Exact lower and upper bounds on the incomplete gamma function
给出了所有实$a$和所有实$x>0$的不完全Γ函数$Γ(a,x)$的上界$B_a(x)$.这些界限$B_a(x)$在$B_a(x)\underset{x\downarrow0}\simΓ(a,x)$和$B_a(x)\underset{x\to\infty}\simΓ(a,x)$的意义上是精确的。此外，这些界限的相对误差是相当小的其他值的$x$，远离$0$和$\infty$。
2020-05-13 math.CA
The resurgence properties of the Incomplete gamma function II
本文利用C. M.的最速下降法最速下降法，导出了不完全Γ函数的一种新表示。J. Howls（Howls，Proc. R.长索克A 439（1992）373- 396）。使用这种表示，我们得到数值计算的界限的剩余项的渐近展开的不完全Γ函数$Γ\left( { - a,λa} \right)$与大$a$和固定的积极$λ$，和一个渐近展开其后期系数。我们还给出了严格的证明丁格尔的正式结果的指数改进版本的渐近级数的$Γ\left( { - a,λa} \right)$。
2014-11-06 math.CA
Asymptotic expansions for the incomplete gamma function in the transition regions
我们为规范化的不完全Γ函数$Q(a,z)=Γ(a,z)/Γ(a)$构造了渐近展开，这些展开式在过渡区域（包括情况$z\approx a$）中有效，并且具有简单的多项式系数。对于贝塞尔函数，这些类型的展开是众所周知的，但是对于归一化的不完全Γ函数，它们在文献中缺失。包括详细的历史概述。我们还得到了相应的反问题的渐近展开，这在概率论和数理统计中具有重要意义。这种展开式中的系数也是简单的多项式，因此它的实现是简单的。作为一个副产品，我们给出了正则化不完全Γ函数$γ^*(a,x)$的唯一负零点的第一个完全渐近展开式$a\to-\infty$。
2018-07-05 math.CA
Resurgence in the Transition Region: The Incomplete Gamma Function
本文首次研究不完全伽马函数过渡区域渐近展开系数的 resurgence 性质，发现系数渐近行为依赖奇偶性，并利用初等工具与已知伽马函数渐近展开性质给出刻画。
2024-03-31 math.CA
On a series for the upper incomplete Gamma function
对于$z\geq 1$和$s\in \mathbb{C}$，我们定义了上不完全Γ函数$Γ(s,z)$的绝对收敛级数.我们表示这个系列使用某些多项式，我们定义使用斯特林数的第一类。通过在多项式的向量空间上定义一个三参数整数族和某些线性算子，证明了这些多项式具有正系数。然后，我们应用这个系列，以获得一个公式的黎曼xi功能有效的任何$s \in \mathbb{C}$。
2019-09-16 math.CA math.CO
A series of definite integrals involving upper incomplete Gamma functions
本文利用概率论推导出涉及上不完全Gamma函数的一系列定积分之和的表达式，其中正态方差混合分布起关键作用，并给出了第一类Bessel函数与Struve函数导数的新求和公式。
2025-02-15 math.CA math.PR
Computation of the incomplete gamma function for negative values of the argument
给出了一种计算参数$a$为实值、自变量$z$为负实值的不完全伽玛函数$γ^*(a,z)$的算法。该算法结合使用级数展开，庞加莱型展开，一致渐近展开和递归关系，取决于参数区域。当用Fortran 90模块IncgamNEG实现该算法计算函数$γ^*(a,z)$时，可以获得参数区域$(a,z) \in [-500,\,500] \times [-500,\,0)$中的相对精度$\sim 10^{-13}$。
2016-08-14 cs.MS math.CA
On the expansion of the Kummer function in terms of incomplete Gamma functions
本文讨论了Kummer超几何函数在参数和变量为实值时作为一系列不完全Gamma函数的展开式。近似的Kummer函数与有限的伽玛和执行的错误进行了分析评估。它的界限推导出，无论是逐点和一致的变量，这些特点的收敛速度的系列，无论是逐点和适当的超级规范。同样的分析表明，极少数伽玛的有限和足够接近库默尔函数。结合这些结果与已知的近似方法的不完整的伽玛允许构造上，下近似的库默尔函数只使用指数，真正的权力和合理的功能。提供了说明性的例子。
2003-04-17 math-ph math.CA math.MP
On the incomplete Lauricella matrix functions of several variables
本文通过不完全Pochhammer矩阵符号引入n变量的不完全Lauricella矩阵函数，推导其性质，并建立与其他特殊矩阵函数的联系。
2026-05-30 math.CA
Efficient and accurate algorithms for the computation and inversion of the incomplete gamma function ratios
对于$a$和$x$的正值，描述了不完全Γ函数比$P(a,x)=γ(a,x)/Γ(a)$和$Q(a,x)=Γ(a,x)/Γ(a)$的数值计算算法。给出了用$0<p,q<1$求解方程组$P(a,x)=p$、$Q(a,x)=q$的反演方法。不完全Γ函数比的直接计算和求逆在统计和应用概率中有着广泛的应用。从早期文献的分析方法进行了总结，并得出新的初始估计开始的反演算法。我们的算法（Fortran 90模块{ \bf IncgamFI}）的相关软件的性能进行了分析，并与早期公布的算法进行了比较。
2013-06-07 math.CA math.PR math.ST
A Galois-theoretic proof of the differential transcendence of the incomplete Gamma function
本文给出了二阶参数化线性微分方程\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} -\frac{\partial Y}{\partial x} = 0的解的$\frac{\partial}{\partial t}$超越的简单的充要条件，其中$p\in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在$\frac{\partial}{\partial t}$ -域$F$中.这一结果对于发展计算$F(x)$上任意参数化二阶线性微分方程的参数化Picard-Vessiot群的有效算法是至关重要的.我们的准则特别地暗示了不完全Γ函数$γ(t,x)$的$\frac{\partial}{\partial t}$超越性，推广了Johnson，Reinhart和Rubel [9]的结果.
2013-04-06 math.AC math.AP math.CA
Some New Results for Generalized Incomplete Exponential Matrix Functions
该文引入并研究带矩阵参数的广义不完全指数函数，推导得到积分表示、各类公式及递推关系等新结论，并建立其与多种特殊矩阵函数的联系。
2023-08-24 math.CA
Special Function Representation Of Dickson Polynomials
导出了第一类和第二类Dickson多项式的母函数和函数方程，并进行了解析延拓。这些公式用参数的复变数上的不完全Γ函数表示。特殊情况下的复合不完全Γ函数和数学常数进行评估。
2022-11-28 math.CA math.CO math.NT
Monotonicity properties and bounds for the chi-square and gamma distributions
广义Marcum函数$Q_μ(x,y)$和$P_μ(x,y)$具有非中心$χ^2$和伽马累积分布作为特殊情况，当非中心性参数$x$被设置为零时，它们变成中心分布（不完全Γ函数比）。我们分析的单调性和凸性的广义Marcum函数和连续参数的Marcum函数的比率（不同的一个单位），我们得到的Marcum函数的上界和下界。这些界限被证明是尖锐的比以前的估计范围广泛的参数。此外，我们展示了如何建立上界和下界的收敛序列。对不完全Γ函数的特殊化，以及针对这种特殊情况得到的一些额外的界，导致改进先前存在的不等式的组合界。
2014-06-23 math.CA math.PR math.ST
Sharp bounds for cumulative distribution functions
在一定的单调性条件下，积分之比可用被积函数之比来界定。这个结果与L 'Hôpital的单调规则有关，可以用来得到累积分布函数的精确界.我们考虑非中心累积伽玛分布和β分布的情况。利用修正Bessel函数和另一类函数：第二修正Bessel函数、两个误差函数和一个不完全Γ函数，得到了非中心Γ分布（也称为Marcum函数）的三种不同类型的锐界.对于非中心β函数的情形，其边界用Kummer函数和一个附加的Kummer函数或一个不完全β函数表示.这些边界改善了以前的结果，就其应用范围和/或其锐度。
2015-06-11 math.CA math.PR math.ST
