Combinatorial Sums and Identities Involving Generalized Sum-of-Divisors Functions with Bounded Divisors
用$L_α(q)$表示的Lambert级数生成函数类（LGF）形式上枚举了对所有整数$n \geq 1$和固定实参数$α\geq 0$的广义约数和函数$σ_α(n) = \sum_{d|n} d^α$.我们证明了新的公式扩大这些LGF的高阶导数。我们得到的结果结合起来，表示新的恒等式扩展广义因子和函数。这些新的身份的形式展开的多项式缩放倍数的一个相关类的除数和取决于$n$和$α$的总和。
2020-11-17 math.NT
Quasi-modularity of generalized sum-of-divisors functions
1919年，P.A. MacMahon研究了广义除数和的生成函数。在本文中，我们提供了一个框架，在其中查看这些生成函数的雅可比形式，并证明它们是准模形式。
2015-07-24 math.NT
Generalized divisor functions in arithmetic progressions: II
本文给出广义三重除数函数的修正移位卷积二阶矩的新上界，并证明该修正版本足以满足应用需求。
2023-08-13 math.NT
Proof of conjecture regarding the level of Rose's generalized sum-of-divisor functions
Rose在最近的一篇文章中证明了某些广义除数函数的和对于某些同余子群是拟模形式，并证明了这些形式对于$Γ_1(n)$是拟模的.在这里，我们证明这个猜想。
2015-07-29 math.NT
Statistics of divisor functions over function fields
Ulsan National Institute of Science and Technology（蔚山科学技术院）
该研究拓展整数受限除数函数的相关工作，探究其在函数域上的类似物，给出相关精确与渐近公式，丰富了数论中函数域上除数函数的统计特性研究。
2026-11-03 math.NT
The shifted convolution of generalized divisor functions
我们证明了一个渐近公式的移位卷积的除数函数$d_k(n)$和$d(n)$与$k \geq 4$，这是均匀的移位参数，并具有节能的误差项，提高以前的Fouvry和Tenenbaum，最近，Drappeau的结果。
2016-05-08 math.NT
A lower bound for the variance of generalized divisor functions in arithmetic progressions
我们证明了，对于一个大类的乘性函数，被称为广义除数函数，它是可能的找到一个下界相应的方差在等差数列。作为一个主要的推论，我们推导出这样的结果，任何$α$倍因子函数，任何复数$α\not\in \{1\}\cup-\mathbb{N}$，即使考虑一系列的参数$α$接近以适当的方式$1$。我们的工作建立在Harper和Soundararajan的基础上，他们用$k\in\mathbb{N}_{\geq 2}$处理了$k$ -折叠除数函数$d_k(n)$的特殊情况。
2020-04-15 math.NT
An upper bound for the generalized greatest common divisor of rational points
本文针对数域上光滑射影簇中的点关于不可约子簇的广义最大公约数，给出了一个上界，并通过建立一致的 Riemann--Roch 型不等式来证明该结果。
2024-11-09 math.NT
On the Density of Ranges of Generalized Divisor Functions
除数函数$σ_{-1}$的范围在区间$[1,\infty)$中是密集的。然而，函数$σ_{-2}$的范围在区间$\displaystyle{\left[1,\frac{π^2}{6}\right)}$中不密集。我们首先将除数函数推广到所有实数$t$的一类函数$σ_{t}$。然后，我们定义了一个常数$η\approx 1.8877909$，并表明，如果$r\in(1,\infty)$，那么范围的功能$σ_{-r}$是密集的间隔$[1,ζ(r))$当且仅当$r\leqη$。我们以一个开放的问题结束。
2015-06-17 math.NT
Chebyshev's bias for composite numbers with restricted prime divisors
设P（x，d，a）表示素数p<=x且p=a（mod d）的个数。切比雪夫偏置是P（x;d，n）>P（x;d，r）的现象，而不是相反的情况，其中n是模d的二次非剩余，r是模d的二次剩余。如果对于每个x直到某个大的数，P（x;d，n）>=P（x;d，r），则期望对于每个x，N（x;d，n）>=N（x;d，r）。这里N（x;d，a）表示整数n<=x使得n的每个素除子p满足p=a（mod d）的个数。在本文中，我们开发了一些工具来处理这类问题，并应用它们来证明，例如，对于每个x，N（x; 4，3）>=N（x; 4，1）。在这个过程中，我们表示为一个无穷级数的所谓的二阶Landau-Ramanujan常数，并表明，同样类型的公式适用于更大的一类常数。在本文的续篇中，将使用并稍微改进这里所发展的方法，以解决P. Schmutz Schücher的一个猜想，即六边形晶格比正方形晶格“更好”（见Bull.Amer.Math.Soc.35（1998），193-214，第201页）。
2001-12-11 math.NT
Exact Formulas for the Generalized Sum-of-Divisors Functions
证明了广义因子和函数$σ_α(x) := \sum_{d|x} d^α$的新的精确公式。当$α\in \mathbb{C}$固定且$x \geq 1$涉及所有素因子$n \leq x$和涉及$r$阶调和数序列及Ramanujan和$c_d(x)$的项的有限和时，$σ_α(x)$的公式。当$r > 1$为整数时，广义调和数列对应于Riemann zeta函数的部分和，当$r \leq 0$为整数时，广义调和数列对应于广义Bernoulli数.我们的新的扩展的Lambert系列生成函数的广义因子函数的一个关键部分是形成通过取对数导数的分圆多项式，$Φ_n(q)$，它完全分解成不可约的多项式在$q$的Lambert系列条款$(1-q^n)^{-1}$。我们专注于这些精确表达式的计算方面，包括它们与实验数学的相互作用，以及$σ_α(n)$和求和函数$\sum_{n \leq x} σ_α(n)$的新公式的比较。关键词：因子函数;因子和函数;朗伯级数;完全数。海安会（2010）：30 B50; 11 N64; 11 B83
2019-04-19 math.NT
On generalized modular forms with a cuspidal divisor
在[6]中，Kohnen证明了，如果$Γ=Γ_0(N)$其中$N$是无平方整数，则任何权为$0$的模函数对于$Γ$具有在尖点处支持的除数是$η$ -积。在具有有理傅里叶系数的条件下，我们可以将Kohnen的结果推广到$N$是素数的平方的情形.如果合理性条件不成立，我们表明，该声明不再是真的，通过提供一个家庭的反例，自然推广的Dedekind $η$ -功能。本文适合在Knopp和Mason意义下的广义模形式的框架内。
2020-06-15 math.NT
The variance of divisor sums in arithmetic progressions
我们研究了稀疏等差数列上$k$ -倍除数函数$d_k(n)$的和的方差，并对剩余类和模进行了平均。在一个有限的范围内，我们证实了最近的一个猜想，这个方差的渐近平均版本。这个结果与Dirichlet $L$ -函数的矩密切相关，并且我们的证明依赖于渐近大筛.
2017-04-30 math.NT
Generalized cyclotomic polynomials associated with regular systems of divisors and arbitrary sets of positive integers
本文引入与正则除数系和任意正整数集相关的广义分圆多项式，证明其具有整数系数并可分解为经典分圆多项式的乘积，同时给出新的 Menon 型恒等式。
2024-05-02 math.NT
Gaussian distribution for the divisor function and Hecke eigenvalues in arithmetic progressions
我们证明了在一定范围内，模为素数的剩余类中整数的除数函数服从高斯分布，并且对经典全纯尖点形式的Hecke特征值也得到了类似的结果.进一步，我们得到了这些算术函数在两个相关剩余类中的联合分布。这些结果遵循渐近评价的相关时刻，并依赖于关键的结果的独立性相关的产品的Kloosterman和单值群。
2013-01-02 math.NT
Piltz divisor problem over number fields à la Voronoï
本文研究了数域上的Piltz除数问题，有时也称为广义Dirichlet除数问题.我们建立了一个类似于Voronoport公式的关于Dirichlet除数问题中误差项的恒等式。
2020-09-06 math.NT
Additive Sums of Generalized Shifted Ternary Divisor Functions
University of Northern British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；University of Lethbridge（莱思布里奇大学）
本文针对特定参数范围的广义移位三元加性除数和，在假设相关函数算术级数分布水平的条件下，证明了带显式主项和幂节省误差项的渐近公式。
2026-10-09 math.NT
Generalized divisor functions in arithmetic progressions: I
本文研究$k$重除数函数在模数超过$\sqrt{X}$的算术级数中的分布，结合张益唐方法并在广义黎曼假设下获得与$k$无关的一致幂次节省误差项，同时避免依赖Siegel定理。
2023-08-13 math.NT
Generalized Greatest Common Divisors for the Orbits under Rational Functions
Vojta的猜想假设$a, b, α,β\in \mathbb{Z}$和$f(x),g(x) \in \mathbb{Z}[x]$是次数为$d \ge 2$的多项式。假设序列$(f^{\circ n}(a), g^{\circ n}(b))_n$是泛生的，$α,β$对$f,g$不是例外的，证明了对每个给定的$\varepsilon > 0$，都存在常数$C = C(\varepsilon,a,b,α,β,f,g)>0$，使得对所有的$n \ge 1$，都有$$\gcd(f^{\circ n}(a)-α, g^{\circ n}(b) -β) \le C\cdot\exp({\varepsilon\cdot d^n}). $$。证明了对有理函数和更一般的gcd的一个估计，并由此得到上述不等式。
2018-08-08 math.NT
On the closure of the image of the generalized divisor function
对于任何实数$s$，令$σ_s$为广义除数函数，即，由$σ_s(n) := \sum_{d \, \mid \, n} d^s$定义的算术函数，适用于所有正整数$n$。证明了对任意$r > 1$，$σ_{-r}(\mathbf{N}^+)$的拓扑闭包是有限个两两不相交的闭区间$I_1, \ldots, I_\ell$的并.此外，对于$k=1,\ldots,\ell$，我们证明了正整数集合$n$使得$σ_{-r}(n) \in I_k$有正有理渐近密度$d_k$。事实上，我们提供了一种方法来给出$I_1, \ldots, I_\ell$和$d_1, \ldots, d_\ell$的精确闭合形式表达式，假设以足够的精度知道$r$。作为一个例子，我们表明，对于$r = 2$，它的结果$\ell = 3$，$I_1 = [1, π^2/9]$，$I_2 = [10/9, π^2/8]$，$I_3 = [5/4, π^2 / 6]$，$d_1 = 1/3$，$d_2 = 1/6$和$d_3 = 1/2$。
2015-07-29 math.NT
Generalized Greatest Common Divisors, Divisibility Sequences, and Vojta's Conjecture for Blowups
我们应用Vojta的猜想爆破和推导出一些深的声明（广义）最大公因数的品种，特别是在射影空间和阿贝尔簇。这些陈述的特殊情况推广了以前的结果和定理。我们还讨论了广义最大公因数与代数群上的整除序列之间的关系，并应用Vojta猜想得到了维数至少为2的阿贝尔簇上的整除序列的一个强界.
2004-08-02 math.AG math.NT
Superior Highly Composite Numbers and the Explicit Upper Bound of Generalized Divisor Functions
本文研究了超k-高效复合数的性质，并提出一种高效算法计算广义除数函数的显式上界。
2025-11-21 math.NT
Continued Fractions and $q$-Series Generating Functions for the Generalized Sum-of-Divisors Functions
我们在$z$中构造了Jacobi型J-分数的新连分式展开式，其幂级数展开式生成$q$ -Pochhamer符号的比率$(a; q)_n / (b; q)_n$，对于所有整数$n \geq 0$，并且其中$a,b,q \in \mathbb{C}$是非零的并且被定义为使得$|q| < 1$和$|b/a| < |z| < 1$。如果我们在这些广义级数展开式中设置参数$(a, b) := (q, q^2)$，那么我们有一个对应的J-分数枚举所有整数$n \geq 0$上的项序列$(1-q) / (1-q^{n+1})$。因此，我们能够定义新的$q$ -系列扩展对应于朗伯系列生成的除数函数，$d(n)$，当我们设置$z \mapsto q$在我们的新的J-分数扩展。通过对$z$的反复微分，我们还使用这些生成函数来构造因子和函数$σ_α(n)$的生成函数的新的$q$级数展开式，当$α\in \mathbb{Z}^{+}$。为了扩展这些特殊算术函数的新的$q$ -系列生成函数，我们定义了一个广义类的所谓的斯特林数一样的“$q$ -系数”，或斯特林$q$ -系数，其性质，关系到初等对称多项式，和关系到我们的无穷J-分数的收敛性也在文章中证明的结果进行了探讨。
2017-05-04 math.NT
Generalized GCD matrices
设$f$为算术函数。由$(i,j)$的最大公约数中的$f$的值、$f\big((i,j)\big)$作为其$i,\; j$条目给出的矩阵$[f(i,j)]_{n\times n}$被称为最大公因数（GCD）矩阵。我们考虑这个矩阵的推广，其中元素的形式为$f\big(i,(i,j)\big)$。
2010-12-25 math.NT
Heegner divisors in generalized Jacobians and traces of singular moduli
我们证明了与尖点模相关的模曲线的广义雅可比矩阵中Heegner因子类的抽象模性结果。推广Gross-Kohnen-Zagier定理，证明了这类的生成列是权为3/2的弱全纯模形式.此外，我们还证明了任何权为0的调和Maass形式都定义了广义雅可比矩阵上的泛函。结合这些结果，我们得到了一个统一的框架和新的证明Gross-Kohnen-Zagier定理和Zagier的模的迹奇异模，以及新的几何解释的痕迹与非正指数。
2017-02-21 math.AG math.NT
A Proof of Merca's Conjectures on Sums of Odd Divisor Functions
在最近的一篇论文中，Merca提出了三个关于广义$m$ -实数的奇除数函数和与生成函数的特定卷积的同余的定理。扩展Merca的工作，我们完成了这些命题的证明。
2021-07-21 math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
On some $q$-series identities related to a generalized divisor function and their implications
本文推广了Kluyver和Uchimura检验的一个$q$ -级数.这使我们能够找到推广的身份在随机无环有向图研究西蒙，Crippa，和Collenberg在1993年。作为我们的主要定理的推论之一，我们得到了Dilcher和Andrews，Crippa和Simon的结果。这个主要定理涉及到一个令人惊讶的新推广的除数函数$σ_s(n)$，我们表示为$σ_{s,z}(n)$。研究了$σ_{s,z}(n)$的解析性质。作为我们定理的一个特例，我们从Bringmann和Jennings-Shaffer最近的一篇论文中得到了结果。
2020-12-19 math.CO math.NT
Combinatorial identities and Titchmarsh's divisor problem for multiplicative functions
给定素数上周期的乘法函数$f$，得到了移位卷积和$\sum_{|h|<n\leq x} f(n) τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$τ$表示除数函数，$h\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$表示移位卷积和.我们特别考虑$f$是广义除数函数$τ_z$与$z\in\mathbb{C}$的特殊情况，和两个平方和的特征函数（或更一般地说，理想规范的阿贝尔扩展）。作为另一个应用，我们推导出了广义Titchmarsh除数问题$\sum_{|h|<n\leq x,\,ω(n)=k} τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$ω(n)$计算$n$的不同素除数的个数，从而推广了Fouvry和Baugeri-Friedlander-Iwaniec的一个结果.我们提出了两种不同的证明：第一依赖于一个有效的组合公式的希斯-布朗的类型的除数函数$τ_α$与$α\in\mathbb{Q}$，和插值参数的$z$ -变量的加权平均值的$τ_z$。第二个是基于$τ_z$的Linnik型恒等式和易碎数的良好可因子分解性。
2018-12-18 math.NT
On the divisors of x^n-1 in F_p[x]
在最近的一篇论文中，我们考虑了整数n，其中多项式x^n - 1在Z[x]中有直到n的每一次因子，并且我们给出了它们分布的上界和下界。本文考虑了多项式x^n-1在F_p[x]中有直到n的每一次因子的情形，其中p是有理数素数。假设广义黎曼假设成立，我们证明了这样的整数n有渐近密度0。
2012-06-15 math.NT
Bressoud-Subbarao type weighted partition identities for a generalized divisor function
1984年，Bressoud和Subbarao利用组合论元得到了广义除数函数的一个有趣的加权分拆恒等式.最近，最后三个命名的作者发现了一个分析证明上述身份的Bressoud和Subbarao开始从$q$系列身份的拉马努金。在本文中，我们重新组合参数Bressoud和Subbarao，并得出一个更一般的加权划分的身份。此外，从Andrews，Garvan和Liang的一个恒等式出发，借助一个分数阶微分算子，我们建立了更多的Bressoud-Subbarao型加权分拆恒等式.我们还发现了一个单一的变量推广的身份内村相关的贝尔多项式。
2022-10-07 math.CO math.NT
Variance of the k-fold divisor function in arithmetic progressions for individual modulus
在本文中，我们证实了最近的猜想的方差的k倍除数函数在等差数列个人复合模，在一个有限的范围内，平滑版本。与Rodgers和Soundararajan先前的结果相反，我们不需要对模进行平均。我们的证明采用了S. Lester等人在短区间内对k重除数函数的方差进行了同样的处理，并基于平滑的Voronoi求和公式，但被乘法特征所扭曲。Dirichlet特征标的使用使我们可以从Kowalski和Ricotta使用加性特征标的结果扩展到更大的范围。光滑也允许我们无条件地处理所有k。这个结果与Dirichlet L-函数的矩密切相关。
2023-02-24 math.NT
On the canonical decomposition of generalized modular functions
证明了（\cite{KoM}）：如果定义在同余子群$Γ$上的归一化广义模函数（GMF）$f$具有整数Fourier系数，则$f$是经典的，因为某个幂$f^m$是$Γ$上的模函数.当$f$的除数是\emph{empty}时，证明了该猜想的一个加强形式（同上）.本文研究了正则抛物型广义矩$f = f_1f_0$分解为正则抛物型广义矩$f_1, f_0$的乘积，使得$f_1$有\emph{unitary character}，$f_0$有\emph{empty divisor} .我们表明，加强形式的猜想成立，如果前“几个”傅立叶系数的$f_1$是代数。我们推导出几个新的情况下的猜想，特别是如果$f_0=1$或如果$f$的除数集中在$Γ$的尖点的证明。
2010-03-11 math.NT
Prime number decomposition of the Fourier transform of a function of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，如果相对于单位的原根的相同阶进行，这是众所周知的事实。因此，变换可以表示为自变量的素因子，本文证明了其显式形式。随后，它示出了如何可以推广到离散傅里叶变换的函数的最大公因数的过程。从这个表示中，建立了关于欧拉函数及其推广的一些有趣的关系。
2014-10-08 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
Approximate Functional Equation for the Product of Functions and Divisor Problem
对于复平面上某些半平面上由Dirichlet/广义狄利克雷级数定义的函数，给出了一种新的简单的初等方法，得到了具有显式余项的函数乘积的近似函数方程（AFE）.本文利用Motohashi的方法，利用Dirichlet装置的推广，利用一个高度推广的恒等式，给出了对应于原始Dirichlet特征标的两个Dirichlet L-级数乘积的AFE，并给出了其余项的未知估计。我们还考虑了实直线上函数的AFE，以及Dirichlet L-级数r次幂的AFE（或者，黎曼ζ函数），而且是它的r次根，其中r是正整数
2009-02-02 math.NT
Sums of four generalized polygonal numbers of almost prime length
The University of Hong Kong（香港大学）
研究四类受限质数因子数的广义多边形数之和，证明大数可表示为此类和，参数限制最多988个质因子。
2026-04-10 math.NT
The distribution of the generalized greatest common divisor and visibility of lattice points
对于固定的$b\in \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$，Goins等人的\cite{Harris}定义了$b$的概念--对于$L=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$中的格点$(r,s)$的可见性，其声明$(r,s)$是$b$ --对于某些正的$a\in \mathbb{Q}$，如果$(r,s)$位于$f(x)=ax^b$的图上，并且$L$中没有其他格点位于$(0,0)$和$(r,s)$之间的该图上，则从原点可见。此外，为了研究$L$中$b$ -可见点的密度，Goins等人定义了一个推广的最大公因数，表示为$\gcd_b$，并证明了$L$中$b$ -可见格点的比例由$1/ζ(b+1)$给出，其中$ζ(s)$是Riemann zeta函数。在本文中，我们研究的算术函数$Λ:L\to \mathbb{ C}$定义使用$\gcd_b$的平均值和恢复的主要结果\cite{Harris}作为更一般的结果，本文。我们还调查了一个推广的结果在\cite{Harris}断言，有任意大的矩形排列的$b$可见点在格$L$为一个固定的$b$，更具体地说，我们给出了一个任意的矩形排列包含$b$可见和$b$ -不可见点是可实现的格$L$的充分必要条件。我们的结果是由赫尔佐格和斯图尔特\cite{Herzog}谁证明了这一点的情况下$b=1$工作的启发。
2020-02-24 math.NT
On a certain divisor function in Number fields
本文的主要目的是研究数域$\mathbb{K}$中广义除数函数的一个模拟，即$σ_{\mathbb{K},α}(n)$ .与这个函数相关的狄利克雷级数是$ζ_{\mathbb{K}}(s)ζ_{\mathbb{K}}(s-α)$。给出了与$σ_{\mathbb{K},α}(n),$相关的Riesz和的表达式，并利用收敛定理推广了该公式的有效性.作为特例，当$\mathbb{K}=\mathbb{Q}$时，得到了广义除数函数的Riesz求和公式，进而对$α=0$给出了除数计数函数$d(n)$的Vorono\"-求和公式.我们还得到了一个大的$O$估计的Riesz和相关的$σ_{\mathbb{K},α}(n)$。
2021-06-09 math.CA math.NT
Linear correlations of the divisor function
出于算术应用程序的点的数量在一个bihomogeneous品种和时刻的狄利克雷$L$ -功能，我们提供解析延续系列$\mathcal A_{\boldsymbol{a}}(s):=\sum_{n_1,\dots,n_k\geq1}\frac{d(n_1)\cdots d(n_k)}{(n_1\cdots n_k)^{s}}$的总和限制到解决方案的一个非平凡的线性方程$a_1n_1+\cdots+a_kn_k=0$。级数$\mathcal A_{\boldsymbol{a}}(s)$对$\Re(s)>1-\frac1k$是绝对收敛的，并且证明了对$1\leq j< (k-1)/2$，它可以亚纯延拓到$\Re(s)>1-\frac 2{k+1}$，且极点仅在$s=1-\frac1{k-j}$.作为应用，我们得到了$\mathbb P^{k-1}(\mathbb Q)\times \mathbb P^{k-1}(\mathbb Q)$中$a_1x_1y_1+\cdots+a_kx_ky_k=0$簇中点数的一个带省电误差项的渐近公式.
2017-02-14 math.NT
Parity results concerning the generalized divisor function involving small prime factors of integers
针对含整数小素因子的广义除数函数相关和式$S_{-k}(x,y)$，结合多种方法推导其渐近行为，揭示$k+1$素性对结果的关键影响，完善相关理论研究。
2024-12-04 math.NT
Common divisors of a^n-1 and b^n-1 over function fields
Ailon和Rudnick证明了，如果$a,b \in C[T]$是乘法独立多项式，则对于所有$n\ge1$，$°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$是有界的。我们表明，如果相反$a,b \in F[T]$为特征$p$的有限域$F$，那么对于常数$C=C(a,b)>0$和无限多个$n$，$°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$大于$Cn$，即使$n$以各种合理的方式受到限制（例如，$gec(n,p)=1$）。
2004-01-26 math.AG math.NT
A converse theorem for Borcherds products on $X_0(N)$
证明了$Γ_0(N)$的每一个Bracke不变亚纯模形式，其在$X_0(N)$上的因子定义在$\mathbb{Q}$上，并在Heegner因子和尖点上得到支持，是一个广义Borcherds积，它与权值为$1/2$的调和Maass形式相关联.进一步，我们得到了广义Borcherds积乘子系有限性的一个判据，该判据是关于具有一定权$2$新形式的$L$ -函数的中心导数为零的.我们也证明了类似的结果扭曲Borcherds产品。
2018-06-25 math.NT
Dirichlet series associated to representation numbers of ideals in real quadratic number fields
在这篇计算性较强的论文中，我们明确地确定了实二次数域中理想的某些表示数，从而得到了相应的狄利克雷级数的狄利克雷L-函数和广义除数和的表示.一个直接而重要的结果是，狄利克雷级数在整个复平面上有亚纯延拓，在$s=2$上有一个单极点，其留数可以用狄利克雷L-函数和广义除数和显式表示.
2023-03-30 math.NT
Voronoi summation formula for the generalized divisor function $σ_{z}^{(k)}(n)$
本文研究广义除数函数 $σ_{z}^{(k)}(n)$，在其 Dirichlet 级数不落入经典多 gamma 因子 Hecke 函数方程理论的情况下，建立显式 Voronoï 求和公式，并分析新型 Bessel 型核及其关键关系。
2025-08-29 math.CA math.NT
The Test Function Conjecture for Local Models of Weil-restricted groups
本文证明了Kottwitz和第一作者关于附在Weil限制群上的具有仿射水平结构的Shimura簇的局部模型的检验函数猜想。莱文我们的结果覆盖了带有$p\geq 5$的$p$-adic局部域上所有连通约化群的（修正的）局部模型.此外，我们给出了一个独立的研究相对仿射格拉斯曼和循环组形成的相对曲线上的任意诺特仿射计划使用一般的相对有效卡地亚因子。
2020-01-08 math.AG math.NT
Number of ordered factorizations and recursive divisors
本文利用递归定义和几何解释，为有序因式分解数量与递归因子数量这两个算术函数推导出三个闭式表达式，揭示了其结构与数论性质，并发现它们均可表示为广义超几何函数。
2023-07-31 math.CO math.NT
MacMahon's sum-of-divisors functions, Chebyshev polynomials, and Quasi-modular forms
研究了第一类切比雪夫多项式与广义MacMahon因子和函数之间的关系。这决定了一个递归关系来计算这些功能，以及证明猜想的麦克马洪关于其一般形式有关的准模形式。这些功能出现作为解决方案的曲线计数问题的阿贝尔曲面。
2010-10-27 math.AG math.CO math.NT
Multiplication Tables for Integers with Restricted Prime Factors
Université de Montréal（蒙特利尔大学）
本文研究了具有受限素因子的整数在区间[1,x]内的计数问题，确定了当素因子集Q的相对密度δ∈(0,1]时的渐进行为，并揭示了在临界点δ=1/log4处的相变现象。
2026-03-20 math.NT math.PR
A divisor generating $q$-series and cumulants arising from random graphs
内村，在1987年，介绍了一种概率生成函数的随机变量$X$和使用性能的这一职能，他发现了一个有趣的$q$系列身份。他进一步表明，$m$ -th累积量关于随机变量$X$只不过是生成函数的广义除数函数$σ_{m-1}(n)$。Simon、Crippa和Collenberg在1993年研究了随机无圈有向图的$G_{n,p}$ -模型，并定义了随机变量$γ_n^{*}(1)$。非常有趣的是，他们发现了其均值极限和除数函数$d(n)$的生成函数之间的联系。后来在1997年，Andrews、Crippa和Simon用$q$系列技术扩展了这些结果。他们计算了对应于第一和第二累积量的随机变量$γ_n^{*}(1)$的均值和方差的极限。本文通过计算$t$阶累积量的极限，推广了Andrews，Crippa和Simon的结果.此外，我们还发现了内村和迪尔彻恒等式的极限形式。这为前四位作者最近提出的内村-拉马努金-除数型三路分拆恒等式提供了第四边形。
2025-07-22 math.CO math.NT math.PR
On the generalized restricted sumsets in abelian groups
设$A$，$B$和$S$是有限阿贝尔群$G$的非空子集.则广义限制和集$$ A\stackrel{S}+B:=\{a+b:\,a\in A,\ b\in B,\ a-b\not\in S\} $$至少包含$$ \min\{|A|+|B|-3|S|,p(G)\} $$元素，其中$p(G)$是$|G|$的最小素因子.此外，我们还具有$$ |A\stackrel{S}+B|\geq \min\{|A|+|B|-|S|-2,p(G)\}, $$，只要$|A|$和$|B|$都相对于$|S|$大。
2016-09-12 math.CO math.NT
On Popoviciu type tormulas for generalized restricted partition function
假设$a_1(n),a_2(n),...,a_s(n),m(n)$是$n$中的整数值多项式，具有正的首项系数。本文给出了广义限制分拆函数$$p_{A(n)}(m(n)):=#\{(x_1,...,x_s)\in \mathbb{Z}^{s}: all x_j\geqslant 0, x_1a_1(n)+...+x_sa_s(n)=m(n) \}$$在$s=2$或3.在任何一种情况下，公式都意味着函数是整数值拟多项式。主要结果由一类分数部分和的互反律和广义欧氏除法理论证明。
2007-09-22 math.CO math.NT
A generalized Hardy-Ramanujan formula for the number of restricted integer partitions
我们导出了部分大小至多为$N$且长度至多为$M$的整数$n$的分块个数的渐近公式$p_n(N,M)$.我们认为$N$和$M$都与$\sqrt{n}$相当。这是经典的Hardy-Ramanujan公式和Szekeres公式的推广。证明依赖于鞍点方法。
2019-03-13 math.CO math.NT
Arithmetic properties of MacMahon-type sums of divisors
本文证明了MacMahon广义除数和函数扩展的生成函数$U_t(a,q)$系数满足新的Ramanujan型同余无限族，并得出关于几乎3-regular overpartitions数量的同余性质。
2025-04-02 math.CO math.NT
