作为辫群表示不动点的Fox p-着色
Fox $p$-Colorings as Fixed Points of Braid Representations
- Sunchon National University（顺天国立大学）
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AI总结：
该研究将纽结与链环的Fox p-着色转化为辫群表示的不动点，给出着色数显式公式，并应用于环面链环与螺旋链环得到Fox 3-着色空间的显式描述。
AI中文摘要：
纽结与链环的Fox p-着色可通过辫群表示进行线性代数描述。对每个属于辫群Bₙ的辫β，我们关联一个表示M: Bₙ→GL(n,𝔽ₚ)，使得闭辫$\u005cwidehat{β}$的Fox p-着色对应M(β)的不动点。由此可得$\u005cmathrm{Col}_p(\u005cwidehat{β}) = p^{\u005cmathrm{dim} \u005cker(M(β)-I)}$，给出任意纽结与链环Fox p-着色数的显式公式。将该方法应用于环面链环与螺旋链环，得到其Fox 3-着色空间的显式描述。
英文摘要：
Fox $p$-colorings of knots and links admit a linear-algebraic description in terms of braid representations. For each braid $β\in B_n$ we associate a representation $M : B_n \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p)$ such that Fox $p$-colorings of the closed braid $\widehatβ$ correspond to fixed points of $M(β)$. As a consequence, $$ \mathrm{Col}_p(\widehatβ) = p^{\dim \ker(M(β)-I)}, $$ yielding an explicit formula for the number of Fox $p$-colorings of arbitrary knots and links. We apply the method to torus links and spiral links, obtaining explicit descriptions of their Fox 3-coloring spaces.
