Splitting criteria for vector bundles on minuscule homogeneous varieties
Mihai Halic
证明了极小齐次簇上的向量丛分裂为线丛的直和当且仅当它对二维Schubert子簇并的限制分裂。进行了个案分析。
I prove that a vector bundle on a minuscule homogeneous variety splits into a direct sum of line bundles if and only if its restriction to the union of two-dimensional Schubert subvarieties splits. A case-by-case analysis is done.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Irreducible components of minuscule affine Deligne-Lusztig varieties
研究了超特殊子群和极小余权$μ$的仿射Deligne-Lusztig簇的不可约分支集合中的$J_b(F)$ -轨道集.我们的描述意味着，特别是，它的元素的数量是由一个合适的权空间的Weyl模块与$μ$的对偶群的维数。
Quantum cohomology of minuscule homogeneous spaces
在统一的观点下研究了（余）极小齐次簇的量子上同调。我们证明了三点Gromov-Witten不变量总是可以解释为辅助簇上的经典相交数。我们的主要组合工具是某些颤动，在这方面，我们得到了一个量子Chevalley公式和更高的量子庞加莱对偶。特别地，我们计算了两个特殊的极小齐次簇的量子上同调。
Gorenstein locus of minuscule Schubert varieties
在这篇文章中，我们明确地描述了Gorenstein轨迹的所有微小舒伯特品种。这证明了A. Woo和A. Yong（见math.AG/0603273）对Schubert变种的Gorenstein轨迹的研究。
Minimal rational curves on generalized Bott-Samelson varieties
我们研究了Schubert簇上的极小有理曲线族，它们的Bott-Samelson去奇异化，以及Nicolas Perrin在极小情形下构造的它们的推广。特别是，我们描述了极小舒伯特品种的小决议的最小家庭。
Special cycles on unitary Shimura varieties with minuscule parahoric level structure
本文给出了具有极小仿射水平结构的酉Shimura簇上特殊圈的算术相交数的表达式。同时，我们证明了这些结果与所有已知结果是相容的。
Minuscule Schubert Varieties and Mirror Symmetry
我们考虑极小Schubert簇中光滑的完全相交的Calabi-Yau 3-folds，并通过将周围Schubert簇退化为Hibi复曲面簇来研究它们的镜像对称性。我们列出所有可能的卡-丘3倍这种类型的变形等价，并找到一个新的例子光滑卡-丘3倍皮卡德数1;一个完整的交叉在一个局部阶乘舒伯特品种${\boldsymbolΣ}$的凯莱平面${\mathbb{OP}}^2$。我们计算了这个Calabi-Yau 3-fold的拓扑不变量和BPS数，并推测它有一个非平凡的Fourier-Mukai伙伴。
Minuscule Schubert Varieties of Exceptional Type
研究了特殊的极小Schubert簇，给出了它们与大开胞腔交的定义理想的定义方程。我们还提供了这些理想的决议和特点，其中一些方面的基本例子的理想理论的Gorenstein理想。
K-theory of minuscule varieties
基于Thomas和Yong的K理论Jeu de taquin算法，证明了极小齐性空间的K理论Schubert结构常数的一致Littlewood-Richardson定则.我们的配方在所有类型中都是新的。对于A型格拉斯曼和最大正交格拉斯曼的主要例子，它具有的优点是，可以在不参考jeu de taquin算法的情况下识别要计数的表。
Rational curves on minuscule Schubert varieties
设X是极小Schubert簇，$α$是X上的一类1-圈.本文描述了从有理曲线到X的态射类$α$的不可约分支。不可约成分的描述如下：类$α$可以看作是$Pic(X)^*$的一个元素，它是皮卡德群的对偶。因为任何Weil-因子不一定是Cartier-因子，所以从余维1圈群的对偶到Picard群的对偶（只有）一个满射映射$s:A^1(X)^*\to Pic(X)^*$。不可约分量由$A^1(X)^*$中的有效元素$β$给出，使得$s(β)=α$。结果的证明使用X的Bott-Samelson分解Y。我们证明了X上的任何曲线都可以在Y上提升（变形后）。这是因为极小舒伯特簇上的任何除数都是移动的。然后证明了任何来自X的曲线都可以变形，使得它不满足$Y\to X$的收缩因子。这是可能的，因为对于极小舒伯特簇，在射影切空间中存在奇点的直线。现在足以处理的情况下，轨道的$Stab(X)$的稳定器的X，我们可以应用结果，我们以前的论文数学。AG/0003199。
Connected components of affine Deligne-Lusztig varieties in mixed characteristic
确定了非分歧连通约化群的极大紧子群的极小仿射Deligne-Lusztig簇的连通分支集。部分结果也得到了非极小闭仿射Deligne-Lusztig品种。我们考虑了函数域的情形及其在混合特征下的类似情形。特别地，我们确定了非分歧的Rapoport-Zink空间的连通分支集。
The mirror conjecture for minuscule flag varieties
证明了Rietsch的镜像猜想：极小旗簇的Dubrovin量子联络同构于Berenstein-Kazhdan几何晶体的特征D-模。我们的想法是把量子连接看作伽罗瓦，把几何晶体看作自守。我们发现令人惊讶的关系与工程的弗伦克尔-格罗斯，Heinloth-Ngô-Yun，和朱的Kloosterman层。同构来自于全局刚性结果，其中Hecke特征层由它们的局部分支决定。作为推论，我们得到了小量子上同调环的有理曲线的个数和Peterson簇表示的组合恒等式.
Minuscule Relations in Quantum $K$-Theory of Flag Varieties
本文研究旗簇的量子 $K$-理论，为每个微小基本权构造环面等变量子 $K$-理论中的显式关系，该关系是相应不可约表示特征的量子形变。
Small resolutions of minuscule Schubert varieties
本文一方面利用箭图上的组合数学描述了极小Schubert簇X的所有相对极小模型Y，证明了Y到X的态射是小的（在交上同调意义下）.另一方面，由于B. Totaro，极小Schubert簇X的任何小分辨率Z必须是X的相对极小模型。所以X容许小分辨率当且仅当存在X的光滑相对极小模型Y。我们给出了Y光滑的一个组合判据，用这种方法描述了X的所有小分辨率。我们还使用弦多项式和相对的典范模型，以另一种方式告诉当一个极小的舒伯特品种承认一个小的决议。
On the Birational Geometry of Schubert Varieties
利用Mori梦空间结构对（余）极小Schubert簇的所有Q-因子分解进行了分类.作为推论，我们得到的所有IH-小决议的（共）极小舒伯特品种的描述推广Perrin的结果。我们改进了他的结果，包括代数闭域的积极特征和cominuscule舒伯特品种。此外，使用Q-因子分解和Mori梦空间大大简化了论证。
Singular loci of Bruhat-Hibi toric varieties
对于复曲面簇X关联的布鲁哈特偏序集的舒伯特品种在一个极小的G/P，我们描述的奇异轨迹相关联的多面体锥的面孔。我们进一步证明了X中的奇异轨迹是纯余维数为3的。
Unique rectification in $d$-complete posets: towards the $K$-theory of Kac-Moody flag varieties
基于Jeu-de-Taquin的H. Thomas和A. Yong（2009）关于极小簇的理论在两个正交方向上得到了扩展，或者丰富了上同调理论，或者扩展了所考虑的簇族。在一个方向上，A。Buch和M. Samuel（2016）在极小偏序集上发展了一个“唯一校正目标”的组合理论，以将M-Y规则从普通上同调扩展到$K$ -理论。分开，P。E. Chaput和N. Perrin（2012）使用R. Proctor的“$d$ -完备偏序集”将Kac-Moody规则从极小类扩展到更广泛的Kac-Moody结构常数类。我们开始讨论这些理论的统一。我们的主要结果是在一个大类的$d$ -完全偏序集的存在唯一的整流目标。从这个结果中，我们得到了某些$K$理论Schubert结构常数在Kac-Moody设置下的正组合公式。
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
Characteristic cycles of IH sheaves of simply laced minuscule Schubert varieties are irreducible
本文证明了 E6、E7 型复余减旗流形中 Schubert 簇的交截同调复形的特征循环不可约，从而将 Boe 和 Fu 的结果推广到例外 Lie 型，并附带得到 Schubert 胞腔的 Mather 类与 CSM 类的强正性。
Résolutions de Demazure affines et formule de Casselman-Shalika géométrique
本文证明了Frenkel，Gaitsgory，Kazhdan和Vilonen关于α分裂约化群上仿射Grassmannian球面反常层的傅里叶系数的一个猜想.我们的证明是第一作者在GL（n）情况下给出的证明的扩展（见math/9801109）;它依赖于对仿射格拉斯曼中舒伯特簇的某些分解的研究，这些分解是从所谓的极小或准极小情况建立的。
Admissibility and permissibility for minuscule cocharacters in orthogonal groups
对于一个给定的余性状μ，μ-容许性和μ-容许性是由Kottwitz和Rapoport在Shimura品种的坏约化理论中引入的组合概念。在本文中，我们证明了μ-容许性是等价于μ-容许性在所有以前未知的情况下，极小余特征标μ Iwahori-外尔群附加到分裂正交群。这与Kottwitz-Rapoport和作者以前处理的其他情况相结合，建立了分裂典型群中所有极小余特征标的μ-容许性和μ-容许性的等价性，正如Rapoport所证明的那样。
Positivity of minuscule quantum K-theory
本文证明了minuscule旗 manifold 或二次超曲面的量子K理论环的Schubert结构常数具有交替于余维数的符号，并探讨了cominuscule旗 manifold的量子cohomology或量子K理论环中Schubert类乘积的q的幂次区间。
A combinatorial rule for (co)minuscule Schubert calculus
本文证明了极小和余极小旗流形G/P（后者又称为“紧Hermitian对称空间”）的Schubert演算的一个根系一致的、简洁的组合规则.我们连接这个几何的偏序集组合[Proctor '04]，从而给出了一个推广的[Schützenberger' 77]_jeu de taquin_制定的Littlewood-Richardson规则，计算相交数的格拉斯曼舒伯特品种。我们的证明引入了_cominuscule recursions_，这是一种将不同Lie类型的数字联系起来的通用技术。我们的规则的连接（几何）表示论的讨论也简要受理。
On the quantum cohomology of adjoint varieties
本文研究了拟极小和拟余齐性空间的量子上同调。任何两个舒伯特盒的乘积都不涉及大于2的量子参数的幂。利用量子到经典原理给出了量子上同调代数的表示。这些代数对于伴随的非余伴随簇是半单的，并给出了诱导奇异对偶的一些性质。
Arithmetic intersection on GSpin Rapoport-Zink spaces
在极小情形下，证明了GSpin Rapoport-Zink空间上对角圈的算术相交数的一个显式公式.这是一个局部问题所产生的算术Gan-Gross-Prasad猜想正交志村品种。我们的公式可以被看作是一个正交对应的算术几何方面的算术基本引理证明的Rapoport-Terstiege-Zhang在极小的情况下。
Symplectic conditions on Grassmannian, flag, and Schubert varieties
本文用Plücker坐标的线性方程刻画A型簇中C型Grassmann、旗与Schubert簇，并研究其理想生成、局部方程数、完全交性质及非微小情形的光滑性。
Splitting criteria for vector bundles on higher dimensional varieties
推广了Horrocks关于射影空间上向量丛分裂的判别准则.在一类至少四维的光滑复射影簇上建立了向量丛的类似分裂准则，在这类簇上线丛的每一扩张都是分裂的。
Fine Deligne-Lusztig varieties and Arithmetic Fundamental Lemmas
证明了一类闭优良Deligne-Lusztig簇的特征公式。我们应用它来计算不动点罚款Deligne-Lusztig品种所产生的基本位点的志村品种的Coxeter型。作为应用，我们证明了由算术Gan-Gross-Prasad拓扑所产生的酉和GSpin Rapoport-Zink空间上某些对角环的算术交公式.特别是，我们证明了算术基本引理在极小的情况下，没有假设的残留特征。
Splitting criteria for vector bundles induced by restrictions to divisors
本文通过将向量丛限制在部分充分因子的范围内，导出了它们的分裂性和平凡性的判别准则。这使得研究问题的分裂上的全空间的纤维丛。这些陈述用一些例子加以说明。对于极小齐次簇的乘积，我们的结果允许通过将它们限制到Schubert 2-平面的乘积来测试向量丛的分裂。这里得到的平凡性准则特别适用于Frobenius分裂簇，它的分裂是由反正则线丛中的一个截面定义的。作为应用，我们证明了光滑复曲面簇上的向量丛是平凡的，当它的反典范丛的稳定基轨迹的余维数至少为3时，它对不变因子的限制是平凡的，并且平凡化沿着各个交点是相容的.
Toroidal Schubert Varieties
研究了Schubert簇上的Levi子群作用.在部分旗品种的情况下，horosphere行动的确定。这导致一个表征的环形和horosphere部分旗品种皮卡德数1。在更一般的情形下，我们给出了Schubert簇上Levi子群作用为环面的一组必要条件.证明了（余）极小Schubert簇的奇异轨迹包含所有的$L_{max}$ -稳定Schubert子簇，其中$L_{max}$是极大抛物线左乘作用于Schubert簇的标准Levi子群.在A型中，得到了Billey-Postnikov分解对环面Schubert簇的影响.
Criteria for complete intersections
我们得到的标准检测完全相交的投影品种。受Hartshorne关于射影空间的子簇的猜想的启发，我们研究了有理齐次簇的二维光滑子簇是完全相交的情形.
On the connectedness of $p$-adic period domains
我们证明了所有的$p$ -adic周期域（和它们的非极小类似物）是几何连通的。这回答了一个问题的Hartl [Har 13]和有趣的后果几何志村和当地志村品种。
Tropical Matsusaka and Matsusaka--Ran Criteria
本文证明热带松阪准则与热带松阪-兰准则，结合热带庞加莱公式为热带肖特基问题提供几何解，还开发了相关工具并回答了Brannetti等人的问题。
Irreducible symplectic varieties via relative Prym varieties
本文利用带反辛对合的 K3 曲面及商曲面线性系构造相对 Prym 簇，给出其为本原或不可约辛簇的判据，并在无穷多维度中产生不可约辛簇序列。
Fixed points and entropy of endomorphisms on simple abelian varieties
本文研究了阿贝尔簇上自同态的不定点数和熵。最近的研究表明，简单复环面上的迭代自同态的不动点的个数是周期性的或指数增长的。判定一个给定的自同态是这一类型还是那一类型的标准仍然缺失。我们的第一个结果提供了这样的标准，简单的阿贝尔簇的可能类型的自同态代数。不动点的数目取决于特征值，我们确切地显示了哪些解析特征值发生。这一认识也是要求自同态熵的出发点。我们的第二个结果提供了一个自同态是零或正熵的标准。熵被计算为一个实数的对数，我们的第三个结果刻画了这个数的代数结构。
Smoothness of Schubert varieties in twisted affine Grassmannians
我们给出了一个完整的列表光滑和有理光滑正规化舒伯特品种在扭曲仿射格拉斯曼与一个驯服的分歧组和一个特殊的Bruhat-Tits建设的顶点。在${\rm Spin}_8$的准分裂但非分裂形式中的准极小舒伯特簇的特殊情况（“分歧三元性”）提供了He-Pappas-Rapoport分类具有良好或半稳定约化的Shimura簇的文章中所需的输入。
On the geometry of Certain Non-Basic Affine Deligne-Lusztig Varieties
研究非基本元素b对应的仿射Deligne-Lusztig簇到Levi子群簇的约化态射，证明在Drinfeld和minuscule情形下该态射是平凡仿射空间丛，并给出非minuscule情形中纤维非仿射空间的例子。
Symplectic Criteria on Stratified Uniruledness of Affine Varieties and Applications
我们发展的标准，仿射品种承认uniruled子品种的某些方面。测量是从辛上同调的版本，这是一个哈密尔顿弗洛尔理论的一些开放的辛流形，包括仿射品种的长精确序列。一般来说，辛上同调很难计算。然而，辛上同调的某些消失和不变性性质可以用来证明我们寻找uniruled子簇的准则在某些情况下成立。我们提供的应用程序的极小模型程序的方向的日志对的双有理几何的标准。
Automorphisms of nonnormal toric varieties
本文证明了非正规复曲面簇是柔性的、刚性的和几乎刚性的判别准则。对于刚性和几乎刚性复曲面品种，我们明确地描述了自同构群。
Algebraic independence in the Grothendieck ring of varieties
给出了域$k$上簇的类在域$k$上簇的Grothendieck环中代数独立的充分上同调准则，并构造了一些例子.
On automorphisms of flexible varieties
设X是F的柔性簇，F是$X$的闭一维子概型的同构.我们给出了保证F扩张到X的自同构的准则。
Finiteness criteria and uniformity of integral sections in some families of abelian varieties
设$A$是紧致黎曼曲面$B$的函数域$K$上的阿贝尔簇。修正一个$A/K$的模型$f \colon \mathcal{A} \to B$和一个确定的有效水平除数$\DD \subset \mathcal{A}$。本文给出了对每个有限子集$S \subset B$，$(S, \DD)$ -整截面集是有限的关于因子$\DD$的一个充分条件。这些积分截面$σ$对应于满足几何条件$f ( σ(B) \cap \DD)\subset S$的$A(K)$中的有理点。这个概念是\emph{Diophantine equations}系统的积分解的几何变体。当$\mathcal{A}= A_0 \times B$为复交换簇$A_0$时，我们也给出了$(S, \DD)$ -整截面数的一致界.对于平凡的交换曲面族，得到了$\DD$上$(S, \DD)$ -积分截面有限性的一个数值判据.
Fedder type criteria for quasi-$F$-splitting II
本文利用Fedder型准则研究准F-分裂，针对多种代数几何对象进行显式计算并揭示相关现象。
A survey on the singularities of spherical varieties
我们列出了一些奇异性的组合准则，这些准则出现在极小模型程序或（奇异）Fano簇的研究中。本文中的大多数结果是已知的，或者是已知结果的很容易的推论。我们收集这些结果，我们精确的一些证明，并添加一些结果，以获得一个连贯和完整的调查。
Special subvarieties in Mumford-Tate varieties
设X是Mumford-Tate簇，即，一个Mumford-Tate域D与一个离散子群的商。Mumford-Tate变种是Shimura变种的推广。我们定义了一个特殊的子簇Y在X（志村型）的概念，并制定必要的标准Y是特殊的。我们的方法是观察Y中的许多紧化特殊曲线C_i，并检验所有C_i在Y中的并的包含是否满足某些性质。其中之一就是所谓的相对比例条件。本文在Mumford-Tate簇X的情形下给出了这一数值准则的一个新形式。这样，我们给出了X的一个子簇Y是Andre-Oort猜想意义下的特殊子簇的充要条件。本文详细讨论了主极化阿贝尔簇的模空间X=A_g的重要情形。
Complexity of quantum cohomology
本文研究了紧致辛流形的量子上同调所对应的二维拓扑量子场理论的复杂度，给出了状态空间维度的上界，并在Gr(2,n)情况下获得了精确描述。
Toricness and smoothness criteria for spherical varieties
本文提出了一种基于球面骨架的球面簇托尔性质与光滑性判别准则，无需依赖外部参考表。
Fano varieties in Mori fibre spaces
我们表明，作为一个一般的纤维的森纤维空间是一个相当严格的条件的法诺品种。更具体地说，我们得到两个标准（一个充分和一个必要的）的Q-阶乘Fano品种终端奇点实现作为纤维的森纤维空间，这变成一个表征在刚性的情况下。我们应用我们的标准，以找出这个属性的三维和有理齐性空间。光滑复曲面的情况下进行了研究，一个有趣的连接K-半稳定性也进行了研究。
Some remarks on rigid sheaves, helices and exceptional vector bundles on Fano varieties over arbitrary fields
本文研究了任意域上Fano簇上刚性层与可分例外对象之间的联系。我们给出了Fano簇上的刚性向量丛是可分例外丛的直和以及可分例外向量丛是完全可分例外集合的一部分的判别准则。
Rationality criteria for motivic zeta-functions
复簇的ζ函数是一个幂级数，其第n个系数是该簇的第n个对称幂，被视为复簇的Grothendieck环中的元素。我们证明了曲面的zeta函数是有理的当且仅当它的Kodaira维数是负的。
Diophantine Approximation on varieties V: Algebraic independence criteria
对于复数元组$(θ_1,..,θ_M)$，本文在本系列文献的逼近技巧的基础上，从点$θ=(1,θ_1,...,θ_M)$在射影空间中的超曲面逼近性出发，推导出$(θ_1,..,θ_M)$生成的域在有理数域上超越度的下估计.第一个给出的结果是一个新的证明的代数独立性准则，这是以前证明的劳伦特和罗伊，并推广了Philippon准则也引入评估的衍生物的整体瓣部分。第二个结果是一种新的代数独立性准则，它比第一个结果具有更广的适用范围。
Positivity for Higgs vector bundles: criteria and applications
在特征0代数闭域光滑射影簇框架下，研究带希格斯场的希格斯丛正性概念，建立Barton-Kleiman型判据，结合Langer关于Simpson系统稳定性的结果，证明饱和Miyaoka-Yau不等式的一般型极小曲面的余切丛是丰沛的。
Vector Bundles on Products of Varieties with $n$-blocks Collections
这里我们考虑品种与$n$ -块集合的乘积。给出了秩2丛的上同调分裂条件。给出了向量丛的上同调刻画.工具是Costa和Miró-Roig推广的Beilinson型谱序列。此外，我们还在多个射影空间与光滑二次超曲面的乘积上引入了Castelnuovo-Mumford正则性的概念，从而证明了任意秩向量丛的两个分裂准则.
Hodge Cohomology Criteria For Affine Varieties
给出了拟投射簇是仿射簇的几个新的判别准则。特别地，我们证明了具有维数$n$的代数流形$Y$是仿射的当且仅当对所有$j\geq 0$，$i>0$和$κ(D, X)=n$都有$H^i(Y, Ω^j_Y)=0$，即，在$Y$上存在代数独立的非常数正则函数$n$，其中$X$是$Y$的光滑完备化，$D$是支持$X-Y$的有效边界因子，而$Ω^j_Y$是$Y$上正则$j$ -形式的层。这证明了Mohan Kumar关于代数流形的仿射性猜想，并给出了J. P. Serre的Steinness问题\cite{36}在代数情况下，因为相关的解析空间的仿射簇是Stein [15，第六章，命题3.1]。
Relative Lipschitz saturation of complex algebraic varieties
本文研究复代数簇的相对Lipschitz饱和，解答了Pham和Teissier关于一般代数Lipschitz饱和有限性的公开问题，并给出两代数簇可被闭点上局部双Lipschitz同胚的代数态射连接的代数判据。
Smoothings of Fano varieties with normal crossing singularities
本文给出了定义在特征为零的代数闭域上的具有正规交叉奇点的Fano簇X是光滑的判别准则。与原始版本的不同之处在于，本文利用对数结构和变形理论证明了X可被一个光滑簇光滑的充要条件是T^1（X）=O_D，其中D是X的奇异轨迹。
Geometric criteria for $\mathbb A^1$-connectedness and applications to norm varieties
证明了域$k$上的一大类簇的$\mathbb A^1$ -连通性可以刻画为它们的泛点可以用$\mathbb A^1$ -同伦连接到$k$ -有理点的条件.我们还表明，对称权力的$\mathbb A^1$ -连接品种（在任意领域），以及顺利的正常模式，他们（在代数闭域的特征$0$），是$\mathbb A^1$ -连接。作为这些结果的应用，我们表明，标准规范品种在一个领域$k$的特征0成为$\mathbb A^1$连接（因此，普遍$R$平凡）后，基地的变化，代数闭包的$k$。
Projections of Richardson Varieties
当Schubert簇在完全广义旗流形G/B到部分旗流形$G/P$的投影也是Schubert簇时，Richardson簇（Schubert簇与相反的Schubert簇的交叉）的投影不总是Richardson簇。由Richardson簇的投影得到的G/P的分层现象出现在全正性理论中，也出现在Poisson和非交换几何中。在本文中，我们表明，许多几何性质的理查森品种持有更普遍的投影理查森品种，他们是正常的，科恩-麦考利，有合理的奇点，并兼容Frobenius分裂相对于标准的分裂。事实上，我们表明，预计理查森品种是唯一的兼容分裂的子品种，提供了一个例子，最近的定理[施韦德，Kumar-梅塔]，一个弗罗贝纽斯分裂计划只有1000多兼容分裂的子品种。(The G/B情况由[Hague]处理，我们稍微简化了其证明。）Richardson簇的一个组合类似物是W中相应的Bruhat区间的序复形;这个复形被称为EL-可壳球[Bjorner-Wachs '82]。证明了这样的复形在W/W_P上的Bruhat序复形的投影也是一个可壳球。这需要广泛的分析“P-布鲁哈特秩序”，推广的k-布鲁哈特秩序[Bergeron Sottile '98]。在这种情况下，G/P是极小的（例如格拉斯曼），我们表明，其Grobner退化需要每个投影理查森品种的斯坦利-Reisner计划的相应的球。
Analytic curves in algebraic varieties over number fields
建立了数域上代数簇中曲线形式芽的代数性判据，并应用它们导出了函数形式芽的合理性判据，将Borel-Dwork和Pólya-Bertrandias关于射影直线的经典合理性定理推广到数域上任意代数曲线.这些准则的公式化和证明涉及到阿拉克洛夫几何中的一些基本概念，并结合了复杂和严格的解析几何（特别是复曲线和$p$ -adic曲线上的位势论）。我们还讨论了几何类似物，属于代数几何的射影曲面，这些算术标准。
Normal Bundle Splitting Strata of Rational Curves in Toric Varieties
本文研究环面簇中有理曲线法丛分裂型的分层，通过Cox构造和相对上同调态射给出非平衡性数值判据，并应用于射影空间爆破，与已有结果等价。
Vector Fields, Invariant Varieties and Linear Systems
研究了向量场的不变簇与线性系关于向量场的拐点轨迹之间的相互作用。在这样的调查的后果，我们得到了一个计算标准的存在合理的首次积分的一个给定的程度，界的首次积分的家庭的向量场和推广的达布的标准。我们还对Gomez-Mont关于所有叶代数的叶理的结果给出了一个新的证明。
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