A Proof of the Ergodic Theorem using Nonstandard Analysis
Tristram de Piro
下面的文件继续从工作Kamae，并给出了严格的证明遍历定理，使用非标准分析。
The following paper follows on from work by Kamae, and gives a rigorous proof of the Ergodic Theorem, using nonstandard analysis.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multivariable averaging on sparse sets
非标准遍历平均可以定义为概率空间上群的保测度作用，作为经典（非标准）遍历平均的自然扩张。推广了一维理论，得到了几种非标准稀疏群平均的L^1逐点遍历定理，特别是对群Z^d。也就是说，我们将稀疏块平均和稀疏随机平均的结果推广到它们在虚幂零群上的类似物，并将Christ关于稀疏确定性序列的结果推广到它在Z^d上的类似物。第二个和第三个结果在Z^d上有两个非平凡的变量：一个“自然”d维平均值和一个来自1维平均值的“乘积”平均值。
Nonstandard Smooth Realizations of Liouville Rotations
我们用共轭映射的显式估计扩充了$C^\infty$共轭逼近方法。这使我们能够构建遍历体积保持同构测量理论上同构于任何先验给定刘维尔旋转的各种流形。在环面的特殊情况下，可以使映射唯一遍历。
A nonstandard-analytic proof of a theorem regarding noncommutative ergodic optimizations
在上一篇文章中，我们将遍历优化的概念扩展到可数离散群的C*-动力系统的设置。其中的关键结果，该文件是，给定一个行动$G \stackrelΞ{\curvearrowright} \mathfrak{M}$的可数离散顺从组$G$上的W*-概率空间$(\mathfrak{M}, ρ)$由$ρ$ -保持$*$ -自同构的$\mathfrak{M}$，一个积极的元素$x \in \mathfrak{M}$，和一个右Følner序列$\mathcal{F} = (F_k)_{k \in \mathbb{N} }$的$G$，该序列$$\left( \left\| \frac{1}{|F_k|} \sum_{g \in F_k} Ξ_g x \right\| \right)_{ k \in \mathbb{N} }$$收敛到一个值$Γ(x)$这可以描述的语言遍历优化。我们在这里提供了一个替代的，更直接的证明，该定理使用的工具，非标准的分析。
Nonstandard analysis of the behavior of ergodic means of dynamical systems on very big finite probability spaces
有限集$Y$和置换$T:Y\to Y$的遍历定理的平凡证明表明，对于任意函数$f:Y\to{\mathbb R}$，遍历平均序列$A_n(f,T)$对于$n \gg |T|$是稳定的。我们表明，如果$|Y|$是非常大的和$|f(y)| \ll |Y|$几乎所有的$y$，那么$A_n(f,T)$稳定非常大的数字$n$，但是，$\ll |T|$显着长的段。这个陈述在非标准分析的背景下有一个自然的严格公式，事实上，它等价于无限概率空间的遍历定理。它的标准公式在有限概率空间序列方面是复杂的。我们还讨论了序列$A_n(f,T)$的其他一些性质，对于非常大的有限$|Y|$和$n$。特别考虑了当一个很大的有限空间$Y$及其置换$T$逼近一个动力系统$(X,ν, τ)$时的情形，其中$X$是紧度量空间，$ν$是$X$上的Borel测度，$τ:X\to X$是保测度变换.这里介绍的近似的定义是新的知识。
Easy and nearly simultaneous proofs of the Ergodic Theorem and Maximal Ergodic Theorem
一个非常简短和直接的证明沿着卡梅-卡茨尼尔森-韦斯方法的路线。
Nonstandard techniques and nowhere differentiable functions I: A dense family of generalized blancmange functions
本文给出了广义Blancmange函数族处处不可微的一个初等非标准证明。证明如下从直观的特点，可微性在一个点几乎$δ$仿射随着转移的函数方程，这些功能满足。给出了这些函数在连续函数中的一致稠密性的初等非标准证明。最后，我们将讨论使用Python编程语言在显示这些函数方面所做的工作。
Easy and nearly simultaneous proofs of the Ergodic Theorem and Maximal Ergodic Theorem
我们给出了加强极大遍历定理的一个简短证明，它也立即产生逐点遍历定理。
A concise proof of the Multiplicative Ergodic Theorem on Banach spaces
给出了具有可分对偶的巴拿赫空间上拟紧算子的乘法遍历定理的一个简化证明。
On Thouvenot's ergodic proof of Roth's theorem
我们提出了一个讲座笔记的Roth-Furstenberg定理和加入证明Furstenberg定理的多重级数平均混合弱混合变换。
Conditional Proof of the Ergodic Conjecture for Falling Ball Systems
本文给出了一维理想弹性球在常重力加速度作用下沿射线直线下落系统的Wojtkowski遍历性猜想的一个条件证明。也就是说，我们证明了几乎每一个这样的系统是（完全双曲和）遍历，通过假设不同的奇点之间的横截性和稳定（不稳定）的不变流形之间的奇点。
Ratio ergodic theorems: From Hopf to Birkhoff and Kingman
霍普夫的比率遍历定理有一个固有的对称性，我们利用它来提供一个简化的标准证明霍普夫和伯克霍夫的遍历定理。我们还提出了一个比率遍历定理的保守变换的$σ$ -有限测度空间，推广金曼的遍历定理的次可加序列和推广以前的结果Akcoglu和Sucheston。
A new ergodic proof of a theorem of W. Veech
我们在本文中的目标是给一个新的遍历证明一个著名的Veech的结果，建立在我们以前的工作。
Unconditional Proof of the Boltzmann-Sinai Ergodic Hypothesis
本文研究了$N$（$\ge2$）系统与质量为$m_1,...,m_N$、半径为$r$的硬球在平面单位环面$\Bbb T^ν$、$ν\ge2$上的弹性碰撞.我们证明了所谓的Boltzmann-Sinai遍历性假设，即. e.对于外部几何参数的每个选择$(m_1,...,m_N;r)$，这种系统的完全双曲性和遍历性。目前的证明不使用以前开发的，而涉及代数技术，而是它采用专门的动力学方法和工具，从几何分析。
Proof of the Boltzmann-Sinai Ergodic Hypothesis for Typical Hard Disk Systems
本文研究了在平面单位环面$\Bbb T^2$中质量为$m_1,...,m_N$、半径为$r$的$N$（$\ge2$）硬盘系统.我们证明了遍历性（实际上，B-混合性质）的系统几乎每一个选择$(m_1,...,m_N;r)$的外部几何参数。
The Boltzmann--Sinai Ergodic Hypothesis In Full Generality
在遍历理论的半分散台球的地方遍历定理，证明了Baghov和西奈在1987年，起着核心作用。到目前为止，这个定理的所有现有的证明都必须使用一个恼人的整体假设，即奇异轨道的几乎必然双曲性。(This所谓的“心”，就是“心”。在这里，我们介绍一些新的几何思想，以克服这一困难，并解放证明暴政的Anastasian。给出的证明是我以前与N的联合结果的实质性推广。将BMLV（这是一个$2D$结果）转换为任意维度。局部遍历定理的无ansatz证明的一个重要推论是最终完成了硬球系统的Boltzmann-Sinai遍历性假设的完全一般性证明。
Ergodic theorem for a Loeb space and hyperfinite approximations of dynamical systems
虽然G.Birkhoff遍历定理（BET）对于有限空间是平凡的，但这对于超有限Loeb空间并没有帮助。T. Kamae，实际上，适用于任意概率空间，如Y所示。Katznelson和B.外斯本文讨论了通常的方法，即利用非标准分析技术，将任意大的有限空间的一些简单事实转移到无限空间上，对BET不起作用的原因。我们证明了超有限空间的BET可以解释为非常大的有限空间的一些定性结果。引入了动力系统超有限逼近的概念，并证明了超有限逼近的存在性。用有限动力系统的序列形式给出了所得结果的标准形式。
Conditional Proof of the Boltzmann-Sinai Ergodic Hypothesis
本文研究了$N$（$\ge2$）系统与质量为$m_1,...,m_N$、半径为$r$的硬球在平面单位环面$\Bbb T^ν$、$ν\ge2$上的弹性碰撞.我们证明了所谓的Boltzmann-Sinai遍历性假设，即. e.对于外几何参数的每一个选择$(m_1,...,m_N;r)$，只要几乎每一个奇异轨道都是几何双曲的（充分的），则这类系统的全双曲性和遍历性，即. e.所谓的切尔诺夫-西奈半岛是真的。目前的证明不使用以前开发的，而涉及代数技术，而是它采用专门的动力学方法和工具，从几何分析。
Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points
我们使用的理论证明，在一般的设置，均匀分布的Hecke点的单幂流。我们遵循Burger-Sarnak的方法，并使用Mozes-Shah定理。
Logarithmic bounds for ergodic sums of certain flows on the torus: a short proof
本文给出了一个简短的证明：对于$\mathbb{T}^2$上的$\mathcal{C}^1$流，其Poincaré映射具有常数型旋转数的闭横截曲线，其$\mathcal{C}^1$观测量的遍历和最多以几何方式偏离线性增长。为此，我们将后一个积分与圆上精心选择的可观察量的Birkhoff和联系起来，并使用Denjoy-Koksma不等式。我们还给出了一个满足上述假设的非极小流的例子。
Proof mining in metric fixed point theory and ergodic theory
在这项调查中，我们提出了一些最近的应用证明挖掘的不动点理论的（渐近）非扩张映射和亚稳定性（在特伦斯陶意义下）的遍历平均一致凸巴拿赫空间。
Notes on Austin's multiple ergodic theorem
本文的目的是介绍我对蒂姆·奥斯汀的多重遍历定理的证明的理解，着重于连接、扩展和因子的使用。满足扩张的存在性是证明中的一个关键论点，它是在一般的上下文中给出的。
A descriptive set theorist's proof of the pointwise ergodic theorem
本文给出了保概率测度$\mathbb{Z}$作用的经典逐点遍历定理的一个简短的组合证明。我们的方法减少了定理的平铺问题：紧密瓷砖每个轨道的间隔所需的平均值。对于以间隔作为平铺块的$\mathbb{Z}$，这种平铺问题很容易解决。然而，这将是有趣的，以找到其他类别的群体和序列的瓷砖，这可以做到这一点，因为我们的方法将产生一个逐点遍历定理这样的类。
A detailed proof of the von Neumann's Quantum Ergodic Theorem
本文给出了冯·诺依曼量子遍历定理的一个简化证明。这一重要结果最初由J.冯诺依曼在1929年用德语发表。我们感兴趣的是在这里的时间演化$ψ_t$，$t\geq 0$，（对于大的时间）薛定谔方程相关联的一个给定的固定的哈密顿量$H : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$和一般的初始条件$ψ_0$。希尔伯特空间$\mathcal{H}$的维数是有限的。
A category-theoretic proof of the ergodic decomposition theorem
遍历分解定理是动力系统和遍历论的基础性结果。它指出动力系统上的每个不变测度都是遍历测度的混合。在这里，我们制定和证明定理的字符串图，使用马尔可夫范畴的形式主义。我们恢复通常的测量理论的声明，通过实例化我们的结果在类别中的随机内核。一路上，我们给出了确定性和随机动力系统理论中的几个概念的概念处理。特别是，-遍历措施出现非常自然的特定锥的确定性态射（在意义上的马尔可夫范畴）; -不变的$σ$ -代数的动力系统可以被看作是一个colimit的范畴马尔可夫内核。与范畴论的其他用途一致，一旦必要的结构就位，我们对主要定理的证明就比传统方法简单得多。特别是，它不使用任何数量限制参数，也不依赖于群或幺半群的基数索引动态。我们希望这一结果为范畴论在动力系统、遍历论和信息论中的进一步应用铺平了道路。
Simple proof of Bourgain bilinear ergodic theorem and its extension to polynomials and polynomials in primes
本文首先给出经典的Birkhoff遍历定理和Bourgain齐次双线性遍历定理的现代简单证明。这个证明使用了一个简单的事实，即整数上的移位映射有一个简单的勒贝格谱。因此，我们建立了沿多项式和素数多项式的齐次双线性遍历平均几乎处处收敛，也就是说，对于任何可逆测度保持变换$T$，作用在概率空间$(X, \mathcal{B}, μ)$上，对于任何$f \in L^r(X,μ)$，$g \in L^{r'}(X,μ)$使得$\frac{1}{r}+\frac{1}{r'}= 1$，对于任何非常数多项式$P(n),Q(n), n \in \mathbb{Z}$，取整数值，以及对于几乎所有$x \in X$，我们有，$$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}f(T^{P(n)}x) g(T^{Q(n)}x),$$和$$\frac{1}{π_N}\sum_{\overset{p \leq N}{p\textrm{~~prime}}}f(T^{P(p)}x) g(T^{Q(p)}x),$$收敛。这里$π_N$是$[1,N]$中的素数。
On the class of systems which are disjoint from every ergodic system
本文给出Gorska等人定理的直接证明，刻画与所有遍历保测变换互不相交的保测变换类，并将结论推广到任意可数作用群。
Ergodic seminorms for commuting transformations and applications
最近，T. Tao给出了多重平均数在几个交换变换下的收敛定理的有限性证明，不久，T。奥斯汀给出了遍历证明相同的结果。虽然我们在这里给出了同一定理的另一个证明，但这不是本文的主要目的。我们主要关心的是提供一些工具的情况下，几个交换变换，类似的工具成功地使用在一个单一的转换的情况下，与想法，他们将是有用的，在解决其他问题。
A quantitative ergodic theory proof of Szemerédi's theorem
Szemerédi的一个著名定理断言，给定任何密度$0 < δ\leq 1$和任何整数$k \geq 3$，任何具有密度$δ$的整数集合将包含无穷多个长度为$k$的真等差数列。对于一般的$k$，这个事实基本上有四个已知的证明：Szemerédi使用Szemerédi正则性引理和van der Waerden定理的原始组合证明，Furstenberg使用遍历论的证明，Gowers使用傅里叶分析和加法组合学的逆理论的证明，以及Gowers使用超图正则性引理的最近证明。在这四个证明中，遍历论证明可以说是最短的，但也是最不基本的，特别需要使用超穷归纳法（因此也是选择公理选择公理），将一般遍历系统分解为一个超穷紧扩展塔的弱混合扩展。在这里，我们提出了一个定量的，自足的版本，这个遍历论证明，这是“基本的”，在这个意义上，它不需要选择公理，使用无限集或措施，或使用傅里叶变换或逆定理从加法组合。它还给出了明确的（但极差的）定量界限。
Ergodic theorem and algorithmic randomness
本文证明了Birkhoff遍历定理的构造性版本，基于一个明确的组合学陈述，并提出了相关问题。
Proof of the Ergodic Hypothesis for Typical Hard Ball Systems
本文研究了尺寸为$L$，$ν\ge3$的平面环面$\Bbb T_L^ν=\Bbb R^ν/L\cdot\Bbb Z^ν$中质量为$m_1,...,m_N$，半径为$r$的$N$（$\ge2$）硬球系统.我们证明了遍历性（实际上，Bernoulli混合性质），这样的系统几乎每一个选择$(m_1,...,m_N; L)$的外部几何参数。这个定理补充了我以前的结果，证明了相同的，几乎肯定遍历的情况下$ν=2$。该证明的方法主要是动态几何的，而本方法本质上是代数的。
Ergodic Methods in Additive Combinatorics
不久后Szemerédi的证明，一组积极的上密度包含任意长的等差数列，Furstenberg了一个新的证明这一定理使用遍历论。这就产生了遍历拉姆齐理论，其中的问题动机添加剂组合证明使用遍历论。遍历拉姆齐理论从此产生了组合的结果，其中一些还没有得到其他手段，也给了更深入的了解结构的措施保持系统。我们概述的遍历论背景需要了解这些结果，强调最近的发展，遍历论和最近的发展在添加剂组合学的关系。这些笔记是基于2006年4月在蒙特利尔数学研究中心加法组合学学院的四次演讲。这些演讲的对象是没有遍历论背景的听众。没有试图包括所有声明的完整证明，读者往往是指原始来源。许多证据包括是经典的，包括作为一个指示哪些成分发挥作用，在过去十年的发展。
Ergodic bounded constructions, Disjointness and Weak Limits of Powers
结合J. Bourgain和H. Abdalaoui，M. Lemanczyk，T. De La Rue（ALR）给出了关于有界秩一构造的Mobius正交性的Bourgain定理的一个简短证明。证明的事实（由于ALR），有界递归的马尔可夫自相似的结构必须是平坦的经常性的简化。(v4（俄文）
Upgrading the Local Ergodic Theorem for planar semi-dispersing billiards
局部遍历定理（也称为“基本定理”）给出了相点具有属于（mod 0）一个遍历分量的开邻域的充分条件。这个定理是台球遍历性的许多证明的一个关键组成部分，更一般地说，是光滑双曲映射的奇异性。然而，该定理的证明依赖于一个微妙的假设（Chernov-Sinai Angloman），这是很难检查的一些物理相关的模型，包括气体的硬球。本文给出了二维台球的局部遍历定理的一个不使用Anglerian的证明。
Form discrete- to continuous-time ergodic theorems
我们介绍的方法，允许推导出连续时间版本的各种离散时间遍历定理。然后，我们说明这些方法，给出简单的证明和改进的一些已知的结果，以及建立新的结果的兴趣。
Unique Ergodicity of Translation Flows
这个初步报告包含了以下结果的证明草图：一个缓慢发散的Teichmuller测地线满足一定的对数律是由一个唯一遍历测量叶理。
An ergodic theorem for non-singular actions of the Heisenberg groups
我们证明了每个离散海森堡群都有一个子集序列，非奇异的遍历定理成立。序列只依赖于组;它适用于组的任何非奇异动作。要做到这一点，我们使用的度量，这是最近显示的乐多恩和里戈有贝西科维奇覆盖属性，然后适用于适应霍曼的证明多参数非奇异遍历定理。一个如何证明这种类型的非奇异遍历定理的阐述也包括在内，随着一个新的证明的关键步骤之一。
A proof of Walsh's convergence theorem using couplings
Walsh最近证明了离散幂零作用群中所有涉及多项式序列的非常规遍历平均的范数收敛性。他推导出这种收敛从一个等价的，“有限”断言的稳定性在任意长的时间间隔，这些平均值，这是证明了基本上有限的手段。本论文展示了如何在沃尔什证明的核心感应也可以实现使用更经典的概念，遍历论：特别是，耦合和特征因子。
R.E. Bruck, proof mining and a rate of asymptotic regularity for ergodic averages in Banach spaces
本文分析了Bruck的一个证明，得到了一致凸巴拿赫空间中Cesàro平均渐近正则性的一个显式速率.我们的速率将仅取决于范数界和一致凸性的模$η$。Bruck证明的一个要素是Pisier的一个结果，它表明每个一致凸（实际上每个一致非方）的Banach空间都有一些Rademacher型$q>1$，并有一个合适的常数$C_q$。我们显式地确定$q$和$C_q$，它们仅取决于我们的模数的单个值$η(1)$。除了这些具体的结果，我们总结了布鲁克的工作如何启发了证明挖掘程序的发展，该程序应用逻辑工具来获得数学各个领域的结果。
Edge sliding and ergodic hyperfinite decomposition
本文利用边滑动和饱和不交Borel族给出了Hjorth代价定理的概念上的简单证明：如果可数的p. m. p.遍历等价关系$E$是树的且有代价$n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$，则它是由a.e.自由群$\mathbb{F}_n$对$n$生成器的自由p. m. p.作用。更重要的是，我们的技术给出了一个显着加强这一定理：$\mathbb{F}_n$的行动可以安排，使每个$n$发电机单独行动遍历。第一个生成元的遍历作用的存在性直接来自于塔克-德罗布的一个强有力的定理，然而，它的证明使用了概率论中最近的一个重要结果作为黑箱。我们给一个建设性的和纯粹的描述集理论证明的一个较弱版本的Tucker-Drob定理，这是足够的许多应用，包括我们加强Hjorth定理。我们的证明使用了新的工具，如渐近手段图，包装不相交的Borel家庭，和有限化的非超有限图的连通分量的成本阈值。
A ratio ergodic theorem for multiparameter non-singular actions
证明了非奇异自由$Z^d$和$R^d$作用在任意范数下沿球的比率遍历定理.使用Chacon-Ornstein型引理的证明是减少到一个声明的数量的质量的概率测度，可以集中在（加厚）边界的球在$R^d$。证明依赖于范数的几何性质，包括贝西科维奇覆盖引理和球的边界具有比周围空间更低的维数的事实。我们还表明，对于一般的群作用，Besicovitch覆盖性质不仅意味着极大不等式，但它是等价的，这意味着进一步推广可能需要新的方法。
Pure strictly uniform models of non-ergodic measure automorphisms
经典的Jewett和Krieger定理给出了任何遍历测度保持系统的严格遍历模型。许多年前，乔治·汉塞尔（George Hansel）将这个结果推广到了非遍历系统。他建造，任何措施保持系统，严格统一的模式，即一个紧空间，承认一个上连续分解成严格遍历模型的遍历组件的措施。在本文中，我们通过增加控制严格一致模型中遍历测度集的纯性条件，给出了一个更强结果的新证明。
First and higher order uniform dual ergodic theorems for dynamical systems with infinite measure
本文将Karamata定理的多项式逼近证明推广到算子情形。作为结果，我们提供了一个简单的证明\emph{uniform dual ergodicity}的一类非常大的动力系统无限测度，我们得到的收敛速度的界限。在许多感兴趣的情况下，包括Pomeau-Manneville族的不确定性映射，通过实际Tauberian剩余理论获得的估计是非常弱的。基于复Tauberian剩余理论的技术，我们开发了一种方法，提供了\emph{second (and higher) order asymptotics}。在这个过程中，我们推导出一个\emph{higher order Tauberian theorem}的标量幂级数，据我们所知，以前没有被覆盖。
On the norm convergence of nonconventional ergodic averages
我们推广了陶的最新结果（建立在Conze和Lesigne，Furstenberg和Weiss，Zhang，Host和Kra，Frantzikinakis和Kra和Ziegler的早期结果上），即与任意数量的交换概率保持变换相关联的非常规遍历平均总是收敛于L^2中的某个极限。证明了一个较大离散阿贝尔群的交换作用集的相应结果，并给出了在平均值的起点处一致收敛的结果。而陶的证明依赖于一个有限性问题的转换，我们只调用技术从经典的遍历论，从而给他的结果一个新的证明。
A volume-based approach to the multiplicative ergodic theorem on Banach spaces
利用Ruelle对作用在希尔伯特空间上的余圈的证明方法，给出了巴拿赫空间中基于体积增长的乘法遍历定理的证明.作为结果，我们得到的巴拿赫空间上循环的李雅普诺夫指数的体积增长的解释。
Hyperbolic geometry and pointwise ergodic theorems
我们建立了实秩一的单李群上的一大类自然平均值的逐点遍历定理，远远超出了以前考虑的径向情况。证明是基于一种新的方法逐点遍历定理，这是独立的谱理论。相反，主要的新成分是在双曲空间中使用直接几何参数。
Pointwise Ergodic Theory: Examples and Entropy
本文给出布尔甘多项式遍历定理的证明。重点是他的论点背后的动机和直觉。
Pointwise ergodic theorems beyond amenable groups
本文证明了保概率测度的点态和极大遍历定理。任何可数群的作用，只要它允许一个本质上自由的，弱混合的稳定型$III_1$顺从作用。我们证明了这个类包含了连通半单李群中所有不含紧因子的不可约格。当稳定型为$III_λ$，$0 < λ< 1$时，在适当的假设下，我们也建立了类似的结果。我们的方法基于以下两个原则。首先，我们证明了将顺从群的p.m.p.作用的遍历论推广到包含p.m.p.顺从的等价关系是可能的。第二，我们证明，它是可能的，以减少证明遍历定理的p.m.p.行动的一般群体的遍历定理的证明，在一个相关的p.m.p.顺从等价关系，提供该集团承认一个顺从行动与上述性质。
An ergodic approach towards an equidistribution result of Ferrero--Washington
费雷罗-华盛顿证明分圆$μ$ -不变量为久保田-利奥波德$p$ -进$L$ -功能消失的一个重要组成部分是一个等分布的结果，他们建立了使用外尔准则。我们的手稿的目的是通过采用动态方法提供另一种证明。我们的方法的一个关键成分是研究$\mathbb{Z}_p \times [0,1]$上的遍历斜积映射，然后将其适当地识别为样本空间$\{0,1,2,\cdots,p-1\}^{\mathbb{Z}}$上的$2$侧伯努利移位的因子。
A quantitative multiparameter mean ergodic theorem
我们使用证明挖掘的技术，以获得一个可计算的和统一的亚稳定性（在陶的意义下）的平均遍历定理有限数量的交换线性压缩算子的一致凸巴拿赫空间。
A conditional proof of the non-contraction property for N falling balls
Wojtkowski的$N$系统，$N \geq 2$，落球系统是一个具有奇异性的非一致双曲光滑动力系统.这个系统是否遍历仍然是一个悬而未决的问题。我们对一个肯定的答案作出贡献，通过证明非压缩属性，条件是严格无界的假设。对于一定的质量比，配置空间可以展开为一个台球桌，其中令人生畏的适当的对齐条件得到满足。我们证明了上述三自由度展开系统是遍历的。
Ergodic-theoretic implementations of the Roth density-increment argument
我们展示证明两个遍历理论的结果在研究多重递归使用类似的密度增量参数的罗斯和Gowers：Furstenberg的多重递归定理（这意味着Szemerédi定理），和一个二维的特殊情况下Furstenberg和Katznelson的多维版本这个定理。其中第二个也需要一个模拟的一些最近有限的工作Shkredov。许多证明这些多重递归定理是现在已知的，但我们的主要目标是进一步阐明启发式对应原则，已成长之间的遍历理论和组合方面的多重递归和Szemerédi定理。重点放在密度增量策略突出了这些设置之间的几个密切联系点。
Model Theory and the mean ergodic theorem for abelian unitary actions
我们探讨冯诺依曼的平均遍历定理和模型论的概念之间的联系。作为一个应用，我们证明了von Neumann结果的Wiener推广，其中作用在希尔伯特空间$\mathcal{H}$上的群是$\mathcal{H}$的酉变换的任意阿贝尔群.
Local stability of ergodic averages
平均遍历定理等价于这样一个断言：对于每个函数K和每个n，存在一个n，其遍历平均值A_mf在区间[n，K（n）]上稳定到n以内.我们表明，即使它是一般不可能计算的一个序列的遍历平均值的收敛速率的界限，可以给出明确的界限n的K和||F||/。这告诉我们要搜索多远才能找到一个n，使得遍历平均在一个大的区间上是“局部稳定的”。我们使用这些界限，以获得一个类似的明确版本的逐点遍历定理，并表明，我们的界限是定性不同的，可以使用上穿不等式由于主教和伊万诺夫。最后，我们解释了我们的积极成果可以被视为一个机构的一般证明理论的方法属于“证明挖掘”的标题下的应用。"
Bounds for a nonlinear ergodic theorem for Banach spaces
我们从Kazuo Kobayasi和Isao Miyadera的证明中提取定量信息（特别是，在Terence Tao意义下的亚稳定性），该证明显示了巴拿赫空间上非扩张映射的Cesàro平均的强收敛性。
Counting problems from the viewpoint of ergodic theory: from primitive integer points to simple closed curves
在她的论文中，Mirzakhani表明，一些简单的闭测地线地线的长度$\leq L$上一个封闭的，连接的，定向双曲曲面$X$属$g$是渐近的$L^{6g-6}$倍常数取决于几何的$X$。在这项调查中，我们给出了一个详细的说明Mirzakhani的证明这一结果的目的是非专家。我们从齐次动力学中经典的原始格点计数结果中汲取灵感。重点是理解如何驱动的一般原则，证明在格的情况下，也适用于双曲曲面的设置。
Convergence of Diagonal Ergodic Averages
陶最近证明，如果$T_1,...,T_l$是交换的，可逆的，保测变换变换的动力系统，然后对任何$L^\infty$功能$f_1,...,f_l$，平均$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\prod_{i\leq l}f_i\circ T^n_i$收敛于$L^2$规范。陶的证明是不寻常的，因为它转换成一个更复杂的陈述问题的组合有限空间使用弗斯滕伯格对应“向后”。在本文中，我们给出了这个定理的遍历证明，本质上是将陶的论证翻译到遍历设置。为了做到这一点，我们开发了两个新的变化，通常的Furstenberg对应，这两个采取递归型语句在一个动力系统，并给出等价的语句在一个不同的动力系统所需的属性。
Effective results on nonlinear ergodic averages in CAT$(κ)$ spaces
在本文中，我们应用证明挖掘技术来计算，在设置CAT $(κ)$空间（与$κ>0$），有效的和高度一致的速率的渐近正则性和亚稳定性的非线性推广的遍历平均值，称为Halpern迭代。这样，我们得到了经典冯诺依曼平均遍历定理的非线性推广的统一定量形式。
Finiteness of Ergodic Unitarily Invariant Measures on Spaces of Infinite Matrices
本文定理2的主要结果如下：无限埃尔米特矩阵空间上的波莱尔测度，在无限酉群的作用下是不变的，并且允许在有限大小的“角”的商空间上的明确投影，必须是有限的。对于无穷复矩阵空间上的酉不变测度，也得到了类似的结果，即定理1。这些结果与文献[3]中的遍历分解定理相结合，意味着Borodin和Olshanski [2]中的无限Hua-Pickrell测度具有有限遍历分支.证明是基于Olshanski和Vershik的方法[6]。首先，证明了如果几乎每个点的轨道测度序列都是弱预紧的，则遍历测度必定是有限的。第二步，完成证明，表明如果一个酉不变测度允许在有限角点的商空间上有定义良好的投影，则几乎对每个点，对应的轨道测度序列确实是弱预紧的。
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