Non-amenability and visual Gromov hyperbolic spaces
Juhani Koivisto
我们证明了一个均匀粗适当的双曲锥上的有界度量空间组成的一个有限的union的均匀粗连接的组件，每个组件至少包含两个点是不顺从的，并将其应用到视觉Gromov双曲空间。
We prove that a uniformly coarsely proper hyperbolic cone over a bounded metric space consisting of a finite union of uniformly coarsely connected components each containing at least two points is non-amenable and apply this to visual Gromov hyperbolic spaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rationality of the Gromov Boundary of Hyperbolic Groups
在[BBM21]中，Belk，Bleak和Matucci证明了双曲群可以看作是有理群的子群。为了做到这一点，他们将原子树与每个双曲群相关联。没有那么多的连接这棵树和文献的双曲群是已知的。在本文中，我们证明了一个原子版本的同路者性质和指数发散，以及其他类似的结果。这些导致了几个后果：从上面的Gromov边界的拓扑维数的约束，一个增广树的定义，这是准等距的凯莱图和同步识别器描述的等价关系给出的商映射定义从树的末端到Gromov边界。
A Dual Interpretation of the Gromov--Thurston Proof of Mostow Rigidity and Volume Rigidity for Representations of Hyperbolic Lattices
我们使用有界上同调定义一个概念的体积的SO（n，1）-值表示格SO（n，1），并使用这个工具，我们给出了一个完整的证明的体积刚性定理的Francaviglia和Klaff在此设置。我们的方法特别给出了Gromov的Mostow刚性证明的Thurston版本的证明（也是在非余紧的情况下），这是使用单纯体积不变量的Gromov-Thurston证明的对偶。
A Gromov hyperbolic metric vs the hyperbolic and other related metrics
我们主要考虑两种度量：Gromov双曲度量和尺度不变的Cassinian度量。我们比较这两个度量，并获得它们与某些著名的双曲型度量的关系，导致相关的度量球之间的几个包含关系。
Gromov-Hausdorff distance with boundary and its application to Gromov hyperbolic spaces and uniform spaces
本文引入了带边界的Gromov-Hausdorff距离的概念，记为$d_{GHB}$，从而构造了非完备度量空间的收敛框架.证明了一类直径有界的有界$A$ -一致空间是关于$d_{GHB}$的完全度量空间.作为应用，在适当的收敛性概念和假设下，我们证明了Gromov双曲性的稳定性，Gromov双曲空间的粗星形性质，一致化，拟双曲化和边界.
Conformal dimension and Gromov hyperbolic groups with 2-sphere boundary
设G是一个Gromov双曲群，G的无穷远边界与一个Ahlfors正则共形维数为Q的Ahlfors Q-正则度量2-球面Z拟对称同胚.则G在双曲3-空间上是离散的、余紧的和等距的。
Sphericalization with its applications in Gromov hyperbolic spaces
本文研究球化在Gromov双曲度量空间中的某些应用。首先证明了双曲空间的Gromov边界上两类度量的加倍性质是一致的。其次，我们通过度量空间球化得到了无界Gromov双曲域的一个特征。最后，我们研究了Gromov双曲$φ$ -一致域在Gromov边界和内度量边界之间的拓扑等价性。
Gromov-Hausdorff convergence of maximal Gromov hyperbolic spaces and their boundaries
研究最大Gromov超几何空间及其边界的连续性性质，证明准度量反向空间序列的近等距收敛等价于最大Gromov超几何空间的Gromov-Hausdorff收敛，且边界等连续性假设下边界也收敛。
Amenability, locally finite spaces, and bi-lipschitz embeddings
定义了局部有限度量空间的等周常数，研究了等周常数为零的性质。这个性质，称为小邻域性质，显然扩展到任何局部有限空间的顺从性。因此，我们开始做一个比较这个属性和其他概念的顺从性的局部有限度量空间，已提出的格罗莫夫，Lafontaine和潘苏，由Ceccherini-Silberstein，Grigorchuk和德拉Harpe和块和温伯格。讨论了SN性质在研究将一个度量空间嵌入到另一个度量空间中的可能应用。特别是，我们提出了三个结果：我们证明了一定的度量图类，等距嵌入到希尔伯特空间必须有性质SN。我们还表明，通过一个简单的例子，这一结果是不正确的替代属性SN与顺从性。作为第二个结果，我们证明了具有双Lipschitz嵌入到欧几里得空间中的\emph{uniform bounded geometry}的\emph{many}空间必须具有SN性质。最后，我们证明了度量树的一个Bourgain类定理：具有一致有界几何且不具有SN性质的度量树在有限维希尔伯特空间中没有双Lipschitz嵌入。
Quasihyperbolic metric and Gromov hyperbolic spaces I
本文引入短弧与长度映射概念，利用其性质刻画拟双曲度量空间的Gromov双曲性。
Rough isometry between Gromov hyperbolic spaces and uniformization
本文证明了：给定两个完备测地Gromov双曲空间，它们是大致等距的和$\varepsilon>0$，或者这两个空间的带参数$\varepsilon$的一致化得到一致域，或者两个一致化空间都不是一致域.“一致化”的术语来自Bonk，Heinonen和Kokhena的工作，其中证明了具有参数$\varepsilon>0$的完全测地Gromov双曲空间的一致化，如果$\varepsilon$足够小，则会导致一致域。
Some applications of l_p-cohomology to boundaries of Gromov hyperbolic spaces
本文研究Gromov双曲空间的拟等距不变量，重点研究了它的l_p-上同调以及与其密切相关的不变量，如共形维数、组合模和组合Loewner性质.给出了连续l_p-上同调的新构造，从而得到了l_p-等价关系的信息，以及与l_p-上同调相关的临界指数.作为一个应用，我们提供了一个灵活的双曲群，不具有组合Loewner性质的建设，扩展和补充以前的例子。另一个结果是存在的双曲群的Sierpinski地毯边界的共形维数任意接近1。特别是，我们回答马里奥邦克和约翰麦凯的问题。
A characterization of Gromov hyperbolicity via quasigeodesic subspaces
度量空间$X$的测地线子空间指的是$X$的子集$A$，使得$A$中的任意两点可以通过$A$中的测地线连接。很容易检验测地度量空间$X$是$\mathbb{R}$ -树（即Gromov意义下的$0$ -双曲空间）当且仅当任意两个相交的测地子空间的并又是测地子空间。本文证明了一般Gromov双曲空间的一个类似刻画，其中用拟测量子空间代替测量子空间。
Gromov hyperbolicity of intrinsic metrics from isoperimetric inequalities
本文利用线性等周不等式刻画Gromov双曲性，证明具有边界扩张性质的Kobayashi、Hilbert及极小度量均为Gromov双曲，并给出新证明及极小度量双曲凸域的刻画。
Mapping properties of a scale invariant Cassinian metric and a Gromov hyperbolic metric
本文考虑尺度不变的Cassinian度量和Gromov双曲度量。讨论了尺度不变的卡西尼度量在一个穿孔球到另一个穿孔球的莫比乌斯映射下的一个畸变性质。我们得到了从一个具有尺度不变的Cassinian度量（或Gromov双曲度量）的域到同一个具有欧氏度量的域上的恒等映射的连续模.在拟共形映射下，这两个度量的拟不变性也得到了证明。
Gromov hyperbolicity and quasihyperbolic geodesics
利用Ahlfors正则长度度量空间测度空间（Ω，d，μ）的几何性质刻画了拟双曲度量空间（Ω，k）的Gromov双曲性.其特征性质称为Gehring-Hayman条件和球分离条件。
Properties of sets of isometries of Gromov hyperbolic spaces
证明了一个关于Gromov双曲度量空间的等距不等式，它不要求空间是真的或测地线的。它涉及到联合稳定长度，一个双曲版本的联合谱半径，并显示，集的等距行为像一套$2 \times 2$实矩阵。在不等式的结果中，我们得到了联合稳定长度的连续性和Berger-Wang定理的一个类似结果。
Gromov hyperbolicity of Denjoy domains with hyperbolic and quasihyperbolic metrics
我们得到明确和简单的条件，在许多情况下允许一个决定，是否Denjoy域赋予庞加莱或quasibl曲度量是Gromov双曲。该标准是基于欧几里德大小的补充。作为推论，主要定理允许推导出任何周期Denjoy域的非双曲性。
Area of ideal triangles and Gromov hyperbolicity in Hilbert Geometry
在Hilbert几何的背景下，我们证明了理想三角形面积的上界的存在性与Gromov双曲性之间的等价性。
Local and global visibility and Gromov hyperbolicity of domains with respect to the Kobayashi distance
本文在$\mathbb C^d$中引入局部可见与局部Gromov双曲域概念，证明有界域的局部与全局性质等价，从而可通过边界局部信息检测Gromov双曲性及双全纯映射的连续延拓性。
Characterizations of metric trees and Gromov hyperbolic spaces
在最近的一份文件Chatterji和Niblo证明，测地线度量空间是Gromov双曲当且仅当任何两个封闭的交叉球有一致有界偏心率。在他们的论文中，作者提出了这样一个问题：具有任意两个闭球的交具有偏心率为0的性质的测地线度量空间是否必然是实树。本说明的目的是肯定地回答这个问题。我们还部分地改进了Chatterji和Niblo的主要结果表明，已经次线性偏心率意味着Gromov双曲。
Warped product spaces: Gromov hyperbolicity and identification of the visual boundary
本文针对满足指数增长条件的扭曲积空间，证明其为格罗莫夫双曲空间并推导双曲性常数估计，建立其格罗莫夫边界与 $\partial_GX\times Y$ 的同胚及可视度量比较公式。
Harmonic quasi-isometric maps into Gromov hyperbolic ${\rm CAT}(0)$-spaces
我们证明了对于从Hadamard流形到局部紧的Gromov双曲${\rm CAT}(0)$ -空间的拟等距映射，在有限距离上存在能量极小的调和映射.这个调和映射也是Lipschitz映射。这推广了Benoist-Hulin最近的一个结果。
Uniformizing Gromov hyperbolic spaces with Busemann functions
给定一个完备的Gromov双曲空间$X$，该空间在其Gromov边界$\partial_{G}X$上的点$ω$是近似星形的，我们利用基于$ω$的Busemann函数构造了一个不完全的无界一致度量空间$X_{\varepsilon}$，其边界$\partial X_{\varepsilon}$可以正则地与$X$相对于$ω$的Gromov边界$\partial_ωX$一致.这种单值化构造推广了从双曲平面得到欧几里得上半平面的过程。此外，我们表明，对于任意度量空间$Z$，有一个双曲线填充$X$的$Z$，可以均匀化的方式，边界$\partial X_{\varepsilon}$有biLipschitz识别与完成$\bar{Z}$的$Z$。我们还证明了这种均匀化过程可以在CAT $(-1)$空间的情况下，往往是最佳的指数。
Discrete groups of packed, non-positively curved, Gromov hyperbolic metric spaces
本文证明了作用在支撑凸测地双组合的堆叠Gromov双曲空间上的离散群的定量Tits'替代，给出了群几何特征的一致估计，并研究了极限下的群作用行为以提供度量空间紧致类的新例子。
Quasi-metric antipodal spaces and maximal Gromov hyperbolic spaces
该研究针对Gromov双曲空间边界的函子式莫比乌斯双曲填充问题，对满足对径性质的拟度量对径空间构造了极大边界连续Gromov双曲填充，证明了两类空间的范畴等价及Gromov乘积空间单射性与极大性的等价性。
Metric transforms yielding Gromov hyperbolic spaces
一个单变量的实值函数$φ$称为度量变换，如果对于每个度量空间$(X,d)$，组合$d_φ= φ\circ d$也是$X$上的度量。给出了一类近似非减无界度量变换$φ$的完整刻画，使得变换后的欧氏射线$([0,\infty),|\cdot|_φ)$是Gromov双曲的.因此，我们得到了粗糙测地Gromov双曲空间的度量变换刚性，即，如果$(X,d)$是包含粗糙测地射线的度量空间，$φ$是一个近似非减的无界度量变换，使得变换后的空间$(X,d_φ)$是Gromov双曲的和粗糙测地的，那么$φ$是一个近似膨胀，原始空间$(X,d)$是Gromov双曲的和粗糙测地的.
Computing the Gromov hyperbolicity of a discrete metric space
给出了计算n点离散度量空间Gromov双曲性的精确算法和近似算法。我们观察到，计算Gromov双曲从一个固定的基点减少到一个（最大，最小）矩阵产品。因此，使用Duan和Pettie的（max，min）矩阵乘积算法，可以在O（n^2.69）时间内确定固定基点双曲性。因此，Gromov双曲性可以在O（n^3.69）时间内计算，并且可以在O（n^2.69）时间内找到2-近似。基于Gromov的树度量嵌入，我们给出了一个O（n^2）时间的（2 log_2 n）-近似算法.我们还表明，双曲在一个固定的基点不能计算在O（n^2.05）的时间，除非有一个更快的算法（最大，最小）矩阵乘法比目前已知的。
Cheeger isoperimetric constant of Gromov hyperbolic manifolds and graphs
本文在黎曼流形和图的背景下研究了双曲性与（Cheeger）等周不等式的关系。我们刻画了证明这个等周不等式的双曲流形和图（具有有界局部几何），根据它们的Gromov边界。此外，我们用等周不等式刻画了树的特征（不作任何假设）。作为结果的应用，我们得到了这些黎曼流形和图的狄利克雷问题在无穷远处的可解性，以及Martin边界与Gromov边界同胚.
On the Gromov hyperbolicity of the minimal metric
本文研究$\u211d^d$中有界强极小凸域关于最小度量的Gromov双曲性，证明其Gromov紧化等价于欧几里得闭包，并探讨了与Hilbert度量的关系。
Uniformization of intrinsic Gromov hyperbolic spaces
本文针对非测地、非紧合的Gromov双曲空间提出一致化方法，证明其共形形变为有界一致空间，且Gromov边界与形变空间度量边界存在自然拟等距，推广了已有经典结果。
A Universal Lipschitz Extension Property of Gromov Hyperbolic Spaces
一个度量空间具有普适Lipschitz扩张性质，如果对每个拟等距嵌入到任意度量空间M中的子空间S，存在S上的Banach值Lipschitz函数到所有M上的连续线性扩张.证明了有界几何的Gromov双曲空间的有限直和在这个定义意义下是泛直和。
Uniformization of Gromov hyperbolic domains by circle domains
本文证明了黎曼球面上的域为Gromov双曲当且仅当共形等价于均匀圆域，解决了Bonk-Heinonen-Koskela猜想并验证了Koebe猜想，且均匀化映射在Möbius变换下唯一。
Averaging one-point hyperbolic-type metrics
已知$\tilde j$ -度量、半阿波罗度量和标度不变的Cassinian度量不是Gromov双曲的。这些度量被定义为一点度量的上确界（即，使用一个边界点构造的度量），并且上确界在所有边界点上取得。本文的目的是表明，采取的平均值，而不是上确界产生的度量，保持格罗莫夫双曲。此外，我们表明，所得到的度量的Gromov双曲常数不依赖于在采取平均值的度量的数量。我们还提供了一个例子来表明，Gromov双曲度量的平均值不是，在一般情况下，Gromov双曲。
Polyhedral structure of maximal Gromov hyperbolic spaces with finite boundary
该研究刻画了有限边界的极大Gromov双曲空间的多面体结构，证明其等距于嵌入ℝⁿ的有限多面体复形，还给出了这类空间为单射度量空间的简化证明，并定义了相关的Teichmuller空间。
Normalizer, divergence type and Patterson measure for discrete groups of the Gromov hyperbolic space
对作用在真测地$δ$ -双曲空间上的非初等离散离散等距群$G$，证明了它的Patterson测度在$G$的正规化子下是拟不变的.作为这个结果的应用，我们得到：（1）在一个较小的假设下，这样一个离散群$G$不允许真共轭，即如果$G$的共轭包含在$G$中，则它与$G$重合;（2）$G$的任何非初等正规子群的临界指数严格大于$G$的临界指数的一半.
Central Limit Theorems for Gromov Hyperbolic Groups
本文研究了瞬变双曲群上对称和非退化随机游动的渐近性质。证明了随机游动漂移的一个中心极限定理和一个重对数律，推广了S. Sawyer和T. Steger和F.对于某些CAT减去一组的Ledrappier。证明使用了A. Ancona关于双曲群的Martin边界与其Gromov边界的鉴别。我们也给出了一个新的解释，在希尔伯特度量，格林度量，首先介绍了S。Brofferio和S.布莱谢尔
Doubling and Poincaré inequalities for uniformized measures on Gromov hyperbolic spaces
本文推广了Björn-Björn-Shanmugalingam \cite{BBS20}关于Gromov双曲空间在Bonk-Heinonen-Koka一致化过程下测度如何变换的最新结果，证明了这些结果在我们在\cite{Bu20}中引入的Busemann函数一致化Gromov双曲空间的情形下也成立.特别地，起始测度的一致局部加倍不等式和一致局部Poincaré不等式转化为一致化测度的整体加倍不等式和整体Poincaré不等式。然后，我们证明了在具有黎曼测度的闭负曲黎曼流形的万有覆盖的一致化的情形下，可以得到一致化测度加倍的指数的尖锐范围，并满足$1$ -Poincaré不等式.最后，我们介绍了一致度量空间的一致反演过程，并证明了对于任何$p \geq 1$，通过一致反演，双重性质和$p$-Poincaré不等式都是保持的.
Gromov hyperbolicity of minor graphs
如果$X$是测地度量空间，并且$x_1,x_2,x_3\in X$，测地三角形$T=\{x_1,x_2,x_3\}$是$X$中三个测地线$[x_1x_2]$、$[x_2x_3]$和$[x_3x_1]$的并集。空间$X$是$δ$ -双曲的（在格罗莫夫意义上），如果$T$的任何边包含在$δ$ -邻域的并集的其他两个边，对于每个测地线三角形$T$在$X$。双曲图的研究是一个有趣的话题，因为测地度量空间的双曲性等价于与之相关的图的双曲性。在图的上下文中，去除和收缩图的边是自然的变换。本文的主要目的是通过从图$G$中删除（收缩）一条边$e$，得到图$G \setminus e$（分别为$\,G/e\,$）的双曲常数的定量信息，从而得到子图的双曲常数.
Discrete-time gradient flows in Gromov hyperbolic spaces
本文研究了Gromov双曲空间上Lipschitz凸函数的近端点算法，证明了其能从任意初始点逼近最小化子，并建立了近端算子的收缩估计，适用于树的小扰动。
Average Gromov hyperbolicity and the Parisi ansatz
度量空间的Gromov双曲性度量了该空间与完美树状结构的距离。该措施有一个“最坏情况”的方面，在这个意义上说，它检测到的空间中的区域，看到从树状结构的最大偏差。在这篇文章中，我们介绍了一个“平均情况”版本的格罗莫夫双曲，检测是否“大部分的空间”，相对于一个给定的概率测度，看起来像一棵树。本文的主要结果是，如果这个平均双曲性是小的，那么空间可以近似嵌入树。这个证明使用了图论中Szemeredi正则引理的加权版本。这个结果也适用于Gromov双曲空间，因为平均双曲性是由Gromov双曲性上界的。作为应用，我们给出了满足Parisi超度性假设的任意自旋玻璃模型中的等级组织纯态的构造。
Boundaries of Hyperbolic Metric Spaces
研究了双曲型度量空间的度量边界与Gromov边界之间的关系。我们证明了Gromov边界是度量边界的商拓扑空间，从而证明了一个词双曲群在其Cayley图的度量边界上具有顺从作用.这一结果对研究群C*-代数上的Lip-norm具有重要意义。
Random Regular Graphs are not Asymptotically Gromov Hyperbolic
本文证明了随机$d$ --具有$d\geq 3$的正则图具有$O(n\log_{d-1}^{3}(n))$级的流量拥塞，其中$n$是节点数，并使用测地线路由。我们还表明，这些图是不渐近$δ$ -双曲线的任何非负$δ$几乎肯定为$n\to\infty$。
Rough isometry between Gromov hyperbolic spaces and unbounded uniformization
本文证明了两个proper、roughly starlike的Gromov双曲空间在粗等距下，其共形变形的一致性是同时性质，为Shanmugalingam和Lindquist的工作提供了对应。
Quasi-symmetries between metric spaces and rough quasi-isometries between their infinite hyperbolic cones
本文研究度量空间拟对称与无限双曲锥粗糙拟等距之间的对应关系，证明了三类推广结果：幂拟对称诱导粗糙拟等距、完备度量空间可实现为无限双曲锥的相对 Gromov 边界、可视 Gromov 双曲空间与其边界的无限双曲锥粗糙相似，从而将文献 [3] 中相关定理推广到无界空间和无限锥情形。
Barycenters and a law of large numbers in Gromov hyperbolic spaces
本文研究Gromov双曲空间中概率测度的重心，证明收缩性质、有限均匀分布重心的确定性逼近和大数定律，将CAT(0)空间结果推广至含双曲常数附加项的情形。
Characterizing Hyperbolicity in Graphs
研究有限图双曲性刻画问题，引入与格罗莫夫δ及直径相关函数定义归一化不变量，推导出双曲平面上该函数的闭式公式，据此给出双曲平面格罗莫夫δ-双曲性最佳常数的新证明及直径缩放下标度化格罗莫夫四点条件最优常数的首个理论证明。
Gromov Hyperbolic Graphs Arising From Iterations
对于压缩迭代函数系统（IFS），在IFS的符号空间上存在一个反映相邻单元之间关系的自然双曲图结构（增广树），其具有Gromov度量的双曲边界与吸引子$K$是Hölder等价的.利用这种方法研究了$K$上的概率位势理论和$K$上的双Lipschitz等价性.在本文中，我们制定了一个广泛的双曲图，称为扩张双曲图，以捕捉最基本的性质，从增广树和双曲边界（例如，特殊测地线、有界度性质、度量加倍性质和Hölder等价）。我们还研究了一个新的设置“加权”IFS和调查其连接的自相似能量形式的分形分析。
Gromov hyperbolic domains in Minkowski space
研究闵可夫斯基空间中格罗莫夫超几何域的性质，通过马尔科维茨度量与因果边界的关系，揭示其与稳定无因果性的等价性。
Gromov hyperbolicity in lexicographic product graphs
如果$X$是测地度量空间，并且$x_1,x_2,x_3\in X$，则{ \it测地三角形} $T=\{x_1,x_2,x_3\}$是$X$中三个测地线$[x_1x_2]$、$[x_2x_3]$和$[x_3x_1]$的并集。空间$X$是$δ$ - \emph{hyperbolic} $($在格罗莫夫意义上的$)$，如果$T$的任何边包含在$δ$ -邻域中，对于$X$中的每个测地三角形$T$，$T$的两个其他边的并集。如果$X$是双曲的，我们用$δ(X)$表示$X$的锐双曲常数，即$δ(X)=\inf\{δ\ge 0: \, X \, \text{ is $ δ $-hyperbolic}\}.$本文用$G_1$和$G_2$刻画了两个双曲图$G_1\circ G_2$的字典积：字典积图$G_1\circ G_2$是双曲的当且仅当$G_1$是双曲的，除非$G_1$是平凡图（单顶点图）;如果$G_1$是平凡的，则$G_1\circ G_2$是双曲的当且仅当$G_2$是双曲的。特别地，当$G_1$不是平凡图时，我们得到了尖锐不等式$δ(G_1)\le δ(G_1\circ G_2) \le δ(G_1) + 3/2$，并刻画了得到第二个不等式的图.
Otal-Peigné's Theorem for Gromov-hyperbolic spaces
将Otal-Peigné定理推广至线凸的真Gromov-双曲空间，证明离散几乎自由等距作用群的临界指数等于商空间测地流拓扑熵，并给出反例说明线凸性条件不可去除。
Quasi-isometries need not induce homeomorphisms of contracting boundaries with the Gromov product topology
我们考虑了一个“收缩边界”的适当测地线度量空间的等价类的测地线，表现得像测地线在双曲空间。我们通过Gromov乘积拓扑化这个集合，类似于双曲空间边界的拓扑。我们表明，当空间不是双曲的，拟等距不一定给这个边界的同胚。即使要求空格为CAT（0），连续性也可能失败。我们通过构造一个明确的例子来说明这一点。
Gromov hyperbolicity III: an improved geometric characterization and its applications
本文通过新的方法建立了Gromov超几何性的几何刻画，并在欧几里得空间中解决了Balogh-Buckley问题，同时改进了先前结果并拓展了应用。
Uniformizing non-proper Gromov Hyperbolic Spaces
本研究将经典单值化理论推广至非紧非测地长度空间，证明完备粗星型Gromov双曲空间拟等距类与有界一致空间拟相似类一一对应，解决了公开问题，核心创新是用$(c,μ)$-拟测地线替代拟双曲测地线。
Discrete-time gradient flows for unbounded convex functions on Gromov hyperbolic spaces
本文研究 Gromov 双曲空间中无界凸函数的离散时间梯度流，证明其沿唯一负渐近斜率方向发散，并给出收敛速率估计。
Inducing maps between Gromov boundaries
众所周知，Gromov双曲空间的拟等距嵌入诱导其Gromov边界的拓扑嵌入。一个更一般的问题是检测一类函数之间的格罗莫夫双曲空间，诱导连续映射之间的格罗莫夫边界。在本文中，我们介绍了视觉功能类$f$，诱导连续映射$\tilde f$之间的Gromov边界。它的子类，径向函数类，导致Gromov边界之间的Hoelder映射。相反，每个Hoelder映射之间的Gromov边界的视觉双曲空间诱导一个径向函数。研究了f的大尺度性质与$f$的小尺度性质之间的关系，特别是与维数论有关的关系.特别地，我们证明了一种形式的维数提升定理。我们给出了一个自然的例子，径向维数提高地图，我们也给出了一般类的径向函数，提高渐近维数。
Bounded geometry and $p$-harmonic functions under uniformization and hyperbolization
Bonk，Heinonen和Kopia在\emph{"Uniformizing Gromov Hyperbolic Spaces"}，Astérisque {\bf 270}（2001）中阐述的一致化和双曲化变换处理了度量空间的几何性质。本文考虑度量测度空间，在一致化和双曲化过程下构造了测度的一个平行变换。我们证明了如果局部紧的粗星形Gromov双曲空间具有一致局部加倍的测度并支持一致局部$p$-Poincaré不等式，则变换后的测度是全局加倍的并在相应的一致化空间上支持全局$p$-Poincaré不等式.在相反的方向上，我们证明了有界局部紧一致空间上的这种全局性质对于相应的双曲化空间上的变换测度产生类似的一致局部性质。利用上述关于测度一致化的结果，刻画了当Gromov双曲空间具有支持一致局部$p$-Poincaré不等式的一致局部加倍测度时，该空间携带具有有限$p$-能量的非常数全局定义的$p$-调和函数.我们还研究了Gromov双曲空间和一致空间的一些几何性质。虽然两个Gromov双曲空间的笛卡儿积不一定是Gromov双曲的，但我们构造了这样的空间的一个间接积，它确实导致一个Gromov双曲空间。首先证明两个有界一致域的笛卡儿积是一致域。
Gromov hyperbolization of unbounded noncomplete spaces and Hamenstädt metric
本文针对无界、局部完备但不完备的度量空间，考察其在三类双曲型度量下的 Gromov 双曲化，并据此给出 Banach 空间中无界一致域的 Gromov 双曲刻画。
The Boundary at Infinity of a rough CAT(0) space
我们发展了粗糙CAT（0）空间的边界理论，这类空间包含Gromov双曲和CAT（0）空间。所得理论推广了Gromov双曲空间的Gromov边界和完备CAT（0）空间的理想边界的共同特征.它不假定空间是测地线或适当的。
Bounds on Gromov Hyperbolicity Constant
如果$X$是测地线度量空间，并且$x_{1},x_{2},x_{3} \in X$，测地线三角形$T=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$是$X$中三个测地线$[x_{1}x_{2}]$，$[x_{2}x_{3}]$和$[x_{3}x_{1}]$的并集。空间$X$是$δ$ -Gromov意义上的双曲，如果$T$的任何一边包含在$δ$ -其他两个边的并集的邻域中，对于$X$中的每个测地线三角形$T$。如果$X$是双曲的，我们用$δ(X)$表示$X$的锐双曲常数，即$δ(X) =\inf \{ δ\geq 0:{0.3cm}$ × ${0.2cm}$ $\text{is} {0.2cm} δ\text{-hyperbolic} \}.$计算双曲常数是一个非常困难的问题。然后，很自然地，试图根据图的一些参数来限制双曲常数。用$\mathcal{G}(n,m)$表示具有$n$顶点和$m$边的图$G$的集合，并且使得每条边的长度为$1$。在这项工作中，我们估计$A(n,m):=\min\{δ(G)\mid G \in \mathcal{G}(n,m) \}$和$B(n,m):=\max\{δ(G)\mid G \in \mathcal{G}(n,m) \}$。特别是，我们获得了良好的界限$B(n,m)$，我们计算的$A(n,m)$的所有值的$n$和$m$的精确值。此外，我们将这些结果…
Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces
这是对群、群作用和度量空间的顺从性和矛盾分解的各个方面的解释。首先，我们回顾了伪群的形式主义，它很好地适应于陈述塔斯基的替代方案，根据塔斯基的替代方案，没有不变平均的伪群会产生矛盾的分解，并定义了Følner条件。利用图中匹配的Hall-Rado定理，证明了伪群的不变平均的存在等价于Følner条件;在局部有限度量空间上的恒等式的有界扰动的伪群的情况下，这些条件还等价于Gromov所谓的加倍条件的否定，等价于等周条件，Kesten的谱条件的相关简单随机游动，以及各种其他条件。我们还定义了最小塔斯基数的悖论分解相关的一个不顺从的群作用（一个整数$\ge 4$），我们指出数值估计（第二.4和四.2节）。最后一章探讨了度量空间的概念supermenability，由于群体罗森布拉特。
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