Atkin--Lehner 子空间上的有效 Hecke 特征值等分布
Effective Hecke eigenvalue equidistribution over the Atkin--Lehner subspaces
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中文总结 AI 辅助
本文证明固定素数下 Atkin--Lehner 子空间上 Hecke 特征值的显式有效等分布，并给出五个应用，包括推广 Kim 猜想、新形式计数、模雅可比簇点数的显式渐近、下界推广及超奇异模雅可比簇的有限性。
中文摘要 AI 辅助
对于固定的素数 $p$，令 $\mu_p$ 表示 $p$-adic Plancherel 测度。本文的第一个主要目标是证明在 Atkin--Lehner 子空间 $S_k^\sigma(N) \subseteq S_k(N)$ 和 $S_k^{\operatorname{new}, \sigma}(N) \subseteq S_k^{\operatorname{new}}(N)$ 上，第 $p$ 个 Hecke 特征值关于 $\mu_p$ 的有效（且更明确地说是显式的）等分布。然后我们强调这一显式等分布结果的五个应用。对于第一个应用，我们将 Kim 的 Atkin--Serre 猜想的垂直类比推广到 Atkin--Lehner 情形。对于第二个应用，我们获得了使得 $p$ 在 $S_k^{\operatorname{new}, \sigma}(N)$ 上为极端的 newform $f \in S_k^{\operatorname{new}, \sigma}(N)$ 的数量的显式界。对于第三个应用，我们证明了模雅可比簇 $J_0(N)$ 及其因子 $J_0^{\operatorname{new}}(N)$、$J_0^\sigma(N)$ 和 $J_0^{\operatorname{new}, \sigma}(N)$ 上 $\mathbb{F}_{p^r}$-点的数量的显式渐近式。我们还使 Serre 关于模曲线 $X_0(N)$ 的点数的渐近结果显式化。对于第四个应用，我们将 Murty 和 Sinha 关于 $J_0(N)$ 的大 $\mathbb{Q}$-单因子大小的下界推广到 $J_0^\sigma(N)$ 的类似界。最后，对于第五个应用（其细节在另一篇论文中给出），我们使用我们的显式等分布结果来证明只有有限多个模雅可比簇在任意固定素数模下是超奇异的。
英文摘要
For a fixed prime $p$, let $μ_p$ denote the $p$-adic Plancherel measure. Then the first main goal of this paper is to prove effective (and moreover explicit) $μ_p$-equidistribution of the $p$-th Hecke eigenvalues over the Atkin--Lehner subspaces $S_k^σ(N) \subseteq S_k(N)$ and $S_k^{\operatorname{new}, σ}(N) \subseteq S_k^{\operatorname{new}}(N)$. We then highlight five applications of this explicit equidistribution result. For the first application, we generalize Kim's vertical analog of the Atkin--Serre conjecture to the Atkin--Lehner setting. For the second application, we obtain explicit bounds on the number of newforms $f \in S_k^{\operatorname{new}, σ}(N)$ for which $p$ is extremal over $S_k^{\operatorname{new}, σ}(N)$. For the third application, we prove explicit asymptotics for the number of $\mathbb{F}_{p^r}$-points on the modular Jacobian $J_0(N),$ as well as on its factors $J_0^{\operatorname{new}}(N),$ $J_0^σ(N),$ and $J_0^{\operatorname{new}, σ}(N)$. We also make explicit an asymptotic result of Serre concerning point counts of the modular curves $X_0(N)$. For the fourth application, we generalize lower bounds due to Murty and Sinha on the sizes of large $\mathbb{Q}$-simple factors of $J_0(N)$ to analogous bounds for $J_0^σ(N)$. Finally, for the fifth application (the details of which are given in a separate paper), we use our explicit equidistribution result to prove that only finitely many modular Jacobians are supersingular modulo any fixed prime.
发表机构
- Princeton University（普林斯顿大学）
- Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
- Clemson University（克莱姆森大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
