The image of Carmichael's $λ$-function
Kevin Ford, Florian Luca, Carl Pomerance
我们证明了卡迈克尔$λ$ -函数的值集的计数函数是$x/(\log x)^{η+o(1)}$，其中$η=1-(1+\log\log 2)/(\log 2)=0.08607...$。
We show that the counting function of the set of values of the Carmichael $λ$-function is $x/(\log x)^{η+o(1)}$, where $η=1-(1+\log\log 2)/(\log 2)=0.08607...$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Asymptotic Behavior of Compositions of the Euler and Carmichael Functions
本文比较了Carmichael λ函数与Euler函数组合的渐近性态和Carmichael λ函数与自身组合的渐近性态。我们建立了比率对数的正规阶。
The Arithmetic of Carmichael Quotients
利用Carmichael函数$λ(m)$，引入了整数$m\ge 2$的Carmichael代数，类似于Fermat代数.研究了这些新的同积函数的各种性质，包括基本的算术性质、由Carmichael同积函数导出的序列、Carmichael-Wieferich数等，最后将Carmichael同积函数与完全非线性函数联系起来.
On two functions arising in the study of the Euler and Carmichael quotients
我们调查两个算术函数自然发生在欧拉和卡迈克尔导数的研究。这些函数与欧拉和卡迈克尔导数消失的频率有关。我们得到了几个有关这些函数之间的关系以及它们的典型值和极值的结果。
On the Counting Function of Elliptic Carmichael Numbers
本文给出了J.H.最近提出的数椭圆Carmichael数$n \le x$的一个上界。西尔弗曼我们还讨论了进一步改进的几种可能的方法。
Divisors of the Euler and Carmichael functions
本文研究了Euler函数和Carmichael函数的因子分布。特别是，我们估计这些函数的值有多少次具有“密集”因子。
Exponential Carmichael function
考虑指数型Carmichael函数$λ^{(e)}$，使得$λ^{(e)}$是乘法的，并且$λ^{(e)}(p^a) = λ(a)$，其中$λ$是通常的Carmichael函数.我们讨论$\sum λ^{(e)}(n)$的值，其中$n$运行在某些子集的$[1,x]$，并提供边界上的误差项，使用分析方法，特别是估计的$\int_1^T \bigl| ζ(σ+it) \bigr|^m dt$。
The iterated Carmichael lambda function
Carmichael lambda函数$λ(n)$被定义为最小正整数$m$，使得对于所有$a$和$n$互质，$a^m$全等于1模$n,$。函数$λ_k(n)$被定义为$λ(n).$的$k$阶。以前的结果显示了$n/λ_k(n)$的正常顺序，其中$k=1,2.$我们将显示所有$k.$的正常顺序
Radically weakening the Lehmer and Carmichael conditions
Lehmer问题是关于是否存在满足条件phi（n）的复合整数n的问题|（n-1），（其中phi是Euler-phi函数），而Carmichael数满足较弱的条件lambda（n）|（n-1）（其中lambda是Carmichael通用指数函数）。我们进一步弱化这个条件，看看那些复合n，其中phi（n）的每个素除子也整除n-1。(So rad（phi（n））|（n-1）.）虽然这些数字似乎是远远超过卡迈克尔数，我们表明，他们的分布有相同的粗糙的上界的卡迈克尔数，这是严格的约束。
The number of iterates of the Carmichael lambda function required to reach 1
Carmichael lambda函数$λ(n)$被定义为最小正整数$m$，使得对于所有$(a,n)=1.$ $λ_k(n)$的$a^m \equiv 1 \pmod{n}$被定义为$λ(n).$的$k$ th，令L（n）是最小的$k$，对于$λ_k(n)=1.$它很容易表明，$L(n) \ll \log n.$它是证明，$L(n)\asymp \log\log n,$，但以前它是不知道是$o(\log n)$，几乎所有的$n.$我们将表明，$L(n) \ll (\log n)^δ$，几乎所有的我们还将证明几乎所有$n$的$L(n) \gg \log\log n$，并猜想L（n）的正规序。
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
Two problems on the distribution of Carmichael's lambda function
令$λ(n)$表示乘法群模$n$的指数。我们发现，当$q$是奇数，每个互质剩余类模$q$击中同样经常由$λ(n)$作为$n$变化。在更强的假设下，$\gcd(q,6)=1$，我们证明了均匀分布持续整个西格尔-Walfisz型范围内的均匀性。通过类似的方法，我们证明了$λ(n)$关于自然密度服从Benford首数律。此外，如果我们假设GRH，那么本福德定律对$a$ mod $n$的阶成立，对任何固定整数$a\notin \{0,\pm 1\}$成立。
Runs of integers with constant values of the Carmichael function
本文研究Carmichael λ函数在连续整数上取相同值的最大连续段长度，通过引入基于Baker-Harman关于移位素数最大素因子结果的反向计数论证，改进了2023年已有的上界估计。
A quantum algorithm for computing the Carmichael function
量子计算机可以有效地解决许多数论问题。本文利用有效的量子算法作为预言机，给出了一个计算任意整数$N$的Carmichael函数的算法，该算法的概率尽可能接近1.该算法需要$O((\log n )^3n^3)$量子运算，或使用快速乘法的$O(\log\log n (\log n)^4 n^2)$运算。验证，量子优化和应用RSA和素性测试进行了讨论。
The iterated Carmichael λ-function and the number of cycles of the power generator
模l次幂函数f（x）= x^l（mod n）的迭代提供了一个公共的伪随机数生成器（当l=2时称为Blum-Blum-Shub生成器）。这种伪随机数发生器的周期与λ（λ（n））密切相关，其中λ（n）表示卡迈克尔函数，即任何整数模n的最大乘法阶。本文证明了对于几乎所有的n，λ（λ（n））的大小是n/exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）.我们猜想λ的第k阶λ的一个类似公式。我们推断，对于几乎所有的n，上述伪随机数生成器至少有exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）个不相交的圈。此外，我们表明，这个表达式是准确的，几乎所有的n下的广义黎曼假设的Kummerian字段的假设。我们还考虑了将整数n降为1所需的λ的迭代次数，证明了这个次数无限次小于（1+o（1））（log log n）/log 2，并推测log log n几乎总是真正的数量级。
Small values of Carmichael's lambda function
研究λ(n)的分布，给出L(x,y)的上界，并在合理假设下渐近精确，应用于2模n的阶远小于x^{1/2}的奇数n的计数。
On Carmichael and polygonal numbers, Bernoulli polynomials, and sums of base-$p$ digits
该研究在$p$进数理论框架下给出Carmichael数的新刻画，揭示其与Bernoulli多项式分母、基$p$数字和的关联，定义了本原Carmichael数，证明Carmichael数可表为显式多边形数，并给出相关集合的模子集覆盖。
On $k$-Lehmer numbers
Lehmer的totient问题包括确定正整数集合$n$使得$φ(n)|n-1$其中$φ$是欧拉totient函数。本文引入了$k$ -Lehmer数的概念。$k$ -Lehmer数是一个合数，使得$φ(n)|(n-1)^k$ .利用$k$ -Lehmer数与Carmichael数之间的关系，给出了Carmichael数的一个新的刻画，并给出了与Carmichael数的分布有关的一些定理，这些定理也是$k$ -Lehmer数.
On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers
研究定义在奇数\(n\geq3\)上、通过伯努利数构造的算术函数，该函数将素数、卡迈克尔数和久加数统一到一个整除性准则中，为相关研究提供新视角。
Residue Classes Having Tardy Totients
我们以一种有效的方式证明了存在一系列同余类$a_k\pmod {m_k}$，使得同余类$ϕ(n)\equiv a_k\pmod {m_k}$的最小解$n=n_k$存在并满足$\log n_k/\log m_k\to\infty $作为$k\to\infty$。这里，$ϕ(n)$是欧拉函数。这回答了\cite{FS}中提出的一个问题。我们还表明，每一个同余类包含一个偶数包含无限多个值的卡迈克尔函数$λ(n)$和最少这样的$n$满足$n\ll m^{13}$。
The maximal order of the shifted-prime divisor function
研究移位素数除数函数ω*(n)的极大阶，通过改进Prachar及Adleman、Pomerance和Rumely的论证，无条件将下界指数提升至0.6736log2·log n/log log n，并在GRH下提升至log((1+√5)/2)·log n/log log n。
On the image of Euler's totient function
本文研究了欧拉函数的象的某些性质，并考虑了该函数象的某些元素的原象的结构。
Sizes of Pre-Images of the Minimal Euclidean Function on the Gaussian Integers
本文基于前人研究，通过几何描述证明了二次整数环上最小欧几里得函数预像大小的公式。
Some remarks on Euler's totient function
欧拉函数的图像由数字1和偶数组成。然而，许多偶数不在图像中。我们考虑找到图像中的那些偶数和那些不在图像中的偶数的问题。如果图像中有一个偶数，那么它的原像最多可以有一半的元素是奇数。但是，它可能只包含偶数。我们考虑的结构的原像的某些数字的形象的totient函数。
On Gaps in the Closures of Images of Divisor Functions
给定一个复数$c$，通过$σ_c(n)=\sum_{d\mid n}d^c$定义除数函数$σ_c:\mathbb N\to\mathbb C$。在本文中，我们看看$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$，拓扑闭包的形象$σ_{-r}$，当$r>1$。我们展示了新的下界的连接组件的数量$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$，使这个界限从线性的$r$指数。最后，我们讨论了$\overline{σ_{-r}(\mathbb N)}$的间隙的一般结构，以努力实现一个可能的单调性结果。
Large gaps in the image of the Euler's function
本文的目的是给出正整数$\le x$的个数的一个上界，对于某个正整数$n$，可以写成$φ(n)$，其中$φ$代表欧拉函数.这个估计的数量级大约是$x/\sqrt[4]{\ln x}$，这意味着欧拉值的集合包含任意大的间隙。
More characterizations of generalized bent function in odd characteristic, their dual and the gray image
本文进一步研究了从$\Z_{p}^n$到$\Z_{p^k}$的广义Bent布尔函数的性质，其中$p$是奇素数，$k$是正整数.对于各种表示，根据它们的各种分支函数，给出了这类函数为非线性的充分条件和必要条件。进一步研究了与相对差集对应的gbent函数的一个子类，我们称之为$\Z_{p^k}$ -bent函数.结果表明，$\Z_{p^k}$ -bent函数对应于一类向量bent函数，且其$\Z_{p^k}$ -bent性质比标准bent性质强得多.讨论了gbent函数的对偶和广义Gray象。此外，作为进一步的推广，我们还定义并给出了从$\Z_{p^l}^n$到$\Z_{p^k}$的gbent函数的特征，其中$l$为正整数，且具有$l<k$ .
On elements of large order of elliptic curves and multiplicative dependent images of rational functions over finite fields
设$E_1$和$E_2$是具有整数参数的Legendre形式的椭圆曲线。我们证明了存在一个常数$C$，使得对于几乎所有素数，对于所有但至多$C$对的点约化的$E_1 \times E_2$ modulo $p$具有相等的$x$坐标，至少有一个$P_1$和$P_2$有一个大的群阶。我们还显示了类似的丰度有限域的元素，其图像下的减少模$p$的有限集的有理函数有很大的乘法阶
About one problem from NSUCRYPTO'2017 and the image of cubic function over binary fields
有限域$F_{2^n}$上的三次函数$f(x) = x^3+x$的图像描述在2017年的NSUCrypto奥林匹克运动会上被列为一个问题。这个问题被组织者标记为<<unsolved>>。在这项工作中，我们提出了这个问题的全面解决方案。
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