Gorenstein locus of minuscule Schubert varieties
Nicolas Perrin
在这篇文章中，我们明确地描述了Gorenstein轨迹的所有微小舒伯特品种。这证明了A. Woo和A. Yong（见math.AG/0603273）对Schubert变种的Gorenstein轨迹的研究。
In this article, we describe explicitely the Gorenstein locus of all minuscule Schubert varieties. This proves a special case of a conjecture of A. Woo and A. Yong (see math.AG/0603273) on the Gorenstein locus of Schubert varieties.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Minuscule Schubert Varieties and Mirror Symmetry
我们考虑极小Schubert簇中光滑的完全相交的Calabi-Yau 3-folds，并通过将周围Schubert簇退化为Hibi复曲面簇来研究它们的镜像对称性。我们列出所有可能的卡-丘3倍这种类型的变形等价，并找到一个新的例子光滑卡-丘3倍皮卡德数1;一个完整的交叉在一个局部阶乘舒伯特品种${\boldsymbolΣ}$的凯莱平面${\mathbb{OP}}^2$。我们计算了这个Calabi-Yau 3-fold的拓扑不变量和BPS数，并推测它有一个非平凡的Fourier-Mukai伙伴。
Minuscule Schubert calculus and the geometric Satake correspondence
我们描述了Laksov，Gatto和他们的合作者在实现（广义）Schubert演算的Grassmannians，几何佐竹对应的Lusztig，Ginzburg，Mirković和Vilonen之间的关系。一路上，我们得到新的证明等变Giambelli公式的普通和正交格拉斯曼，以及一个简单的推导的“边缘钩”规则计算等变量子上同调的格拉斯曼。
A combinatorial rule for (co)minuscule Schubert calculus
本文证明了极小和余极小旗流形G/P（后者又称为“紧Hermitian对称空间”）的Schubert演算的一个根系一致的、简洁的组合规则.我们连接这个几何的偏序集组合[Proctor '04]，从而给出了一个推广的[Schützenberger' 77]_jeu de taquin_制定的Littlewood-Richardson规则，计算相交数的格拉斯曼舒伯特品种。我们的证明引入了_cominuscule recursions_，这是一种将不同Lie类型的数字联系起来的通用技术。我们的规则的连接（几何）表示论的讨论也简要受理。
Gorenstein toric Schubert varieties in Grassmannians
本文研究格拉斯曼流形中的环面Schubert簇，给出了Gorenstein环面Schubert簇的扇的显式描述，并证明其均为Fano簇。
Minuscule Schubert Varieties of Exceptional Type
研究了特殊的极小Schubert簇，给出了它们与大开胞腔交的定义理想的定义方程。我们还提供了这些理想的决议和特点，其中一些方面的基本例子的理想理论的Gorenstein理想。
When is a Schubert variety Gorenstein?
一个（正规）簇是Gorenstein，如果它是Cohen-Macualay，并且它的标准层是一个线丛。这个性质衡量了一个簇的奇异性的“病态”，因此比科恩-马库莱性强，但也比光滑性弱。我们确定哪些舒伯特品种Gorenstein的组合特征，使用广义模式回避条件。我们也给出了一个明确的描述作为一个线丛的规范层的Gorenstein舒伯特品种。
Small resolutions of minuscule Schubert varieties
本文一方面利用箭图上的组合数学描述了极小Schubert簇X的所有相对极小模型Y，证明了Y到X的态射是小的（在交上同调意义下）.另一方面，由于B. Totaro，极小Schubert簇X的任何小分辨率Z必须是X的相对极小模型。所以X容许小分辨率当且仅当存在X的光滑相对极小模型Y。我们给出了Y光滑的一个组合判据，用这种方法描述了X的所有小分辨率。我们还使用弦多项式和相对的典范模型，以另一种方式告诉当一个极小的舒伯特品种承认一个小的决议。
When is the matroid Schubert variety $\mathbb{Q}$-Gorenstein?
该研究针对拟阵舒伯特簇$Y_V$，运用运算乔伊上同调证明其上线丛的限制性质，给出其为戈伦斯坦与$\funnybb{Q}$-戈伦斯坦的组合学刻画，并构造了三类不同性质的实例。
Rational curves on minuscule Schubert varieties
设X是极小Schubert簇，$α$是X上的一类1-圈.本文描述了从有理曲线到X的态射类$α$的不可约分支。不可约成分的描述如下：类$α$可以看作是$Pic(X)^*$的一个元素，它是皮卡德群的对偶。因为任何Weil-因子不一定是Cartier-因子，所以从余维1圈群的对偶到Picard群的对偶（只有）一个满射映射$s:A^1(X)^*\to Pic(X)^*$。不可约分量由$A^1(X)^*$中的有效元素$β$给出，使得$s(β)=α$。结果的证明使用X的Bott-Samelson分解Y。我们证明了X上的任何曲线都可以在Y上提升（变形后）。这是因为极小舒伯特簇上的任何除数都是移动的。然后证明了任何来自X的曲线都可以变形，使得它不满足$Y\to X$的收缩因子。这是可能的，因为对于极小舒伯特簇，在射影切空间中存在奇点的直线。现在足以处理的情况下，轨道的$Stab(X)$的稳定器的X，我们可以应用结果，我们以前的论文数学。AG/0003199。
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
Quantum cohomology of minuscule homogeneous spaces II : Hidden symmetries
证明了任何极小或余齐性空间的量子上同调环，一旦局部化在量子参数上，就有一个非平凡的Schubert类到Schubert类的倍数的对合映射。这可以说是Gromov-Witten不变量的一个奇怪的对偶性质，它是非常对称的。
K-theory of minuscule varieties
基于Thomas和Yong的K理论Jeu de taquin算法，证明了极小齐性空间的K理论Schubert结构常数的一致Littlewood-Richardson定则.我们的配方在所有类型中都是新的。对于A型格拉斯曼和最大正交格拉斯曼的主要例子，它具有的优点是，可以在不参考jeu de taquin算法的情况下识别要计数的表。
Splitting criteria for vector bundles on minuscule homogeneous varieties
证明了极小齐次簇上的向量丛分裂为线丛的直和当且仅当它对二维Schubert子簇并的限制分裂。进行了个案分析。
On the Gorensteinization of Schubert Varieties via Boundary Divisors
我们将描述一个Schubert簇的一步“Gorensteinization”过程，沿着它的边界因子爆破。本地问题涉及Kazhdan-Lusztig品种，可以退化到仿射复曲面计划定义的子字复杂的斯坦利-Reisner理想。在这个复曲面的例子中，沿着边界的爆破实际上是Gorenstein。我们发现，存在退化的爆破的Kazhdan-Lusztig品种，这个Gorenstein计划，使我们能够将这一结果推广到舒伯特品种一般。潜在的使用这一步Gorensteinization来描述非Gorenstein轨迹的舒伯特品种进行了讨论，以及Gorensteinizations和收敛的Nash爆破过程在环面的情况下之间的关系。
On the Birational Geometry of Schubert Varieties
利用Mori梦空间结构对（余）极小Schubert簇的所有Q-因子分解进行了分类.作为推论，我们得到的所有IH-小决议的（共）极小舒伯特品种的描述推广Perrin的结果。我们改进了他的结果，包括代数闭域的积极特征和cominuscule舒伯特品种。此外，使用Q-因子分解和Mori梦空间大大简化了论证。
Minimal rational curves on generalized Bott-Samelson varieties
我们研究了Schubert簇上的极小有理曲线族，它们的Bott-Samelson去奇异化，以及Nicolas Perrin在极小情形下构造的它们的推广。特别是，我们描述了极小舒伯特品种的小决议的最小家庭。
Characteristic cycles of IH sheaves of simply laced minuscule Schubert varieties are irreducible
本文证明了 E6、E7 型复余减旗流形中 Schubert 簇的交截同调复形的特征循环不可约，从而将 Boe 和 Fu 的结果推广到例外 Lie 型，并附带得到 Schubert 胞腔的 Mather 类与 CSM 类的强正性。
A unification of permutation patterns related to Schubert varieties
通过对Gorenstein簇的双点模式进行新的刻画，得到了置换模式与Schubert簇的奇点之间的新的联系.这些是经典模式的概括，其中条件被放置在排列中出现的位置以及出现的值上。这澄清了当平滑性要求被弱化为因子性并进一步弱化为Gorensteinness时会发生什么，扩展了Bousquet-Melou和Butler（2007）以及Woo和Yong（2006）的工作。我们还展示了Branden和Claesson（2011）引入的网格模式如何继承许多其他类型的模式，并定义了一种称为标记网格模式的扩展。我们利用这些新的模式进一步简化了Gorenstein Schubert簇的描述，并给出了Gasharov和Reiner（2002）引入的包含定义的Schubert簇的新描述。我们还给出了Billey和Warrington（2001）提出的123-六边形回避置换、Dumont置换和循环的标记网格模式的描述。
Positivity of minuscule quantum K-theory
本文证明了minuscule旗 manifold 或二次超曲面的量子K理论环的Schubert结构常数具有交替于余维数的符号，并探讨了cominuscule旗 manifold的量子cohomology或量子K理论环中Schubert类乘积的q的幂次区间。
Some combinatorial aspects of generalised Bott-Samelson varieties
在极小Schubert簇的广义Bott-Samelson分解下，得到了两个组合结果：外尔群的一个等式和根的一个不等式.这些结果被用于在同伴文件[BK 19]来描述最小的有理曲线对这些决议，以及它们的关系线的舒伯特品种。
Normality of Schubert varieties in affine Grassmannians
本文分类了任意域上半单群仿射格拉斯曼流形中的正规Schubert簇，特别关注小正特征，通过切空间计算、Levi引理和极小退化分类给出初等证明。
On the torus quotients of Schubert varieties
本文考虑Schubert簇在极大环面作用下的GIT等价物。我们描述了极小的舒伯特品种的半稳定的轨迹是包含在光滑的轨迹。作为结果，我们研究了Schubert簇的环面在Grassmannian中的光滑性。证明了齐性空间$SL(n, \mathbb C)/P$中任一Schubert簇的环面商关于线丛$\mathcal L_{α_0}$是射影正规的，且商空间是射影空间，其中线丛$\mathcal L_{α_0}$和$SL (n, \mathbb C)$的抛物子群$P$与最高根$α_0$相关联.
Hook formulae from Segre-MacPherson classes
Nakada的色钩公式是组合数学中许多重要公式的广泛推广，如经典的钩长公式和Peterson的极小外尔群元素约化表达式个数公式。在本文中，我们利用上同调性质的Segre-MacPherson类的舒伯特细胞和品种证明了一个推广的上同调版本的Nakada的公式，在光滑性方面的舒伯特品种。证明的一个关键因素是研究Bruhat图的装饰版本。对该图的加权路求和给出了广义Nakada公式中的项，并给出了计算Schubert胞的Segre-MacPherson类乘法的结构常数的算法.对于单缀外尔群，我们还证明了“斜”Nakada公式与“直”Nakada公式的等价性.这利用了一个标准的光滑度方面的激励图堆的微小元素，这可能是独立的利益。
Toroidal Schubert Varieties
研究了Schubert簇上的Levi子群作用.在部分旗品种的情况下，horosphere行动的确定。这导致一个表征的环形和horosphere部分旗品种皮卡德数1。在更一般的情形下，我们给出了Schubert簇上Levi子群作用为环面的一组必要条件.证明了（余）极小Schubert簇的奇异轨迹包含所有的$L_{max}$ -稳定Schubert子簇，其中$L_{max}$是极大抛物线左乘作用于Schubert簇的标准Levi子群.在A型中，得到了Billey-Postnikov分解对环面Schubert簇的影响.
An anticanonical perspective on G/P Schubert varieties
本文从反典范角度研究一般李型旗簇中的舒伯特簇，给出 Cartier 类群的基、阶乘/Fano 的刻画及反典范线丛公式，并证明单李型中阶乘性等价于 Q-阶乘性及贝蒂数等式，最后刻画 Gorenstein 与 Gorenstein Fano 条件。
Unique rectification in $d$-complete posets: towards the $K$-theory of Kac-Moody flag varieties
基于Jeu-de-Taquin的H. Thomas和A. Yong（2009）关于极小簇的理论在两个正交方向上得到了扩展，或者丰富了上同调理论，或者扩展了所考虑的簇族。在一个方向上，A。Buch和M. Samuel（2016）在极小偏序集上发展了一个“唯一校正目标”的组合理论，以将M-Y规则从普通上同调扩展到$K$ -理论。分开，P。E. Chaput和N. Perrin（2012）使用R. Proctor的“$d$ -完备偏序集”将Kac-Moody规则从极小类扩展到更广泛的Kac-Moody结构常数类。我们开始讨论这些理论的统一。我们的主要结果是在一个大类的$d$ -完全偏序集的存在唯一的整流目标。从这个结果中，我们得到了某些$K$理论Schubert结构常数在Kac-Moody设置下的正组合公式。
Symplectic conditions on Grassmannian, flag, and Schubert varieties
本文用Plücker坐标的线性方程刻画A型簇中C型Grassmann、旗与Schubert簇，并研究其理想生成、局部方程数、完全交性质及非微小情形的光滑性。
Minimal Parabolic subgroups and Automorphism groups of Schubert varieties-II
设$G$是复数域$\mathbb{C}$上的伴随型单代数群，$B$是$G$的Borel子群，它包含$G.$的极大环面$T$。本文证明了$α$是余极小根的充要条件是对任意适当包含$B$的抛物子群$Q$，在$G/Q$中不存在Schubert簇$X_{Q}(w)$使得$G$的极小抛物子群$P_α$是包含$X_{Q}(w).$的所有代数自同构的群的单位自同构的连通分支
Minimal parabolic subgroups and automorphism groups of Schubert varieties
设$G$是复数域$\mathbb{C}$上的伴随型单单缀代数群，$B$是$G$的Borel子群，包含$G.$的极大环面$T$本文证明了$ω_α$是极小基本权当且仅当对任意适当包含$B$的抛物子群$Q$，在$G/Q$中不存在Schubert簇$X_{Q}(w)$使得$G$的极小抛物子群$P_α$是包含$X_{Q}(w).$的所有代数自同构的群的单位自同构的连通分支
Root-theoretic Young diagrams and Schubert calculus: planarity and the adjoint varieties
本文研究根论Young图，研究Schubert积分的一个Lie型一致非负组合规则的存在性。我们提供了经典李型的（余）伴随簇的公式。这是一个最简单的情况下后（共）极小族（其中一个规则已证明由H.托马斯和第二作者使用的工作R.普罗克特）。我们的结果建立在P.Pragacz-J.Ratajski和A.Buch-A. Kresch-H. Tamvakis的早期Pieri型规则的基础上。具体来说，我们的公式OG（2，2n）是第一个完整的规则的情况下，图是非平面的。然而，这些公式既具有一致性，又具有非一致性。使用这些经典的类型规则，以及P. - E.Chaput-N.Perrin在特殊类型中，我们提出了非零Schubert结构常数集的多面体性与图的平面性之间的联系。这是对A.Klyachko和A.Knutson-T.Tao关于格拉斯曼的工作和K.Purbhoo-F.Sottile关于cominuscule变种的工作的补充，其中图表总是平面的。
Smoothness of Schubert varieties in twisted affine Grassmannians
我们给出了一个完整的列表光滑和有理光滑正规化舒伯特品种在扭曲仿射格拉斯曼与一个驯服的分歧组和一个特殊的Bruhat-Tits建设的顶点。在${\rm Spin}_8$的准分裂但非分裂形式中的准极小舒伯特簇的特殊情况（“分歧三元性”）提供了He-Pappas-Rapoport分类具有良好或半稳定约化的Shimura簇的文章中所需的输入。
Consequences of the Lakshmibai-Sandhya Theorem: the ubiquity of permutation patterns in Schubert calculus and related geometry
1990年，Lakshmibai和Sandhya发表了一个关于旗流形中奇异舒伯特簇的刻画，使用了模式回避的概念。这是第一次使用模式回避来表征舒伯特变种的几何性质。他们的研究结果与海曼、瑞安和沃尔珀的研究成果密切相关，但拉克什米拜-桑德亚是第一个完全使用这种语言的人。排列中的模式避免在历史上被Knuth，Pratt，Tarjan和其他人在20世纪60年代和70年代用来描述计算机科学中的排序算法。Lascoux和Sch $\text{ü}$ tzenberger在20世纪80年代也使用模式回避来表征vexillary排列。现在，有许多舒伯特簇的几何性质使用模式避免作为表征方法，包括Gorenstein，阶乘，局部完全相交和Kazhdan-Lusztig多项式的性质。这些就是我们所说的拉克什米拜-桑德亚定理的推论。我们调查了许多美丽的结果，概括，并在这方面仍然存在的问题。我们强调的优势，使用模式避免特征的线性时间算法和易于访问的文献，通过特纳的数据库的排列模式避免。本调查基于第二作者在2012年日本大坂为日本数学学会暑期学校举办的以舒伯特微积分为主题的讲座。
Singular loci of Bruhat-Hibi toric varieties
对于复曲面簇X关联的布鲁哈特偏序集的舒伯特品种在一个极小的G/P，我们描述的奇异轨迹相关联的多面体锥的面孔。我们进一步证明了X中的奇异轨迹是纯余维数为3的。
Governing Singularities of Schubert Varieties
我们提出了一个组合和计算的交换代数方法来研究旗流形的Schubert簇的奇异性。我们定义了组合概念的 * 间隔模式避免 *。对于奇点的“合理”不变量P，我们几何地证明了这支配（1）舒伯特簇的P-轨迹，以及（2）舒伯特簇整体上不是P。典型的情况是P=“奇异”;经典的模式回避适用于这种选择[Lakshmibai Sandhya '90]，但一般是不够的。我们的方法分析了一些常见的不变量，包括Kazhdan-Lusztig多项式，多重性，factoriality和Gorensteinness，扩展[Woo-Yong'05];奇异轨迹的描述（这是独立证明[Billey-Warrington '03]，[Cortez '03]，[Kassel-Lascoux-Lasstenauer'03]，[Manivel'01]）也因此重新解释。我们的方法是服从计算机实验，基于计算 *Kazhdan-Lusztig理想 *（一类广义行列式理想）使用麦考利2。这个功能是由一个开放的问题和插图的集合补充。
Fano Generalized Bott-Samelson Varieties
本文完整刻画了 Fano 与弱 Fano 广义 Bott-Samelson 簇，并由此恢复相关特殊情形的已知结果。
Projections of Richardson Varieties
当Schubert簇在完全广义旗流形G/B到部分旗流形$G/P$的投影也是Schubert簇时，Richardson簇（Schubert簇与相反的Schubert簇的交叉）的投影不总是Richardson簇。由Richardson簇的投影得到的G/P的分层现象出现在全正性理论中，也出现在Poisson和非交换几何中。在本文中，我们表明，许多几何性质的理查森品种持有更普遍的投影理查森品种，他们是正常的，科恩-麦考利，有合理的奇点，并兼容Frobenius分裂相对于标准的分裂。事实上，我们表明，预计理查森品种是唯一的兼容分裂的子品种，提供了一个例子，最近的定理[施韦德，Kumar-梅塔]，一个弗罗贝纽斯分裂计划只有1000多兼容分裂的子品种。(The G/B情况由[Hague]处理，我们稍微简化了其证明。）Richardson簇的一个组合类似物是W中相应的Bruhat区间的序复形;这个复形被称为EL-可壳球[Bjorner-Wachs '82]。证明了这样的复形在W/W_P上的Bruhat序复形的投影也是一个可壳球。这需要广泛的分析“P-布鲁哈特秩序”，推广的k-布鲁哈特秩序[Bergeron Sottile '98]。在这种情况下，G/P是极小的（例如格拉斯曼），我们表明，其Grobner退化需要每个投影理查森品种的斯坦利-Reisner计划的相应的球。
On the quantum cohomology of adjoint varieties
本文研究了拟极小和拟余齐性空间的量子上同调。任何两个舒伯特盒的乘积都不涉及大于2的量子参数的幂。利用量子到经典原理给出了量子上同调代数的表示。这些代数对于伴随的非余伴随簇是半单的，并给出了诱导奇异对偶的一些性质。
A superpotential for Grassmannian Schubert varieties
本文为奇异的 Grassmannian Schubert 簇构造推广 Marsh-Rietsch 超势的 $W^λ$，并借助 cluster seed 与 Newton-Okounkov 体证明多面体镜像定理及环面退化和部分 Fano 解消。
GIT quotient of Schubert varieties modulo one dimensional torus
本文研究Schubert簇在一维单参数子群作用下的GIT半稳定性，给出判据并确定唯一最小维半稳定Schubert簇，且在PSL(n,C)情形将其商描述为矩阵射影空间。
Semi-infinite Schubert varieties and quantum K-theory of flag manifolds
设g是半单李代数。在本文中，我们研究了从射影线P^1到g的标志簇的基拟映射空间（众所周知，它们的奇异性应该模拟所谓的半无限舒伯特簇的奇异性，这些簇很难直接定义）。在第一部分的文件中，我们表明，上述空间是正常的，在这种情况下，当g是简单的花边，他们也Gorenstein和合理的奇点。在本文的第二部分中，我们计算了上述空间上的函数环的特征;鉴于上述结果，该计算可以被认为是g的标志簇的（等变）K-理论J-函数的计算。我们证明了当g是简单的laced时，上述特征满足差量子Toda晶格的“费米子递归”版本（由于B.Feigin，E.Feigin，M.Jimbo，T.Miwa和E.Mukhin）。作为副产品，我们证明了单缀李代数g的旗簇的等变K理论J函数是差量子Toda格的泛本征函数，从而证明了Givental和Lee的一个猜想.这个结果的一些修改也被证明持有非简单的花边g。我们还讨论了当g是仿射李代数时上述结果的一个推广（除了当g=sl（N）时，这个推广是代数性的）.
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