On strict monotonicity of the speed for excited random walks in one dimension
Mark Holmes
本文给出了正速度的一维多激励随机游动速度严格单调性的一个“直接”耦合证明。这在没有使用分支过程的情况下，反驳（并扩展）了Peterson最近的一个结果。
We give a "direct" coupling proof of strict monotonicity of the speed for 1-dimensional multi-excited random walks with positive speed. This reproves (and extends) a recent result of Peterson without using branching processes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Strict monotonicity properties in one-dimensional excited random walks
我们考虑一维受激随机游动，每个站点有100个cookie。在cookie环境的某些偏序下，对于受激随机游动有一些自然的单调性结果。我们改进这些单调性结果是严格单调的偏序的饼干环境下引入的Holmes和Salisbury。虽然自相互作用的性质的激发随机游动直接耦合证明困难，我们表明，有一个非常自然的耦合相关的分支过程的单调性结果如下。
Monotonicity for excited random walk in high dimensions
证明了在$d$维中受激随机游动的漂移$θ(d,β)$对于激励参数$β\in[0, 1]$是单调的，当$d\ge 9$ .
A monotonicity property for random walk in a partially random environment
本文证明了一类独立同分布下随机游动的一个大数定律。这是Bolthausen，Sznitman and Zeitouni（2003）结果的推广。我们使用这个结果，随着花边扩展自相互作用的随机游动，证明了单调性结果的第一个坐标的速度的随机游动下的一些强假设的分布环境。
Monotonicity of escape probabilities for branching random walks on \Z^{d}
研究了超立方体内部一点的最近邻分支随机游动。我们表明，该过程逃脱超立方体的概率是单调递减的距离从边界的起点。我们得出的结果是，在任何时候，在一个网站上的粒子数是单调递减相对于它的距离从起点。
A Counterexample to Monotonicity of Relative Mass in Random Walks
对于有限无向图$G = (V,E)$，令$p_{u,v}(t)$表示从顶点$u$开始的连续时间随机游动在时间$t$处于$v$中的概率。本文给出了一个Cayley图$G$和两个顶点$u,v \in G$的例子，其中函数\[ r_{u,v}(t) = \frac{p_{u,v}(t)}{p_{u,u}(t)} \qquad t \geq 0 \]不是单调非减的.这回答了佩雷斯在2013年提出的问题。
Some results on regularity and monotonicity of the speed for excited random walk in low dimensions
利用更新时间和Girsanov变换，我们证明了受激随机游动的速度是无穷可微的偏置参数$(0,1)$的维数$d\ge 2$。在临界点$0$上，利用一种特殊的方法，我们还证明了速度是可微的，并且导数对每一个维度$2\leq d\neq 3.$都是正的。然而，这并不足以暗示速度在$0.$的邻域内增加，仍然需要证明导数在$0$上是连续的。当$m$足够大或$m=+\infty.$足够大时，本文给出了$m-$激励的随机游动的单调性的一些结果
Monotonicity and regularity of the speed for excited random walks in higher dimensions
本文介绍了一种研究高维受激随机游动速度单调性的方法，该方法基于一个由割时和Girsanov变换得到的速度公式。虽然该方法产生了类似的结果，已经或可以通过范德霍夫斯塔德和霍姆斯的扩展方法获得，它可能是更可口的一般概率观众。我们还重新讨论了静态cookie环境的大数定律。特别是，我们引入了一个新的概念，$e_1-$可交换的cookie环境，并证明了这种情况下的大数定律。
A Monotonicity Result for the Range of a Perturbed Random Walk
考虑Z^d，d>=1上离散时间简单对称随机游动，其中游动的路径通过插入确定性跳跃而扰动.我们表明，对于任何时间n和任何确定性的跳跃，我们插入，预期访问的网站数量的扰动随机游动到时间n总是大于或等于未扰动的步行。这个有趣的问题产生于研究一个粒子之间的泊松系统的移动陷阱与次扩散陷阱运动。特别地，我们的结果暗示了帕斯卡原理的一个变体，该原理断言，在粒子可以遵循的所有确定性轨迹中，恒定轨迹使粒子的生存概率最大化，直到任何时间t>0。
Monotonicity of the speed for biased random walk on Galton-Watson tree
Ben Arous，Fribergh和Sidoravicius \cite{GAV2014}证明了无叶Galton-Watson树上有偏随机游动$RW_λ$的速度对于$λ\leq \frac{m_1}{1160},$是严格递减的，其中$m_1$是Galton-Watson树的最小度。在本文中，我们证明了在没有叶子的Galton-Watson树上的$λ\leq \frac{1}{2}.$，当$m_1\geq 2;$时，它的速度对于$λ\in \left[0,\frac{m_1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{m_1}}}\right]$是严格递减的，这一证明归功于A \cite{EA2013} .
Strict monotonicity for first passage percolation on graphs of polynomial growth and quasi-trees
1993年，van den Berg和Kesten证明了$\mathbb{Z}^d$上第一次通过渗流的严格单调性定理，$d \ge 2$：给定具有有限均值的两个概率测度$ν$和$\tildeν$，如果$\tildeν$严格地比$ν$更易变且$ν$在适当意义上是次临界，与$\tildeν$相关的时间常数严格小于与$ν$相关的时间常数。本文证明了一个类似的结果，严格多项式增长的（不一定是几乎传递的）图和有界度图拟等距树，满足一定的几何条件，我们称之为“允许弯路。“还证明了，如果有界度图不允许迂回，那么关于可变性的这种严格单调性定理就不能成立。大类的图形承认弯路，我们得出结论，例如任何凯莱图的一个几乎幂幂零群，这是不同构的标准凯莱图的$\mathbb{Z}$满足严格的单调性方面的变化，任何凯莱图的$F \rtimes F_k$，$F$一个非平凡的有限群和$F_k$一个自由群。此外，证明了对于严格多项式增长的图和与树拟等距的有界度图，如果权测度在适当的意义下是次临界的，则它“关于测地线的期望经验测度是绝对连续的”.“这意味着一个严格的单调性定理关于随机控制的措施，无论图形是否承认弯路。
Monotonicity for continuous-time random walks
考虑Cayley图上的连续时间随机游动，其中分配给每条边的速率仅取决于相应的生成元。我们发现，极限速度是单调增加的速率无限凯莱图，所产生的Coxeter系统，但不是所有的凯莱图。在有限凯莱图，我们表明，距离-在各种意义上-平稳性是单调递减的Coxeter系统和阿贝尔群的速度，但不是所有的凯莱图。我们还发现了一些令人惊讶的行为的例子，在依赖的距离平稳率。这包括一个反例猜想熵的Benjamini，里昂和施拉姆。我们还表明，在任何固定的时间随机游动在$\mathbb{Z}^+$的期望距离是单调增加的速率为任意率函数，这是不正确的所有$\mathbb{Z}$。各种中间结果也很有趣。
Monotonicity of Avoidance Coupling on $K_N$
针对Angel，Holroyd，Martin，Wilson和Winkler提出的一个问题，我们证明了在完全图$K_N$上，每次移动一个的非碰撞耦合简单随机游动的最大数目在$N$中是单调的.我们利用这一事实耦合$\lceil \frac N4 \rceil$这样的行走$K_N$，提高以前的$Ω(N/\log N)$下界的天使等。我们还介绍了一个新的推广简单的避免耦合，我们称之为偏序简单的避免耦合，并提供了这种扩展的单调性结果。
A proof of the Lyons-Pemantle-Peres monotonicity conjecture for high biases
对于$β\geq 717$，在没有叶子的Galton-Watson树上的$β$偏置随机游动的速度$v(β)$是增加的。
Strong Stationary Duality for Möbius monotone Markov chains: examples
我们构造了圆上Ising模型的强平稳对偶链、正方形格点上的非对称随机游动和超立方体上的随机游动.强平稳对偶链都是尖锐的，并且具有与原链相同的状态空间。我们使用莫比乌斯单调性的这些链相对于相应的状态空间的自然排序。该方法为求解Ising模型和超立方体上的随机游动的特征值提供了一种简便的方法。保留字：马尔可夫链;随机单调性;特征值;莫比乌斯单调性;强平稳对偶;强平稳时间;分离距离;混合时间;伊辛模型;超立方体
Monotonicity of average return probabilities for random walks in random environments
我们将Lyons（2016）的一个结果从有限图的分数平铺扩展到无限随机图的一个版本。最一般的结果如下。设$\bf P$是根网络$(G, o)$上的幺模概率测度，其边具有正权重$w_G$，并且$G$的渗透子图$H$在其边具有正权重$w_H$。令${\bf P}_{(G, o)}$表示给定$(G, o)$的$H$的条件律。假设$α:= {\bf P}_{(G, o)}\bigl[{o \in V(H)}\bigr] > 0$是常数$\bf P$ -a.s.证明了如果$\bf P$ -a.s.只要$e \in E(G)$与$o$相邻，则\[ {\bf E}_{(G, o)}\bigl[{w_H(e) \bigm| e \in E(H)}\bigr] {\bf P}_{(G, o)}\bigl[{e \in E(H) \bigm| o\in V(H)}\bigr] \le w_G(e) \,, \]和\[ \forall t > 0 \quad {\bf E}\bigl[{p_t(o; G)}\bigr] \le {\bf E}\bigl[{p_t(o; H) \bigm| o \in V(H)}\bigr] \,. \]
A dice game, a multinomial walk, and the inverted Dirichlet distribution
本文通过研究一个简单的骰子游戏，探讨了多项式漫步的有趣性质，利用Gamma与泊松分布、负多项式与反向Dirichlet分布之间的共轭关系，分析了游戏的胜负概率，并展示了正则化Beta函数的单调性及其对游戏胜负概率的影响，还研究了游戏参数趋于无穷时的渐进行为以及游戏最后获胜的概率。
Site monotonicity and uniform positivity for interacting random walks and the spin O(N) model with arbitrary N
当$N \in \mathbb{N}_{>0}$和逆温度$β$足够大时，我们给出了经典自旋$O(N)$模型在$\mathbb{Z}^d$环面上的两点函数$d \geq 3$的一致正的逐点下界.这是$N>2$的一个新结果，推广了Fröhlich、Simon和Spencer（1976）的经典结果。我们的界限如下从一个新的网站单调性性质的两点函数是独立的兴趣，并保持不仅为自旋$O(N)$模型与任意$N \in \mathbb{N}_{>0}$，但为广泛的一类系统的相互作用随机游动和循环，包括循环$O(N)$模型，随机晶格排列，二聚体模型，双二聚体模型，和循环表示的经典自旋$O(N)$模型。
On variation of eigenvalues of birth and death matrices and random walk matrices
本文的目的是双重的：首先改进生灭矩阵和随机游动矩阵的极值特征值变化的已知结果;其次解决了一个关于这些矩阵的特征值变化的30年前的公开问题。关键词：生灭矩阵，随机游动矩阵，特征值，单调性
Strict monotonicity of critical points in independent long-range percolation models
该研究针对局部有限顶点传递图上的独立长程渗流模型，通过耦合思想证明临界点关于连接函数局部扰动的严格单调性，在更少假设下改进了经典方法的结果，且适用于无向和有向边渗流模型。
Essential enhancements in Abelian networks: continuity and uniform strict monotonicity
本文研究激活随机游走模型临界曲线的连续性与递增事件概率的严格单调性，并将渗流中的本质增强技术重构于Abelian网络框架。
Monotonicity, Topology, and Convexity of Recurrence in Random Walks
研究了随机游走中递归性、单调性、拓扑学与凸性的几何性质，证明了在特定条件下递归随机游走的参数空间具有闭合、路径连通和凸性等特性。
Strict comparison for the Lyapunov exponents of the simple random walk in random potentials
我们考虑独立同分布中的简单随机游动。在$d$ -维立方晶格$\mathbb{Z}^d$（$d \geq 1$）上的非负电势。在这个模型中，所谓的李雅普诺夫指数描述了在势中的简单随机游动的旅行成本。李雅普诺夫指数依赖于势的分布函数，本文的目的是证明李雅普诺夫指数在势的分布函数中是严格单调的，其阶数为严格占优。此外，对李雅普诺夫指数的比较也提供了该模型的速率函数的比较。
Mutually excited random walks
考虑$\mathbb{Z}$上的两个随机游动。每次步行的转移概率取决于另一个步行者的轨迹，即，在另一个步行者访问两次或更多次的位置中获得漂移$p>1/2$。根据模拟，该简单模型具有在$p$中不是单调的速度，没有明显的“陷阱”行为。本文证明了对于$1/2<p<1$，该过程具有正的速度，并给出了一个确定性算法来逼近该速度，同时证明了该过程的非单调性。
Biased random walk on a locally infinite Galton-Watson tree
本文提出一种在具有无限度顶点的Galton-Watson树上的有偏随机游走变体，利用再生结构研究速度的可微性与单调性，并证明其为局部有限树上速度的极限。
A Computer-Assisted Proof of Speed Monotonicity for the Biased Random Walk on a Galton-Watson Tree Beyond the Known Range
该论文通过计算机辅助证明，对后代分布为{2,3}的Galton-Watson树上偏置随机游走，在偏置范围[0,1.755]内速度严格递减，扩展了已知的单调性范围。
The speed of biased random walks among dynamical random conductances
本文研究了动态随机导电性中偏置随机游走的速度特性，证明了正偏置下速度严格正，并给出了偏置趋于无穷时的速度渐进行为及单调性性质。
Strict monotonicity of percolation thresholds under covering maps
我们回答了Benjamini和Schramm的一个问题，证明了在合理的条件下，严格地表示一个图会增加其渗流临界参数$p_c$的值。更精确地说，令$\mathcal{G}=(V,E)$是一个具有$p_c(\mathcal{G})<1$的拟传递图，令$G$是一个通过图自同构自由作用于$V$的非平凡群。假设$\mathcal{H}:=\mathcal{G}/G$是准传递的。然后是$p_c(\mathcal{G})<p_c(\mathcal{H})$。我们提供的结果超出了这个设置：我们治疗的情况下，一般覆盖映射，并提供了一个类似的结果的唯一性参数$p_u$，根据一个额外的假设的有界性的纤维。证明使用了通过提升集群的探索而构建的耦合，以及Aizenman-Grimmett的基本增强的探索性对应物。
Monotonicity of the critical point in two-dimensional oriented percolation with enhancement
本文研究了二维定向渗流中临界点的单调性，通过引入对角线边的概率参数ε，证明了临界参数随ε的增加而严格递减。
Convex ordering of Pólya random variables and monotonicity of the error estimate of Bernstein-Stancu operators
本文证明了在Pólya瓮模型中，对于瓮的任意固定初始分布，相应的随机变量关于替换参数满足凸序.作为应用，我们证明了在凸函数类中，Bernstein-Stancu算子误差的绝对值是相应参数的非减（在附加假设下严格增加）函数.证明依赖于两个结果的独立利益：交错引理的三个集合和单调性的（部分）第一时刻的波利亚随机变量相对于替换参数。
Random walk in a regenerating random environment
本文研究动态随机环境中每步以概率p完全重采样的随机游走，分析其极限速度v(p)的性质及极限扩散系数σ²(p)，得到相关极限定理。
Strict monotonicity, continuity and bounds on the Kertész line for the random-cluster model on $\mathbb{Z}^d$
伊辛和波茨模型可以通过爱德华-索卡尔耦合使用Fortuin-Kasteleyn表示来研究。这将适应模型暴露于外部强度场$h>0$的设置。在这种表示中，也被称为随机簇模型，柯特兹线根据$\mathbb{Z}^d$中无限簇的存在将参数空间的两个区域分开。这意味着即使在不发生热力学相变的情况下，有序相和无序相之间也会发生几何相变。本文证明了Kertész线的严格单调性和连续性。此外，我们给出了新的严格的界限，是渐近正确的极限$h \to 0$补充的界限，从Ruiz和Wouts的工作[J. Math. Phys. 49，053303（2008）]，这是渐近正确的$h \to \infty$。最后，利用集团展开，我们研究了Kertész线相变的连续性。
Law of large numbers for a finite-range random walk in a dynamic random environment with nonuniform mixing
本文针对动态随机环境中有限范围随机游走，推广最近邻方法证明大数定律，克服单调性缺失，适用于离散与连续时间。
Strict monotonicity of principal eigenvalues of elliptic operators in $\mathbb{R}^d$ and risk-sensitive control
本文研究了一类二阶椭圆型算子$\mathscr{L} = a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j} + b^{i}\partial_{x_i} + f$的$\mathbb{R}^d$上的本征值问题，该算子具有非退化扩散。我们表明，严格的单调性的主特征值的运营商就势函数$f$充分的遍历特性的相关的基态扩散，和唯一性的基态，我们提出了一个全面的研究的本征值问题从这个角度来看。这使我们能够扩展或加强各种结果在文献中的一类粘性的遍历型的光滑系数的Hamilton-Jacobi方程方程的可测的漂移和潜在的。此外，我们建立了等价的无穷维线性规划制定这些遍历控制问题的强对偶。我们还将这些结果应用到研究无限时域风险敏感控制问题的扩散，并建立最优马尔可夫控制的存在性，最优性结果的验证，以及受控主特征值相对于平稳马尔可夫控制的连续性。
Random walks in degenerate random environments
研究了独立同分布中随机游动的渐近性态。$\Z^d$上的随机环境。环境不需要是椭圆的，因此一些步骤可能对随机游走器不可用。我们证明了一个单调性结果的速度（当它存在）的任何2值环境，并表明，这并不适用于3值环境没有额外的假设。我们给出了一个证明的方向瞬变和存在的积极的速度下强，但非平凡的条件下的环境分布。我们的结果包括概括（非椭圆设置）的0-1法律的方向瞬变，并在2维的存在一个确定性的极限速度。
Random walk on random walks: higher dimensions
我们研究了由独立粒子组成的保守动态随机环境中的随机游动粒子的演化，这些粒子执行简单的对称随机游动，将[16]的结果推广到更高的维度和更一般的过渡核，而无需假设一致椭圆性或最近邻跳跃。具体地说，我们得到了一个强大数律，一个泛函中心极限定理和大偏差估计下的退火法律在高密度制度下的随机游动的位置。主要的障碍是在高维，非最近邻设置的内在缺乏单调性。在这里，我们开发更一般的重整化和更新计划，使我们能够克服这个问题。作为我们方法的第二个应用，我们提供了[23]中引入的感染模型（离散时间版本）的前沿弹道行为的另一种证明。
Random Walks on Strict Partitions
我们考虑一个特定的随机游动序列。第n个随机游动的状态空间是n的所有严格划分的集合（即没有相等部分的划分）。我们证明，当n趋于无穷大，这些随机游动收敛到一个连续时间的马尔可夫过程。这个过程的状态空间是无限维的单纯形，它由所有非负数的非增无穷序列组成，且其和小于或等于1。关于极限过程的主要结果是将其预生成元表示为多项式代数中的形式二阶微分算子。单独的兴趣是推广的Kerov交错坐标的情况下，转移的杨图。
Deterministic walk in an excited random environment
随机环境中的确定性行走是一个非马尔可夫整数值过程$(X_n)_{n=0}^{\infty}$，其在时刻$n$的跳跃依赖于站点的访问次数$X_n$ .环境可以理解为$\mathbb Z$每个站点上的cookie堆栈。一旦所有的cookie都在给定的网站上被消耗，每次随后的访问都会导致一次步行，根据最后一次消耗的cookie所规定的方向迈出一步。如果每个站点只有一个cookie，那么如果它访问同一个站点两次，则遍历以循环结束。如果每个站点的cookie数量增加到两个，则步行可以无限次访问一个站点，并且仍然不会以循环结束。然而，$X_n$的时刻是次线性的$n$，我们建立单调性的结果，意味着大偏差的环境。
On the speed of biased random walk in translation invariant percolation
对于超临界i.i.d.中无限团簇上的有偏随机游动，在$\Z^2$上的渗流，其中行走的偏差由参数$β>1$量化，已经证实（并且部分证明）存在临界值$β_c>1$，使得当$β<β_c$时行走具有正速度，并且当$β>β_c$时行走具有零速度。本文研究了$\Z^2$上某个平移不变渗流过程在无限簇上的有偏随机游动。该示例显示出与i.i.d.预期相反的行为。在这个意义上，它具有临界值$β_c$，使得对于$β<β_c$，随机游动的速度为零，而对于$β>β_c$，速度为正。因此，$β$的单调性是i.i.d.猜想的一部分。渗流不能扩展到一般的平移不变渗流过程。
Range of Random Walks on Free Products
本文考虑图的自由积上的瞬时随机游动。我们证明了这些随机游动的渐近范围是存在的，并且是严格正的。特别是，我们表明，该范围变化的真实分析方面的概率测度的恒定支持。此外，我们证明了一个中心极限定理与范围的随机游动。
Functional Limits and Separation Times for Two Interacting Elephant Random Walks
本文为相互作用双象模型建立功能极限，证明收敛到高斯过程，并研究首次分离时间的分布收敛与单调性。
The speed of critically biased random walk in a one-dimensional percolation model
考虑一维渗流模型中的有偏随机游动。该模型可以追溯到Axelson-Fisk和Häggström，并在$\mathbb{Z}^d$上表现出与超临界Bernoulli键渗流的无限簇上的有偏随机游动相同的相变，即对于某一临界值$λ_{\mathrm{c}} >0$，若有偏$λ$严格小于$λ_{\mathrm{c}}$，则行走的渐近线速度$\overline{\mathrm{v}}$严格为正，若有偏$λ\geq λ_{\mathrm{c}}$，则行走的渐近线速度$\overline{\mathrm{v}}=0$为正.我们表明，在临界偏压$λ= λ_{\mathrm{c}}$，从原点的随机游动的位移是顺序$n/\log n$。这与Dhar和Stauffer在$\mathbb{Z}^d$上对超临界键渗流无限簇的有偏随机游动的模拟结果一致。我们的结果是基于对合适的再生时间的尾部的精细估计。作为这些估计的副产品，我们还获得了在亚弹道和弹道，非扩散阶段的波动的步行顺序。
Biased random walk on dynamical percolation
本文研究$\mathbb{Z}^d$上动态渗流的有偏随机游走，利用再生时间建立大数定律和不变原理，验证Einstein关系，并发现$d \geq 2$时速度非单调，由临界曲线分隔出严格递增或递减的两个参数区域。
Universality of the asymptotics of the one-sided exit problem for integrated processes
本文研究了（分数）积分随机游动和Lévy过程的单边退出问题.我们证明了非退出概率的下降率--所谓的生存指数--在这类过程中是普适的。特别地，生存指数可以从（分数）积分的布朗运动中推断出来。这，特别是，西奈的结果的生存指数的综合简单的随机游动一般随机游动与一些有限的指数时刻。进一步证明了分数积分过程生存指数的存在性和单调性。我们表明，这个指数是有关的一个常数出现在随机多项式的研究。
Scaling limit of the subdiffusive random walk on a Galton-Watson tree in random environment
考虑了随机环境中Galton-Watson树上的随机游动，在次扩散情形下。我们证明了重新归一化的高度函数的步行走向连续时间的高度过程的谱正严格稳定的Lévy过程的收敛性，与重新归一化的范围的步行走向真正的树编码的后者连续时间的高度过程的收敛性。
Continuous-time weakly self-avoiding walk on $\mathbb{Z}$ has strictly monotone escape speed
研究连续时间弱自避行走在整数格上的逃逸速度，通过传递矩阵、超对称BFS-Dynkin同构、谱理论、Tauber理论和随机占优方法，证明了逃逸速度严格随排斥强度增加。
Conditional limit theorems for ordered random walks
在Eichelsbacher和Koenig（2008）最近的一篇论文中，考虑了有序随机游动模型。在那里，它已被证明，在某些时刻的条件下，可以构建一个k维随机游动的条件，以保持在一个严格的秩序在所有时间。此外，他们还证明了重新标度的随机游动收敛于戴森布朗运动。在本文中，我们发现的最佳时刻的假设条件的随机游动的建设和推广的极限定理的条件过程。
Non-universality for longest increasing subsequence of a random walk
已知均值为零且方差有限的随机游动的最长递增子序列是$n^{1/2 + o(1)}$。我们表明，这是不普遍的对称随机游动。特别地，对称超胖尾随机游动具有最长递增子序列，其渐近地至少为$n^{0.690}$且至多为$n^{0.815}$。当$α$足够小时，对于对称稳定- $α$分布，还显示出严格大于$1/2$的指数。
Harmonic measure for biased random walk in a supercritical Galton-Watson tree
我们考虑Galton-Watson树上的随机游动$λ$ -偏向根，其后代分布$(p_k)_{k\geq 1}$是非退化的，并且具有有限均值$m>1$ .在瞬态状态$0<λ<m$中，偏置随机游动的环擦除轨迹定义了$λ$ -调和射线，其定律是Galton-Watson树边界上的$λ$ -调和测度。本文通过证明$λ$ -调和测度具有a. s，回答了Lyons，Pemantle和Peres的一个问题.严格大于可见性测度的豪斯多夫维数，可见性测度是对应于简单向前随机游动的调和测度。我们还证明了沿$λ$ -调和射线顶点的平均子代数为a.s.其下以$m$为界，其上以$m^{-1}\sum k^2 p_k$为界。此外，至少对于$0<λ\leq 1$，沿着$λ$ -谐波射线的顶点的子节点的平均数量是a.s.严格大于$λ$偏置的随机游动轨迹。我们观察到，后者是不是单调的偏置参数$λ$。
How often can two independent elephant random walks on $\mathbb{Z}$ meet?
本文研究整数格上两个独立象随机游走的相遇频率，发现取决于记忆参数p是否大于3/4，并给出距离渐近结果。
Sharp transition in self-avoiding walk on random conductors on a tree
本文研究了具有随机电导的树上的自避免游动。证明了在弱无序区，淬火临界点与退火临界点相等，而在强无序区，这两个临界点严格不同。Derrida和Spohn以及Baffet、Patrick和Pul $\acute{\rm e}$给出了猝灭临界点的精确值。我们给出了另一种启发式方法的分数矩估计。
A Lower Bound on the Growth Exponent for Loop-Erased Random Walk in Two Dimensions
整数格点上的环擦除或拉普拉斯随机游动的增长指数$α$定义为到达半径为$n$的球体的预期时间为$n^α$阶。我们证明了在二维空间中，增长指数严格大于1。证明使用了逃逸概率的三阶矩的已知估计和离散Beurling投影定理的改进。
Recurrent random walks on $\mathbb{Z}$ with infinite variance: transition probabilities of them killed on a finite set
本文考虑整数格$\mathbb{Z}$上的不可约随机游动，该游动处于一个具有指标$α\in (1, 2)$的严格稳定过程的正规吸引域中，得到了原点的命中时间分布和游动到达有限集时被杀死的转移概率分布的渐近形式.所得到的渐近形式在空间和时间变量的自然域中一致有效。
Exact asymptotics for the instant of crossing a curve boundary by an asymptotically stable random walk
假设$\{S_n,\ n\geq0\}$是渐近稳定的随机游动.令$g$为正函数，$T_g$为$S_n$离开$[-g(n),\infty)$的第一次。本文研究了$T_g$的渐近性质。我们为函数$g$提供了积分测试，保证了$P(T_g>n)\sim V(g)P(T_0>n)$，其中$T_0$是$\{S_n\}$的第一个严格下降阶梯时期
Law of Large Numbers for a random walk on dynamic environments with drift
研究一类由粒子系统驱动的随机游走，利用有限程近似和位移单调性证明几乎所有环境密度下的大数定律，推广了特定环境下的结果。
Monotonicity of facet numbers of random convex hulls
令$X_1,\ldots,X_n$是根据概率测度分布在$\mathbb{R}^d$上的独立随机点，并且令$P_n$是由$X_1,\ldots,X_n$（$n\geq d+1$）生成的随机凸包。利用积分几何中的Blaschke-Petkantschin公式，刻画了概率分布的自然类，证明了$P_n$的平均面数在$n$中严格单调递增.
A random walk on the symmetric group generated by random involutions
对合游动是$S_n$上的随机游动，它是由具有参数为$2$ -圈数$1-p$的二项式分布的对合生成的.这是换位行走的平行化。本文证明了对合步对于$\frac{1}{2} \leq p \leq 1$固定、$n$在$\log_{1/p}(n)$步和$\log_{2/(1+p)}(n)$步之间足够大的情形是混合的。本文利用对称群表示的特征的特征多项式，给出了一种新的求共轭类生成的对称群上随机游动特征值的方法.单调性关系中使用的界限也给出了足够的时间后的似然顺序，渐近顺序从最可能的最不可能的置换。从黑洞的信息论出发，引入游动来研究酉群上的一个随机游动猜想。
Localization for Branching Random Walks in Random Environment
本文研究了$d$维整数格上具有时空独立同分布的分支随机游动。后代分布这个模型被认为表现出一个相变：如果$d \ge 3$和环境是“不太随机”，那么，总人口的增长速度一样快，它的期望严格正概率。另一方面，如果$d \le 2$或环境是"足够随机的”，那么总人口的增长几乎肯定会比预期的要慢。我们证明了在“副本重叠”方面，缓慢的人口增长和自然的本地化属性之间的等价性。我们还证明了一个更强的本地化属性，当总人口增长严格慢于其预期几乎肯定。
Ergodic Theorem for nonstationary random walks on compact abelian groups
研究紧致阿贝尔群上非平稳随机游走，在严格非周期性假设下证明了弱-*收敛到Haar测度、遍历定理及大偏差型估计。
Dimension drop of harmonic measure for some finite range random walks on Fuchsian Schottky groups
本文研究Fuchsian Schottky群上有限程随机游动的调和测度，证明其维数严格低于对应极限集的Hausdorff维数，揭示了维数下降现象。
Active Phase for Activated Random Walk on $\mathbb Z^2$
我们证明了对于足够小的睡眠率，对称激活随机游动模型在$\mathbb Z^2$上的临界密度严格小于1。
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