇素数p和任意行列式为非零的p-可着色链L，给出了mincol_p L \geq 5（p \geq 11）和mincol_p L \geq 6（p \geq 17）的另一种证明.我们阐述了等价类的集合不同的颜色（在一个给定的模数），并证明有两个这样的类的五个颜色模11，只有一个这样的类的五个颜色模13。最后，我们给出了一个肯定的回答中村，中西，和佐藤提出的一个问题，涉及交叉数的不等式。我们证明，它是一个平等的只有三叶形和8字结。
The bridge number of surface links and kei colorings
本文利用 kei 着色建立曲面链环桥数的下界，证明对每个整数 $n\geq4$ 都存在无穷多个桥数恰为 $n$ 的曲面纽结。
The Minimal Coloring Number Of Any Non-splittable $\mathbb{Z}$-colorable Link Is Four
K. Ichihara和E. Matsudo引入了$\mathbb{Z}$ -可着色链和$\mathbb{Z}$ -可着色链的最小着色数的概念，这是链的不变量之一.他们证明了不可分裂的$\mathbb{Z}$ -可着色链路的最小着色数的下界是4。本文证明了不可分裂的$\mathbb{Z}$ -可着色环的最小色数为4。
Up-down colorings of virtual-link diagrams and the necessity of Reidemeister moves of type II
我们介绍了一个上下着色的虚拟链接图。的着色性给出了一个下界的最小数量的Reidemeister移动的类型II之间需要两个2组件的虚拟链接图。利用Quandle上循环不变量的概念，我们确定了平凡虚结图对的Reidemeister移动的必要性。这意味着对于任何虚拟结图$D$，存在表示相同虚拟结的图$D'$，使得它们之间的任何广义Reidemeister移动序列包括至少一个类型II的Reidemeister移动。
The Delunification Process and Minimal Diagrams
一个链图被称为无弯图，如果当被看作一个4-正则平面图时，它在任何一对节点之间都没有重边。我们证明了任何着色链接图都等价于一个具有相同颜色数的着色无月图。因此，任何具有最小颜色数的彩色链接图（称为最小图）都等价于具有相同颜色数的彩色无月图。我们把从一个链接图到一个等价的无弦月图的过程称为去统一过程。然后，我们引入了灰集的概念，以获得更高的最小颜色数的下界。我们计算这些高下界的一些素数模的帮助下，计算机程序。对于每一个穿过16的数，我们列出无月图，并给它们上色。如果颜色的数量等于相应的上下界，我们知道我们有一个最小的颜色数量。我们还介绍并列出了一个环节的无月交叉数，即，该链路的无弯月图所需的最小交叉数，以及其他相关链路不变量。
Coloring Link Diagrams And Conway-type Polynomial Of Braids
本文定义并给出了Artin辫群$B_m$中共轭类的三元Laurent多项式不变量的一个简单组合公式。我们证明了这个Laurent多项式满足Conway绞关系，并且它的系数是辫子的Vassiliev不变量。
Biquandles with structures related to virtual links and twisted links
我们在双量子点上引入了两种结构，称为v-结构和t-结构。这些结构用于虚拟链路和扭曲链路的图的着色，使得着色的数量是不变的。给定一个双量子线或一个量子线，我们给出了用这些结构构造一个双量子线的方法。使用着色的数量，我们表明，Bourgoin的twofoil和不可定向的虚拟$m$ -箔不代表虚拟链接。
On linear $n$-colorings for knots
如果一个节点的亚历山大多项式不等于1，那么它是线性$n$ -可着色的。借助于这种着色，这种纽结被给予最小quandle阶的上界，即，一个纽结可以用quandle着色的quandle的最小阶。对于扭结，我们详细研究了最小quandle阶。
An Improvement of the lower bound for the minimum number of link colorings by quandles
我们改进了在Colorings beyond Fox：The other linear Alexander quandles（线性代数及其应用，第548卷，2018年）的定理1.2中给出的结的线性Alexander quandle着色的最小颜色数的下界。我们表示这个下界的考虑结的减少亚历山大多项式的程度k。我们证明了对于L-空间纽结，它恰好是k + 1。然后将这些结果应用于环面纽结和椒盐卷饼纽结P（-2，3，2l + 1），l>=0.我们注意到，这个下界可以达到某些特定的纽结。此外，我们证明了上述定理1.2可以推广到多个分支的链路。
Symmetric quandle colorings and ribbon concordance
本文证明Yoshikawa表中的曲面链环$10_1^{-1,-1}$无法被阶为4的对称二面体quandle着色，并揭示了该着色缺失如何阻碍其与可着色链环$8_1^{-1,-1}$间的广义ribbon合痕。
4-colored graphs and knot/link complements
利用4-有色图表示具有非空非球边界的紧致3-流形（即，4-正则图），并给出了这类流形的一个初步分类，给出了这类流形的8个顶点的表示图.计算机实验表明，随着顶点数的增加，图/流形的数量增长非常快。因此，我们集中讨论了具有环面边界的可定向三维流形的情形，它包含了三维球面中纽结和链环的补的重要情形。在本文中，我们获得了这些3-流形的完整编目/分类高达12个顶点的相关图，显示所涉及的结和链接的图。对于纽结的补数的特殊情况，研究已经扩展到16个顶点。
On Medial Quandle Coloring Link Invariant and Detecting Causality
本文研究中间quandle着色链环不变量在(2+1)维全局双曲时空中检测因果性的能力，证明在特定等价关系下无法区分关键链环，并给出充分条件及广义定理。
Minimal diagrams of virtual links: II
在本文中，我们汇集了极小条件，提出了在前两篇论文中，并提出了一些新的极小条件的经典和虚拟的节点和链接。
On the volume conjecture of the colored Jones invariants with arbitrary colors
研究着色Jones不变量在链接补集超几何结构变形下的体积猜想，通过图八结和布洛美环的极限展示与超几何锥流形体积的关系。
Colored Unlinking
在具有两个分量的链路中，有三种不同类型的交叉：第一分量中的自交叉、第二分量中的自交叉和分量之间的交叉。在本文中，我们将研究在不改变组件之间的交叉点的情况下，取消链接所需的最小交叉点更改数。我们限制我们的注意力解开两个组件链接与环绕数零和两个组件unknotted。我们提供的数据不超过10个交叉点的链接和一般结果不对称的组件之间的解链。
Biquasile Colorings of Oriented Surface-Links
我们介绍了着色的定向表面链接的双拟使用标记图。我们使用这些着色来定义计数不变量和玻尔兹曼增强的双准计数不变量定向表面链接。我们提供的例子表明，不变量可以区分闭曲面链接和配边，是敏感的方向。
Minimal diagrams of classical and virtual links
我们证明了满足两个条件的Khovanov同调的虚拟链接图是最小的，也就是说，没有虚拟图表示相同的链接具有较少的交叉数。这种方法适用于经典链路和虚拟链路
Equivalence Classes of Colorings
对于任何链路和任何模$m$，我们引入一个等价关系的一组非平凡的m-染色的链接（一个m-染色的值在Z/mZ）。给定一个链路图，非平凡m-着色的等价类是由图中弧的颜色分配形成的，这些弧是由前一个着色通过在每个交叉处保持着色条件的弧中的颜色置换获得的。这个要求意味着等价类的拓扑不变性。我们表明，对于一个素数模的等价类的数量取决于模和染色矩阵的秩（相对于这个模）。
Non-minimal bridge position of $2$-cable links
假设一个纽结$K$的每一个非最小桥位置都被扰动。我们表明，如果$L$是一个$(2, 2q)$电缆链接的$K$，那么每个非最小桥位置的$L$也扰动。
Fox $p$-Colorings as Fixed Points of Braid Representations
该研究将纽结与链环的Fox p-着色转化为辫群表示的不动点，给出着色数显式公式，并应用于环面链环与螺旋链环得到Fox 3-着色空间的显式描述。
Quandle coloring quivers of pretzel links
本文系统研究pretzel链环的二面体quandle着色及着色拟阵，确定3-pretzel情形，并在n为素数时给出4-pretzel及一般m-pretzel链环的着色数和拟阵结构，附完整证明。
The minimum number of Dehn $\mathbb Z$-colors of any nonsplittable $\mathbb Z$-colorable link is three
本文作为研究着色最小数目的第三部分，证明不可分裂的ℤ-可着色链环的Dehn ℤ-着色最小数目为3，补充了区域着色最小数目的相关研究。
Quandle Coloring Quivers of Surface-Links
Quandle着色箭图是有向节点和链接的有向图值不变量，使用有限quandle $X$和自同态集合$S\subset\mathrm{Hom}(X,X)$的选择来定义.从一个quandle着色图，多项式结不变量被称为\textit{in-degree quiver polynomial}的定义。我们认为quandle着色不变量为导向的表面链接，表示标记的图形图。我们提供的例子计算所有定向表面链接CH指数高达10的quandles和自同态的选择。
Knot Theory: from Fox 3-colorings of links to Yang-Baxter homology and Khovanov homology
本文是我的“在希腊结2016年”会议上的介绍性全体会议讲话的延伸。我们从历史的角度对纽结理论进行简短的介绍，从赫拉克拉文本开始（公元一世纪），提到R.Llull（1232年至1315年），A.Kircher（1602年至1680年），莱布尼茨的想法Geometria Situs（1679年），和JB上市（学生高斯）工作的1847年。我们花了一些空间在拉尔夫H。Fox（1913-1973）图解着色的基本介绍（1956）。在第二节中，我们介绍了如何福克斯工作是广义的分配着色（机架和quandles），并最终在工作的琼斯和Turaev链接不变量通过杨巴克斯特运营商，在这里的重要性，统计力学拓扑将被提及。最后，我们介绍了最近的事态发展，开始与米哈伊尔Khovanov工作分类的琼斯多项式。通过类比Khovanov同调，我们建立了分配结构的同调（包括Fox着色的同调），并将其推广到Yang-Baxter算子的同调。我们推测，与支持的证据，共循环不变量的结来自杨巴克斯特同源。在这里的工作芬-鲁尔克桑德森（几何实现的前三次集的链接图）和卡特Kamada齐藤（共循环不变的链接）将进行讨论和扩展。献给卢·考夫曼70岁生日。
Minimum Number of Fox Colors for Small Primes
本文给出了行列式为非空的环的模r上的Fox染色的最少颜色数的精确结果。具体地说，我们证明了，每当最小的素除子的行列式，这样的链接和模r是2，3，5，或7，那么最小的颜色数是2，3，4，或4（分别），反之亦然。因此，我们推测，对于每个素数p，存在唯一的正整数m，具有以下性质。对于任意非空行列式的链L和任意模r，使得p是L的行列式和模r的最小素除子，L模r的最小颜色数为m。
Prime component-preservingly amphicheiral link with odd minimal crossing number
对每一个奇数$c\ge 21$，我们给出了一个具有最小交叉数$c$的准素分量-双螺旋环的例子.该链有两个分支，由一个非纽结和一个纽结组成，纽结是具有奇数最小交叉数的$(-)$ -双螺旋.我们称后者为{ \it Stoimenow结}。我们还表明，Stoimenow结是不可逆的亚历山大多项式。
Minimal crossing number implies minimal supporting genus
虚拟链接可以被定义为图的等价类，或者可选地被定义为加厚表面中链接的稳定等价类。我们证明了一个最小的交叉虚拟链接图有最小的亏格跨越代表的稳定等价类。这是通过构建一个新的奇偶校验理论的虚拟链路。作为推论，我们证明了一个经典的链接的交叉，桥梁，和升序不减少时，它被视为一个虚拟的链接。这推广了Manturov和Bauzov关于虚结点的相应结果。
A diagrammatic grading bound for colored $\mathfrak{gl}_N$ link homology
该研究建立了可从任意纽结图读出的有色$\boldsymbol{\frak{gl}_N}$纽结同调的分次界，并将其应用于接触几何，得到Legendrian纽结的Thurston–Bennequin数的界。
The Jones-Krushkal polynomial and minimal diagrams of surface links
我们证明了一个Kauffman-Murasugi-Thistlethwaite定理交替链接加厚的表面。它指出在加厚曲面上的链环的任一约化交错图具有最小交叉数，且同一链环的任一两个约化交错图具有相同的交叉数。这个结果是证明更普遍的链接图是足够的，证明涉及到一个两个变量的推广琼斯多项式的表面链接定义的Krushkal。主要的结果是用来建立第一和第二泰特拓扑的链接在加厚的表面和虚拟链接。
On link diagrams that are minimal with respect to Reidemeister moves I and II
本文定义了关于Reidemeister move I和II极小的链环图，证明了无平凡分离分支链环的极小图及其交叉点数唯一，并探讨了Reidemeister move III对极小图的作用。
Link colorings and the Goeritz matrix
我们讨论了链接图的着色和Goeritz矩阵之间的联系。
New classes of minimal knot diagrams
我们描述了一类新的最小链接图。这一类包括某些交替图，所有环面链接的标准图，以及许多齐次图，其极小性以前没有被证明。此外，我们描述了一个新的更大的类的链接图与最少的塞弗特圈之间的所有图的给定链接。我们的方法涉及Morton-Franks-Williams不等式。
Removing Colors 2k, 2k-1, and k
证明了如果一个环允许非平凡的（2k+1）-染色，且素数2k+1>7，则它也允许不涉及颜色2k，2k-1，或k的非平凡的（2k+1）-染色.
Quandle colorings vs. biquandle colorings
双quandles是quandles的推广。以及quandles，biquandles给我们许多面向经典/虚拟/表面链接的不变量。一些来自双量子点的不变量被认为比那些来自量子点的虚链路的不变量更强。然而，到目前为止，我们还没有找到一个本质上精炼的经典/表面链接不变。在本文中，我们给出了一个显式的双quandle染色和quandle染色之间的一对一的对应经典/表面链接。我们还证明了双量子同伦不变量和量子同伦不变量是等价的。作为一个副产品，我们可以解释双量子上循环不变量的影子量子上循环不变量。
The Hilbert Polynomial of Quandles and Colorings of Random Links
本文研究随机辫子闭包的 quandle 着色数平均值，证明其对应一个 Hilbert 多项式，计算了所有阶不大于 4 的 quandle 的不变量，并将已有稳定性结果从周期稳定性改进为稳定性。
Quandle Coloring Quivers of general Torus links by dihedral quandles
本研究通过先穷尽着色数再分析着色间关联的方法，完整刻画了一般环面链环的二面体广群着色广群图，明确了其含完全子图且结构随着色数变化的特性。
Minimal genus Seifert surfaces for alternating links
本文通过完整证明，明确描述了非分裂、素、特殊、交替链接的Kakimizu复数。
Classification of links with Khovanov homology of minimal rank
如果L是具有$n$成分的定向连接，则其Khovanov同源性的秩至少为$2^n$。我们分类的所有链接的Khovanov同调与Z/2-系数达到这个下界，并表明，这样的链接可以得到迭代连接和不相交工会的Hopf链接和unknots。这对Batson和Seed提出的一个问题给出了肯定的答案。
Twist formulas for one-row colored $A_2$ webs and $\mathfrak{sl}_3$ tails of $(2,2m)$-torus links
利用两行杨氏图$λ$对链路元件进行着色，得到$\mathfrak{sl}_3$着色琼斯多项式$J_λ^{\mathfrak{sl}_3}(L)$。虽然一般情况下计算$J_λ^{\mathfrak{sl}_3}(L)$比较困难，但我们可以利用Kuperberg的$A_2$绞链关系来计算它。本文给出了$A_2$网空间中被单行Young图着色的两股绞合链的计算公式，并计算了有向$(2,2m)$ -环面链的$J_{(n,0)}^{\mathfrak{sl}_3}(T(2,2m))$.这些显式公式导出$T(2,2m)$的$\mathfrak{sl}_3$尾部。他们还给出了明确的描述$\mathfrak{sl}_3$假θ系列与单行着色，因为$T(2,2m)$的$\mathfrak{sl}_2$尾部被称为假θ系列。
Minimal braid representatives of quasipositive links
我们表明，每一个准正的链接有一个准正的最小辫子代表，部分解决了一个问题所提出的Orevkov。这些拟正极小辫用来证明拟正链环的最大自环绕数在最小辫指数的负值之下有界，且当且仅当链环是非链环时相等。这意味着唯一的双螺旋准正链是无链，回答了鲁道夫的一个问题。
The minimal Rickard complexes of braids on two strands
本文研究二弦辫子的最简里克尔德复形，通过直接公式构造，而非繁琐简化，以确定辫子闭合的着色三重分级同调和着色sl(N)同调。
Bridging colorings of virtual links from virtual biquandles to biquandles
本文建立虚拟双拟群与双拟群着色不变量的联系，证明虚拟链环的虚拟双拟群着色数可由双拟群着色恢复，并引入新标记规则仅用经典交叉关系构造基本虚拟双拟群表示。
Enhancements of link colorings via idempotents of quandle rings
本文利用quandle环的幂等元构造了链环着色不变量的增强，证明其强于经典着色不变量及medial情形下的Hom quandle不变量，并通过计算小阶quandle的幂等元与Peirce谱支持相关猜想。
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