More Properties of the Incomplete Gamma Functions
Rami AlAhmad
本文引入并证明了下Γ函数和误差函数的附加性质。特别是，我们证明了有趣的误差函数和拉普拉斯变换之间的关系。
In this paper, additional properties of the lower gamma functions and the error functions are introduced and proven. In particular, we prove interesting relations between the error functions and Laplace transform.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Defining Incomplete Gamma Type Function with Negative Arguments and Polygamma functions $ψ^{(n)}(-m)$
本文讨论了不完全Γ函数$α$及其导数，并引入了不完全伽玛型函数$γ_*(α,x_-)$.此外，多Γ函数$ψ^{(n)}(x)$通过神经网络设置为负整数定义。
Uniform asymptotics for the incomplete gamma functions starting from negative values of the parameters
研究了当a趋于无穷大时，不完全Γ函数Gamma（-a，-z）和Gamma（-a，-z）的渐近行为.过渡区z~a需要用一致展开式来描述，此时误差函数是主要的逼近量。我们使用不完全Γ函数的整表示，并通过应用用于伽玛（a，z）和伽玛（a，z）的现有一致展开式的技术导出一致方程。并与Olver关于广义指数积分的一致展开式进行了比较.在最后一节中给出了膨胀的数值验证。
The resurgence properties of the incomplete gamma function I
本文利用C. M.的最速下降法最速下降法，导出了不完全Γ函数的新表示. J. Howls（Howls，Proc. R.长索克A 439（1992）373- 396）。利用这些表示，我们得到了具有大参数的不完全Γ函数的渐近展开式的一些性质，包括明确的和现实的误差界，后期系数的渐近性，指数改进的渐近展开，以及Stokes间断的光滑过渡.
Exact lower and upper bounds on the incomplete gamma function
给出了所有实$a$和所有实$x>0$的不完全Γ函数$Γ(a,x)$的上界$B_a(x)$.这些界限$B_a(x)$在$B_a(x)\underset{x\downarrow0}\simΓ(a,x)$和$B_a(x)\underset{x\to\infty}\simΓ(a,x)$的意义上是精确的。此外，这些界限的相对误差是相当小的其他值的$x$，远离$0$和$\infty$。
The resurgence properties of the Incomplete gamma function II
本文利用C. M.的最速下降法最速下降法，导出了不完全Γ函数的一种新表示。J. Howls（Howls，Proc. R.长索克A 439（1992）373- 396）。使用这种表示，我们得到数值计算的界限的剩余项的渐近展开的不完全Γ函数$Γ\left( { - a,λa} \right)$与大$a$和固定的积极$λ$，和一个渐近展开其后期系数。我们还给出了严格的证明丁格尔的正式结果的指数改进版本的渐近级数的$Γ\left( { - a,λa} \right)$。
Asymptotic expansions for the incomplete gamma function in the transition regions
我们为规范化的不完全Γ函数$Q(a,z)=Γ(a,z)/Γ(a)$构造了渐近展开，这些展开式在过渡区域（包括情况$z\approx a$）中有效，并且具有简单的多项式系数。对于贝塞尔函数，这些类型的展开是众所周知的，但是对于归一化的不完全Γ函数，它们在文献中缺失。包括详细的历史概述。我们还得到了相应的反问题的渐近展开，这在概率论和数理统计中具有重要意义。这种展开式中的系数也是简单的多项式，因此它的实现是简单的。作为一个副产品，我们给出了正则化不完全Γ函数$γ^*(a,x)$的唯一负零点的第一个完全渐近展开式$a\to-\infty$。
A uniform asymptotic expansion for the incomplete gamma functions revisited
作者在{ \it J. COMPUT.应用数学} { \bf 148}（2002）323- 339。这种扩展包含一个互补的误差函数的参数测量过渡点$z=a$，容易计算的系数，不涉及一个可去奇点在这个点的邻域。在本说明中，我们纠正了在此展开式中某些系数列表中的一个印刷错误，并更详细地讨论了对应于$Γ(a,a)$的情况。
Resurgence in the Transition Region: The Incomplete Gamma Function
本文首次研究不完全伽马函数过渡区域渐近展开系数的 resurgence 性质，发现系数渐近行为依赖奇偶性，并利用初等工具与已知伽马函数渐近展开性质给出刻画。
On a series for the upper incomplete Gamma function
对于$z\geq 1$和$s\in \mathbb{C}$，我们定义了上不完全Γ函数$Γ(s,z)$的绝对收敛级数.我们表示这个系列使用某些多项式，我们定义使用斯特林数的第一类。通过在多项式的向量空间上定义一个三参数整数族和某些线性算子，证明了这些多项式具有正系数。然后，我们应用这个系列，以获得一个公式的黎曼xi功能有效的任何$s \in \mathbb{C}$。
A series of definite integrals involving upper incomplete Gamma functions
本文利用概率论推导出涉及上不完全Gamma函数的一系列定积分之和的表达式，其中正态方差混合分布起关键作用，并给出了第一类Bessel函数与Struve函数导数的新求和公式。
Computation of the incomplete gamma function for negative values of the argument
给出了一种计算参数$a$为实值、自变量$z$为负实值的不完全伽玛函数$γ^*(a,z)$的算法。该算法结合使用级数展开，庞加莱型展开，一致渐近展开和递归关系，取决于参数区域。当用Fortran 90模块IncgamNEG实现该算法计算函数$γ^*(a,z)$时，可以获得参数区域$(a,z) \in [-500,\,500] \times [-500,\,0)$中的相对精度$\sim 10^{-13}$。
On the expansion of the Kummer function in terms of incomplete Gamma functions
本文讨论了Kummer超几何函数在参数和变量为实值时作为一系列不完全Gamma函数的展开式。近似的Kummer函数与有限的伽玛和执行的错误进行了分析评估。它的界限推导出，无论是逐点和一致的变量，这些特点的收敛速度的系列，无论是逐点和适当的超级规范。同样的分析表明，极少数伽玛的有限和足够接近库默尔函数。结合这些结果与已知的近似方法的不完整的伽玛允许构造上，下近似的库默尔函数只使用指数，真正的权力和合理的功能。提供了说明性的例子。
Efficient and accurate algorithms for the computation and inversion of the incomplete gamma function ratios
对于$a$和$x$的正值，描述了不完全Γ函数比$P(a,x)=γ(a,x)/Γ(a)$和$Q(a,x)=Γ(a,x)/Γ(a)$的数值计算算法。给出了用$0<p,q<1$求解方程组$P(a,x)=p$、$Q(a,x)=q$的反演方法。不完全Γ函数比的直接计算和求逆在统计和应用概率中有着广泛的应用。从早期文献的分析方法进行了总结，并得出新的初始估计开始的反演算法。我们的算法（Fortran 90模块{ \bf IncgamFI}）的相关软件的性能进行了分析，并与早期公布的算法进行了比较。
A Galois-theoretic proof of the differential transcendence of the incomplete Gamma function
本文给出了二阶参数化线性微分方程\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} -\frac{\partial Y}{\partial x} = 0的解的$\frac{\partial}{\partial t}$超越的简单的充要条件，其中$p\in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在$\frac{\partial}{\partial t}$ -域$F$中.这一结果对于发展计算$F(x)$上任意参数化二阶线性微分方程的参数化Picard-Vessiot群的有效算法是至关重要的.我们的准则特别地暗示了不完全Γ函数$γ(t,x)$的$\frac{\partial}{\partial t}$超越性，推广了Johnson，Reinhart和Rubel [9]的结果.
On the incomplete Lauricella matrix functions of several variables
本文通过不完全Pochhammer矩阵符号引入n变量的不完全Lauricella矩阵函数，推导其性质，并建立与其他特殊矩阵函数的联系。
Some New Results for Generalized Incomplete Exponential Matrix Functions
该文引入并研究带矩阵参数的广义不完全指数函数，推导得到积分表示、各类公式及递推关系等新结论，并建立其与多种特殊矩阵函数的联系。
Special Function Representation Of Dickson Polynomials
导出了第一类和第二类Dickson多项式的母函数和函数方程，并进行了解析延拓。这些公式用参数的复变数上的不完全Γ函数表示。特殊情况下的复合不完全Γ函数和数学常数进行评估。
An asymptotic approximation for the Riemann zeta function revisited
本文重新讨论了作者和S. Cang in Methods Appl. Anal. { \bf 4}（1997）449- 470.使用不完全Γ函数的一致渐近性，在临界线$s=1/2+it$上产生$ζ(s)$的类似渐近展开式为$t\to+\infty$。主项包括由适当幅角的互补误差函数平滑的原始Dirichlet级数以及一系列校正项。这里的目的是通过以$ω$的逆幂表示来以更用户友好的格式呈现这些校正项，其中$ω^2=πs/(2i)$乘以涉及自变量为$ω$的三角函数的系数。
Monotonicity Properties and functional inequalities for the Volterra and incomplete Volterra functions
本文证明了Volterra函数和不完全Volterra函数的单调性、对数凸性和对数凸性。此外，作为这些结果的结果，我们给出了一些函数不等式（如Turán型不等式），并确定了归一化不完全Volterra函数的加权幂平均的精确上界和下界.
Monotonicity properties and bounds for the chi-square and gamma distributions
广义Marcum函数$Q_μ(x,y)$和$P_μ(x,y)$具有非中心$χ^2$和伽马累积分布作为特殊情况，当非中心性参数$x$被设置为零时，它们变成中心分布（不完全Γ函数比）。我们分析的单调性和凸性的广义Marcum函数和连续参数的Marcum函数的比率（不同的一个单位），我们得到的Marcum函数的上界和下界。这些界限被证明是尖锐的比以前的估计范围广泛的参数。此外，我们展示了如何建立上界和下界的收敛序列。对不完全Γ函数的特殊化，以及针对这种特殊情况得到的一些额外的界，导致改进先前存在的不等式的组合界。
Analytical Development of Incomplete Riemann-Liouville Fractional Calculus
分数阶微积分的理论在过去几年中已经发展了许多方向，包括：分数阶微分积分的多个不同定义的制定;标准微积分的各种属性扩展到分数阶场景;分数阶微分积分的应用到各种特殊函数。近年来，出现了一种新的分数阶微积分变体，即不完全分数阶微积分。在最近的两篇论文中，Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分积分的不完全形式被公式化并应用于几个重要的特殊函数。在本论文中，我们进一步发展了不完全分数阶微积分的理论，研究了不完全Riemann-Liouville分数阶微分积分的性质，并回答了关于这些算子的一些基本问题.通过考虑适当的函数空间，我们制定严格的不完全黎曼-刘维分数积分的定义，并证明这个模型可以用来分析更广泛的一类功能比经典的分数微积分。利用解析延拓，给出了不完全Riemann-Liouville分数阶微分的定义，从而将不完全积分推广到完全的分数阶微积分模型.我们还进一步研究和分析了这些算子，以证明新的性质。这些包括Leibniz规则的不完全differintegrals的产品，和组成性质的不完全differintegrals与经典的微积分操作。这些都是自然的和预期的问题，在任何新的分数微积分模型的调查，并在不完全的黎曼-刘维模型的结果自然出现从先前提出的定义。
Incomplete Riemann-Liouville fractional derivative operators and incomplete hypergeometric functions
本文利用不完全β函数$B_{y}(x,z)$定义了不完全Pochhammer比。借助于这些不完全Pochhammer比，我们引入了新的不完全Gauss函数、合流超几何函数和Appell函数，并研究了它们的若干性质，如整表示、导数公式、变换公式和递推关系.此外，还引入了不完全Riemann-Liouville分数阶导数算子.这个定义有助于我们得到新的不完全高斯超几何函数的线性和双线性生成关系。
On the incomplete Srivastava's triple hypergeometric matrix functions
利用不完全Pochhammer矩阵符号引入不完全Srivastava三重超几何矩阵函数。给出了不完全Srivastava三重超几何矩阵函数的矩阵微分方程、积分公式、归约公式、递推公式、递推关系和微分公式等性质。
Some Monotonicity Properties of Gamma and $q$-gamma Functions
证明了完全单调函数的一些性质，并应用它们得到了关于Gamma函数和$q$ -Γ函数的结果.
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 11: The incomplete beta function
Gradshteyn和Ryzhik的表中包含了一些可以用不完全β函数表示的积分。我们描述了这个函数的一些基本性质，并使用它们来检查上述表中的一些公式。
On The Extended Incomplete Pochhammer Symbols and Hypergeometric Functions
本文首先介绍了某些形式的扩展不完全Pochhammer符号，然后用它们来定义扩展不完全广义超几何函数族。对于这些函数，我们研究了它们的各种性质，包括它们的整表示、导数公式、某些生成函数和分数次积分（和导数）之间的关系。并给出了主要结果的一些特例。
Sharp bounds for cumulative distribution functions
在一定的单调性条件下，积分之比可用被积函数之比来界定。这个结果与L 'Hôpital的单调规则有关，可以用来得到累积分布函数的精确界.我们考虑非中心累积伽玛分布和β分布的情况。利用修正Bessel函数和另一类函数：第二修正Bessel函数、两个误差函数和一个不完全Γ函数，得到了非中心Γ分布（也称为Marcum函数）的三种不同类型的锐界.对于非中心β函数的情形，其边界用Kummer函数和一个附加的Kummer函数或一个不完全β函数表示.这些边界改善了以前的结果，就其应用范围和/或其锐度。
Logarithmic concavity of the inverse incomplete beta function with respect to parameter
β分布是概率分布的一个双参数族，其分布函数是（正则化的）不完全β函数。本文将逆不完全β函数作为第一参数的一元函数进行了解析研究。单调性，极限结果和凸性。特别地，建立了逆不完全β函数的对数正态分布.此外，我们提供了一个较大的类的参数化分布，可能是独立的利益的逆的单调性结果。
Generalized Extended Riemann-Liouville type fractional derivative operator
本文利用Boudjelkha [4]中推广的Bessel函数，给出了不完全Gamma，Beta，Gauss超几何，汇合型超几何函数和Appell-Lauricella超几何函数的新推广.对这些推广得到了一些递推关系、变换公式、Mellin变换和整表示。进一步，建立了Riemann-Liouville分数阶导数算子的推广.
Properties of Ultra Gamma Function
本文研究\[_{δ,a}Γ_{ρ,b}(x) =Γ(δ,a;ρ,b)(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-\frac{t^δ}{a}-\frac{t^{-ρ}}{b}}dt.\]型积分，不同的作者用不同的名称来称呼这种积分，如超Γ函数，广义Γ函数，Kratzel积分，逆Gauss积分，反应速率概率积分，Bessel积分等，我们证明了上述积分的几个恒等式和递推关系，我们称这种积分为四参数Γ函数。并讨论了四参数Γ函数、p-k Γ函数与经典Γ函数之间的关系。在一定条件下，四参数Γ函数可以用超几何函数来表示.
Chebychev interpolations of the Gamma and Polygamma Functions and their analytical properties
本文给出了Gamma函数和多Γ函数在一个连续区间内的Chebychev近似[1]。inf]具有可定义的最大相对误差。近似值需要每个小数大约三个系数，直到检查精度为100个十进制数字。
Some properties of extended remainder of Binet's first formula for logarithm of gamma function
本文推广了Binet关于Γ函数对数的第一公式，并研究了Binet关于Γ函数对数的第一公式的推广余项的一些性质，包括不等式、星形性、次可加性和完全单调性.
Inequalities and monotonicity properties for gamma and q-gamma functions
我们证明了一些新的结果，并统一了旧的证明，涉及完全单调的表达式涉及伽玛和$q$ -Γ函数，$0 < q < 1$。这些结果中的每一个都暗示了相关概率测度的无限可分性。在少数情况下，我们能够得到简单单调性而不具有完全单调性。所有的结果导致这些功能的不平等。其中许多是由沃尔特·高茨基在1959年的一篇论文中提出的。我们表明，一些界限可以扩展到复杂的参数。
Two Parameter Gamma Function and its Properties
本文介绍了双参数Γ函数、β函数和Pochhammer符号。我们将它们分别命名为p-k Γ函数、p-k β函数和p-k Pochhammer符号，并分别记为$_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $和$_{p}(x)_{n,k} $.本文证明了经典Gamma，Beta和Pochhammer符号所满足的$_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $和$_{p}(x)_{n,k} $的几个恒等式.并给出了$_{p}Γ_{k}(x) $和$_{p}B_{k}(x,y) $的整表示。
Approximations of generalized Bernstein functions
本文研究广义 Bernstein 函数的高阶 Thorin-Bernstein 逼近，建立涉及不完全 Beta 与 Gamma 函数的尖锐不等式，并给出相关函数的新性质。
Normalized incomplete beta function: log-concavity in parameters and other properties
规范化的不完全β函数可以定义为β密度的累积分布函数，也可以定义为其中一个上部参数等于1的高斯超几何函数。这个函数在参数上的对数凸性是由Finner和Roters在1997年建立的。他们的证明是间接的，而且相当困难;它是基于某些更一般的分布的广义再生属性。这些作者评论说，这些结果“似乎很难通过通常的分析方法获得”。在本文的第一部分中，我们提供了这样的证明标准的分析工具的基础上。在第二部分中，我们进一步研究了由正规化不完全β函数的移位所形成的广义Turán行列式的符号。在一些附加的限制下，我们证明了这些系数是相同的符号。我们进一步推测，这样的限制可以被删除而不改变结果。我们的证明方法也导致各种同伴的结果，可能是独立的利益。特别地，我们建立了上述Turán行列式的线性化公式和双边界。此外，我们发现了两个组合式的身份，我们相信是新的有限和。
Monotonicity properties related to the ratio of two gamma functions
本文研究了与Γ函数的比有关的单调性，并由此建立了一些相关的渐近性和不等式。一些特例也证实了C. P. Chen [Monotonicity properties，inequalities，and渐近展开associated with the Γ函数.应用数学计算283（2016），385- 396.]。
The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions
We show the modular properties of the multiple 'elliptic' gamma functions , which are an extension of those of the theta function and the elliptic gamma function . The modular property of the theta function is known as Jacobi's transformation, and that of the elliptic gamma function was provided by Felder and Varchenko. In this paper we deal with the multiple sine functions , since the modular properties of the multiple elliptic gamma functions result from the equivalence between two ways to represent the multiple sine functions as infinite product . We also derive integral representations of …
A ratio of many gamma functions and its properties with applications
建立了一个涉及指数函数与和的不等式，引入了多个Γ函数的比，讨论了新引入的比的单调性、对数凸性、（数学上）完全单调性和Bernstein函数性质，构造了两个多项式系数和多元β函数的不等式.
On some properties of special functions involving $k$-gamma and $k$-digamma functions
本研究基于$k$-伽马与$k$-双伽马函数，推导Furdui型积分的级数展开及两类特殊函数的新恒等式、展开式与不等式，并提出一个开放问题。
Monotonicity properties of the gamma family of distributions
对于实数$a>0$，令$X_a$表示具有参数$a$和$1$的Γ分布的随机变量。则对于每个实数$c\ge0$，$\mathsf P(X_a-a>c)$在$a$中递增;对于每个实数$c\le-1/3$，$a$中不递增;对于每个$c\in(-1/3,0)$，$a$中非单调。这扩展和/或改进了某些先前建立的结果。
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