On the Natural Density of Monic Integer Polynomials with Roots in a Fixed Number Field
Faculty of Mathematical Sciences, Shahid Beheshti University（沙希德贝赫什提大学数学科学学院）
本文研究了具有固定数域根的单项整数多项式族的统计分布和渐进行为，通过结合马赫勒测度、狄利克雷单位定理和迪克辛策数的残差分析，证明了密度趋于零的速度依赖于多项式次数，并建立了几何数论原理的显式组合界限，用于计数可约和不可约多项式。
2026-05-15 math.CO math.NT
Linear relations among roots of a polynomial
设$f(x)$是$\mathbb{Q}$上具有复根的首一多项式$α_1,\dots,α_n$ .它们之间的线性关系以及$\mathbb{Q}$上的$1$在研究模素数根的分布时起着重要的作用。我们从理论上研究了线性关系群。如果$\mathbb{Q}(α_1)$是一个阿贝尔扩张，我们就可以完全理解其结构。
2018-10-16 math.NT
Counting integer polynomials with several roots of maximal modulus
该研究对固定次数、高度有界且恰有指定数量最大模根的首一整系数多项式集合基数给出上下界，分别计数可约与不可约情形，得到全根等模的不可约多项式在奇偶次数下的数量估计。
2024-09-13 math.NT
Bounded gaps between prime polynomials with a given primitive root
阿廷的一个著名猜想指出，存在无穷多个素数，其中一个固定整数$g$是原根，只要$g \neq -1$和$g$不是完全平方。由于胡利的工作，我们知道这个猜想是正确的，条件是广义黎曼假设的真理。结合胡利的分析和梅纳德-陶用来证明素数之间存在有界间隙的技术，波拉克证明了（以GRH为条件）具有指定原根的素数之间存在有界间隙。在本文中，我们提供了一个无条件的证明类似的波拉克的工作，在函数域的情况下;即，给定一个一元多项式$g(t)$，它不是任何素数$v$除以$q-1$的$v$次幂，在$\mathbb{F}_q[t]$中的一元不可约多项式$P(t)$之间存在有界间隙，其中$g(t)$是其原根（也就是说，$g(t)$生成以$P(t)$为模的单元组）。特别是，我们得到有界的原始多项式之间的差距，相应的选择$g(t) = t$。
2015-04-15 math.NT
The Number of Roots of a Random Polynomial over The Field of $p$-adic Numbers
研究了p-adic数域上随机多项式的根。对于系数在$\mathbb{Z}_p$中的随机首一多项式，我们得到了该多项式根数的阶乘矩的一个渐近公式。此外，我们证明了概率，一个随机多项式的次数$n$有更多的$\log n$根是$O\big(n^{-K}\big)$某些$K > 0$。
2022-04-07 math.NT
Counting polynomials with positive roots
本文研究所有根均为正实数的首一整系数多项式的计数问题，通过估计满足麦克劳林不等式的整数序列建立固定迹的渐近公式，并对三次多项式给出更精确结果，还证明正比例的三次多项式具有无平方因子判别式。
2025-09-18 math.NT
Equations in the Hadamard ring of rational functions
设k为数域。众所周知，由k上有理函数的泰勒系数组成的序列集合在分量运算下是闭的，因此它可以具有环结构。一个猜想由于皮索问，如果（扩大领域后）一个可以采取d次根在这个环，提供d次根的系数可以采取在k。这在第二作者的前一篇论文中被证明是正确的;在这篇文章中，我们将这个结果推广到更一般的一般方程，monic在Y中，其中前一种情况可以恢复为g（X，Y）=X^d-Y=0。结合这一点与阿达玛商定理的普尔谢和范德Poorten，我们能够摆脱幺一的限制，并有一个定理，推广了这两个结果。
2007-01-26 math.NT
Cubic Polynomials, Linear Shifts, and Ramanujan Cubics
我们发现，每一个首一多项式的次数为三，复系数和没有重根是一个（垂直和水平）的$y=x^3$的翻译或可以组成一个线性函数，以获得一个Ramanujan三次。从而对三次多项式的根有了新的认识。
2017-09-05 math.NT
Polynomial Index in Dedekind Rings
设$R$是Dedekind环，$\mathfrak{p}$是$R$的非零素理想，$P\in R[X]$是一元不可约多项式，$K$是$R$的商域.本文利用$P$模$\mathfrak{p}$约化的一元不可约因子的阶给出了$R$上$P$的指数的$\mathfrak{p}$ -adic赋值的一个下界.作为一个重要的应用，当某些$\mathfrak{p}$的下界大于零时，我们得到了在由$P$定义的$K$的域扩张中，$P$的根不生成幂整基的结论.
2018-10-06 math.NT
The necessary and sufficient condition for an algebraic integer to be a Salem number
本文给出了一个整数系数的一元倒数多项式的根大于大于单位元的Salem数的充要条件。我们确定的概率满足条件的任意权力的根。
2018-04-14 math.NT
On the number of residues of linear recurrences
对于每一个非常数一元多项式$g \in \mathbb{Z}[X]$，令$\mathfrak{M}(g)$是正整数$m$的集合，对于该集合存在具有特征多项式$g$和正整数$M$的整数线性递归$(s_n)_{n \geq 0}$，使得$(s_n)_{n \geq 0}$恰好具有以$M$为模的$m$不同的剩余。Dubickas和Novikas证明了$\mathfrak{M}(X^2 - X - 1) = \mathbb{N}$ .我们研究$\mathfrak{M}(g)$的情况下，其中$g$是整除的一元二次多项式$f \in \mathbb{Z}[X]$与根$α,β$，使$αβ= \pm 1$和$α/ β$是不是一个根的单位。我们证明了这个问题与某些Lehmer序列的特殊本原因子的存在性有关，并推导出关于$\mathfrak{M}(g)$的一些结果.特别地，对于$αβ= -1$，我们证明了对于每个整数$m \geq 7$，$m \in \mathfrak{M}(g)$具有$m \neq 10$和$4 \nmid m$ .
2021-09-13 math.NT
Counting Polynomials via Galois Actions on Root Subsets
本文研究了高度不超过H的单项整系数多项式数量，其伽罗华群在根上的作用同构于给定的置换群(G,Ω)。针对多种群族获得了新的上界。
2026-03-15 math.NT
The number of unimodular roots of some reciprocal polynomials
本文引入了一个中心系数固定的整系数倒数整系数多项式序列$P_{2n}$。证明了当$d$趋于无穷大时，$P_{2n}$的非幺模根数与其次数$d$之比有极限.我们提出了一个计算极限的算法和一个逼近极限的数值方法。如果$P_{2n}$是一个固定数目的单项式的总和，我们确定的中心系数，使比有最小限度。推广了多元多项式的比极限。一些例子表明一个定理多项式在两个变量这是类似于博伊德的极限公式马勒措施。
2019-10-21 math.NT
The Expected Number of Roots over The Field of p-adic Numbers
研究了$p$ -adic数域上随机多项式的根.对于具有独立同分布的随机首一多项式.系数在$\mathbb{Z}_p$中，我们得到了这个多项式的期望根数的估计。具体地，如果系数以相等的概率取值$\pm1$，则$p$根的预期数量收敛于$\left(p-1\right)/\left(p+1\right)$，因为多项式的次数趋向于$\infty$。
2021-11-21 math.NT math.PR
Post-critically finite polynomials over cyclotomic closures of number fields
该研究针对数域K的分圆闭包，证明了次数不小于2的首一中心化后临界有限多项式的个数有限，属于数论领域的相关结论。
2026-10-14 math.NT
Counting and testing dominant polynomials
本文主要研究整系数占优整系数多项式的计数和检验问题。如果一个多项式有一个单根，其模严格大于其余根的模，则称该多项式为显性多项式。特别是，我们的研究结果意味着，优势根假设成立的概率随机首一多项式与整数系数趋于1在某些设置。然而，对于任意整数多项式，它不趋向于1。例如，高度$H$的主导二次整数多项式在所有二次整数多项式中的比例趋于$(41+6 \log 2)/72$为$H \to \infty$。最后，我们将设计一些算法来测试一个给定的整数系数多项式是否是优势的，而不需要找到多项式的根。
2015-01-12 math.NT
Conjugate Reciprocal Polynomials with all Roots on the Unit Circle
本文研究了根均在单位圆上的固定次数一次共轭互反多项式集的几何、拓扑和勒贝格测度。这样的N次多项式的集合自然地与$\R^{N-1}$的子集相关联。我们计算了该集合的体积，证明了该集合与$N-1$球同胚，其等距群与$2N$阶二面体群同构.
2005-11-15 math.GN math.NT
Genus 2 curves, continued fractions, and Somos sequences
我们详细介绍了一元六次多项式的平方根的连分数展开。我们顺便注意到，展开式的每一行都对应于无穷远处除数的加法，并解释了一般展开式所产生的数据。特别地，我们得到了一个由gap~6的三项递归关系定义的相关Somos序列。
2004-12-19 math.NT
Polynomials with roots in ${\Bbb Q}_p$ for all $p$
令$f(x)$是$\dZ[x]$中的一元多项式，没有有理根，但对于所有$p$，根在$\dQ_p$中，或者等价地，对于所有$n$，根mod $n$。众所周知，$f(x)$不能是不可约的，但可以是两个或多个不可约多项式的积，并且如果$f(x)$是$m>1$不可约多项式的积，则其伽罗瓦群必须是$m$真子群的共轭的并。我们证明了对于任何$m>1$，每个有限的可解群，这是一个联盟的共轭$m$真子群（其中所有这些共轭有平凡的交集）出现作为伽罗瓦群这样一个多项式，和相同的结果（与$m=2$）举行的所有Frobenius群。还观察到，每个不可解的弗罗贝纽斯群都可实现为$\dQ(t)$的几何--即正则--扩张的伽罗瓦群。
2007-01-28 math.NT
On $\mathbb{F}_p$-roots of the Hilbert class polynomial modulo $p$
希尔伯特类多项式$H_{\mathcal{O}}(x)\in \mathbb{Z}[x]$附加到虚二次域$K$中的阶$\mathcal{O}$上，是一元多项式，其根恰好是$\mathbb{C}$上椭圆曲线的不同$j$ -不变量，并与$\mathcal{O}$进行复数乘法。令$p$是$K$中的素惰性元素，且严格大于$|\operatorname{disc}(\mathcal{O})|$。我们表明，$\mathbb{F}_p$ -根的$H_\mathcal{O}(x)\!\! \pmod{p}$的数量是零或$|\operatorname{Pic}(\mathcal{O})[2]|$表现出一个自由和传递行动的$\operatorname{Pic}(\mathcal{O})[2]$的$\mathbb{F}_p$ -根的集合$H_\mathcal{O}(x)\!\! \pmod p$时，它是非空的。我们还提供了一个具体的标准的集合的$\mathbb{F}_p$ -根的非空性。类似的结果首先由Xiao et al.~ [Int. J.数论，DOI：10.1142/S1793042122500555]，并由Li等人进一步推广。[arXiv：2108.00168]（涵盖当前结果）。
2022-02-11 math.NT
The number of nonunimodular roots of a reciprocal polynomial
本文引入了一个整系数单倒数整系数多项式序列P_d，它的中心系数和外围系数都是固定的.证明了当d趋于无穷大时，P_d的非幺模根数与其次数d之比存在极限L.我们表明，如果一个多项式的系数可以是任意大的模，那么L可以任意接近0。我们似乎有理由相信，如果系数是有界的，那么类似的莱默猜想是正确的：要么L = 0，要么存在一个间隙，使L不能任意接近0。给出了计算极限比的一种算法及其近似的数值方法。我们估计了一族多项式的极限比。我们计算了与许多具有小马勒测度的二元多项式相关的多项式的极限比。
2022-03-15 math.NT
Parameterizing roots of polynomial congruences
本文利用理想的序运算来参数化多项式同余$F(μ) \equiv 0 \pmod m$、$F(X) \in \mathbb{Z}[X]$幺半群、不可约和次数$d$的根$μ\pmod m$。我们的参数化推广高斯的经典参数化的二次同余的根使用二进制二次形式，这以前只被扩展到三次多项式$F(X) = X^3 - 2$。我们表明，只有一个特殊的理想类需要参数化的根$μ\pmod m$，并在三次设置，$d = 3$，一般理想对应于对根$μ_1 \pmod{m_1}$，$μ_2 \pmod {m_2}$满足$\gcd(m_1, m_2, μ_1 - μ_2) = 1$。在最后，我们说明了我们的参数化和根和理想之间的这种对应关系与一些应用，包括找到近似$\fracμ{m} \in \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$，找到一个明确的欧拉产品的共同型zeta函数的$\mathbb{Z}[2^{\frac{1}{3}}]$，并计算三次理想的根$μ_1 \pmod {m_1}$和$μ_2 \pmod {m_2}$的组成。
2021-09-03 math.NT
Discriminants of Fields Generated by Polynomials of Given Height
我们得到了一元不可约多项式的数量上界的$\mathbb Z$上的固定程度$n$和增长的高度$H$，它的根之一所产生的字段有一个给定的判别式。我们通过两种互补方法计算多项式判别式的无平方部分来接近它。进而，这导致由次数为$n$且高度至多为$H$的多项式的根生成的域的不同判别式的数目的下界。我们还给出了判别式中给定无平方部分的有界高三项式个数的一个上界，改进了I. E. Shparlinski（2010）.
2021-11-17 math.NT
Elliptic curves and continued fractions
我们详细的连分数扩展的平方根的一般monic四次多项式，注意到每一行的扩展对应于除了除数在无穷大。我们分析由一般展开产生的数据。这样我们就得到了满足Somos关系的“椭圆序列”。我提到几个新的结果，这样的序列。本文对函数域上二次无理数的连分数作了详细的“提醒说明”。
2004-07-16 math.NT
Collatz polynomials: an introduction with bounds on their zeros
Collatz猜想（也被称为3x+1问题）提出以下算法在一定次数的迭代后总是产生数字1：给定一个自然数，乘以3，如果数字是奇数，则加1，将所得数字减半，然后重复。在本文中，对于Collatz猜想成立的每个$N$，我们定义$N^{th}$ Collatz多项式为具有常数项$N$和$k^{th}$项（对于$k > 1$）的首一多项式，该项是$N$在Collatz函数下的$k^{th}$。特别是，我们绑定这些多项式的根的模，证明定理时，他们有合理的整数根，并提出进一步的应用和研究途径。
2020-01-25 math.NT
Weil polynomials of small degree
本文修正了 $g=3,4,5$ 时 $q$-Weil 多项式空间描述中的错误，并基于一个关于实多项式及其一阶导数根的判据给出了证明。
2025-07-14 math.NT
Quantitative Hilbert irreducibility and almost prime values of polynomial discriminants
本文结合 Fourier 分析与算术方法，研究 Galois 群含于 A_n 的 n 次多项式的定量 Hilbert 不可约性，并给出判别式为殆素数的首一多项式及数域数量的下界。
2021-09-15 math.NT
Conjectures on the distribution of roots modulo a prime of a polynomial
本文基于数值实验提出关于首一整系数多项式模完全可分解素数时局部根归一化分布及带同余约束根分布的两个新猜想，后者在 n=1 时退化为 Dirichlet 算术级数定理。
2024-09-04 math.NT
Reciprocal cyclotomic polynomials
令$Ψ_n(x)$是首一多项式，其具有恰好所有的非本原单位根$n$作为其简单零点。一个是$Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$，其中$Φ_n(x)$是$n$的第分圆多项式。$Ψ_n(x)$的系数是整数，其与$Φ_n(x)$的系数一样，在绝对值上往往令人惊讶地小，例如，对于$n<561$，$Ψ_n(x)$的所有系数在绝对值上都是$\le 1$。我们建立了$Ψ_n(x)$的系数的各种性质。
2007-09-11 math.NT
Distribution results on polynomials with bounded roots
对于$d \in \mathbb{N}$，著名的Schur-Cohn区域$\mathcal{E}_d$由所有$d$维向量$(a_1,\ldots,a_d)\in\mathbb{R}^d$组成，所述向量$(a_1,\ldots,a_d)\in\mathbb{R}^d$对应于其根都位于开单位盘中的一元多项式$X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_{d-1}X+a_d$。几十年来，人们对这一地区进行了广泛的研究。最近，Akiyama和PethIgn考虑了Schur-Cohn区域的子集$\mathcal{E}_d^{(s)}$，这些子集对应于具有非实根的$s$对的$d$次多项式。他们特别感兴趣的$d$维勒贝格措施$v_d^{(s)}:=λ_d(\mathcal{E}_d^{(s)})$这些集和他们的算术性质，并给出了一些基本结果。此外，他们提出了我们在本文中证明的两个假设。即，我们表明，在完全复杂的情况下$d=2s$的公式\[ \frac{v_{2s}^{(s)}}{v_{2s}^{(0)}} = 2^{2s(s-1)}\binom {2s}s \]持有所有$s\in\mathbb{N}$和在一般情况下的商$v_d^{(s)}/v_d^{(0)}$是一个整数的所有选择$d\in \mathbb{N}$和$s\le d/2$。我们甚至超越了这一点，并证明了明确的公式为$v_d^{(…
2017-04-21 math.NT
Density of Special Classes of Polynomials with Squarefree Discriminant
本文针对 $\mathbb{Z}_p$ 上固定次数首一多项式的若干特殊子集，计算了判别式为无平方因子的多项式密度，并进一步确定了对应商环为极大序的多项式密度。
2025-05-11 math.NT
On ideal class groups of totally degenerate number rings
本文研究了完全退化数环的理想类群和单oid，推导了其阶数公式并分析了渐进行为，特别探讨了次数为2或3时的结构特性。
2025-11-28 math.NT
On the Extensions of a Discrete Valuation in a Number Field
设$K$是由一元不可约多项式$F(X) \in \mathbb{Z}[X]$定义的数域，$p$是固定的有理素数，$ν_p$是与$p$相关联的离散赋值。假设$\overline{F}(X)$将模$p$因子化为$r$不同一元不可约多项式的幂的乘积。本文给出了一个比已知条件弱的条件，它保证了$K$扩展$ν_p$的$r$赋值的存在性.我们进一步指定的分歧指数和剩余度，这些扩展的估值在这样一种方式，推广已知的估计。给出了一些有用的注释和计算实例，以突出由于我们的结果的一些改进。
2018-02-17 math.NT
Squarefree values of polynomial discriminants I
我们确定的一元整数多项式的密度给定的程度$n>1$，有squarefree判别，特别是，我们证明了第一次，这种多项式的密度较低是积极的。同样地，我们证明了一元整数多项式$f(x)$的密度是正的，并且实际上是由$ζ(2)^{-1}$给出的，其中$f(x)$是不可约的，$\mathbb Z[x]/(f(x))$是其分数域上的整数环。从我们的方法还可以得出，有$\gg X^{1/2+1/n}$单演数域的程度$n$有相关的伽罗瓦群$S_n$和绝对判别小于$X$，我们推测，在这个下界的指数是最佳的。
2021-12-31 math.NT
Counting Polynomials with Distinct Zeros in Finite Fields
设$\mathbb{F}_q$是具有$q=p^e$元素的有限域，其中$p$是素数，$e\geq 1$是整数。令$\ell<n$为两个正整数。对于整数$0\leq k \leq {\rm min}\{n,q\}$，令$N_k(u(x),\ell)$表示$v_\ell(x)$的总数，使得$u(x)+v_\ell(x)$在$\mathbb{F}_q$中恰好有$k$不同的根，即$$N_k(u(x),\ell)=|\{f(x)=u(x)+v_l(x)\ |\ f(x)\ {\rm has\ exactly}\ k\ {\rm distinct\ zeros\ in}\ \mathbb{F}_q\}|.$$本文得到了当$n-\ell$很小时，即当$n-\ell= 1, 2, 3$时，$N_k(u(x),\ell)$的显式组合公式.作为应用，我们定义了两类Wenger图，称之为跳Wenger图，并得到了它们的显式谱。
2017-02-08 math.NT
On Galois realizations of the 2-coverable symmetric and alternating groups
设f（x）是Z[x]中的首一多项式，无有理根，但对所有p根在Q_p中，或等价地，对所有n根在mod n中.已知f（x）不能是不可约的，但可以是两个或多个不可约多项式的乘积，并且如果f（x）是m个>1个不可约多项式的乘积，则它的伽罗瓦群必须是“m-可覆盖的”，即m个真子群的共轭的并，其总交是平凡的。因此我们得到了逆Galois问题的一个变形：给定一个m-可覆盖有限群G，通过Z[x]中的多项式f（x）找到G在有理数Q上的Galois实现，该多项式f（x）是m个非线性不可约因子（在Q[x]中）的乘积，使得f（x）对所有p都在Q_p中有根。已知对称群S_n是2-可覆盖的当且仅当2<n<7，交错群A_n是2-可覆盖的当且仅当3<n<9.本文利用MAGMA、PARI和GAP软件包，对2-可覆盖的对称交错群求解了上述的Galois逆问题，并给出了每个群的显式多项式.
2011-04-16 math.NT
Roots and right factors of polynomials and left eigenvalues of matrices over Cayley-Dickson algebras
本文研究一般 Cayley-Dickson 代数中多项式有根与存在右因子的等价性，分析其适用边界，并计算八元数矩阵的左特征值。
2025-09-30 math.NT math.RA
Normal bases and irreducible polynomials
令$\mathbb{F}_q$表示$q$元素的有限域，$\mathbb{F}_{q^n}$表示$\mathbb{F}_q$的次数$n$扩张。$\mathbb{F}_{q^n}$在$\mathbb{F} _q$上的正规基是$\{α,α^q,\dots,α^{q^{n-1}}\}$形式的基。$\mathbb{F} _q[x]$中的不可约多项式称为$N$ -多项式，如果它的根在$\mathbb{F} _q$上线性无关.令$p$为$\mathbb{F} _q$的特征。Pelis等人证明了，如果$n$是$p$的幂或不同于$p$的素数，并且$q$是模$n$的原根，则每个具有次数$n$和非零迹的一元不可约多项式都是$N$ -多项式。张等人证明了反过来也是正确的。通过比较$N$ -多项式与迹为非零的不可约多项式的个数，给出了这一问题的另一种处理方法，并证明了上述所有结果都可以由我们的主要定理很容易地推导出来.
2018-07-26 math.NT
House of algebraic integers symmetric about the unit circle
给出了根关于单位圆对称的一元整多项式的根的最大模的Schinzel-Zassenhaus型下界.我们的结果推广了Dimitrov的工作，Dimitrov利用整系数幂级数的Pólya合理性定理证明了一般的Schinzel-Zassenhaus猜想，并给出了集合的对数容量（超限直径）的一些估计.我们使用增强的Pólya的结果得到的罗宾逊，其中涉及劳伦特型有理函数与小的上确界规范，从而取代了对数容量与一个更小的数量。这个较小的量通过加权切比雪夫常数表示，该常数与罗宾逊合理性定理中使用的季米特洛夫函数相关联。我们的房子的下界证实了博伊德的一个猜想。
2021-01-17 math.CV math.NT
An analogue of Girstmair's formula in function fields
本文研究函数域中 Girstmair 公式的类似物，建立了扩域的除子类数正负部分与 $1/P$ 在 $G$ 进制下数字之间的关系。
2024-06-03 math.NT
On Splitting Types, Discriminant Bounds, and Conclusive Tests for the Galois Group
利用数域正规扩张的伽罗瓦群的作用，我们推广和对称了代数和代数数论中关于素理想的分裂类型、多项式模素数的因子分解类型和多项式的伽罗瓦群的循环类型的各种基本陈述.一个显著的例子是从库默-戴德金定理中删除了所有人为的约束，该定理涉及分裂和因子分解模式。最后，给出了一个初等证明，证明了整系数一元不可约多项式的分裂域的判别式有一个可计算的系数上界.这一结果与Lagarias等人的结果相结合，表明，测试多项式的周期类型的伽罗瓦群是决定性的。特别是，整系数的一元不可约三次群、四次群和五次群的伽罗瓦群可以在许多步骤中完全确定（尽管不一定在一生中）。
2018-07-05 math.NT
Solubility of a resultant equation and applications
该研究运用大筛法估计满足特定结式条件的整系数二次多项式密度，证明几乎所有这类多项式与首一奇数次整系数多项式在某有限域代数闭包有公共根，并给出其在二次数域类群奇部平均大小上的应用。
2025-06-11 math.NT
The Proportion of Irreducible p-adic Polynomials
本文研究首一 $p$-adic 多项式中不可约多项式的精确占比，并在 n 为素数且 $p\ eq n$、以及 $n=4$ 且 $p\ eq2$ 时给出关于 p 的有理函数表达式。
2025-03-17 math.NT
A construction of polynomials with squarefree discriminants
对任意整数n >= 2和任意非负整数r，s（其中r+2s = n），给出了无穷多个整数系数具有无平方判别式且恰有r个实根的一元n次不可约多项式的无条件构造.这就产生了n次数域、签名（r，s）、伽罗瓦群S_n和无平方判别式;我们也可以强制判别式与任何给定的整数互质。在[-N，N]范围内用判别式产生的场的数目至少为c N^（1/（n-1））。一个推论是，对于每个n \geq 3，无穷多个二次数域处处容许其正规闭包具有伽罗瓦群A_n的非分歧n次扩张.这推广了Yamamura的结果，他处理了n = 5的情况，以及Uchida和Yamamoto的结果，他们允许一般的n，但不控制真实的地方。
2011-05-04 math.NT
Real polynomials with all roots on the unit circle and abelian varieties over finite fields
本文通过研究根均位于单位圆上的2n次一次实多项式集合，证明了关于有限域上的阿贝尔簇簇的几个定理。特别地，我们考虑R^n中的向量集合V_n，它们给出了这样的多项式的系数。我们计算了V_n的体积，找到了V_n的一个大的易描述子集。利用这些结果，我们得到了F_q上n维阿贝尔簇的等距类个数的一个带显式误差项的渐近公式.当n>1时，F_q上的n维阿贝尔簇的群阶集合包含以q^n+1为中心的长度约为q^{n-1/2}的区间内的所有整数.我们计算V_n的体积涉及到对单形{（x_1，...，x_n）|0 < x_1 <. < x_n < 1}，其中e_i是正实数，其第（i，j）项是x_j^{e_i-1}的n × n矩阵的行列式。
2000-06-12 math.AG math.NT
Sequences related to Lehmer's problem
本文研究Mahler测度定义下与Lehmer问题相关的整数序列性质，探讨其潜在解法。
2023-08-18 math.NT
On the Distribution of Discriminants over a Finite Field
对于素数幂$q$，我们证明了当$q$为奇数时，若$\gcd(q-1,m(m-1))=2$为奇数，若$q$为偶数，则若$\gcd(q-1,m(m-1))=1$为偶数，则固定次数$q$的$\mathbb{F}_q[x]$中的首一多项式的判别式是均匀分布的.当$q-1$是无平方数时，证明了一个反向定理.
2018-12-15 math.NT
An Integral Digit Derivative Basis for Carlitz Prime Power Torsion Extensions
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；University of Heidelberg（海德堡大学）
本文提出了一种用于Carlitz素幂torsion扩张的积分数字导数基，并给出了显式域正交基。
2016-11-30 math.NT
Squarefree discriminants of polynomials with prime coefficients
本文研究素数系数多项式族，确定具有无平方判别式及最大序条件的多项式数量。
2025-01-26 math.NT
On Salem numbers, expansive polynomials and Stieltjes continued fractions
利用Salem多项式与Hurwitz多项式通过小Mahler测度的扩张多项式的联系，研究了Salem（1945）构造收敛Salem数族的逆方法.这种关联利用了Bertin-Boyd定理A（1995），即单位圆上共轭的交错;在这种情况下，Salem数$β$由正有理数的m元组产生和编码，该m元组表征相应Hurwitz商（交替）的（SITZ）Stieltjes连分数。Salem多项式上的Stieltjes连分数的子集具有半群结构，该子集的单根在$\pm 1$处不相消，来自于常数项等于其Mahler测度的一元扩张多项式.相应的广义Garsia数的集合继承了这个半群结构。
2015-07-22 math.NT
An improvement on Schmidt's bound on the number of number fields of bounded discriminant and small degree
我们证明了一个改进的Schmidt上界的次数$n$和绝对判别小于X $6 \leq n \leq 94$的数域的数目。我们进行这一改进和应用统一的界限上的monic整数多项式的数量，有界的高度和判别整除一个大的平方，我们证明了在以前的工作。
2022-10-01 math.NT
Hyperelliptic curves, continued fractions, and Somos sequences
本文详细讨论了偶数次首一多项式的平方根的连分数展开式。我们注意到，展开式的每一步都对应于无穷远处除数的加法，并解释了一般展开式产生的数据。在四次和六次的情况下，我们观察到明确的参数出现在连分数扩展产生的整数序列定义的双线性关系实例序列的Somos型。
2006-08-10 math.AG math.NT
Okutsu invariants and Newton polygons
设K是特征为零的局部域，O是其整数环，F（x）是系数在O中的一元不可约多项式。K. Okutsu附加到F（x）的某些本原因子多项式F_1（x），.，F_r（x），它们在次数上特别接近F（x）。本文刻画了Okutsu族[F_1，…，F_r]中的某些高阶牛顿多边形，我们得到了一些应用：某些奥津不变量的闭公式，新的奥津不变量的发现，或F（x）的Montes逼近的构造;这些是monic不可约多项式，足够接近F（x），以共享它的所有奥津不变量。这一观点拓宽了Montes算法的应用范围，它可以被重新解释为计算O[x]中一元可分多项式f（x）的每个不可约因子的Okutsu多项式和Montes逼近的工具。
2010-05-17 math.AG math.NT
Halves of points of an odd degree hyperelliptic curve in its jacobian
设$f(x)$是一个系数在代数闭域$K$中的次数$(2g+1)$一元多项式，它有$char(K)\ne 2$且无重根.令$\mathfrak{R}\subset K$是$f(x)$的根的$(2g+1)$ -元素集。设$\mathcal{C}: y^2=f(x)$是$K$上的一条奇亏格$g$超椭圆曲线.令$J$是$\mathcal{C}$的雅可比行列式，而$J[2]\subset J(K)$是其除$2$的阶点的（子）群。我们确定$\mathcal{C}$与其规范嵌入到$J$的图像（$\mathcal{C}$的无穷点到$J$的单位元）。设$P=(a,b)\in \mathcal{C}(K)\subset J(K)$和$M_{1/2,P}\subset J(K)$为$J(K)$中$P$的半集，即$J[2]$ -torsor。在以前的工作中，我们建立了$M_{1/2,P}$和平方根集合$$\mathfrak{R}_{1/2,P}:=\{\mathfrak{r}: \mathfrak{R} \to K\mid \mathfrak{r}(α)^2=a-α\ \forall α\in\mathfrak{R}; \ \prod_{α\in\mathfrak{R}} \mathfrak{r}(α)=-b\}.$$之间的显式双射。本文的目的是描述$J[2]$对$\mathfrak{R}_{1/2,P}…
2019-08-29 math.AG math.CV math.NT
