Interdependent transport via percolation backbones in spatial networks
网络中节点的功能通常用属于巨分支的结构特征来描述。然而，当处理像传输这样的问题时，一个更合适的功能性标准是节点属于网络的主干，在那里发生信息和其他物理量（如电流）的流动。在这里，我们研究渗透的相互依赖的电阻网络模型，并显示其耦合功能的空间性的影响。我们这样做的一个现实的空间网络模型，具有泊松分布的链接长度。我们发现，相互依赖的电阻网络是显着更脆弱的比他们的基于双稳态的同行，具有一阶相变的链接长度的相互巨组件仍然不断出现。我们解释这一明显的矛盾，通过追踪起源的相互依赖的运输的脆弱性增加所发挥的关键作用的摆弄结束。此外，我们解释这些差异，考虑一个异构的$k$核心渗流过程，使定义一个参数的家庭的功能标准，其约束变得越来越严格。我们的研究结果突出了节点功能的不同定义对耦合过程的集体属性的重要性，并提供了更好的理解在许多现实世界的网络中的相互依赖的运输问题。
2020-09-04 physics.soc-ph
Interconnections between networks act like an external field in first-order percolation transitions
许多相互依赖的现实基础设施涉及不同社区或城市之间的互连。在这里，我们研究这种相互联系的影响，以及如何可以被描述为一个外部领域的相互依赖的网络经历一阶渗透过渡。我们发现，临界指数$γ$和$δ$，相关的外部字段也可以定义为一阶过渡，但他们有不同的值比那些发现的二阶过渡。令人惊讶的是，我们发现，这两套不同的指数，甚至可以在一个模型的相互依赖的网络，依赖耦合强度。具体地说，指数$γ$在一阶制度（高耦合）不遵守波动耗散定理，而在连续制度（低耦合）。然而，在这两种情况下，他们满足Widom的身份，$δ- 1 = γ/ β$，这进一步支持他们的定义的有效性。我们的研究结果提供了物理直观的相互依赖的网络中的相变的性质，并解释了两组不同的指数的根本原因。
2019-05-16 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Percolation of partially interdependent networks under targeted attack
相互依赖网络的研究，特别是网络的鲁棒性，已经引起了人们的广泛关注。最近的研究主要假设依赖是完全相互依赖的。然而，针对部分依赖网络的攻击同时具有现实世界中的通用性。本文分析了部分依赖网络的广义框架在目标攻击下的综合渗流问题。作为$α=0$和$α=1$，给出了渗流定律。特别地，当$a=b=k$、$p_{1}=p_{2}=p$、$q_{A}=q_{B}=q$时，第一和第二相变线彼此重合。找到了相应的相变图和第一、第二相变之间的临界线，发现临界线随参数$p_{1}$的变化趋势是单调递减的。而对于不同的$α$，临界线的趋势是随着$α$的增加而单调增加。从更大的意义上说，我们的研究结果具有潜在的应用，设计具有强鲁棒性的网络，并可以调节一些当前网络的鲁棒性。
2011-08-30 physics.data-an physics.soc-ph
Robustness of Interdependent Random Geometric Networks
提出了一种互依随机几何图（RGG）模型.基于此模型，我们研究了两个相互依赖的空间嵌入网络的鲁棒性，其中两个网络中地理上相邻的节点之间存在相互依赖关系。我们研究了在两个相互依赖的RGG中随着节点密度的增加而出现的巨互分量，并将渗流阈值定义为一对节点密度，在此之上，巨互分量首次出现。与单个RGG的情况相反，其中渗透阈值是针对给定连接距离的唯一标量，对于两个相互依赖的RGG，可以存在多对渗透阈值，假定一个RGG中的较小节点密度可以增加另一个RGG中的最小节点密度，以便存在巨大的相互分量。通过离散化得到了两个相互依赖的RGG的渗流阈值的解析上界，并通过仿真得到了渗流阈值的$99\%$置信区间。基于这些结果，我们得到的条件下，相互依赖的RGGs是强大的随机故障和地理攻击。
2018-06-04 cs.NI cs.SI math.PR
Percolation in Interdependent and Interconnected Networks: Abrupt Change from Second to First Order Transition
两个耦合网络系统的鲁棒性研究仅限于依赖耦合（S。布尔德列夫等例如，Nature，2010）并且仅用于连接耦合（E. A. Leicht和R. M. D'Souza，arxiv：09070894）.在这里，我们研究，使用渗流的方法，一个更现实的耦合网络系统，相互依赖和相互联系的链接存在。我们发现了丰富而不寻常的相变现象，包括混合的一级和二级的混合相变，不连续性，如巨分量的一阶跃迁，接着是连续减少到零，如二阶跃迁。此外，我们发现不寻常的不连续的变化，从二阶到一阶过渡作为两个网络之间的依赖耦合的函数。
2011-06-21 cs.SI physics.soc-ph
Interdependent networks: Reducing the coupling strength leads to a change from a first to second order percolation transition
我们研究了一个由两个相互依赖的网络A和B组成的系统，其中网络A中的一部分节点依赖于网络B中的节点，网络B中的一部分节点依赖于网络A中的节点。由于网络之间的耦合，当一个网络中的节点发生故障时，它们会导致另一个网络中的依赖节点也发生故障。这会在两个网络中引发一系列反复的故障。当节点的临界分数失败时，迭代过程导致完全分裂两个网络的渗滤相变。我们分析和数值计算表明，减少网络之间的耦合，导致从一阶渗流相变到二阶渗流过渡在临界点的变化。临界点附近的逾渗序参量的标度由临界指数β =1表征。
2010-04-22 cond-mat.dis-nn physics.data-an physics.soc-ph
Generalized model for $k$-core percolation and interdependent networks
复杂系统中的级联故障已被广泛研究使用两种不同的模型：$k$ -核心渗流和相互依赖的网络。我们将这两个模型结合成一个通用的模型，解析求解，并通过大量的模拟验证我们的理论结果。我们还研究了完整的相图的渗滤过渡，因为我们调整的平均本地$k$核心阈值和网络之间的耦合。我们发现，相结合的过程的相图是非常丰富的，包括新的功能，不出现在模型中单独研究每个过程。例如，相图由两条三临界线分开的第一和第二阶过渡区组成，这两条三临界线合并在一起并包围一个新的两级过渡区。在两阶段跃迁中，巨组分的尺寸在一定的占据概率下经历一级跳跃，然后在较低的占据概率下经历连续的二级跃迁。此外，在某些固定的相互依赖性下，随着$k$ -核心阈值的增加，渗流转变从一阶$\rightarrow$二阶$\rightarrow$两阶段$\rightarrow$一阶改变。建立了描述两级相变区相边界的解析方程，并解析地导出了每种相变的临界指数。
2017-03-07 physics.soc-ph
Multiple percolation transitions in a configuration model of network of networks
近年来，网络的鲁棒性研究受到了广泛的关注。相互依赖网络的鲁棒性可以通过当一部分节点从这些网络中移除时相互连接的组件的大小来评估。在这里，我们的特点是出现的网络中的网络（层）$α$的每一个节点连接的网络中的相互连接的组件与$q_α$随机选择的副本在其他一些网络，是相互依赖的这些节点的概率$r$。我们发现当网络中不同层的超度$q_α$不均匀分布时，可以发生多次渗流相变，并且这些相变是连续的或不连续的，取决于$r$的值.
2014-06-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
The robustness of interdependent clustered networks
最近发现，连锁故障可能导致相互依赖的网络系统的突然崩溃。使用Newman [Phys. Rev. Lett. { \bf 103}，058701（2009）]，我们开发了一种分析方法，用于研究相互依赖网络系统的网络内的聚类如何影响系统的鲁棒性。我们发现，集群显着增加了系统的脆弱性，这是由相互依赖的网络中的渗流阈值$p_c$的增加值表示。
2012-10-17 cs.SI physics.soc-ph
Large deviation theory of percolation on multiplex networks
最近越来越多的注意力已经解决了在单一和多重网络中定义的渗流观察到的波动。这些波动对于描述真实有限网络的鲁棒性是非常重要的，但是传统上采用的渗流平均场论不能捕捉到这些波动。在这里，我们提出了一个理论框架和一个消息传递算法，能够充分捕捉到大偏差的相互依赖的多路网络的局部树状结构的渗流。这个框架在这里被应用于研究单实例多路复用网络的鲁棒性，并与使用大量的初始损伤模拟所获得的结果进行比较。为了简单起见，这里的方法是为相互依赖的多路复用网络没有链路重叠，但它可以推广到处理多路复用网络的链路重叠。
2019-01-07 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
The effect of randomness for dependency map on the robustness of interdependent lattices
对于具有单位依赖映射的相互依赖网络，渗流与单个网络完全相同，遵循二级相变;而对于随机依赖网络，渗流遵循一级相变。在真实网络中，网络之间的依赖关系既不是完全相同的，也不是完全随机的。因此，在本文中，我们研究依赖映射的随机性对相互依赖格型网络的鲁棒性的影响。我们引入近似熵（$ApEn$）作为依赖图随机性的度量。我们发现存在一个临界$ApEn_c$，低于该临界值渗流是连续的，但对于较大的$ApEn$，它是一个一级转变。随着$ApEn$的增加，$p_c$增加，直到$ApEn$达到${ApEn}_c'$，然后几乎保持恒定。随着$ApEn$的增加，系统的时间尺度表现出丰富的性质。我们的研究结果表明，随机性是导致空间相互依赖网络级联故障的重要因素之一。
2015-09-17 cs.SI physics.soc-ph
k-core percolation on interdependent and interconnected multiplex networks
许多现实世界的网络耦合在一起，以维持其正常功能。在这里，我们研究的鲁棒性的多路复用网络的相互依赖和互连的链接下的k-核心渗流，当一个节点连接到一个阈值小于k个邻居失败。通过推导自洽方程，解析求解了巨组分的临界阈值和尺寸等关键参数，并通过数值模拟验证了理论结果.我们发现，丰富的相变现象，因为我们调整层间耦合强度。具体来说，在ER-ER复合网络中，随着耦合强度的增加，巨连通分支的大小在每一层中首先经历一级跃迁，然后经历二级跃迁，最后经历一级跃迁.这是由于同时具有连接性和依赖性的层间链路的性质。如果对初始鲁棒网络的依赖性很强，则系统更鲁棒，如果对初始攻击网络的依赖性很强，则系统更脆弱。这些影响甚至在级联过程中被放大。当将我们的模型应用于SF-SF复用网络时，转换的类型发生了变化。只有当两层的相互耦合很强时，系统才先经历一级相变，在其它条件下，系统经历二级相变。
2021-01-07 physics.soc-ph
Eradicating Catastrophic Collapse in Interdependent Networks via Reinforced Nodes
在相互依赖的网络中，基于渗流理论，通常假设如果节点失去与网络巨型组件的连接，它们将变得不起作用。然而，在现实中，一些节点，配备了替代资源，连同他们的连接邻居仍然可以运行，一旦断开连接的巨大的组成部分。在这里，我们提出并研究了一个广义渗流模型，该模型在相互依赖的网络中引入了一小部分增强节点，这些节点可以发挥作用并支持它们的邻域。我们分析，分析和通过模拟，序参量$-$的功能组件$-$包括巨大的组件和较小的组件，包括至少一个加强节点。值得注意的是，我们发现，对于相互依赖的网络，我们只需要加强一小部分节点，以防止突然的灾难性崩溃。此外，我们还发现，对于两个相互依赖的Erdens-Rényi（ER）网络，即具有大平均度的正则随机（RR）网络和无标度（SF）网络，该分数的普适上界为0.1756。我们还将我们的理论推广到网络的相互依赖网络（NON）。我们的研究结果可能会为设计弹性相互依赖的基础设施网络提供见解。
2016-05-13 physics.soc-ph
Percolation of a general network of networks
逾渗理论是研究系统脆弱性的一种方法。我们开发的分析框架和分析的相互依赖的网络（NetONet）组成的网络的渗流特性。通常，单个网络的渗流表明，由于故障而导致的网络中的损坏是故障节点分数的连续函数。与此形成鲜明对比的是，在NetONet中，由于级联故障，渗流过渡可能是不连续的，甚至单个节点故障可能导致系统的突然崩溃。我们展示了由$n$经典Erdens-Rényi（ER）网络组成的NetONet的一般框架，其中每个网络依赖于相同数量的$m$其他网络，即，相互依赖的ER网络的随机规则网络。与其中最大连接簇（互分量）的大小取决于$n$的\emph{treelike} NetONet相反，RR NetONet中的循环导致最大连接簇仅取决于$m$。分析了耦合的极端脆弱反馈条件。在ER网络的情况下，NetONet只表现出两个阶段，二阶相变和崩溃，并没有第一相变制度，不像没有反馈的条件。对于由RR网络组成的NetONet，当$q$较大时，存在一阶相变，当$q$较小时，存在二阶相变.我们的研究结果可以帮助设计强大的相互依赖的系统。
2013-06-14 cond-mat.stat-mech physics.comp-ph physics.soc-ph
Percolation of Partially Interdependent Scale-free Networks
研究了两个相互依赖的无标度网络在1- $p$节点随机失效下的渗流行为。我们的结果是基于解析表达式和模拟的数值解。我们发现，当两个网络之间的耦合强度$q$从1（完全耦合）降低到0（无耦合）时，存在两个临界耦合强度$q_1$和$q_2$，它们将巨组分作为$p$的函数具有不同行为的三个不同区域分开。(i)对于$q \geq q_1$，在$p=p_c$处发生突然的塌缩转变。(ii)对于$q_2<q<q_1$，巨分量具有两者的混合过渡，在某个$p=p^{jump}_c$处突然减小，随后随着$p$减小到零，对于$p < p^{jump}_c$平滑减小到零。(iii)对于$q \leq q_2$，巨星分量有一个连续的二级跃迁（在$p=p_c$）。我们发现$λ\leq 3$的$(a)$，$q_1 \equiv 1$ ;以及$λ> 3$的$q_1$随$λ$的增加而降低。$(b)$在混合跃迁中，在$q_2 < q < q_1$区域，互巨分量$P_{\infty}$在$p=p^{jump}_c$处不连续地跳跃到非常小但非零的值，并且当减小$p$时，对于$λ< 3$，$P_{\infty}$在$p_c = 0$处连续地接近0，对于$λ> 3$，在$p_c > 0$处连续地接近0。因此，具有$λ\leqslant 3$的单个网络的已知理论$p_c=0$预期对于严格部分相互依赖的网络也是有效的。
2013-02-18 physics.data-an physics.soc-ph
Percolation in networks of networks with random matching of nodes in different layers
我们考虑网络的网络的鲁棒性和渗流性质，其中不同个体网络（层）中的随机节点可以相互依赖。我们探讨了巨大的相互连接的组件的出现，在一个单一的网络相互依赖的网络中的渗透集群，并观察到强大的相互依赖的循环效果。特别是，我们发现，巨大的共同组成部分不会出现在一个由任何数量的层形成的循环。相比之下，我们观察到多个混合过渡网络的网络形成的无限数量的随机连接层，对应的渗透层与不同数量的相互依赖性。特别是，我们发现，具有许多相互依赖性的层比具有较少相互依赖性的层更脆弱。这些混合跃迁结合了不连续性和奇异性，负责将不同层中的有限部分节点连接到巨大的相互连接的分量。在部分相互依赖的情况下，当层之间只有一小部分互连提供相互依赖时，这些过渡中的一些可以成为连续的。
2014-11-15 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Robustness of partially interdependent network formed of clustered networks
聚类或传递性已经在真实网络中被观察到，它对网络结构和功能的影响已经被广泛讨论。这些研究的重点一直是单网络的聚类，而耦合网络的鲁棒性的聚类效果很少受到关注。最近只研究了一对完全耦合网络的聚类情况。在这里，我们推广的研究集群的一个完全耦合的网络对网络的部分相互依赖的网络与集群内的网络组件的研究。我们分析和数值计算，如何集群内的网络，影响相互依赖的网络的渗流特性，包括渗流阈值，巨组件的大小和临界耦合点，一阶相变的变化，二阶相变的网络之间的耦合减少。我们研究了两种类型的聚类：一种是由Newman提出的，在改变聚类的同时平均度保持不变，另一种是由Hackett $et$ $al.$提出的，度分布保持不变。第一种类型的聚类分析和数值处理，而第二个只处理数值。
2013-07-31 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Dependency-based targeted attacks in interdependent networks
现代大型网络系统通常协同工作，并出于效率和监管的目的在其组件之间建立依赖关系。这种依赖性可能成为主要风险，因为它们可能导致小规模故障在整个系统中传播。因此，依赖节点可能是旨在利用这些漏洞的恶意攻击的自然目标。在这里，我们第一次考虑一种基于网络之间依赖关系的新型有针对性的攻击。我们研究的攻击策略，范围从依赖性第一依赖性最后，其中一小部分$1-p$的依赖性链接的节点，或没有依赖性链接的节点，分别最初受到攻击。我们系统地分析，分析和数值，部分相互依赖的Erdens-Rényi（ER）网络的渗流过渡，其中一小部分$q$的节点在每个网络依赖于其他网络的节点。我们发现，对于广泛的依赖强度$q$，“依赖第一”的战略，这直观地预计将增加系统的脆弱性，实际上会导致一个更稳定的系统，在较低的临界渗流阈值$p_c$，与相同大小的随机攻击相比。相比之下，“最后依赖”战略导致一个更脆弱的系统，即，更高的$p_c$，与随机攻击相比。通过探索基于依赖性的攻击引发的级联故障的动态，我们解释了这种反直觉的效果。我们的研究结果表明，在一个相互依赖的网络系统中，最脆弱的组件不一定是那些导致最大的直接影响，但那些引发了最大的累积损害的故障级联。
2019-12-27 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Strategy for stopping failure cascades in interdependent networks
相互依存在全世界无处不在。每个现实世界的系统都与其他系统交互并依赖于其他系统，这种相互依赖性会影响它们的性能。特别是，网络之间的相互依赖性使它们容易受到故障级联的影响，其影响往往是灾难性的。故障传播使网络组件碎片化，断开它们，并可能导致完全的系统故障。我们提出了一个战略，避免或至少减轻了一个系统的相互依赖的网络经历故障级联的完全破坏。从一个网络中故障节点的一小部分$1-p$开始，我们以概率$γ$将每个孤立的组件重新连接到功能巨型组件（GC），即最大的连接簇。我们发现，随着$γ$的增加，系统对级联故障的恢复能力也增加。我们还发现，我们的策略是更有效的，当它被应用在一个网络的平均度较低。利用渗流理论对问题进行了理论求解，结果表明，求解结果与模拟结果吻合较好。
2018-07-06 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Interdependent Lattice Networks in High Dimensions
我们研究了两个相互依赖的晶格网络的相互渗透，从2到7维，表示为$D$。我们要求连接两个格中节点的相互依赖链接的长度小于或等于某个值$r$。对于每个值的$D$和$r$，我们发现的相互渗透阈值，$p_c[D,r]$低于该系统完全崩溃，通过一个级联的故障后，最初的一部分$ (1-p)$的节点在一个格子的破坏。我们发现，对于每个维度，$D<6$，有一个值的$r=r_I>1$，使$r\geq r_I$的级联故障发生作为一个不连续的一阶过渡，而$r<r_I$的系统经历了一个连续的二阶过渡，在经典的渗流理论。值得注意的是，对于$D=6$，$r_I=1$与具有相同度（协调数）的节点的随机正则（RR）图相同。我们还发现，在所有维度上，相互依赖的晶格在距离$r=r_{max}>r_I$处达到最大脆弱性（最大$p_c[D,r]$），并且对于$r>r_{max}$，脆弱性开始随着$r\to\infty$而减小。然而，随着$D$增加，降低变得不太显著，并且随着$D$，$p_c[D,r_{max}]-p_c[D,\infty]$呈指数降低。我们还研究了$p_c[D,r]$对系统尺寸的依赖性以及过渡的性质如何随着晶格位置的数量$N\to\infty$而变化。
2016-04-17 cond-mat.dis-nn physics.soc-ph
The extreme vulnerability of interdependent spatially embedded networks
最近的研究表明，在相互依赖的网络中，一个网络中的一个非常小的故障可能导致灾难性的后果。在相互依赖的节点的临界分数以上，即使是单个节点故障也会引起级联故障，这可能会突然使系统碎片化，而在此“临界依赖性”（CD）以下，几个节点的故障只会对系统造成很小的损害。到目前为止，研究主要集中在没有空间限制的相互依赖随机网络。然而，许多真实系统，如电网和互联网，不是随机的，而是空间嵌入的。在这里，我们分析和数值分析系统的稳定性，由相互依赖的空间嵌入式网络建模为格子网络。令人惊讶的是，我们发现，在晶格系统中，与非嵌入式系统相比，没有CD和\textit{any}小部分的相互依赖的节点导致突然崩溃。我们表明，这种非常弱耦合晶格的极端脆弱性是一个后果的临界指数描述一个单一的晶格的渗流过渡。我们的研究结果是重要的了解的脆弱性和设计强大的相互依赖的空间嵌入式网络。
2012-06-10 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Universal mechanism for hybrid percolation transitions
在$k$ -核心渗流、相互依赖网络的崩溃和合作的传染病传播模型等复杂系统中，已经观察到级联过程诱导的混合渗流跃迁（HPT）。许多努力已经投入到描述个别系统的HPT的属性。然而，关于这些HPT背后可能的普遍机制的基本问题尚未在微观水平上进行研究。在这里，我们发现，在这样的HPTs的序参量的不连续性的结果从两个步骤：一个持久的临界分支（CB）和爆炸性，超临界（SC）的过程。在$N$节点的随机网络中，在转换时CB过程持续$O(N^{1/3})$时间，并且剩余节点变得易受攻击。然后在短SC过程中激活那些脆弱节点。这种交叉机制和标度行为对于不同的HPT系统是通用的。
2017-02-09 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Possible origin for the similar phase transitions in k-core and interdependent networks
研究k-core percolation与interdependent networks的相似性，发现两者共享分形涨落维度与标度行为，并指出其相似性源于短程连通与长程影响两类相互作用。
2023-08-05 physics.soc-ph
The robust-yet-fragile nature of interdependent networks
根据渗流模型，相互依赖的网络已被证明是极其脆弱的。Parshani et. Al进一步指出，网络间的相似性越大，它们对随机故障的鲁棒性就越强。我们的理解如何耦合模式的形状和影响级联故障的负载在相互依赖的网络是有限的，但对于现实世界中的相互依赖的网络系统的设计和优化是必不可少的。然而，这个问题在很大程度上尚未得到探讨。在本文中，我们解决这个问题，通过调查的鲁棒性相互依存ER随机图和BA无标度网络下的随机故障和故意攻击。研究发现，相互依赖的ER随机图在随机失效和蓄意攻击下都是鲁棒脆弱的。然而，相互依赖的BA无标度网络只在随机故障下是鲁棒的，但在故意攻击下是脆弱的。这些结果大大推进了我们对相互依赖网络鲁棒性的理解。
2014-05-17 cs.SI physics.soc-ph
Microscopic intervention yields abrupt transition in interdependent magnetic networks
该研究针对相互依赖空间磁性网络模型，探究热耗散范围对其临界相变的调控作用，并发现局部加热、局部磁场这类微观干预可引发宏观相变，为调控相互依赖材料宏观相态提供新的现实思路。
2023-06-08 physics.soc-ph
Dynamics of cascades in spatial interdependent networks
本文研究空间相互依赖网络中级联故障动力学如何随依赖耦合范围变化，揭示二阶、一阶、混合阶相变机制，并预测微观干预引发宏观相变的第四类新型相变。
2023-07-06 physics.soc-ph
Percolation of Hierarchical Networks and Networks of Networks
大量的工作已经致力于研究网络和相互依赖的网络在不同程度的故障下的渗流。研究人员已经考虑了许多不同的现实网络结构，但到目前为止，还没有研究纳入了许多网络的层次结构。例如，跨城市的基础设施可能会分布，使得节点在小社区内紧密连接，在整个城市中连接较少，城市之间的连接甚至更少。此外，虽然以前的工作确定了相互连接的节点，这些节点的链接在其邻域之外，更有可能受到攻击，但在这里，我们有各种级别的互连（在邻域之间，在城市之间等）。我们认为最高级别的互连节点最有可能被攻击，其次是那些在下一级的互连，等我们开发了一个分析解决方案，为这种结构的单一和相互依赖的网络，并通过模拟验证我们的理论。我们发现，取决于层次结构中的级别的数量，在巨组件（互连节点的分数）中可能有多个过渡，因为网络在各个级别上分离。我们的研究结果表明，这些多跳是层次网络的一个特点，可以影响基础设施网络的脆弱性。
2018-05-03 physics.soc-ph
Percolation in Multiplex Networks with Overlap
从运输网络到复杂的基础设施，再到社会和通信网络，各种各样的系统都可以用通过不同网络（层）交互的一组节点形成的复用来描述。多路复用器相对于构成它们的单层可能显示出增加的脆弱性。然而，到目前为止，不同层中的链路重叠大多被忽视，尽管这在大多数复用中是一种普遍存在的现象。在这里，我们表明，层之间的重叠，可以提高相互依赖的多重系统的鲁棒性和改变的临界行为的渗流相变在一个复杂的方式。
2013-12-24 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Robustness of interdependent networks under targeted attack
当相互依赖的网络中发生节点的初始故障时，网络之间的故障级联发生。早期的研究集中在随机初始故障。在这里，我们研究了相互依赖网络的鲁棒性有针对性的攻击高或低度节点。我们介绍了一种通用的技术，并表明，{ \it有针对性的攻击}问题的相互依赖的网络可以映射到{ \it随机攻击}问题的相互依赖的网络转换对。我们发现，当高度连接的节点被保护，并有较低的概率失败，在对比单无标度（SF）网络的渗流阈值$p_c=0$，耦合SF网络是显着更脆弱的$p_c$显着大于零。结果表明，相互依赖的网络是很难保护的策略，如保护的高度节点，已被发现有用的显着提高单个网络的鲁棒性。
2010-11-19 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
General and exact approach to percolation on random graphs
我们提出了一个全面的和通用的理论框架，研究网站和债券渗流集群和相关的随机图。我们的贡献可以归纳为三个要点。(i)我们引入了一组迭代方程，解决了精确分布的大小和成分的有限大小淬火或随机多型图。(ii)我们定义了一个非常一般的随机图系综，其中包括迄今为止出版的大多数模型，并且还允许对尚未包含在理论框架中的结构特性进行建模。在这个集合上的位点和键渗透是使用概率生成函数在无限大小限制中精确求解的[即，逾渗阈值、巨型（广泛）和小型组件的大小和组成]。还提供了几个例子和应用。(iii)我们的方法可以适用于模型相互依赖的图形-其最显着的特点是通过一个不连续的相变的广泛的组件的出现-在一个同样普遍的方式。我们展示了一个图形如何可以连续地经历一个连续的，然后不连续的相变，初步结果表明，集群增加的幅度在过渡的不连续性。
2015-09-03 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Assortativity Decreases the Robustness of Interdependent Networks
最近人们认识到，不同网络之间的相互依存关系在引发连锁故障从而引发全系统灾难方面可发挥关键作用。最近的一个模型显示了相互依赖的网络对如何在故障累积时表现出突然的渗流转变。我们报告的影响，拓扑结构上的故障传播的模型系统组成的两个相互依赖的网络。我们发现，在两个相互依赖的网络中的每一个内部节点的相关性显着改变的临界密度的故障，触发两个网络系统的总中断。具体来说，我们发现单个网络中的重复性（即具有相似度的节点被连接的可能性）降低了整个系统的鲁棒性。研究结果可为提高网络体系结构的鲁棒性提供参考，从而提高关键基础设施的保护水平。
2012-11-23 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
Enhancing the robustness of a multiplex network leads to multiple discontinuous percolation transitions
确定提高相互依赖网络鲁棒性的设计原则是工程学、经济学和生物学的基本问题。已知最大化相同节点的副本之间的度相关性导致最佳鲁棒性。在这里，我们表明，增加的鲁棒性也可能是以引入多个相变为代价的。这些结果揭示了另一个可能的来源的脆弱性的多路复用网络，必须考虑到在网络优化和设计。
2019-08-11 cond-mat.dis-nn physics.soc-ph
Robustness of a Tree-like Network of Interdependent Networks
实际上，许多真实世界的网络与其他网络交互并依赖于其他网络。我们开发了一个分析框架，研究相互作用的网络，并提出了一个确切的渗流规律的$n$相互依存的网络（NON）。我们提出了一个一般的框架来研究的动态级联故障过程中的每一步所造成的初始故障发生在NON系统。研究并比较了$n$耦合Erdens-Rényi（ER）图和$n$耦合随机正则（RR）图.我们最近发现[Gao et. al. arXive：1010.5829]，对于由每个平均度为$k$的$n$ ER网络组成的NON，巨分支$P_{\infty}$由$P_{\infty}=p[1-\exp(-kP_{\infty})]^n$给出，其中$1-p$是被移除节点的初始分数。我们的一般结果与已知的Erdens-Rényi二阶相变在一个阈值，$p=p_c$，一个单一的网络相一致的$n=1$。对于$n=2$，$P_{\infty}$的一般结果对应于$n=2$结果[Buldyrev et.例如，Nature，464，（2010）]。类似于ER NON，对于$n=1$，在$p_c$处的逾渗转变为二级，而对于任何$n>1$，其为一级。ER和RR（对于$n>1$）中的一阶渗流转变伴随着网络之间的级联故障，这是由于它们的相互依赖性。然而，我们发现，$n$耦合RR网络的程度$k$的鲁棒性是显着更高的$n$耦合ER网络的平均程度$k$相比。对于ER NON系…
2011-08-29 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
Robustness of a Network of Networks
几乎所有的网络研究都集中在一个不相互作用并依赖于其他网络的单一网络的属性上。实际上，许多真实世界的网络与其他网络交互。在这里，我们开发了一个分析框架，研究相互作用的网络和$n$相互依赖的网络提出了一个确切的渗流定律。特别地，我们发现对于每个平均度为$k$的$n$ Erdens-Rényi网络，巨分支$P_{\infty}$由$P_{\infty}=p[1-\exp(-kP_{\infty})]^n$给出，其中$1-p$是删除节点的初始分数。我们对$n=1$的一般结果与已知的单个网络的Erdens-Rényi二阶相变一致。对于任何$n \geq 2$级联故障发生和过渡成为一级渗流过渡。$P_{\infty}$的新定律表明，在物理学和数学中被广泛研究的渗流理论是相互依赖网络的更普遍的一般和不同的渗流定律的极限情况（$n=1$）。
2010-10-28 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
Interdependent networks: the fragility of control
最近在相互依赖网络领域的工作集中在两个相同类型的系统之间的相互作用。然而，一个重要的和普遍存在的系统是那些涉及监测和控制，一个例子的相互依赖的过程是非常不同的。在这篇文章中，我们介绍了一个框架，用于模拟分布式监控的伪装，由一个分布式系统的控制设备监督的电气网络。该系统的特点是自由度突出现实世界的系统-即，控制设备的数量，其固有的可靠性，和控制网络的拓扑结构。令人惊讶的是，系统的行为在很大程度上取决于控制设备的可靠性。当设备完全可靠时，级联的大小是渗流控制的;设备的数量是相关的参数。对于不可靠的设备，控制网络的拓扑结构非常重要，并且会大大降低系统的弹性。
2013-09-26 cond-mat.dis-nn physics.soc-ph
Two distinct transitions in spatially embedded multiplex networks
多层基础设施通常是相互依赖的，一层中的节点依赖于另一层中的邻近节点来运行。由于较长链路的建设成本，每层中的链路通常具有有限的长度。在这里，我们模拟这样的系统作为一个多路复用网络组成的两个或更多的层，每个链接的特征地理长度，嵌入在二维空间。这相当于一个二维的相互依赖的空间嵌入网络系统，其中连接链接的长度受到限制，但不断变化，而依赖链接的长度始终为零。我们发现两个不同的渗流过渡行为取决于特征长度，$ζ$，链接。当$ζ$大于某个临界值$ζ_c$时，发生突变的一阶跃迁，而对于$ζ<ζ_c$，跃迁是连续的。我们表明，尽管在单层网络中增加$ζ$会降低渗透阈值$p_c$，但在多重网络中，它会产生相反的效果：将$p_c$增加到$ζ=ζ_c$的最大值。通过为空间嵌入的相互依赖和多重网络提供一个更现实的拓扑模型，并强调其相似之处，基于格的模型，我们提供了一个新的方向，更详细的未来研究。
2015-05-07 physics.soc-ph
Cascading Failures in Interdependent Lattice Networks: The Critical Role of the Length of Dependency Links
本文研究了由两个相互依赖的正方形格子网络A和B组成的系统中的级联故障，其中网络A中的每个节点依赖于网络B中的一个节点，该节点在距离网络A中的相应节点$r$一定距离内随机选择，反之亦然。我们的研究结果表明，渗流小$r$低于$r_{\rm max}\approx 8$（晶格单位）是一个二级转变，和较大的$r$是一个一级转变。对于$r<r_{\rm max}$，临界阈值随着$r$线性增加，从$r=0$的0.593开始，达到最大值，对于$r=r_{\rm max}$为0.738，然后逐渐降低到$r=\infty$的0.683。我们的分析考虑是在良好的协议与模拟。我们的研究表明，嵌入在欧几里得空间中的相互依赖的基础设施变得最脆弱时，相互依赖的节点之间的距离是在中间范围内，这是远远小于系统的大小。
2012-06-01 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
Cascading Failures in Networks with Proximate Dependent Nodes
研究了由两个相互依赖的随机正则网络组成的系统的相互渗流问题。我们引入了一个距离的概念，探讨相互依赖的节点的邻近性的影响后，首次攻击的级联故障。我们发现一个非平凡的过渡的性质之间的关系，通过该网络解体和系统的参数，这是节点的程度和相互依赖的节点之间的最大距离。我们解释这种关系，解决问题的分析相关的情况下。
2013-10-21 cs.SI physics.data-an physics.soc-ph
Emergence of Robustness in Network of Networks
最近，在大脑激活的背景下，引入了一个相互依赖的网络的网络（NoN）模型，以识别大脑NoN中的神经集体影响者。在这里，我们开发了一种新的方法来获得一个精确的表达的随机渗流过渡的Erdös-Rényi NoN。分析计算与数值模拟非常吻合，并突出了NoN对随机节点故障的鲁棒性。有趣的是，该模型的相图揭示了NoN最容易受到攻击的特定互连模式。我们的研究结果有助于理解这种相互依赖的架构中的鲁棒性的出现。
2016-06-20 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph q-bio.NC
Robustness of a Network Formed of Spatially Embedded Networks
我们提出了分析和数值结果的相互依赖的空间嵌入网络形成的网络中的渗流。我们展示了一个树状网络和一个随机规则网络的结果，每个网络都有$(i)$无约束的相互依赖的链接和$(ii)$相互依赖的链接限制到一个最大长度，$r$。分析结果给出了每个网络的网络与无约束的依赖关系的链接，并与模拟比较。对于两个空间嵌入网络的情况下，发现只有$r>r_c\approx8$的系统进行一级相变。我们发现，对于树状网络的网络$r_c$显着减少$n$增加，并迅速达到其极限值，$r=1$。对于依赖关系形成循环的情况，例如在随机规则网络中，我们通过分析和模拟证实，存在一定比例的依赖节点$q_{max}$，超过该比例，即使删除单个节点，整个网络结构也会崩溃。这个$q_{max}$随着网络的随机规则网络的度$m$而迅速减小。我们的研究结果表明，耦合空间网络的极端敏感性，并强调这些网络突然崩溃的敏感性。这里导出的理论可以用来找到任何网络的网络的鲁棒性，其中单个网络的渗透轮廓是已知的。
2014-02-19 physics.soc-ph
Redundant interdependencies boost the robustness of multilayer networks
在多路复用网络的鲁棒性分析中，通常假设一个节点只有在其相互依赖的节点同时起作用时才起作用。根据该模型，多路复用网络随着层数的增加而变得越来越脆弱。在这方面，在原有的多路复用网络中增加一层新的相互依赖的节点永远不会提高其鲁棒性。虽然这种模型似乎适合于理解仅由两层组成的网络的最简单场景中的相互依赖性的影响，但它似乎不适合描述由多个网络层形成的真实系统的鲁棒性。事实上，一个真正的系统，通过多层相互作用的发展，朝着一个脆弱的结构进化，这似乎是不现实的。在本文中，我们介绍了一个模型的渗流，使一个节点功能的条件是，该节点是在网络的至少两个层的功能。当网络层数为2时，该模型退化为通常采用的多重网络渗流模型。然而，对于更大数量的层，该模型描述了一种场景，其中新层的添加通过在层之间创建冗余的相互依赖性来增强系统的鲁棒性。我们证明了这一事实，由于一个消息传递理论的发展，能够在合成和现实世界的多重图形的模型的特征。
2017-03-09 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Triple point induced by targeted autonomization on interdependent scale free networks
许多人造网络相互支持，为客户提供有效的服务和资源，尽管这种支持在各个网络之间产生了很强的相互依赖性。因此，一个网络中的一部分节点的初始故障$1-p$使系统暴露于故障级联，并且因此使整个系统完全崩溃。因此，重要的是要制定有效的策略，以避免崩溃，通过增加对故障的各个网络的鲁棒性。在这里，我们提供了一个精确的理论方法来研究相互依赖的网络上的故障级联的演变时，一小部分$α$的节点，在每个单独的网络具有较高的连接是自主的。有了这种模式的相互依赖性，我们发现，对异构网络，两个临界渗流阈值，依赖于$α$，分离三个制度与非常不同的网络的最终大小，收敛到一个三相点在平面$p-α$。我们的研究结果表明，由高度节点代表的网络的异质性是在本研究和其他研究中发现的丰富相图的原因。
2014-02-08 physics.soc-ph
Realizing interdependent couplings as thermal or higher-order interactions
本文提出相互依赖磁化框架，将网络依赖链接映射为有向 K 自旋相互作用或自适应热耦合，揭示其熵力效应及与随机多自旋模型基态的同构关系。
2024-12-02 cond-mat.dis-nn physics.soc-ph
Percolation of networks with directed dependency links
自洽概率方法已被证明是强大的，在研究相互依赖或多重网络的渗流行为，而无需跟踪通过每个级联步骤的渗流过程。为了理解有向依赖链接如何影响临界性，我们采用这种方法来研究具有无向连接链接和有向依赖链接的网络的渗流性质。我们发现，当一个具有给定度分布的随机网络发生二阶相变时，临界点和二阶相变区域周围的不稳定区域由不依赖于任何其他节点的节点比例决定.此外，我们还发现，三相点和边界之间的第一和第二阶过渡的节点的比例，取决于不超过一个节点。这意味着，对于多路网络系统，相变的一些重要性质可能仅由几个参数决定。我们使用Erdos-Renyi（ER）网络来说明我们的研究结果。
2016-03-10 physics.soc-ph
Percolation on interacting, antagonistic networks
最近，关于相互依赖网络的渗流的新结果表明，渗流转变可以是一阶的。在本文中，我们表明，当考虑相互作用的网络之间的对抗性相互作用，渗流过程可能会提出一个双稳态的平衡解。为此，我们引入了对抗性的相互作用，其中网络中的节点的功能或活动与其他相互作用网络中的链接节点的功能不兼容。特别地，我们研究了两个相互作用的网络中的渗流过渡，具有纯粹的对抗性的相互作用和不同的拓扑结构。对于两个平均度不同的对抗Poisson网络，我们发现在相图中有一个很大的区域，在这个区域中渗流过程的稳态解具有双稳态，即我们可以发现两个网络中的任何一个都可能渗流。对于两个对抗性的无标度网络，我们发现在相图中有一个区域，尽管存在对抗性的相互作用，但两个网络都是相互作用的。最后，我们刻画了两个对立网络上的渗流问题的丰富相图，第一个是泊松网络，第二个是无标度网络。
2013-04-11 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech cs.SI
Resilience of Networks Formed of Interdependent Modular Networks
许多基础设施网络具有模块化结构，而且相互依存。虽然有大量研究探讨了相互依赖网络的弹性，但没有分析模块化的影响。在这里，我们开发了一个理论框架，相互依赖的模块化网络的攻击，并支持我们的模拟结果。我们关注的情况下，每个网络有相同数量的社区和依赖关系的链接被限制在不同的网络社区对之间。这对于跨城市的基础设施来说是非常现实的。每个城市都有自己的基础设施，不同的基础设施在城市中相互依赖。然而，每个基础设施都是在城市内部和城市之间连接的。例如，电网将连接许多城市，通信网络也将连接许多城市，但相互依赖的发电站和通信塔可能位于同一个城市。它已被证明，单一的网络是非常容易受到失败的互联节点（社区之间）Shai等人。这些节点上的攻击是更严重的比攻击的基础上的介数达库尼亚等人。在我们的例子中，这些节点有很长的距离链接，更容易失败。对于树状和环状相互依赖的模块网络，我们发现不同的制度取决于模块的数量，$m$。(i)在具有强内连通的模块较少的情况下，系统首先在突然的一级转变中分离成模块，然后每个模块经历第二次渗流转变。(ii)当有更多的模块与它们之间的许多互连，系统经历一个单一的过渡。总的来说，我们发现，模块化结构可以影响相互依赖网络中观察到的过渡类型，并应在尝试使相互依赖网络更具弹性时加以考虑。
2015-08-06 cs.SI physics.soc-ph
$k$-core percolation on complex networks: Comparing random, localized and targeted attacks
恶意攻击的类型对网络的稳定性有很大的影响，在普通渗流中，当一个节点从巨分支断开时，它就会失效。在这里，我们研究它的推广，$k$核心渗流，其中一个节点失败时，它失去了连接到阈值$k$邻居。我们研究和比较解析和数值模拟的$k$ -核心渗流网络的稳定性下的随机攻击（RA），本地化攻击（LA）和有针对性的攻击（TA），分别。通过将LA或TA下的网络映射到RA下的等价网络，我们发现，在单个网络和相互依赖的网络中，TA对网络的核心结构的破坏最大。我们还发现，对于Erdens-Rényi（ER）网络，LA和RA对核心结构的破坏是相等的，而对于无标度（SF）网络，LA对核心结构的破坏要比RA大得多。
2016-05-20 cs.SI physics.soc-ph
Percolation on Networks with Antagonistic and Dependent Interactions
从现实世界中的相互作用系统的灵感，我们研究了一个系统，由两个网络表现出对立和依赖的相互作用。所谓对抗性和依赖性相互作用，我们的意思是，网络中的一部分功能节点会导致另一个节点的故障，而另一个节点的故障会导致第一个节点的链路故障。相对于相互依赖的网络，它可以表现出一阶相变，我们发现，在这样的网络中的相变是连续的。我们的分析表明，与孤立网络相比，该系统对随机攻击具有更强的鲁棒性。令人惊讶的是，我们观察到参数空间中的一个区域，两个网络的巨连通分量开始振荡。此外，我们发现，对于Erdos-Renyi和无标度网络的系统振荡只有当两个网络之间的依赖和对抗是非常高的。我们相信，这项研究可以加深我们对现实世界中相互作用系统的理解。
2016-06-16 physics.soc-ph
Robustness of One-to-Many Interdependent Higher-order Networks Against Cascading Failures
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Chongqing Medical University（重庆医科大学）
本文针对一对多相互依赖高阶网络，提出四类层间依赖条件，并基于渗流理论建立统一框架分析随机攻击后的级联故障鲁棒性。
2025-09-28 cs.SI physics.soc-ph
Higher-order percolation processes on multiplex hypergraphs
高阶相互作用越来越被认为是从大脑到社会联系网络的复杂系统的一个基本方面。超图和单纯复形捕捉了复杂系统的高阶相互作用，并允许研究它们的高阶结构和它们的功能之间的关系。在这里，我们建立了一个评估超图鲁棒性的一般框架，我们描述了简单的和高阶渗流过程的关键属性。这个一般框架建立在随机多重超图集成的制定上，其中每一层的特征在于给定基数的超边。揭示了随机多重超图的高阶渗流过程、多重网络的相互依赖渗流过程和K-核渗流过程之间的关系。随机多重超图的结构相关性对其渗流性质有显著影响。多重超图上高阶渗流过程的广泛的临界行为阐明了不连续转移出现的机制，揭示了有趣的临界性质，可应用于高阶网络上传染病传播和传染过程的研究.
2021-04-12 cond-mat.dis-nn cs.SI physics.soc-ph
Spatially localized attacks on interdependent networks: the existence of a finite critical attack size
现实世界中的许多复杂系统如基础设施、通信和交通网络都是嵌入在空间中的，其中一个系统的实体可能依赖于其他系统的实体。由于恶意攻击或自然灾害，这些系统容易发生地理上局部的故障。在这里，我们研究的弹性系统组成的两个相互依赖的空间嵌入式网络本地化的地理攻击。我们发现，如果一个攻击是大于一个有限的（零分数的系统）的临界大小，它会蔓延到整个系统，并导致其完全崩溃。如果攻击低于临界大小，它将保持局部性。相反，在随机攻击下，系统的有限部分需要被移除以启动系统崩溃。我们提出了数值模拟和理论方法来分析和预测本地攻击的效果和临界攻击大小。我们的研究结果表明，相互依赖的空间嵌入式基础设施的本地攻击的高风险，可以用于设计更具弹性的系统。
2013-10-03 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
Cascading failures in interdependent systems under a flow redistribution model
在过去的十年中，相互依赖系统的鲁棒性和级联故障一直是一个活跃的研究领域。然而，大多数现有的作品使用基于级联的模型，其中只有每个网络的最大组成部分在整个级联中保持功能。虽然适用于通信网络，但该假设未能捕获承载流的系统中的依赖性（例如，电力系统、公路运输网络），其中连锁故障通常由导致线路过载的流量重新分配触发。在这里，我们考虑一个模型组成的系统$A$和$B$的初始线路负荷和容量分别由$\{L_{A,i},C_{A,i}\}_{i=1}^{n}$和$\{L_{B,i},C_{B,i}\}_{i=1}^{n}$。当系统$A$中的线路发生故障时，$a$ -其负载的一部分被重新分配给$B$中的活动线路，而剩余的$(1-a)$ -部分在$A$中的所有功能线路之间均匀地重新分配; $B$中的线路故障与$b$类似地处理，$b$将重新分配给$A$的部分。我们给出了一个彻底的分析，该模型发起的随机攻击的目标$p_1$ -分数线在$A$和$p_2$ -分数在$B$的级联故障。结果表明：（i）该模型能够反映真实世界中的大规模级联现象，并表现出有趣的跃迁行为：最终的崩溃总是一阶的，但在崩溃之前会出现一系列的一阶和二阶跃迁;（ii）网络的鲁棒性与耦合系数$a$和$b$密切相关，并且鲁棒性一般在非平凡的$a,b$值处达到最大;（iii）与现有模式不同，互相依赖对系统的稳健性有多方面的影响，因为互相依赖可导致每个网…
2017-12-21 physics.soc-ph
Triple Point in Correlated Interdependent Networks
许多现实世界的网络通常以非平凡的方式依赖于其他网络来维护其功能。这些相互依存的“网络的网络”往往极其脆弱。当一个网络中的一小部分$1-p$节点随机失效时，损害会传播到网络中相互依赖的节点，并发生影响整个系统的动态失效级联。我们提出了两个相互依赖的网络，使我们能够重现故障级联的相互依赖的任意模式的动态方程。我们研究了在许多真实的相互依赖的网络系统中发现的“丰富的俱乐部”效应，在这些网络系统中，高度数的节点是非常相互依赖的，每个网络上的高度数节点的一小部分$α$相互关联。我们发现一个丰富的相图在平面$p-α$，与三相点让人想起的三相点的液体，从两个功能相分离的非功能相。
2013-11-19 cs.SI physics.soc-ph
Percolation in real multiplex networks
我们提出了一个精确的数学框架，能够描述在真正的多重网络中的网站渗流过渡。具体地说，我们认为平均渗流图有效的无限多个随机配置的节点存在于系统中具有给定的概率。该方法依赖于局部树型网络，因此，它有望准确地再现稀疏的多路复用网络的真实渗流图，可以忽略不计的短循环的数量。我们的理论的性能进行了测试，在社会，生物和运输多重图。当与以前介绍的方法相比，我们观察到的改进，在所有的网络分析的渗流图的预测。从我们的方法的结果证实了以前的说法的鲁棒性的真正的多路复用网络，在这个意义上说，系统的平均连通性不表现出任何显着的突变，因为它的各个组件被随机破坏。
2016-10-27 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
