The Average Size of Ramanujan Sums over Cubic Number Fields
设K是一个立方数域。本文研究了Ramanujan和c_{J}（I），其中I和J是O_{K}中的整理想.研究了c_{J}（I）在I和J上的和的渐近性质.
2021-05-25 math.NT math.RA
On Ramanujan's cubic continued fraction
本文证明了由特定代数方程定义的周期点可用 Ramanujan 三次连分数表示，并揭示了其在虚二次域中生成特定环类域的代数性质。
2024-07-26 math.NT
Cubic and quintic analogues of Ramanujan's septic theta function identity
受Ramanujan七次θ函数恒等式补全的启发，本文提出三次和五次类似，并结合Ramanujan类不变量，为其著名θ函数φ(q)提供了多种求值。
2024-12-22 math.CA math.NT
A smooth shift approach for a Ramanujan expansion
所有算术函数$F$满足Ramanujan猜想，即，$F(n)\ll_{\varepsilon}n^{\varepsilon}$，并使用$Q-$平滑因子，即，在$Q-$光滑数中支持Eratosthenes变换$F':=F\ast μ$的情况下，具有一种唯一的Ramanujan展开;此外，这些Ramanujan系数很好地衰减到$0$，并且具有两个显式表达式（以Carmichael和Wintner的风格）。然后，将这个一般结果应用于移位-Ramanujan展开，即，相关性的扩展与转移有关，标题由此而来。
2019-04-11 math.NT
Ramanujan series with a shift
我们考虑一个扩展的Ramanujan系列与变量$x$。如果我们让$x=x_0$，我们称之为系列：“Ramanujan系列与移位$x_0$“。然后，我们将这些移位级数与一些$q$ -级数联系起来，并用移位$x_0=1/2$解决了水平$4$的情况。最后，我们指出了一种可能的方法来证明作者观察到的一些模式对应的水平$\ell=1, 2, 3$和转移$x_0=1/2$。
2018-03-20 math.NT
Automatic Solving of Cubic Diophantine Equations Inspired by Ramanujan
在拉马努金的《失落的笔记本》中，有一个惊人的恒等式，它列举了无穷多个三次费马大定理的“几乎是反例”，却没有任何迹象表明他是如何发现它的。1995年，迈克尔·赫希霍恩（Michael Hirschhorn）以一种辉煌的方式解释了拉马努金可能是如何做到这一点的，基于四个立方之和的某个多项式恒等式。更早的时候，Eri Jabotinsky在1946年发表的一篇文章中（在一本青少年数学杂志上）解释了拉马努金是如何发现赫希霍恩方法所需的多项式恒等式的。在这里，我们结合这两个辉煌的想法（这可能是或可能不是拉马努金如何做到这一点），自动化，并推广，通过开发一个算法来解决一大类三次丢番图方程。我们对这个问题的兴趣在读了艾米·阿尔兹瑙尔的（b）之后重新燃起。安德鲁斯）令人愉快的儿童书籍“梦想无限的男孩”（蜡烛芯出版社），2020年，拉马努金的身份出现在其中一个插图中。
2020-07-30 math.CO math.NT
Finite Ramanujan expansions and shifted convolution sums of arithmetical functions, II
我们继续我们的研究卷积和两个算术函数$f$和$g$，形式$\sum_{n \le N} f(n) g(n+h)$，在启发式渐近公式的上下文中。这里，整数$h\ge 0$通常被称为卷积和的{ \it移位}。为了研究广义$f,g$的有限Ramanujan展开式的卷积和，我们进一步研究了广义$f,g$的有限Ramanujan展开式.此外，我们介绍了另一种Ramanujan扩展的卷积和的$f$和$g$，即在其移位$h$方面，我们比较这个\lq \lq移位Ramanujan扩展\rq \rq，与我们以前的有限扩展的$f$和$g$参数。最后但并非最不重要的，我们给出了这样的移位扩展的例子，在经典文献中，启发式公式。
2017-05-19 math.NT
Ramanujan-Type congruences for cubic partition functions
Chan和Kim提出的自然数$n$的三次分拆具有生成函数$\sum_{n=0}^{\infty}a(n)q^n= \frac{1}{(q; q)_{\infty}(q^2; q^2)_{\infty}}.$.本文推广了Chen-Lin的一些结果，指出$a(n)$应具有普通分拆函数的类似性质.具体地说，我们证明了对每个非负整数$n$，$a(5^4n+547)\equiv 0\pmod{5^2}, a(7^3n+190)\equiv 0\pmod{7^2}, a(7^3n+288 \equiv 0\pmod{7^2} and a(7^3n+337)\equiv 0\pmod{7^2}.$
2010-06-22 math.CO math.NT
Generalized cubic partitions
本文提出广义立方分拆概念，运用三种证明方法建立若干新的 Ramanujan 型同余式，并对其稀有性提出猜想。
2024-04-29 math.NT
Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
2016-05-19 math.NT
Ninth degree analogue of Ramanujan's septic theta function identity
本文提出了Ramanujan七次θ函数恒等式的九次类似，并应用其笔记簿中的三次方程条目、用θ函数解释三角恒等式，最后计算了五个φ(e^{-π√n})的例子。
2025-06-01 math.CA math.NT
An elementary property of correlations
本文研究了满足Ramanujan猜想的一般$f,g$的移位Ramanujan展开式（见1705.07193），以得到它们的移位卷积和的公式，比如$C_{f,g}(N,a)$，长度为$N$，移位为$a$（所以Ramanujan展开式是关于a>0的）.我们证明，假设Delange假设（DH）的扩展，我们得到说Ramnujan精确的显式公式（R.e.e.f.）。当然，一个值得注意的例子是$f=g=Λ$，即冯·曼戈尔特函数，所以$C_{Λ,Λ}(N,2k)$，对于自然的$k$，与$2k-$孪生素数有关;假设它们是$(DH)$，我们得到（从相应的R.e.e.f.）证明哈代-利特尔伍德猜想。
2017-09-18 math.NT
On a cubic moment of Hardy's function with a shift
导出了$$ \int_{T/2}^{T}Z^2(t)Z(t+U)\,dt\qquad(0< U = U(T) \le T^{1/2-\varepsilon}) $$的一个渐近公式，其中$$ Z(t) := ζ(1/2+it){\bigl(χ(1/2+it)\bigr)}^{-1/2}\quad(t\in\Bbb R), \quad ζ(s) = χ(s)ζ(1-s) $$是Hardy函数.本文还讨论了$Z(t)$的三次矩，并给出了一个均值结果，支持了作者的猜想：$$ \int_1^TZ^3(t)\,dt \;=\;O_\varepsilon(T^{3/4+\varepsilon}). $$
2015-11-23 math.NT
On the Hardy-Ramanujan Theorem
University of Manchester（曼彻斯特大学）
本文证明了Hardy-Ramanujan定理的有效版本，通过Poisson分布点态控制ω(n)的移位经验分布，并推导了平方自由数类似结果、Chernoff估计、高斯窗口估计、中偏差上界和一致矩估计。
2026-06-08 math.NT math.PR
Irreducible polynomials from a cubic transformation
设$R(x)=g(x)/h(x)$是有限域$\mathbb{F}_q$上的三次有理表达式.我们计算$\mathbb{F}_q[x]$中给定次数的不可约多项式，对于某些$f(x)\in\mathbb{F}_q[x]$，这些多项式具有$h(x)^{\mathrm{deg}\, f}\cdot f\bigl(R(x)\bigr)$的形式。作为一个应用，我们恢复的数量不可约变换移位寄存器的顺序三，以前计算的江和杨。
2021-11-07 math.NT
Ratios conjecture of cubic $L$-functions of prime moduli
Beihang University（北京航空航天大学）；University of New South Wales（新南威尔士大学）
本文在广义黎曼假设下，针对三次 Hecke L 函数提出比率猜想，并应用该猜想计算了中心值的第一矩和一级密度。
2025-05-27 math.NT
