Anti-classification results for weakly mixing diffeomorphisms
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
该研究将遍历理论反分类结果推广至弱混合系统，证明其同构与Kakutani等价关系非Borel集，表明无法通过可计算不变量对这类系统分类，还针对特定微分同胚验证了结论。
2026-08-06 math.DS
Rigidity Sequences of Power Rationally Weakly Mixing Transformations
证明了一类满足“强”弱混合条件的无穷保测变换变换生成定义在Lebesgue $σ$ -有限测度空间上的所有保守遍历可逆保测度保测变换的所有刚性序列.
2015-03-19 math.DS
On weak rigidity and weakly mixing enveloping semigroups
我们在这里处理的问题，这是由Joe Auslander和Anima Nagar向我们提出的，是是否存在一个非平凡的级联（X，T），其包络半群，作为一个动力系统，是拓扑弱混合（WM）。在回顾了一些定义和经典结果的介绍性部分之后，我们建立了一些必要条件，在最后一节中，我们使用Ratner理论证明了经典horocycle流的“时间一映射”的包络半群是弱混合的。
2018-11-16 math.DS
The Return Map of the Cross Section of Horizontally Short Lattice Surfaces is Weakly Mixing
本文证明水平短平移曲面空间上不稳定水平环流回归映射的弱混合性，将Cheung-Quas的方形环面结果推广至所有格曲面，方法基于弱混合判据与Siegel-Veech变换的定量界。
2025-10-17 math.DS
Topological multiple recurrence of weakly mixing minimal systems for generalized polynomials
设$(X, T)$是弱混合极小系统，$p_1, \cdots, p_d$是整数值广义多项式，$(p_1,p_2,\cdots,p_d)$是非退化的.则存在$X$的剩余子集$X_0$，使得对于所有的$x\in X_0$，$$\{ (T^{p_1(n)}x, \cdots, T^{p_d(n)}x): n\in \mathbb{Z}\}$$在$X^d$中是稠密的。
2021-04-18 math.DS
Power Weakly Mixing Infinite Transformations
我们构造了一个秩为1的无穷保测变换$T$，使得对所有非零整数序列$\{k_{1},..., k_{r}\}$，$T^{k_{1}}\times...\times T^{k_{r}}$是遍历的.
1998-03-23 math.DS
On Rationally Ergodic and Rationally Weakly Mixing Rank-One Transformations
我们研究的概念弱理性遍历性和理性弱混合定义的乔恩Aaronson。我们证明了各种家庭的无限测度保持秩一变换具有（或不具有）这些属性，并考虑他们的关系，在无限测度混合的其他概念。
2013-07-14 math.DS
$Δ$-weakly mixing subsets along a collection of sequences of integers
本文对整数序列的集合提出了一个温和的条件，称为条件$(**)$，并证明了对于任何保测度系统，Pinsker $σ$ -代数是沿满足条件$(**)$的集合的平均的特征$σ$ -代数.我们引入了$Δ$ -弱混合子集的概念，并证明了正拓扑熵意味着存在$Δ$ -弱混合子集的集合的“好”序列。结果表明，正的拓扑熵蕴涵着沿移位素数多项式倍的多变量Li-Yorke混沌.
2020-09-21 math.DS
Spectral multiplicity for powers of weakly mixing automorphisms
研究了弱混合自同构$R$的幂的最大重数$mm (R^n)$的性质。对于某些特殊的无限集$A$，我们证明了存在弱混合秩一自同构$R$，使得对所有的$n\in A$都有$mm (R^n)=n$和$mm(R^{n+1}) =1$.此外，$R^n$的光谱多重性的集合的基数$cardm(R^n)$是没有界的。我们有$cardm(R^{n+1})=1$和$cardm(R^n)=2^{m(n)}$、$m(n)\to\infty$、$n\in A$。我们还构造了另一个弱混合自同构$R$，它具有以下性质：$mm(R^{n}) =n$对$n=1,2,3,..., 2009, 2010$但对$mm(T^{2011}) =1$，所有幂$(R^{n})$都有齐次谱，序列$\{\frac{mm (R^n)}{n} : n\in \N \}$的极限点集是无穷的.
2011-02-15 math.DS
Almost sure convergence of the multiple ergodic average for certain weakly mixing systems
两两独立确定（PID）系统族，即那些独立连接是唯一具有独立2-边缘的自连接的系统，是一类长期存在的开放问题，由Rokhlin提出，混合是否意味着所有阶的混合，有一个肯定的答案。我们发现，在类弱混合PID的一个长期存在的公开问题，无论是多个遍历平均\begin{equation*} \frac 1 N\sum_{n=0}^{N-1}f_1(T^nx)\cdots f_d(T^{dn}x), \quad N\to \infty, \end{equation*}几乎肯定收敛的一个积极的答案。
2017-06-09 math.DS
On ergodic transformations that are both weakly mixing and uniformly rigid
我们研究了一致刚性变换的一些性质，并分析了一致刚性和（可测）弱混合的相容性以及它们的一些渐近收敛性质.证明了在Cantor空间上不存在有限的保测、全遍历、一致刚性变换。我们简要地讨论了一般的群作用，并表明（可测）弱混合和均匀刚性可以共存于一个更一般的设置。
2009-03-14 math.DS
Pointwise Ergodic Theorems for Higher Levels of Mixing
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文在弱混合和强混合系统中强化了Birkhoff ergodic定理，证明了弱混合系统的点wise定理比Wiener-Wintner定理更强，并分别刻画了弱混合和强混合系统。
2021-07-16 math.DS
Weakly mixing, proximal topological models for ergodic systems and applications
本文证明了每一个非周期遍历系统都有两个拓扑弱混合的全支撑模型：一个是非极小的，但有一个稠密的极小点集;另一个是邻近的.对于独立的兴趣，对于给定的具有互素柱高的Kakutani-Rokhlin塔，证明了如何得到一个新的更高的具有相同性质的Kakutani-Rokhlin塔，它可用于Weiss的Jewett-Krieger定理的证明和我们的定理的证明.给出了结果的应用。
2014-07-08 math.DS
Dynamics of weakly mixing non-autonomous systems
对于交换非自治动力系统，证明了在概率测度（超空间）上诱导的非自治系统的拓扑传递性等价于诱导系统的弱混合.给出了几个反例的结果是真的自治，但不一定是真的非自治系统。只要有可能，就得到结果成立的充分条件。对于区间上的可交换周期非自治系统，证明了弱混合蕴含Devaney混沌。对于周期非自治系统，证明了灵敏度等价于闭单位区间上某些更强形式的灵敏度。
2018-10-04 math.DS
Mixing actions of $0$-entropy for countable amenable groups
证明了在标准概率空间上，每个离散可数无限顺从群都有一个0-熵混合作用。
2017-05-20 math.DS
Rigidity times for weakly mixing dynamical system which are not rigidity times for any irrational rotation
本文构造了一个自然数递增序列$(m_n)_{n=1}^{+\infty}$，其性质是$(m_n þ[1])_{n\geq 1}$在$\T$中对任何$þ\in \R\setminus \Q$都是稠密的，并且在$μ$上构造了一个连续测度，使得$\lim_{n\to +\infty}\int_{\T}\|m_nθ\|dμ(θ)=0$ .而且，对于每个固定的$k\in \N$，集合$\{n\in \N:\,k\nmid m_n \}$是无限的。这是存在刚性弱混合动力系统的充分条件，该系统的刚性时间对于其谱中具有离散部分的任何系统都不是刚性时间。
2014-06-29 math.DS
An example of a weakly mixing BV vector field which is not strongly mixing
我们给出一个弱混合向量场$b\in L^\infty([0,1],\text{BV}(\mathbb{T}^2))$不是强混合的例子。这个例子是基于查肯的工作，他构造了一个弱混合自同构，这个自同构在$([0,1],\mathcal{B}([0,1]),|\cdot|)$上不是强混合的，其中$\mathcal{B}([0,1])$是$[0,1]$的Borel子集，$|\cdot|$是一维勒贝格测度。
2022-08-25 math.AP math.DS
Disjointness properties for Cartesian products of weakly mixing systems
对于$n\geq 1$，我们考虑动力系统类JP（$n$），它的每个遍历连接与$k$弱混合自同构（$k\geq n$）的笛卡儿积都可以表示为系统的连接的独立扩张，该系统只有$n$坐标因子.对于$n\geq 2$，我们证明了：只要弱混合自同构$T$的最大谱型关于任何$n$连续测度的卷积是奇异的，即$T$具有所谓的$n$阶卷积奇异性，则$T$属于JP（$n-1$）.为了提供这样的自同构的例子，我们利用对称Fock空间的谱简单性。这也使我们能够证明，对于任何$n\geq 2$，类JP（$n$）本质上大于类JP（$n-1$）。此外，我们证明了JP（$n$）的所有成员都是从无穷可分平稳过程生成的遍历自同构中不相交的。
2012-07-18 math.DS
Weak mixing for interval exchange transformations and translation flows
我们证明了一个典型的区间交换变换要么是弱混合的，要么是无理旋转。我们还得出结论，一个典型的平移流的属$g \geq 2$（与指定的奇异类型）的表面上是弱混合。
2004-06-16 math.DS
Weakly mixing diffeomorphisms preserving a measurable Riemannian metric are dense in $\mathcal{A}_α\left(M\right)$ for arbitrary Liouvillean number $α$
我们证明了在任意光滑紧致连通流形上，对于任意Liouville数$α$，在维数为$m\geq 2$且允许光滑非平凡圆作用$\mathcal{S} = \left\{S_t\right\}_{t \in \mathbb{R}}$，$S_{t+1}=S_t$的情况下，既保持光滑体积$ν$又保持可测黎曼度量的弱混合$C^{\infty}$ -同态集在$\mathcal{A}_α \left(M\right)= \overline{ \left\{h \circ S_α \circ h^{-1} : h \in \text{Diff}^{\infty}\left(M, ν\right) \right\}}^{C^{\infty}}$中稠密.证明是基于定量版本的Anosov-Katok方法明确构造的共轭映射和分区。
2015-11-30 math.DS
Constructions of torsion-free countable, amenable, weakly mixing groups
本文构造了无挠的可数顺从弱混合群，回答了V.Bergelson的一个问题.文中还介绍了与动词子群和晶体群有关的一些结果。
2016-07-01 math.DS math.GR
Word Complexity of (Measure-Theoretically) Weakly Mixing Rank-One Subshifts
本文研究一阶子位移的词复杂度，构造了容许弱混合测度且复杂度渐近接近1.5q的子位移，并证明非里程表一阶变换对应的子位移满足limsup p(q)-1.5q=∞，且该结果最优。
2023-06-20 math.DS
On entropy of pure mixing maps on dendrites
Jagiellonian University in Kraków（克拉科夫雅盖隆大学）；University of Ostrava（俄斯特拉发大学）；AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）；University of Maryland（马里兰大学）
研究构建了具有任意熵值的纯混合映射，表明树状物上的熵行为不同于图映射，低熵不必然意味着更强的混沌性。
2026-04-28 math.DS
Asymmetry of Entropy Invariants for Generic Mixing $Z^n$-Actions
研究混合 $Z^n$ 作用中 Kirillov-Kushnirenko 熵在正向和反向作用下的不对称性，证明该性质在混合 $Z^n$ 作用中是普遍的。
2026-06-04 math.DS
Uniform mixing and completely positive sofic entropy
设$G$是可数离散sofic群.本文定义了保测度$G$作用的均匀混合概念，并证明了它蕴涵完全正的sofic熵.当$G$包含一个无限阶元时，我们利用这个元产生一个不可数的两两非同构的$G$ -作用族，它们具有完全正的sofic熵.我们的例子中没有一个是伯努利位移的因子。
2016-11-02 math.DS
Weakly mixing smooth planar vector field without asymptotic directions
我们构造了一个平面光滑的弱混合平稳随机向量场，使得在概率为1的情况下，这个向量场产生的流没有渐近方向.此外，对于所有单独的轨迹，部分限制方向的集合与跨越正象限的方向一致。一个修正的例子表明，时空弱混合正速度场中的粒子不一定具有渐近平均速度。
2018-08-16 math.DS math.PR
Interval Translation Maps with Weakly Mixing Attractors
针对具有 Cantor 吸引子的双参数区间平移映射族，本文利用类似 Rauzy 归纳的参数空间动力系统 $G$，判定其线性递归性或弱混合性。
2023-12-16 math.DS
Dynamical consequences of a free interval: minimality, transitivity, mixing and topological entropy
研究了包含自由区间的紧致可度量化空间上连续映射的动力学（即，同胚于开区间的开子集）。特别注意拓扑传递性、弱和强拓扑混合、稠密周期性和拓扑熵之间的关系以及极小集的拓扑结构。特别地，证明了极小集的一个二分性和传递映射的一个二分性。
2011-12-06 math.DS
Weakly mixing sets and polynomial equations
我们研究多项式模式，可以保证出现在\emph{weakly mixing}集介绍Furstenberg和Fish研究。特别地，我们证明了如果$A \subset \mathbb N$是弱混合集，$p(x) \in \mathbb Z[x]$是正首项系数的奇次多项式，则所有足够大的整数$N$都可以表示为$N = n_1 + n_2$，其中对某些$m \in A$，$p(n_1) + m,\ p(n_2) + m \in A$.
2018-07-14 math.DS math.NT
Non-recurrence sets for weakly mixing linear dynamical systems
利用线性动力系统研究了弱混合动力系统的非常集。这些是由作用于可分复巴拿赫空间X的有界线性算子组成的系统，当赋予非退化高斯测度时，X成为概率空间。我们推广了Bergelson、del Junco、Lemańczyk和Rosenblatt的一些最新结果，并特别表明，使得n_{k+1} /{n_k}趋于无穷大，或者使得n_{k}对每个k整除n_{k+1}的集合\{n_k\}是弱混合线性动力系统的非递归集。我们还给出了例子，对于每个r，r-玻尔集，这是一些弱混合系统的非递归集。
2012-02-14 math.DS math.FA
Mixing properties and entropy bounds of a family of Pisot random substitutions
我们考虑一个两参数的随机置换家庭，并显示一定的组合和拓扑性质，他们满足。我们确定，他们承认可识别的话在每一个层次。因此，我们得到它们定义的子移位不是拓扑混合的。然后，我们表明，他们满足一个较弱的混合性质使用的计数系统所产生的序列长度膨胀的话。此外，我们提供了明确的界限，相应的拓扑熵的定义参数$n$和$p$。
2021-08-12 math.DS
On weak mixing, minimality and weak disjointness of all iterates
本文讨论了紧度量空间上的拓扑动力系统$f\colon X\ra X$的拓扑弱混合性质与传递性之间的关系的一些公开问题.将弱混合强传递系统是$Δ$ -传递的定理推广到不可逆系统，并给出了简单的证明.构造了两个例子，回答了Moothathu提出的问题[Colloq.Math.120（2010），no.1，127- 138]。第一个是多传递非弱混合系统，第二个是弱混合非多传递系统。例子是特殊的间距移位。后者表明多重递归定理中的极小性假设不能用弱混合代替。
2011-08-13 math.DS
Exponential mixing of measures of maximal entropy for certain skew products
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)（米纳斯吉拉斯联邦大学）；Universidade Federal do Ceará (UFC)（塞阿拉联邦大学）
本文研究了某些斜积中最大熵测度的指数混合性，通过纤维熵与李雅普诺夫指数的连续性关系，证明了满足强正回复性质的斜积具有有限数量的最大熵测度，且这些测度具有良好的统计性质。
2025-10-20 math.DS
Weak mixing in rational billiards
本文完全刻画了在几乎每个方向上弱混合的有理多边形与平移曲面，证明了Gutkin的长期猜想，并指出此类曲面不容许到圆的仿射因子映射。
2024-10-14 math.DS
Shadowing, average shadowing and transitive properties of multiple mappings
该研究从集值视角定义多重映射的多类动力学性质，证明单映射的对应性质不必然传递给其构成的多重映射，给出多重映射满足传递等性质的充分条件，明确跟踪类性质的迭代不变性及相关性质间的推导关系。
2023-11-06 math.DS
A view towards mixing in holomorphic correspondences
Indian Institute of Science Education and Research Thiruvananthapuram（印度科学教育研究所特里凡得琅分校）
本文研究全纯对应在紧连通复流形上的动力学混合性质，连接到Londhe提出的全纯对应 ergodic理论，并通过例子对比与映射的情况，研究两个全纯对应乘积以刻画弱混合性。
2026-03-28 math.DS
Chain recurrence rates and topological entropy
我们研究了链递归映射、链传递映射和链混合映射的性质（非游荡映射、拓扑传递映射和拓扑混合映射的著名概念的推广）。我们描述了链传递映射的结构。这些递归的概念是使用$\ep$ -链定义的，这些$\ep$ -链的最小长度给出了一种测量递归时间（链递归和链混合时间）的方法。我们给出了这些递归时间的上界和下界，并将链混合时间与拓扑熵联系起来。
2008-06-05 math.DS
Transitive dendrite map with zero entropy
[2019 - 04 - 15][2019 - 04 - 15]日\& Dynam。Sys.（2014）\textbf{34}，1897- 1913]在拓扑上弱混合但不混合的通用树突上构建了一个映射。我们修改了Hoehn-Stronon的例子，证明了存在一个拓扑熵为零的传递（甚至是弱混合）枝晶映射。这回答了Baldwin [Topology（2001）\textbf{40}，551- 569]的问题。
2015-03-10 math.DS
Polynomial Mixing for a Weakly Damped Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation
本文利用耦合方法，证明了1D有界区域上具加性噪声的弱阻尼随机非线性Schrödinger方程在聚焦与散焦情形下的多项式混合，从而确立了不变测度的唯一性。
2023-03-31 math.DS math.PR
Conditions for rational weak mixing
证明了有理遍历弱混合的保测变换不是有理弱混合的，并给出了更新序列光滑的一个条件。
2015-07-13 math.DS math.PR
Limits of equilibrium states for coupled weakly interacting systems. Application to the measure of maximal entropy
本文研究符号动力系统中由两个独立子系统经孔洞耦合的全局系统的平衡态极限，证明当孔洞缩小时，全局平衡态收敛到两个独立平衡态的凸组合，并应用于最大熵测度。
2025-10-09 math.DS
Topological entropy, mean dimension, and weakly equivalent flows
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, HNP-LAMA, Central South University（中南大学数学与统计学院）
本文通过拓扑方法重新审视弱等价流的拓扑熵和均维数理论，提出新的方法改进Ohno的理论并加强其结论。
2026-02-26 math.DS
Ergodic Multiplier Properties
在这篇文章中，我们将看到一些性质，保证一个遍历非奇异作用和一个概率保持遍历作用的乘积也是遍历作用。我们将从证明局部紧阿贝尔群的“乘子定理”开始。然后证明了对于某些局部紧的Polish群（Moore群和极小弱混合群），非奇异G作用是弱混合的当且仅当L_ \infty的任何有限维G-不变子空间是平凡的.最后，我们将证明与连续Heisenberg群H_3的无限维不可约表示相关联的高斯作用量是弱混合的，但不是轻度混合的。
2013-07-31 math.DS
Entropy and mixing for amenable group actions
对于一个可数服从群，把它的作用看作标准概率空间的保测变换，记作{T_γ}_{γ \in Γ}作用于（X，{ \cal F}，μ）。我们说{T_γ}_{γ \in Γ}有完全正熵（或简称cpe），如果对X的任何有限非平凡划分P，熵h（T，P）不为零。我们的目标是证明对于\Bbb Z甚至是\Bbb Z^d的作用量来说，完全正熵的作用量具有非常强的混合性质。设S_i是Γ的有限子集列表。如果任何特定的γ \neq id至多属于集合S_i S_i^{-1}中的1/2个，则我们称S_i散布。定理0.1.对于{T_γ}_{γ \in Γ}是完全正熵的Γ的作用，P是任意有限划分，对于任意展开的有限集序列S_PDMATHABMQ Γ，我们有\frac 1{\# S_i} h（\spans{S_i}{P}）{ \mathop{\to}_i } h（P）.证明使用轨道等价理论在一个基本的方式，并代表了第一次显着应用这些方法的经典熵和混合。
2000-05-01 math.DS
Sequence entropy for amenable group actions
本文研究了顺从群作用的序列熵，在测度论和拓扑动力系统中通过序列熵系统探讨了谱与混合概念，并利用序列熵对刻画了弱混合与零系统。
2023-11-23 math.DS
Smooth mixing transformations with loosely Bernoulli cartesian product
本文提出与混合相容的零熵系统松散 Bernoulli 判据，并证明存在光滑混合零熵松散 Bernoulli 变换，其自笛卡尔积仍为松散 Bernoulli。
2019-12-24 math.DS
Weakly Mixing Polygonal Billiards
本文证明了存在非有理多边形的剩余集，使得台球流关于Liouville测度弱混合，其核心方法是通过Baire范畴论证及平移曲面方向对流的遍历性与特征值性质。
2025-08-14 math.DS math.GT
Transitive points via Furstenberg family
设$(X,T)$是一个拓扑动力系统，$\mathcal{F}$是一个Furstenberg族（$\mathbb{Z}_+$具有遗传向上性质的子集的集合）.一个点$x\in X$称为$\mathcal{F}$ -传递的，如果对$X$的每个非空开子集$U$都有$\{n\in\mathbb{Z}_+:\, T^n x\in U\}\in\F$;系统$(X,T)$称为$\F$ -点传递的，如果存在某个$\mathcal{F}$ -传递点.在本文中，我们的目标是通过$\mathcal{F}$ -点传递性对传递系统进行分类。除此之外，我们还证明了$(X,T)$是一个弱混合E-系统（分别为弱混合M-系，HY-系）当且仅当它是$\{\textrm{D-sets}\}$ -点传递的（分别为$\{\textrm{central sets}\}$ -点传递，$\{\textrm{weakly thick sets}\}$ -点传递）。证明了每一个弱混合系统都是$\mathcal{F}_{ip}$ -点传递的，同时构造了一个非弱混合的$\mathcal{F}_{ip}$ -点传递系统.作为应用，我们证明了每一个具有稠密小周期集的传递系统都与每一个完全极小系统不相交，并且一个系统是$Δ^*(\mathcal{F}_{wt})$ -传递的当且仅当它与每一个P-系统弱不相交.
2011-07-30 math.DS
Maximal Large Deviations and Slow Recurrences in Weakly Chaotic Systems
证明了具有任意慢多项式混合速率的动力系统的极大型大偏差原理。还介绍了几种应用，特别是台球系统。
2022-08-07 math.DS
Topological entropy and irregular recurrence
本文致力于Z. Zhou和F. 2009年，李。它们涉及连续映射f的概周期点、弱概周期点和拟弱概周期点与其拓扑熵之间的关系。我们最近的论文给出了否定的答案。但是对于区间和其他更一般的一维空间的连续映射，我们给出了更多的结果;在某些情况下，答案是肯定的。
2012-09-19 math.DS
Entropy and the Uniform Mean Ergodic Theorem for a Family of Sets
本文对概率空间中可测集的无限族$\mathcal{C}$定义了熵的概念。证明了平均遍历定理对$\mathcal{C}$在每个遍历变换下一致成立当且仅当$\mathcal{C}$的熵为零.当$\mathcal{C}$的熵为正时，我们建立了一个强逆证明，证明了一致平均遍历定理在所有同构类中普遍失效，包括Bernoulli变换的同构类.作为这些结果的一个推论，我们建立了强混合变换是$\mathcal{C}$上的一致强混合的充要条件是$\mathcal{C}$的熵为零，并得到了弱混合变换的一个相应结果.
2014-03-11 math.DS
Topological structure and entropy of mixing graph maps
Institute of Mathematics, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学研究所）；Faculty of Applied Mathematics, AGH University of Science and Technology（AGH科技大学应用数学学院）；Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences（波兰科学院数学研究所）
研究了图拓扑混合映射的熵下界，证明了其最小值不小于(log 3)/Λ(G)，并针对某些图族计算了精确值，利用改进的混合图映射结构定理。
2011-11-02 math.DS
Bernoulli actions of amenable groups with weakly mixing Maharam extensions
我们提供了一个简单的标准，一个非奇异和保守的Bernouilli行动有一个弱混合Maharam扩展。作为应用，我们证明了每一个可数顺从群都有一个稳定的III_1型Bernoulli作用，回答了Vaes和Wahl最近提出的一个问题。
2018-12-12 math.DS math.GR math.PR
Weak Mixing in Switched Systems
对于一个切换系统，我们引入了关于给定集合的弱混合1，2型集和弱混合1，2型熊混沌集，并证明了它们是等价的。
2018-01-17 math.DS
