Iosif Pinelis
Lower and upper bounds $B_a(x)$ on the incomplete gamma function $Γ(a,x)$ are given for all real $a$ and all real $x>0$. These bounds $B_a(x)$ are exact in the sense that $B_a(x)\underset{x\downarrow0}\simΓ(a,x)$ and $B_a(x)\underset{x\to\infty}\simΓ(a,x)$. Moreover, the relative errors of these bounds are rather small for other values of $x$, away from $0$ and $\infty$.
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继续探索
Defining Incomplete Gamma Type Function with Negative Arguments and Polygamma functions $ψ^{(n)}(-m)$
本文讨论了不完全Γ函数$α$及其导数，并引入了不完全伽玛型函数$γ_*(α,x_-)$.此外，多Γ函数$ψ^{(n)}(x)$通过神经网络设置为负整数定义。
More Properties of the Incomplete Gamma Functions
本文引入并证明了下Γ函数和误差函数的附加性质。特别是，我们证明了有趣的误差函数和拉普拉斯变换之间的关系。
Uniform asymptotics for the incomplete gamma functions starting from negative values of the parameters
研究了当a趋于无穷大时，不完全Γ函数Gamma（-a，-z）和Gamma（-a，-z）的渐近行为.过渡区z~a需要用一致展开式来描述，此时误差函数是主要的逼近量。我们使用不完全Γ函数的整表示，并通过应用用于伽玛（a，z）和伽玛（a，z）的现有一致展开式的技术导出一致方程。并与Olver关于广义指数积分的一致展开式进行了比较.在最后一节中给出了膨胀的数值验证。
The resurgence properties of the incomplete gamma function I
本文利用C. M.的最速下降法最速下降法，导出了不完全Γ函数的新表示. J. Howls（Howls，Proc. R.长索克A 439（1992）373- 396）。利用这些表示，我们得到了具有大参数的不完全Γ函数的渐近展开式的一些性质，包括明确的和现实的误差界，后期系数的渐近性，指数改进的渐近展开，以及Stokes间断的光滑过渡.
The resurgence properties of the Incomplete gamma function II
本文利用C. M.的最速下降法最速下降法，导出了不完全Γ函数的一种新表示。J. Howls（Howls，Proc. R.长索克A 439（1992）373- 396）。使用这种表示，我们得到数值计算的界限的剩余项的渐近展开的不完全Γ函数$Γ\left( { - a,λa} \right)$与大$a$和固定的积极$λ$，和一个渐近展开其后期系数。我们还给出了严格的证明丁格尔的正式结果的指数改进版本的渐近级数的$Γ\left( { - a,λa} \right)$。
We construct asymptotic expansions for the normalised incomplete gamma function $Q(a,z)=Γ(a,z)/Γ(a)$ that are valid in the transition regions, including the case $z\approx a$, and have simple polynomial coefficients. For Bessel functions, these type of expansions are well known, but for the normalised incomplete gamma function they were missing from the literature. A detailed historical overview is included. We also derive an asymptotic expansion for the corresponding inverse problem, which has importance in probability theory and mathematical statistics. The coefficients in this expansion are…
A new uniform asymptotic expansion for the incomplete gamma function $Γ(a,z)$ valid for large values of $z$ was given by the author in {\it J. Comput. Appl. Math.} {\bf 148} (2002) 323--339. This expansion contains a complementary error function of an argument measuring transition across the point $z=a$, with easily computable coefficients that do not involve a removable singularity in the neighbourhood of this point. In this note we correct a misprint in the listing of certain coefficients in this expansion and discuss in more detail the situation corresponding to $Γ(a,a)$.
Resurgence in the Transition Region: The Incomplete Gamma Function
本文首次研究不完全伽马函数过渡区域渐近展开系数的 resurgence 性质，发现系数渐近行为依赖奇偶性，并利用初等工具与已知伽马函数渐近展开性质给出刻画。
We define an absolutely convergent series for the upper incomplete Gamma function $Γ(s,z)$ for $z\geq 1$ and $s\in \mathbb{C}$. We express this series using certain polynomials which we define using the Stirling numbers of the first kind. We prove that these polynomials have positive coefficients by defining a three-parameter family of integers and certain linear operators on vector spaces of polynomials. We then apply this series to obtain a formula for the Riemann xi function valid at any $s \in \mathbb{C}$.
A series of definite integrals involving upper incomplete Gamma functions
本文利用概率论推导出涉及上不完全Gamma函数的一系列定积分之和的表达式，其中正态方差混合分布起关键作用，并给出了第一类Bessel函数与Struve函数导数的新求和公式。
An algorithm for computing the incomplete gamma function $γ^*(a,z)$ for real values of the parameter $a$ and negative real values of the argument $z$ is presented. The algorithm combines the use of series expansions, Poincaré-type expansions, uniform asymptotic expansions and recurrence relations, depending on the parameter region. A relative accuracy $\sim 10^{-13}$ in the parameter region $(a,z) \in [-500,\,500] \times [-500,\,0)$ can be obtained when computing the function $γ^*(a,z)$ with the Fortran 90 module IncgamNEG implementing the algorithm.
On the expansion of the Kummer function in terms of incomplete Gamma functions
本文讨论了Kummer超几何函数在参数和变量为实值时作为一系列不完全Gamma函数的展开式。近似的Kummer函数与有限的伽玛和执行的错误进行了分析评估。它的界限推导出，无论是逐点和一致的变量，这些特点的收敛速度的系列，无论是逐点和适当的超级规范。同样的分析表明，极少数伽玛的有限和足够接近库默尔函数。结合这些结果与已知的近似方法的不完整的伽玛允许构造上，下近似的库默尔函数只使用指数，真正的权力和合理的功能。提供了说明性的例子。
Efficient and accurate algorithms for the computation and inversion of the incomplete gamma function ratios
对于$a$和$x$的正值，描述了不完全Γ函数比$P(a,x)=γ(a,x)/Γ(a)$和$Q(a,x)=Γ(a,x)/Γ(a)$的数值计算算法。给出了用$0<p,q<1$求解方程组$P(a,x)=p$、$Q(a,x)=q$的反演方法。不完全Γ函数比的直接计算和求逆在统计和应用概率中有着广泛的应用。从早期文献的分析方法进行了总结，并得出新的初始估计开始的反演算法。我们的算法（Fortran 90模块{ \bf IncgamFI}）的相关软件的性能进行了分析，并与早期公布的算法进行了比较。
A Galois-theoretic proof of the differential transcendence of the incomplete Gamma function
本文给出了二阶参数化线性微分方程\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} -\frac{\partial Y}{\partial x} = 0的解的$\frac{\partial}{\partial t}$超越的简单的充要条件，其中$p\in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在$\frac{\partial}{\partial t}$ -域$F$中.这一结果对于发展计算$F(x)$上任意参数化二阶线性微分方程的参数化Picard-Vessiot群的有效算法是至关重要的.我们的准则特别地暗示了不完全Γ函数$γ(t,x)$的$\frac{\partial}{\partial t}$超越性，推广了Johnson，Reinhart和Rubel [9]的结果.
On the incomplete Lauricella matrix functions of several variables
本文通过不完全Pochhammer矩阵符号引入n变量的不完全Lauricella矩阵函数，推导其性质，并建立与其他特殊矩阵函数的联系。
Some New Results for Generalized Incomplete Exponential Matrix Functions
该文引入并研究带矩阵参数的广义不完全指数函数，推导得到积分表示、各类公式及递推关系等新结论，并建立其与多种特殊矩阵函数的联系。
In this paper we prove some monotonicity, log--convexity and log--concavity properties for the Volterra and incomplete Volterra functions. Moreover, as consequences of these results, we present some functional inequalities (like Turán type inequalities) as well as we determined sharp upper and lower bounds for the normalized incomplete Volterra functions in terms of weighted power means.
Generating functions and functional equations of Dickson polynomials of the first and second kind are derived and continued analytically. These formulae are expressed in terms of the incomplete gamma function over complex variables of the parameters involved. Special cases are evaluated in terms of composite incomplete gamma functions and mathematical constants.
We revisit a representation for the Riemann zeta function $ζ(s)$ expressed in terms of normalised incomplete gamma functions given by the author and S. Cang in Methods Appl. Anal. {\bf 4} (1997) 449--470. Use of the uniform asymptotics of the incomplete gamma function produces an asymptotic-like expansion for $ζ(s)$ on the critical line $s=1/2+it$ as $t\to+\infty$. The main term involves the original Dirichlet series smoothed by a complementary error function of appropriate argument together with a series of correction terms. It is the aim here to present these correction terms in a more user-…
Monotonicity properties and bounds for the chi-square and gamma distributions
广义Marcum函数$Q_μ(x,y)$和$P_μ(x,y)$具有非中心$χ^2$和伽马累积分布作为特殊情况，当非中心性参数$x$被设置为零时，它们变成中心分布（不完全Γ函数比）。我们分析的单调性和凸性的广义Marcum函数和连续参数的Marcum函数的比率（不同的一个单位），我们得到的Marcum函数的上界和下界。这些界限被证明是尖锐的比以前的估计范围广泛的参数。此外，我们展示了如何建立上界和下界的收敛序列。对不完全Γ函数的特殊化，以及针对这种特殊情况得到的一些额外的界，导致改进先前存在的不等式的组合界。
Sharp bounds for cumulative distribution functions
在一定的单调性条件下，积分之比可用被积函数之比来界定。这个结果与L 'Hôpital的单调规则有关，可以用来得到累积分布函数的精确界.我们考虑非中心累积伽玛分布和β分布的情况。利用修正Bessel函数和另一类函数：第二修正Bessel函数、两个误差函数和一个不完全Γ函数，得到了非中心Γ分布（也称为Marcum函数）的三种不同类型的锐界.对于非中心β函数的情形，其边界用Kummer函数和一个附加的Kummer函数或一个不完全β函数表示.这些边界改善了以前的结果，就其应用范围和/或其锐度。
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