发表机构
Georgia Institute of Technology; Virginia Tech（佐治亚理工学院; 弗吉尼亚理工大学）
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本文研究高斯整数收缩角扇形上的遍历平均，证明唯一遍历系统中连续函数平均值一致收敛，并给出有限生成乘法作用的定量比较，推论包括角位置独立性、高斯刘维尔相消及素数因子计数的联合等分布。
AI 中文摘要
我们研究了高斯整数在收缩角扇形上的遍历平均，这些扇形对实部与虚部坐标之间的方向关系施加了越来越严格的限制。在唯一遍历系统中，对于宽度以范数截断的次多项式速度收缩的扇形，连续函数沿 $\Omega$ 的平均值在基点与扇形位置上一致收敛到不变积分。对于有限生成乘法作用，我们在一个显式的对数收缩范围内证明了定量的扇形-圆盘比较，其误差在 $\log N$ 中具有幂节省，且对基点与扇形位置一致。指数仅依赖于不同素数变换的个数，且该结果既不要求遍历性，也不要求对诱导单个变换的素数集合的角分布假设。强唯一遍历性随后在每个固定基点处导出收敛到不变积分。推论包括相对角位置与 $T^{\Omega(n)} x$ 的渐近独立性、高斯刘维尔相消，以及与两个具有发散倒数范数和的素数类相关的素数因子计数模整数的联合等分布。
英文摘要
We study ergodic averages over Gaussian integers in shrinking angular sectors, which impose an increasingly restrictive directional relation between the real and imaginary coordinates. In uniquely ergodic systems, averages of continuous functions along $Ω$ converge to the invariant integral uniformly in the base point and sector location for sectors whose widths shrink subpolynomially in the norm cutoff. For finitely generated multiplicative actions, we prove a quantitative sector--disk comparison in an explicit logarithmic shrinking range, with a power-saving error in $\log N$, uniformly in the base point and sector location. The exponents depend only on the number of distinct prime transformations, and the result requires neither ergodicity nor angular-distribution hypotheses on the sets of primes inducing the individual transformations. Strong unique ergodicity then yields convergence to the invariant integral at each fixed base point. Consequences include asymptotic independence of relative angular position and $T^{Ω(n)} x$, Gaussian Liouville cancellation, and joint equidistribution modulo integers of prime-factor counts associated with two prime classes having divergent reciprocal-norm sums.
