On the image of Euler's totient function
Rodney Coleman
本文研究了欧拉函数的象的某些性质，并考虑了该函数象的某些元素的原象的结构。
In this article we study certain properties of the image of Euler's totient function; we also consider the structure of the preimage of certain elements of the image of this function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Diophantine Equations Involving the Euler Totient Function
我们处理各种丢番图方程涉及欧拉函数和各种序列的数字，包括因子，权力，和斐波那契序列。
On Euler's totient function of polynomials over finite fields
该研究聚焦有限域上多项式的Euler totient函数的算术性质，分析多个经典数论猜想的多项式类比形式，拓展了有限域多项式数论的研究方向。
A relation to a remainder terms in an asymptotic formula for the associated Euler totient function
本文证明了关联欧拉函数在特定情况下的误差项关系，类似于H.L.Montgomery的结果。
A new characterization of prime numbers and solution to Lehmer's conjecture on Euler's totient function
利用初等对称多项式与数论结果解决 Lehmer 猜想，并由此得到素数的新刻画。
On the Lehmer's problem involving Euler's totient function
欧拉函数$ φ(n) $对与$ n $互质的正整数进行计数，直到给定整数$ n$。我们解决了一个问题，由于Lehmer，没有合数$ n $，使$ φ(n)\mid n-1 $。我们还注意到，有无穷多个素数不是苏菲·热尔曼素数。
A Generalisation of Euler Totient Function
欧拉函数$φ(n)$计算了有多少个$0,1,\dots,n-1$与$n$互质，它有一个明确的渐近下界$n/\log \log n$，模某个常数。在本文中，我们推广了$φ$ ;给定一个不可约整数多项式$P$，我们定义了算术函数$φ_P(n)$，它计算$P(0),P(1),\dots,P(n-1)$中与$n$互质的数的数量。我们还提供了一个渐近下界的$φ_P(n)$。
Set-theoretical entropies of Euler's totient function and other number theoretical special functions
本文计算 Euler totient 函数与 Dedekind psi 函数的集合论及反变集合论熵，并考察其诱导的 Alexandroff 拓扑及相关数论特殊函数。
Some remarks on Euler's totient function
欧拉函数的图像由数字1和偶数组成。然而，许多偶数不在图像中。我们考虑找到图像中的那些偶数和那些不在图像中的偶数的问题。如果图像中有一个偶数，那么它的原像最多可以有一半的元素是奇数。但是，它可能只包含偶数。我们考虑的结构的原像的某些数字的形象的totient函数。
Jacobsthal's function and a generalisation of Euler's totient
Jacobsthal函数h（k）表示最小的数m，使得每一个m个连续整数的序列都包含一个与P_k互质的整数，即前k个素数的乘积。对于未知常数C，h（k）上最著名的界是h（k）< C（k ln k）^2，这是Iwaniec的结果。我们使用一个推广的欧拉totient函数给一个更强的限制h（k）。
The Euler Totient Function on Lucas Sequences
在2009年，Luca和Nicolae证明了唯一的斐波那契数，其欧拉函数是另一个斐波那契数是$1,2$和$3$。在2015年，Faye和Luca证明了唯一的Pell数，其欧拉函数是另一个Pell数是$1$和$2$。在这里，我们添加到这两个结果，并证明，对于任何固定的自然数$P\geq 3$，如果我们定义的序列$\left(u_n\right)_n$为$u_0=0$，$u_1=1$，和$u_n=Pu_{n-1}+u_{n-2}$的所有$n\geq 2$，那么唯一的解决方案丢番图方程$φ\left(u_n\right)=u_m$是$φ\left(u_1\right)=φ(1)=1=u_1$。
The variance of the Euler totient function
本文研究了有限域$\mathbb{F}_q$上整数$\mathbb{Z}$和多项式环$\mathbb{F}_q[T]$中欧拉函数（归一化为$φ(n)/n$）的方差.结果表明，在$\mathbb{Z}$中，在某些假设下，归一化欧拉函数的方差变为常数。这得到了几个数值模拟的支持。令人惊讶的是，在$\mathbb{F}_q[T]$、$q\rightarrow \infty$中，模拟并不成立：由于大量的抵消，方差与间隔的大小成反比。
Asymptotic behavior of a series of Euler's totient function $φ(k)$ times the index of $1/k$ in a Farey sequence
受加速器物理研究的启发，本文计算了级数$\displaystyle \sum_{k=1}^N φ(k) I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的渐近行为，其中$φ(k)$是欧拉函数，$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$是$1/k$在$N$阶法里序列中所占的位置.为此，当$\displaystyle \left[2,\left\lceil \frac{N}{k} \right\rceil\right]$中的所有整数都是$N$的约数时，导出了$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的精确公式。
On the representation of rational numbers via Euler's totient function
本文证明任意正有理数可表示为欧拉函数相关的两种形式，并探讨了进一步结果。
Explicit formulas for Euler's totient function and the number of divisors
该研究利用 Menon 关系及与 Pillai 算术函数的联系，给出 φ(n) 与 τ(n) 基于取整有限和或 gcd 的显式公式，可为算术函数新界提供工具。
Sums related to Euler's totient function
本文研究了与欧拉φ函数相关的求和问题，并给出了其上界及应用结果。
Diophantine equations involving Euler's totient function
本文研究了含有Euler函数$ϕ$和Lucas型序列的方程.特别地，我们证明了方程$ϕ(x^m-y^m)=x^n-y^n$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a+1, a, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a$是正整数，方程$ϕ((x^m-y^m)/(x-y))=(x^n-y^n)/(x-y)$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a, b, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a, b$是具有$a>b\ge 1$的整数.
On the difference in values of the Euler totient function near prime arguments
我们无条件地证明了对于每个$\ell \geq 1$，差$ϕ(p-\ell) - ϕ(p+\ell)$对于奇素数$p$的$50\%$是正的，对于$50\%$是负的。
Distribution mod $p$ of Euler's totient and the sum of proper divisors
本文研究了欧拉函数$ϕ(n)$与原因子和函数$s(n):=σ(n)-n$在模素数$p$的剩余类中的分布.我们证明了值$ϕ(n)$，$n\le x$，这是互质的$p$是渐近均匀分布的$p-1$互质剩余类模$p$，均匀$5 \le p \le (\log{x})^A$（与$A$固定，但任意）。我们还表明，$s(n)$的值，$n$复合，是均匀分布在所有$p$剩余类模每$p\le (\log{x})^A$。这些似乎是第一个结果，他们的同类中的模量是允许增长的$x$大幅。
Monotone non-decreasing sequences of the Euler totient function
本文研究使 Euler 函数非递减的最大子集规模，证明其渐近等于 $π(x)$，并对除数和函数得到类似结论。
An improved upper bound for the distribution of iterated Euler totient functions
本文改进了迭代欧拉φ函数满足 $ϕ_{k+1}(n)\geqslant cn$ 的正整数个数的上界，将主项分母指数从 $k$ 提升到 $k+1$。
Sparse subsets of the natural numbers and Euler's totient function
本文研究了自然数的稀疏子集，并利用“Banach密度”的性质研究了与欧拉函数$ϕ$相关的一些集合的稀疏性.与totient函数相关的这些集合定义如下：$V:=ϕ(\mathbb{N})$和$N_i:=\{N_i(m)\colon m\in V \}$用于$i = 1, 2, 3,$，其中$N_1(m)=\max\{x\in \mathbb{N}\colon ϕ(x)\leq m\}$、$N_2(m)=\max(ϕ^{-1}(m))$和$N_3(m)=\min(ϕ^{-1}(m))$用于$ m\in V$。Masser和Shiu称$N_1$的元素为“稀疏的totient数”，并构造了这些数的无限族。在这里，我们构造了几个无限的数族在$N_2\setminus N_1$和一个无限的家庭在$N_3$合数。我们还研究了（i）的比例$\frac{N_2(m)}{N_3(m)}$，这是与卡迈克尔猜想，即$|ϕ^{-1}(m)|\geq 2 ~\forall ~ m\in V$，和（ii）的算术和几何级数$N_2$和$N_3$。最后，使用上述与totient函数相关联的集合，我们生成$\mathbb{N}$的子集的无限类，每个子集的渐近密度为零，并包含任意长的算术级数。
The investigation of Euler's totient function preimages
给出了欧拉函数逆的计算量的一个较低的估计。我们回答了方程$φ(x) = m$ \cite{Ford}中关于$m$的重数的问题。给出了$m = {{2}^{{{2}^{n}}+a}}$的精确多重数的解析表达式，其中$a\in N$，$a<{{2}^{n}}$，$φ(t)={{2}^{{{2}^{n}}+a}}$.给出了任意$m$的逆数的一个下界，并提出了新的数值度量。
On the Volterra integral equation for the remainder term in the asymptotic formula on the associated Euler totient function
本文首先考虑了相应的欧拉函数渐近公式中余项的Volterra积分方程。其次，我们求解Volterra积分方程，并将相应的欧拉函数渐近公式中的误差项分解为两个和项，分别称为算术和解析部分。
On a partial sum related to the Euler totient function
最近，Bordelles，Dai，Heyman，Pan和Shparlinski在\cite{Igor}中考虑了一个包含Euler函数和整数部分$\lfloor x/n\rfloor$函数的部分和.除其他事项外，他们获得了合理的严格上限和下界，他们的总和使用理论的指数对，特别是使用最近发现的布尔甘的指数对。基于数值证据，他们还提出了一个问题，他们的总和，我们在这里作为一个猜想的渐近行为。本文的目的是证明它们的和在区间$[1,x]$内的平均值的一个渐近公式。我们通过Perron的公式表明，这个平均值是Bordellés \textit{et al}在他们的论文中考虑的总和的某种加权模拟。进一步证明了他们的猜想在一定条件下成立。我们的证明涉及Perron的围道积分方法，除了一些解析估计的黎曼zeta函数$ζ(s)$在零自由区域。
Residue classes free of values of Euler's function
我们刻画了哪些剩余类包含无穷多个totients（欧拉函数的值），哪些不包含。我们表明，工会的所有剩余类是totient免费的渐近密度3/4，也就是说，几乎所有的号码是2模4是在一个剩余类是totient免费的。在另一个方向上，我们证明了奇数m的正密度的存在性，使得对于任何$s\ge0$和任何偶数$a$，剩余类$a\pmod{2^sm}$包含无穷多个元素。
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
Distribution of values of general Euler totient function
本文研究一般欧拉函数 $Φ_k(n)$ 的分布，证明了任意 $k\ge 1$ 时的联合分布结果，并展示了其极值阶。
On a problem on a generalization of Euler's totient function
本文通过基于与GPT-5.5 Pro的广泛交互的论证，证明了Büyükaşik等人关于欧拉函数推广的猜想，即集合D_1 = {1, 3, 15}。
Global Field Totients
利用域赋值的余式定理，给出了整体域的范数函数的一个新的观点。本文定义了整体域的欧拉函数，并恢复了经典数论函数的基本分析性质，即乘积公式。此外，我们证明了相关的zeta函数的全纯性。作为一个应用，我们恢复了类似的中值定理的Erdensys，Dressler，和贝特曼通过Weiner-Ikehara定理。
Computing the inverses, their power sums, and extrema for Euler's totient and other multiplicative functions
我们提出了一个通用的算法，用于计算逆的乘法函数的假设下，逆的集合是有限的。更一般地，我们的算法可以计算逆的某些函数，例如它们的幂和（例如，基数）或极值，没有直接枚举的逆。我们用欧拉函数$φ(\cdot)$和$k$次幂因子和$σ_k(\cdot)$来说明我们的算法。例如，我们可以确定$σ_1(x) = 10^{1000}$的解的数量是15，512，215，160，488，452，125，793，724，066，873，737，608，071，476，而忽略实际的解是很难的。
On Sparsely Schemmel Totient Numbers
对于每个正整数$r$，令$S_r$表示$r^{th}$ Schemel函数，即由\[S_r(p^α)=\begin{cases} 0, & \mbox{if } p\leq r; \\ p^{α-1}(p-r), & \mbox{if } p>r \end{cases}\]针对所有素数$p$和正整数$α$定义的乘法算术函数。函数$S_1$就是欧拉函数$ϕ$。Masser和Shiu已经建立了几个有趣的结果，关于稀疏整数，正整数$n$满足$ϕ(n)<ϕ(m)$对所有整数$m>n$。定义一个正整数$r$为稀疏模式数$n$，使得$S_r(n)>0$和$S_r(n)<S_r(m)$对所有具有$S_r(m)>0$的$m>n$成立.然后我们推广了Masser和Shiu的一些结果。
Irreducible quadratic polynomials and Euler's function
令$P(x)$是$\mathbb{Z}[x]$中的不可约二次多项式。我们证明了对于几乎所有的$n$，$P(n)$不位于Euler函数的值域内.
Lehmer's totient problem over $\mathbb{F}_q[x]$
本文考虑Lehmer问题的函数场模拟。设$p(x)\in\mathbb{F}_q[x]$和$φ(q,p(x))$是$\mathbb{F}_q[x],$上的$p(x)$的欧拉函数，其中$\mathbb{F}_q$是具有$q$元素的有限域。我们证明了$φ(q,p(x))|(q^{{\rm deg}(p(x))}-1)$当且仅当（i）$p(x)$是不可约的;或（ii）$q=3, \; p(x)$是任何$2$非关联不可约度$1;$的乘积或（iii）$q=2,\; p(x)$是所有不可约度$1,$的乘积所有不可约度$1$和$2,$的乘积和任何不可约度$1, 2$和$3$的乘积。
On the Lehmer Numbers, II
当$ϕ(n) | n - 1$时，合数$n$称为莱默数，其中$ϕ$是欧拉函数。Lehmer的命题问题是问是否存在任何合数$n$使得$ϕ(n)| n-1$？没有这样的数字是已知的。本文建立了一个Euler Totient不等式，并将一些新的参数与Lehmer数联系起来。作为我们所做工作的一个应用，我们证明了对所有素数$p$和所有无奇平方数$n$，$n$或$pn$中至多有一个是Lehmer数.最后，我们提出了一些有待进一步研究的问题。
Residue Classes Having Tardy Totients
我们以一种有效的方式证明了存在一系列同余类$a_k\pmod {m_k}$，使得同余类$ϕ(n)\equiv a_k\pmod {m_k}$的最小解$n=n_k$存在并满足$\log n_k/\log m_k\to\infty $作为$k\to\infty$。这里，$ϕ(n)$是欧拉函数。这回答了\cite{FS}中提出的一个问题。我们还表明，每一个同余类包含一个偶数包含无限多个值的卡迈克尔函数$λ(n)$和最少这样的$n$满足$n\ll m^{13}$。
A Totient Function Associated with Variants of Groups
本文引入一种新的陶辛函数，结合欧拉函数及其1869年Schemmel扩展，探讨其评估方法及数论问题，面向广泛受众。
On Nicolas criterion for the Riemann Hypothesis
黎曼假设的Nicolas判据是基于欧拉函数在素数处必须满足的一个不等式。推导这个不等式的一个自然的方法是证明与该界相关的特定序列是严格递减的。我们表明，不幸的是，这后一事实将矛盾克莱默猜想之间的差距连续素数。当用Dedekind $Ψ$函数代替Euler函数时，类似的情况也成立。
The Asymptotic Behavior of Compositions of the Euler and Carmichael Functions
本文比较了Carmichael λ函数与Euler函数组合的渐近性态和Carmichael λ函数与自身组合的渐近性态。我们建立了比率对数的正规阶。
Summing Lambert Series in Euler's q-Exponential Functions
本文给出了用欧拉q-指数函数对Lambert级数求和的公式，并给出了几个与著名算术函数有关的Lambert级数的例子。这些功能包括：莫比乌斯$μ(n)$、欧拉totient $φ(n)$、乔丹totient $J_{k}(n)$、von Mangoldt $Λ(n)$、约数函数$σ_{s}(n)$、拉马努金求和$c_{q}(n)$以及平方和函数$r_{2}(n),r_{4}(n),r_{8}(n)$。
Repdigits in Euler functions of Pell and associated pell numbers
如果一个自然数$n$的所有数字都相同，则称之为repdigit。本文证明了无Pell数的Euler函数是至少有两位数的代表数。本文的研究也被推广到相关Pell数的某些子类。
Density properties of fractions with Euler's totient function
本文证明了包含 Euler's totient function 的两类分数在特定区间内的稠密性质，给出了孤立分数的完全判定与计算算法，并提出了对 V.~Arnold 著名问题的推广。
Divisors of the Euler and Carmichael functions
本文研究了Euler函数和Carmichael函数的因子分布。特别是，我们估计这些函数的值有多少次具有“密集”因子。
Note on a sum involving the Euler function
证明了$$ \sum_{n \leq x} φ([x/n])\leq\bigg(\frac{1380}{4009}+\frac{2629}{4009}\cdot\frac1{ζ(2)}+o(1)\bigg)x\log x $$为$x\to\infty$，其中$φ$表示欧拉函数，$[x]$表示$x$的整数部分.
On Arithmetic Functions Related to Iterates of the Schemmel Totient Functions
我们首先介绍一类有趣的函数，称为Schemmel totient函数，它推广了Euler totient函数。对于每一个Schemmel函数$L_m$，我们定义了两个新的函数，表示为$R_m$和$H_m$，它们是由迭代$L_m$产生的。粗略地说，$R_m$计算达到$0$或$1$所需的$L_m$迭代次数，而$H_m$采用迭代轨迹最终达到的值（$0$或$1$）。我们的第一个主要结果是证明，对于任何正整数$m$，功能$H_m$是完全乘法。然后，我们引入一个表示为$D_m$的求和函数，并定义了术语$D_m$ -缺陷、$D_m$ -完美和$D_m$ -丰富。我们继续证明与这些定义相关的几个结果，最终证明，对于所有正偶数$m$，有无穷多个$D_m$ -丰富的数字。许多开放的问题产生于引进这些功能和条款，我们提到其中的一些，以及一些数值结果。
On the local structure of the set of values of Euler's $φ$ function
假设迪克森猜想的有效性，我们表明，一组$\mathcal{V}$的值的欧拉函数$φ$包含任意大的等差数列与公差4。这导致的问题，无条件地证明，这套$\mathcal{V}$有一个积极的上Banach密度。
Complexity of Inverting the Euler Function
提出了一种求欧拉函数$ϕ(m)$逆的算法。对于给定的$n \geq 1$，该算法在多项式时间“平均”中找到所有解$m$到$ϕ(m) = n$的集合$Ψ(n)$。事实上，在最坏的情况下，$Ψ(n)$是指数级的，并且不能在多项式时间内计算。在相反的方向，我们表明，根据一个被广泛接受的数论猜想，有一个多项式时间减少的分区问题，NP完全问题，决定是否$ϕ(m) = n$有一个解决方案的整数n的一个小集合的问题。这表明判定给定的整数有限集S是否包含顶点的问题是NP-完全的。一个totient是一个整数n，它位于phi函数的图像中;也就是说，一个整数n，存在一个整数m求解phi（m）= n。最后，我们建立了欧拉函数反演与整数分解问题之间的紧密联系。
Rank Amplification for Shifted Equal Values of Euler's Totient Function
研究欧拉函数在移位整数上取等值的计数问题，通过结合光滑函数定理与标记供应系统等新方法，得到单位移位及均匀移位范围的渐近公式与上界估计。
On two mean square averages of Dirichlet $L$-function
求具有相同奇偶性的Dirichlet特征标$χ$上的Dirichlet $L$ -函数的均方平均是数论中的一个活跃问题.在这里，我们明确评估这种平均值的$L(3,χ)$和$L(4,χ)$使用某些三角和伯努利多项式，并表示为欧拉totient函数$ϕ$和约旦totient函数$J_s$。
Combinatorial properties of sparsely totient numbers
设$N_1(m)=\max\{n \colon ϕ(n) \leq m\}$和$N_1 = \{N_1(m) \colon m \in ϕ(\mathbb{N})\}$，其中$ϕ(n)$表示欧拉函数。Masser和Shiu \cite{masser}称$N_1$的元素为“稀疏的totient数”，并开始了对这些数的研究。在这篇文章中，我们建立了几个结果稀疏totient数。首先，我们证明了一个无平方因子的整数能整除所有足够大的稀疏整数，而一个非无平方因子的整数能整除无穷多个稀疏整数。其次，我们构造了显式的稀疏素数无限族，并描述了它们与连续素数分布的关系。我们还研究了$N_1$的稀疏性，证明了它是乘性分段联会而不是加性分段联会。最后，我们研究算术/等比数列和其他加法和乘法模式，如$\{x, y, x+y\}, \{x, y, xy\}, \{x+y, xy\}$和它们的推广稀疏totient数。
Note on sums involving the Euler function
本文给出了以下欧拉函数和的精确估计：$$\sum_{n\le x} ϕ\left(\left[\frac{x}{n}\right]\right) \qquad \text{and} \qquad \sum_{n\le x} \frac{ϕ([x/n])}{[x/n]}$$其中$[x]$表示实$x$的整数部分. Bordellès等人和Wu最近考虑了上述总结。
Level totients for integer mosaics
本文定义了整数镶嵌的层级欧拉函数φ_i(n)，证明了其Möbius除数求和公式，并给出了渐近密度与误差项。
Arithmetic Functions of Balancing Numbers
研究了两个涉及欧拉函数与平衡数因子的$k$次幂和的不等式.
A group-theoretical approach to Lehmer's totient problem
Lehmer命题是问是否存在合数$n$使得$φ(n) \, \mid \, (n-1)$，其中$φ$是欧拉命题函数.众所周知，如果存在任何这样的$n$，它必须是Carmichael和$n > 10^{30}$。本文利用群论中与函数$ψ$（群元素阶和）有关的一些结果，给出了一种新的解决方法，并证明了：若$k φ(n) = n-1$对某个整数$k$，则$k$必为$\geq 3$;若$5, 7, 11, 13 \not | n$，则$k \geq 4$ .这意味着任何反例必须是$n > 10^{8171}$和$ω(n) \geq 1991$。
Ramanujan and Eckford Cohen totients from Visible Point Identities
定义了Ramanujan三角函数的任意维推广，并给出了狄利克雷级数的母函数.很久以前，埃克福德·科恩首次给予了延期。这直接链接到可见的点矢量身份，并可能在物理和化学的Baake等人提出的格求和。新的生成函数和求和在这里给出，推广的Ramanujan函数，欧拉totient和约旦totient功能，基于可见的格点的想法。
Generalization of Romanoff's theorem
本文推广Romanoff定理，并给出一个与Euler函数相关的和的结果。
On the Fourier transform of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，它推广了gcd-和函数和欧拉函数。一方面，它是狄利克雷卷积的身份与拉马努金的总和，另一方面，它可以写为一个广义卷积产品的身份与totient功能。我们表明，这个算术函数的两个整数（a，m）计数的元素的数量在集合中的序偶（i，j），使i*j是相当于模m。此外，我们将totient函数的十几个已知等式推广到涉及最大公因数的离散傅里叶变换的等式，包括其部分和及其Lambert级数。
The number of preimages of iterates of $ϕ$ and $σ$
本文将 Euler 函数 $ϕ$ 和 $σ$ 原像数量的渐近上界扩展至其迭代情形，并借此证明了 Konick 和 Katai 论文中的相关猜想及推论。
On Dirichlet Products Evaluated at Fibonacci Numbers
在这项工作中，我们讨论Dirichlet产品评估斐波那契数。作为这些结果的初步应用，我们得到了斐波那契数的欧拉函数表示，本原素除子个数的上界以及一些相关的欧拉积的表示.此外，我们还对Fibonacci数的所有本原因子上的函数求和，得到了这种运算的一个非平凡的不动点。
A Partition Identity Related to Stanley's Theorem
本文利用Euler函数的Lambert级数生成函数，提出了n的分拆中1的个数的新恒等式，并推导出Euler分拆函数p(n)的新展开式，从而将乘性数论与加性分拆理论相联系。
A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers
我们发现了数论中的黄金分割率、Moebius函数、Euler函数和自然对数-中心参与者之间的有趣关系。一些身份涉及黄金分割率和它的倒数证明，包括一个表达式的基础上的自然对数。该定理及其推论突出了黄金比例与整数因式分解之间的一种不明显的联系，并显示了Moebius函数与Euler函数之间的一种反比关系。
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