Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points
Alex Eskin, Hee Oh
我们使用的理论证明，在一般的设置，均匀分布的Hecke点的单幂流。我们遵循Burger-Sarnak的方法，并使用Mozes-Shah定理。
We use the theory of unipotent flows to prove, in a general setting, the equidistribution of Hecke points. We follow the approach of Burger-Sarnak, and use a theorem of Mozes-Shah.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mass equidistribution for Hecke eigenforms
证明了Rudnick和Sarnak关于Hecke本征形质量等分布的一个猜想。这建立在作者的独立工作之上，参见arxiv.org：math/0809.1640和arxiv.org：math/0809.1635。
Equidistribution of cusp points of Hecke triangle groups
本文在无限遍历理论框架下，利用转移算子技术，将模群尖点等分布结果推广至Hecke三角群，推导了恒定词长群元素编码的加权尖点序列的等分布性质。
Equidistribution of Hecke Orbits on the Picard group of definite Shimura curves
本文利用自守方法及Drinfeld型尖点自守形式的系数界，证明了函数域上定志村曲线皮卡群中赫克轨道的等分布，特别是秩2超奇异Drinfeld模的赫克轨道等分布。
Equidistribution in supersingular Hecke orbits
我们证明了一个均匀分布的结果，Hecke算子的基本层上的某些志村品种。我们将收敛速率与Gl_n上某些尖点自守表示的Ramanujan猜想的界联系起来，从而得到收敛速率的最优估计.
Equidistribution of Hecke points on the supersingular module
对于一个固定的素数p，我们考虑$\bar{\mathbb{F}}$上的超奇椭圆曲线的（有限）集。Hecke算子作用于这个集合。我们计算了在此作用下给定的超奇椭圆曲线访问另一条曲线的渐近频率。
We investigate the equidistribution of Hecke eigenforms on sets that are shrinking towards infinity. We show that at scales finer than the Planck scale they do not equidistribute while at scales more coarse than the Planck scale they equidistribute on a full density subsequence of eigenforms. On a suitable set of test functions we compute the variance showing interesting transition behavior at half the Planck scale.
Mass Equidistribution for Automorphic Forms of Cohomological Type on GL_2
推广了Holowinsky和Soundararajan关于SL（2，Z）上全纯Hecke模形式量子唯一遍历性的证明，建立了GL 2上任意数域上满足Ramanujan界的上同调型自守形式的量子唯一遍历性.特别地，我们得到了全实二次域和全虚二次域上的无条件定理。在全实情形下，我们证明了我们的结果蕴涵了全纯Hecke模形式的零因子的等分布，推广了Rudnick在Q上的一个结果.
An important ingredient in the Ferrero--Washington proof of the vanishing of cyclotomic $μ$-invariant for Kubota--Leopoldt $p$-adic $L$-functions is an equidistribution result which they established using the Weyl criterion. The purpose of our manuscript is to provide an alternative proof by adopting a dynamical approach. A key ingredient to our methods is studying an ergodic skew-product map on $\mathbb{Z}_p \times [0,1]$, which is then suitably identified as a factor of the $2$-sided Bernoulli shift on the sample space $\{0,1,2,\cdots,p-1\}^{\mathbb{Z}}$.
Sato-Tate equidistribution for families of Hecke-Maass forms on SL(n,R)/SO(n)
建立了SL（n，R）/SO（n）上Hecke-Maass尖点形式族的Hecke特征值的平均Sato-Tate等分布.对于每一个主要的，对称的平方和外部平方L-函数，我们验证了家庭基本上是尖形的，并推导出水平分布与限制支持的低位零点。我们还推导出对拉马努金的平均估计。
Bounded Gaps Between Primes in Multidimensional Hecke Equidistribution Problems
利用Hecke Gr{ssencharaktere的Duke大筛法不等式和Maynard和Tao的新筛法，证明了多维Hecke等分布下素数间隔的一个一般结果.作为应用，对任何固定的$0<ε<\frac{1}{2}$，我们证明了在$p=a^2+b^2$形式的素数之间存在无穷多个有界间隙，使得$|a|<ε\sqrt{p}$ .此外，对于某些对角曲线$\mathcal{C}:ax^α+by^β=c$，我们得到了无穷多个素数$p$之间的有界间隙，使得$|p+1-\#\mathcal{C}(\mathbb{F}_p)|<ε\sqrt{p}$。
Equidistribution theorems for holomorphic Siegel modular forms for $GSp_4$; Hecke fields and $n$-level density
本文是作者前期工作的继续。本文补充了$GSp_4/\mathbb{Q}$的一类全纯Siegel尖点形式的四个结果.首先，我们改进了Hecke域上的结果。即在局部-整体相容性和$GSp_4$的Arthur分类中的一个猜想下，证明了Hecke域的度在不来自于$GSp_4$的较小子群的函子提升的真形式的子空间上是无界的.其次，我们证明了同时垂直Sato-Tate定理。也就是说，我们证明了Hecke特征值在两个素数上的同时等分布。第三，我们计算了四次旋量$L$ -函数的$n$能级密度，从而可以根据根数来区分对称类型。这是有条件的某些猜想根号码。第四，我们考虑仿模形式的等分布。在这种情况下，我们可以证明一个关于根数的结果。主要工具是等分布定理在我们以前的工作和Shin-Templier的工作。
We consider the analogue of the quantum unique ergodicity conjecture for holomorphic Hecke eigenforms on compact arithmetic hyperbolic surfaces. We show that this conjecture follows from nontrivial bounds for Hecke eigenvalues summed over quadratic progressions. Our reduction provides an analogue for the compact case of a criterion established by Luo--Sarnak for the case of the non-compact modular surface. The novelty is that known proofs of such criteria have depended crucially upon Fourier expansions, which are not available in the compact case. Unconditionally, we establish a twisted varian…
Cancellation in Sums of Hecke Eigenvalues Over Quadratic Polynomials and Mass Equidistribution
研究短区间不可约二次多项式上Hecke特征值和的抵消现象，通过Hecke形式基平均得到平方根抵消，结合Kloosterman和界及Nelson工作，证明几乎所有模形式满足质量等分布猜想且收敛速度为k^(-δ)（δ<1/2）。
Hecke Eigenvalue Equidistribution over the Newspaces with Nebentypus
本文针对带Nebentypus特征的新空间上的归一化p阶Hecke算子，明确了N与k之和趋于无穷时该算子特征值的分布情况。
Ergodic averages with the Hecke eigenvalue square weights and the Piltz divisor function weights
本文证明Hecke特征值平方与Piltz除数函数可作为逐点遍历定理的良好权重，部分解决Cuny和Weber的问题，并推广至其他算术函数。
Joint Equidistribution of CM Points
我们证明了混合猜想的Michel和Venkatesh的toral包与负的基本判别式和分裂在两个固定的素数，假设所有分裂领域没有例外的朗道-西格尔零。因此，我们建立任意产品的不定志村曲线的等距分布的伽罗瓦轨道的通用序列的CM点的所有组件具有相同的基本判别式;假设CM领域是分裂在两个固定的素数，并没有例外的零。Einsiedler和Lindenstrauss的连接定理适用于这些结果中出现的toral轨道。然而，它不足以证明均匀分布，由于可能性的中间代数措施支持赫克对应和他们的翻译。主要的新的贡献是一种方法，以排除中间措施的海滨时期。关键是一个几何展开的周期性措施之间的互相关环面轨道和Hecke对应，表示为一个短移位卷积和。后者是有界的从上述推广的方法Shiu和Nair在两个变量的多项式光滑域。
p-Adic distribution of CM points and Hecke orbits. II: Linnik equidistribution on the supersingular locus
本文研究$p$-adic椭圆曲线模空间上CM点的渐近分布，将其转化为$p$-adic Linnik问题，利用Fourier系数界确定所有累积测度及任意Hecke轨道的累积测度。
Proportion of Atkin-Lehner sign patterns and Hecke Eigenvalue Equidistribution
本文针对模形式空间$S_k(N)$及其新形式子空间$S_k^\mathrm{new}(N)$，确定了给定Atkin-Lehner符号模式的形式的精确占比，并证明当$N+k\to\infty$时对应子空间上$T_p$的Hecke特征值关于$p$进Plancherel测度等分布。
Hecke theory and equidistribution for the quantization of linear maps of the torus
研究了环面的量子化线性双曲自同构（“猫映射”）的本征函数的半经典极限。对于普朗克常数的某些值，量子化映射的谱具有大的简并性。我们在这篇论文中的第一个目标是表明，这些简并耦合到量子对称性的存在。在状态空间上有一个幺正算子的交换群，它与量子化映射交换，因此作用在它的本征空间上。我们称之为“Hecke算子”，类似于模曲面的设置。我们把量子化映射和所有Hecke算子的本征态称为“Hecke本征函数”。我们的第二个目标是研究Hecke本征函数的半经典极限。我们将证明它们相对于Liouville测度是等分布的，即在这些本征态中量子可观测量的期望值收敛于可观测量的经典相空间平均。
Joint distribution of Hecke eigenforms on $\mathbb{H}^3$
本文研究了Hecke特征形式在H³上的联合分布，并支持正交尖点形式的统计独立性猜想。
Effective decorrelation of Hecke eigenforms
本文证明了权重趋于无穷大时两个Hecke特征形式值的有效定量去相关，并由此得出其线性组合的质量与零点的有效等分布版本。
Holographic Equidistribution
研究Hecke算子在模函数上的作用，揭示其在二维共形场论及多个领域中的等分布特性，通过等分布定理证明大N极限下重态被积分出，留下轻态Poincaré级数贡献，提供膜物理解释。
A Criterion for Equidistribution along the $Ω$ Function over Polynomial Sequences with Applications
研究关于整系数齐次多项式\(P\)，建立沿\(\Omega(|P(n_1,...,n_d)|)\)的等分布准则，证明了相关定理变体，并在附录中证明了关于数域的相关猜想。
Linnik's ergodic method and the distribution of integer points on spheres
我们讨论林尼克的工作分配的整体解决方案$x^2+y^2+z^2 =d$，因为$d$走向无穷大。我们给出了一个阐述林尼克的遍历方法，事实上，通过使用大偏差的结果随机游动的扩展图，我们建立了一个完善的等分布定理。我们讨论这些想法与现代发展（遍历理论的齐性空间，$L$ -功能）。
Arithmetic quantum unique ergodicity for products of hyperbolic $2$- and $3$-spaces
本文证明了双曲2-与3-空间乘积商空间上Hecke-Maass形式的算术量子唯一遍历性猜想，通过轨道维数归纳法排除了极限测度集中于真子群闭轨道的可能性。
A survey of some arithmetic applications of ergodic theory in negative curvature
该综述聚焦作者合作成果，介绍负曲率黎曼流形的几何与遍历理论技术在丢番图逼近、算术点均匀分布等算术问题中的应用，说明其基于测地流动力学性质的证明思路，源自2014年相关会议演讲。
Entropy bounds and quantum unique ergodicity for Hecke eigenfunctions on division algebras
本文证明了等价物$Γ\backslash G/K$上Hecke本征函数的非退化序列的算术量子唯一遍历性猜想，其中$G\simeq\mathrm{PGL}_{d}(\mathbb{R})$，$K$是$G$的极大紧子群，$Γ<G$是与$d$上的素度除代数$\mathbb{Q}$有关的格.更一般地，我们介绍了一种新的方法来证明量子极限的正熵，这适用于更高的秩群。AQUE上的结果是通过将其与Einsiedler-Katok的测量刚性定理相结合而获得的，遵循Lindenstrauss首先开创的策略
Quantitative Equidistribution on Hyperbolic Surfaces and Arithmetic Applications
本文研究了双曲面上Wasserstein距离的定量等分布问题，并应用数论中的方法证明了Duke定理和Watson定理的上界。
Subconvexity and equidistribution of Heegner points in the level aspect
设q是素数，-D < -4是奇基本判别式，使得q在Q（\sqrt{-D}）中分裂。对于f是q层的权为零的Hecke-Maass新形式，h是D层的权为1 θ的级数，对应于Q（\sqrt{-D}）的一个理想类群特征标，当q = D^η且0 < η< 1时，我们建立了L（f \times h，s）在中心点的混合次凸界.通过这个循环，我们证明了当q，D变大且q < D^{1/20- \varepsilon }时，水平q和判别式D的Heegner点在自然意义上变得等分布。我们解决这些问题的方法与估计限制于Heegner点集的大水平Maass形式的L^2-限制范数有关。进一步建立了同时具有大水平和大二次扭曲的Hecke-Maass L-函数的二次扭曲的界，以及二次Dirichlet L-函数在一定范围内的混合界.
Effective equidistribution of primitive rational points on expanding horospheres
本文利用矩阵 Kloosterman 和界、Hecke 点有效等分布及 Rogers 积分公式，证明扩张闭 horosphere 上本原有理点的有效等分布，并给出线性同余小解与有限域非方阵计数应用。
Effective Hecke eigenvalue equidistribution over the Atkin--Lehner subspaces
本文证明固定素数下 Atkin--Lehner 子空间上 Hecke 特征值的显式有效等分布，并给出五个应用，包括推广 Kim 猜想、新形式计数、模雅可比簇点数的显式渐近、下界推广及超奇异模雅可比簇的有限性。
Subconvexity Implies Effective Quantum Unique Ergodicity for Hecke-Maaß Cusp Forms on $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \backslash \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$
本文证明 Hecke-Maaß 尖点形式的相空间量子唯一遍历性可由三重积 $L$-函数的次凸界推出，填补了相空间层面此前仅有 Eisenstein 级数结果的空白，证明基于 Watson-Ichino 公式及 Whittaker 函数积分的精细分析。
Bounded equidistribution of special subvarieties II
本文证明了一般混合Shimura簇中纯特殊子簇的Galois轨道的一个下界。对于不纯的特殊子簇，我们提出了检验不变量的概念来代替下界估计，并证明了在给定的混合Shimura簇中具有一致有界检验不变量的特殊子簇序列的有界等分布.估计和有界等分布都依赖于CM场的广义黎曼假设，类似于E. Ullmo和A. Yafaev作为纯志村品种的André-Oort猜想的遍历-伽罗瓦替代方案的一部分。
The distribution of closed geodesics on the modular surface, and Duke's theorem
本文给出了Duke关于模曲面上闭测地线等分布的一个定理的遍历理论证明。这一证明与于的工作密切相关。Linnik和B. Skubenko，谁特别证明了这一均等分布下一个额外的合同假设的判别式。我们给出了一个更概念性的处理熵理论，并展示了如何使用积极的判别式作为替代林尼克的同余条件。
We provide a new and simple automorphic method using Eisenstein series to study the equidistribution of modular symbols modulo primes, which we apply to prove an average version of a conjecture of Mazur and Rubin. More precisely, we prove that modular symbols corresponding to a Hecke basis of weight 2 cusp forms are asymptotically jointly equidistributed mod $p$ while we allow restrictions on the location of the cusps. As an application, we obtain a residual equidistribution result for Dedekind sums. Furthermore, we calculate the variance of the distribution and show a surprising bias with con…
Hexagonal Lattice Points on Circles
我们研究了六方晶格$\mathbb{Z}[ω]$，其中$ω^6=1$。更具体地说，我们研究了具有固定半径的圆上的六边形晶格点的角分布。我们证明，平均的角度是均匀分布的，并建议的可能性，构建一个一致的离散速度模型（DVM）的玻尔兹曼方程，使用一个六角形晶格。平均等分布用指数和的消去表示。我们引入Hecke L-函数并研究其解析性质，从而得到Hecke特征标和的估计。使用Halberstam-Richert不等式的一个版本，这些估计然后产生期望的结果的指数和。作为均匀分布的进一步度量，我们给出了差异的界。
Equidistribution of expanding translates of curves and Dirichlet's theorem on Diophantine approximation
证明了对于R^{k}上任意解析曲线上不包含在真仿射子空间中的几乎所有点，Dirichlet同时逼近定理及其关于线性型同时逼近的对偶结果都不能得到改进.通过证明R^{k+1}中幺模格空间上强不稳定叶上的曲线在某些部分双曲流下的演化的渐近等分布，得到了这个结果.证明涉及到齐性空间上幂幺流的遍历性质。
We prove the following statement: Let $X=\text{SL}_n(\mathbb{Z})\backslash \text{SL}_n(\mathbb{R})$, and consider the standard action of the diagonal group $A<\text{SL}_n(\mathbb{R})$ on it. Let $μ$ be an $A$-invariant probability measure on $X$, which is a limit $$ μ=λ\lim_i|ϕ_i|^2dx, $$ where $ϕ_i$ are normalized eigenfunctions of the Hecke algebra at some fixed place $p$, and $λ>0$ is some positive constant. Then any regular element $a\in A$ acts on $μ$ with positive entropy on almost every ergodic component. We also prove a similar result for lattices coming from division algebras over $\m…
Ergodic Averages over Shrinking Sectors of $\mathbb Z[i]$
本文研究高斯整数收缩角扇形上的遍历平均，证明唯一遍历系统中连续函数平均值一致收敛，并给出有限生成乘法作用的定量比较，推论包括角位置独立性、高斯刘维尔相消及素数因子计数的联合等分布。
Strengthenings of Mazur's Conjecture for Higher Heegner Points
本文通过伽罗瓦轨道与海根轨道的相互作用，定量加强了马祖尔猜想关于更高海根点非 torsion 性的结论，避免了对水平结构的严格限制。
Correction to: Equidistribution of Eisenstein Series in the Level Aspect
本文更正了2009年关于素数水平方面爱森斯坦级数量子唯一遍历性研究中的错误，修正了定理1.2和1.3的证明并调整了Maass尖点形式贡献的计算，部分结论被弱化。
A characterization of subvarieties of Shimura varieties which contain a Zariski dense subset of weakly special subvarieties has been proved by the second author, by combining o-minimality results and functional transcendence results. In this paper, we obtain a new proof of this statement by dynamics techniques on homogeneous spaces in the spirit of the earlier work of Clozel and the second author. The proof combines ergodic theory à la Ratner, with a statement on the dimension of a Hausdorff limit of a sequence of definable subsets (in an o-minimal theory) extracted from a definable family. On…
A characteristic p analogue of the André--Pink--Zannier conjecture
该研究针对特征p下的André--Pink--Zannier猜想，证明了Hodge型Shimura簇中具大单值群的常值函数域点情形及相应Hecke等分布代数类似物，通过Hecke对应分析与Weyl特殊点充足性证明完成论证。
On the $L^2$ restriction norm of large level
该论文证明了大无平方因子级全纯Hecke新形式在垂直测地线段上的质量等分布定理，关联了其$L^2$质量与扭曲L-函数二阶矩。
On Special Subvarieties of Kuga Varieties
本文证明了Kuga簇中某些特殊子簇族的等分布，这是R. Pink提出的关于混合Shimura簇的一般Andre-Oort猜想的一个特例.我们的方法类似于L.Clozel、E.Ullmo和A.Yafaev使用遍历论的工具所处理的纯情况。
Quantum Ergodicity for Point Scatterers on Arithmetic Tori
我们证明了一个类似的Shnirelman，Zelditch和Colin de Verdiere的量子遍历定理的情况下，没有潜在的经典遍历。我们考虑的系统是Laplacian与三角洲潜力的平方环面。有两种类型的波函数：旧的本征函数的拉普拉斯算子，这是不受散射体，和新的本征函数具有对数奇异性的散射体的位置。证明了新特征函数的全密度子序列在相空间中均匀分布。我们的估计是统一的耦合参数，特别是等分布举行的弱和强耦合量子化的点散射。
Weighted averages of arithmetic functions and applications to equidistribution and ergodic theory
针对广泛的一类函数W，建立了估计加权平均的一般结果，并应用于Hardy域函数在算术函数下的均匀分布模1的充要条件。
Galois orbits of torsion points near atoral sets
本文将代数环面上挠点的伽罗瓦均匀分布推广到奇异检验函数，得到带幂节省的定量衰减估计，并据此证明了一类非环面除子的 Ih 整性有限性猜想。
The Higher-Dimensional Rudnick-Kurlberg Conjecture
本文证明了多维Berry-Hannay模型的{ \it Hecke量子唯一遍历猜想}。二维环面上的量子力学模型。这个结果推广了\cite{GH3}中给出的{ \it Rudnick-Kurlberg猜想}在二维环面上的证明.
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