Generalizations of Carmichael numbers I
证明了复合正整数$n$是{ \it弱Carmichael数}的充要条件是对$n$的每个素除子$p-1\mid n-1$是弱Carmichael数.这与Korselt的准则一起产生了这样一个事实，即每个Carmichael数也是一个弱Carmichael数。本文主要研究弱Carmichael数的算术性质。受近百年来Carmichael数研究的启发，本文建立了弱Carmichael数和与弱Carmichael数密切相关的数的若干相关结果、概念、例子和计算搜索.进一步，利用数学软件{ \tt Mathematica 8}给出了所有小于$2\times 10^6$的非素幂弱Carmichael数的表.受启发式论证、我们的计算和Carmichael数的一些旧的定理和结果的启发，我们提出了弱Carmichael数和其他几类Carmichael类数的定理.最后，我们考虑了弱Carmichael数的Fermat素性检验。我们相信，在某些有关Fermat-like素性检验和广义黎曼假设的问题中，涉及某些特定类的弱Carmichael数是有意义的。
2013-05-04 math.NT
The Carmichael numbers up to $10^{16}$
我们扩展了我们以前的计算，证明有246683卡迈克尔数到$10^{16}$。和以前一样，这些数字是通过回溯搜索可能的素数分解和一个“大素数变分”产生的。我们进一步统计卡迈克尔数的分布。
1998-03-18 math.NT
On the finiteness of Carmichael numbers with Fermat factors and $L=2^αP^2$
令$m$为卡迈克尔数，$L$为$p-1$的最小公倍数，其中$p$遍历$m$的素因子。我们确定了所有具有费马素因子的卡迈克尔数$m$，使得$L=2^αP^2$，其中$k\in \mathbb{N}$和$P$是奇素数.有11个这样的卡迈克尔数。
2017-10-03 math.NT
Carmichael numbers in the sequence (k2^n+1)_{n\ge 1}
证明了对任意奇数k，序列（k2 ^n +1）n \ge 1}只包含有限个Carmichael数.我们还证明了k=27是这样的序列包含一些Carmichael数的最小值。
2013-05-15 math.NT
The Carmichael numbers up to $10^{17}$
我们扩展我们以前的计算表明，有585355卡迈克尔数到$10^{17}$。和以前一样，这些数字是通过回溯搜索可能的素数分解和一个“大素数变分”产生的。我们进一步统计卡迈克尔数的分布。
2005-04-06 math.NT
There are infinitely many elliptic Carmichael numbers
1987年，丹·戈登定义了一个类似于卡迈克尔数的椭圆曲线，称为椭圆卡迈克尔数。本文证明了存在无穷多个椭圆Carmichael数。在这样做时，我们解决了肯定的问题，是否存在无限平方自由，复合整数$n$，使每一个素数$p$，除了$n$，$p+1|n+1$。
2016-09-01 math.NT
The Carmichael numbers up to $10^{18}$
我们扩展我们以前的计算，以表明有1401644卡迈克尔数到$10^{18}$。和以前一样，这些数字是通过回溯搜索可能的素数分解和一个“大素数变分”产生的。我们进一步统计卡迈克尔数的分布。
2006-04-17 math.NT
On the Classification and Algorithmic Analysis of Carmichael Numbers
本文研究了Carmichael数的性质，几种素性检验的假阳性。我们提供了一个分类卡迈克尔数的比例小于50%的费马证人，根据最小的素因子是大于一个确定的下界。此外，我们进行蒙特卡罗模拟的概率算法的一部分，以检测如果一个给定的合数是卡迈克尔。我们修改这个高精度的算法与确定性素性测试，以创建一个新的，更有效的算法，区分卡迈克尔数和素数。
2017-02-26 math.NT
Carmichael Numbers with a Specified Number of Prime Factors
本文证明，对任意充分大的整数 $R$，都存在恰好含有 $R$ 个素因子的 Carmichael 数。
2025-10-18 math.NT
On the Counting Function of Elliptic Carmichael Numbers
本文给出了J.H.最近提出的数椭圆Carmichael数$n \le x$的一个上界。西尔弗曼我们还讨论了进一步改进的几种可能的方法。
2012-06-15 math.NT
Carmichael Numbers with Prime Numbers of Prime Factors
本文在Heath-Brown猜想下，证明了存在无穷多个Carmichael数，其素因子个数为素数。
2024-03-17 math.NT
Carmichael numbers for $\mathrm{GL}(m)$
我们提出了Carmichael数的一个推广，其中乘法群$\mathbb G_\mathrm{m} = \mathrm{GL}(1)$被$\mathrm{GL}(m)$代替为$m\geq 2$ .我们证明了这些数族的基本性质，并给出了一些例子。
2020-01-28 math.NT
Infinitely Many Carmichael Numbers in Arithmetic Progressions
本文证明了对任何具有$(a,M)=1$的$a,M\in \mathbb N$，存在无穷多个Carmichael数$m$使得$m\equiv a$ mod $M$
2012-12-24 math.NT
A note on Carmichael numbers in residue classes
改进Matomäki和Wright的一些最近的结果，我们表明，在互质剩余类中，对于所有足够大的$X$，取决于剩余类的模，卡迈克尔数到$X$的数目超过$X^{1/(6\log\log\log X)}$。
2021-01-25 math.NT
Arithmetic progressions of Carmichael numbers in a reduced residue class
修正互质自然数$a,q$。在素数$k$元组猜想的假设下，证明了存在任意长的Carmichael数的等差数列，每一算术级数都位于约化的剩余类$a$ mod $q$中，并且是三个不同的素数的乘积.
2020-10-12 math.NT
The non-existence of universal Carmichael numbers
我们表明，普遍椭圆卡迈克尔数不存在，回答了西尔弗曼的一个问题。此外，我们表明，概率整数$n$，这是不是一个素数的权力，是一个椭圆卡迈克尔数的随机曲线$E$与好约化模$n$，是有界以上的$\mathcal{O}(\log^{-1} n)$。如果我们随机选择$n$和$E$，则$n$是$E$ -carmichael的概率上界为$\mathcal{O}(n^{-1/8+ε})$。
2019-12-02 math.NT
Carmichael numbers and the sieve
University of Missouri（密苏里大学）
本文通过筛法证明存在无限多个Carmichael数，其素因子形式为$p = 1 + a^2 + b^2$。
2015-06-10 math.NT
Advances in Tabulating Carmichael Numbers
本文通过按P大小分叉的算法大幅推进了卡迈克尔数表计算，找到49679870个小于10^{22}的卡迈克尔数，并给出更快的渐近方法与代价估计。
2024-08-10 math.NT
Carmichael Numbers in All Possible Arithmetic Progressions
本文证明每个算术级数要么含无穷多个卡迈克尔数要么没有，并给出判定准则，进而解决Alford等人关于欧拉函数比值的极限问题。
2025-10-15 math.NT
Elliptic Carmichael Numbers and Elliptic Korselt Criteria
设E/Q是椭圆曲线，L（E，s）= \sum a_n/n^s是E/Q的L-级数，P是E（Q）中的一点.一个大于2的整数n至少有两个不同的素因子，如果E在所有除n的素数处都有好约化且（n+1-a_n）P = 0（mod n），则称它为（E，P）的椭圆伪素数.则n是E的椭圆Carmichael数，如果n是E（Z/nZ）中的每个P的椭圆伪素数。本文描述了两个关于卡迈克尔数的Korselt判别法的椭圆类似物，并分析了pq形式的椭圆卡迈克尔数。
2011-08-18 math.NT
Constructing Carmichael numbers through improved subset-product algorithms
我们已经构造了一个有10，333，229，505个素因子的卡迈克尔数，并且还构造了一个有k个素因子的卡迈克尔数，k的值在3到19，565，220之间。这些计算是子集乘积问题的两个新算法的实现的产物，这两个算法利用素数p的非均匀分布，具有p-1整除高度合成的Λ的性质。
2013-09-05 math.NT
On the distribution of Carmichael numbers
1956年，Erdahl证明了直到$x$都有$x^{1-o(1)}$ Carmichael数。Pomerance使这一猜想更加精确，并提出有$x^{1-{\frac{\{1+o(1)\}\log\log\log x}{\log\log x}}}$ Carmichael数高达$x$。当时，他的数据表直到$25 \cdot 10^{9}$似乎都支持他的猜想。然而，Pinch扩展了这个数据，并表明直到$10^{21}$，Pomerance的猜想似乎没有得到很好的支持。因此，本文件的目的有两个方面。首先，我们建立在Pomerance和其他人的工作，提出了一个替代猜想的分布卡迈克尔数，适合已证明的界限，更好地支持捏的新数据。其次，我们提供了另一个猜想，关于分布的卡迈克尔数，锐化波默兰斯的启发式参数。我们还扩展和更新计数有关的伪素数和Carmichael数，并讨论了单参数二次基测试伪素数的分布。
2013-11-12 math.NT
Bertrand's Postulate for Carmichael Numbers
本文证明了Carmichael数在特定区间内的存在性，回答了Alford等人提出的关于Bertrand假设类比的问题，并给出了更强的计数下界。
2023-10-18 math.NT
There are infinitely many (-1,1)-Carmichael numbers
证明了存在无穷多个（-1，1）-Carmichael数，即无平方因子的合成整数n，使得对每个素数p整除n，p+1整除n-1.
2022-07-23 math.NT
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
2017-06-22 math.NT
On Carmichael numbers of the form $2^np^m+1$
Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）；Max Planck Institute for Software Systems（马克斯·普朗克软件系统研究所）
本文证明当固定奇数 $m\ge 5$ 时，形如 $2^np^m+1$ 的卡迈克尔数仅有有限多个，其中 $n$ 为正整数，$p$ 为素数。
2026-06-27 math.NT
On primary Carmichael numbers
本研究围绕本原卡迈克尔数展开，证明三因子卡迈克尔数构造多项式$U_3(t)$的特殊分解性质，明确其成为本原卡迈克尔数的条件，还探讨了与的士数、多边形数的关联。
2022-03-23 math.NT
Algorithms for Carmichael numbers
Illinois Wesleyan University（伊利诺伊卫斯理安大学）；Butler University（巴特勒大学）
本文研究了寻找小于指定界限的 Carmichael 数的算法复杂性，提出了一种改进的表格算法并实现了更高效的计算方法。
2026-01-13 math.NT
Ours go to 211: Euler pseudoprimes to 47 prime bases (from Carmichael numbers)
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Academia Sinica（中央研究院）
本文研究了卡迈克尔数中包含的欧拉伪素数，并提出了一种快速算法来生成新的欧拉伪素数，其中某些伪素数能够通过前47个素数基的测试。
2026-02-25 math.NT
Carmichael numbers and least common multiples of $p-1$
本文研究固定 $GCD[p_i-1]$ 的 Carmichael 数计数，在等差数列首素数强猜想下证明任意偶数 $\nu$ 对应数量的下界，突破标准构造中 $K$ 随 $n$ 增长的限制。
2024-10-26 math.NT
On primes in special sequences with applications to Carmichael numbers
本文利用等差数列中与Λ(n)相关的指数和，改进了非齐次Beatty序列和Piatetski-Shapiro序列上素数分布的结果，并将其应用于改进卡迈克尔数相关结论。
2025-02-10 math.NT
Idempotence in Carmichael and Giuga numbers and its application to the Agoh-Giuga conjecture
本文通过定义算术函数刻画Giuga数，推广Carmichael数至特定Fermat伪素数，并基于幂等性给出Agoh-Giuga猜想反例的新必要条件，推测无整数满足。
2026-10-21 math.NT
On the Lehmer's totient problem on Number Fields
Lehmer的命题问题是问是否存在一个合数$d$使得它的命题能除$d-1$。本文将Lehmer的顶点问题推广到代数数域上.我们引入了Lehmer数的概念。Lehmer数定义为数域的代数整数环中满足Lehmer问题的自然数。
2020-08-26 math.NT
On Carmichael and polygonal numbers, Bernoulli polynomials, and sums of base-$p$ digits
该研究在$p$进数理论框架下给出Carmichael数的新刻画，揭示其与Bernoulli多项式分母、基$p$数字和的关联，定义了本原Carmichael数，证明Carmichael数可表为显式多边形数，并给出相关集合的模子集覆盖。
2021-05-12 math.NT
Pell Numbers with Lehmer property
本文证明了在Pell数列中不存在具有Lehmer性质的数。
2015-10-02 math.NT
Lehmer numbers and primitive roots modulo a prime
一个Lehmer数模一个素数$p$是一个整数$a$，其中$1 \leq a \leq p-1$的逆$\bar{a}$在同一范围内具有相反的奇偶性。Wang和Wang已经讨论了也是原根的Lehmer数，试图计算$1$可以表示为两个也是Lehmer数的原根之和的方式的数量（S. Golomb）。本文给出了模$p$的Lehmer原根个数的一个显式估计，并证明了对所有素数$p \neq 2,3,7$，Lehmer原根存在.我们还明确了已知的Lehmer数模$p$的个数的表达式，并改进了Golomb-Lehmer原根问题解的个数的Wang-Wang估计.
2017-12-11 math.NT
On The Lehmer Numbers, I
当$ϕ(n) | n - 1$为合数$n$时称为Lehmer，其中$ϕ$为欧拉函数。1932年，D. H.~莱默指出，没有复合莱默数，并表明，莱默数必须是奇数和平方免费。虽然后来又发现了一些其他限制因素，但问题仍然没有解决。对于每个奇数$m>1$，令$m^\star$为$2^{m^\star}$能整除$m-1$的最大数。利用这一概念，我们给出了一些新的必要条件，并介绍了一种构造非Lehmer数的新数族$n$的方法.
2015-10-23 math.NT
On the Lehmer Numbers, II
当$ϕ(n) | n - 1$时，合数$n$称为莱默数，其中$ϕ$是欧拉函数。Lehmer的命题问题是问是否存在任何合数$n$使得$ϕ(n)| n-1$？没有这样的数字是已知的。本文建立了一个Euler Totient不等式，并将一些新的参数与Lehmer数联系起来。作为我们所做工作的一个应用，我们证明了对所有素数$p$和所有无奇平方数$n$，$n$或$pn$中至多有一个是Lehmer数.最后，我们提出了一些有待进一步研究的问题。
2015-10-23 math.NT
$(a,a)$-Carmichael numbers and greatest common divisors of $p-a$
Wofford College（沃福德学院）
研究(a,a)-卡迈克尔数，通过定义K及C_ν(X,a)，在关于算术级数中首个素数的强猜想下，证明对特定整数a和自然数ν，给出C_ν(X,a)的下界。
2026-09-15 math.NT
The number of iterates of the Carmichael lambda function required to reach 1
Carmichael lambda函数$λ(n)$被定义为最小正整数$m$，使得对于所有$(a,n)=1.$ $λ_k(n)$的$a^m \equiv 1 \pmod{n}$被定义为$λ(n).$的$k$ th，令L（n）是最小的$k$，对于$λ_k(n)=1.$它很容易表明，$L(n) \ll \log n.$它是证明，$L(n)\asymp \log\log n,$，但以前它是不知道是$o(\log n)$，几乎所有的$n.$我们将表明，$L(n) \ll (\log n)^δ$，几乎所有的我们还将证明几乎所有$n$的$L(n) \gg \log\log n$，并猜想L（n）的正规序。
2012-03-21 math.NT
Lucas Numbers with Lehmer Property
一个复合正整数n是Lehmer，如果n（n）能整除n-1，其中n（n）是欧拉函数。没有已知的Lehmer数，也没有证明它们不存在。2007年，第二作者[7]证明了Fibonacci序列中不存在Lehmer数。本文采用文献[7]的方法证明了对所有$n\geq 0.$，$L_0 = 2, L_1 = 1$和$L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$给出的Fibonacci数列$(L_n)_{n\geq 0}$的伴随Lucas数列中不存在Lehmer数
2015-08-24 math.NT
On existence of generalised Lehmer numbers modulo primes
Indian Institute of Technology Tirupati（印度理工学院提鲁帕蒂分校）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；International Centre for Theoretical Sciences（国际理论科学中心）
本文推广Lehmer数为模奇素数$q$的$q$-元组，计数并给出带显式误差项的渐近估计，利用特征和与Deligne界。
2026-09-22 math.NT
Corrigendum to "Cullen numbers with the Lehmer Property"
在本说明中，我们纠正了标题中提到的论文中的一个疏忽。
2011-12-14 math.NT
On the congruence $\sum_{j=1}^{n-1} j^{k(n-1)} \equiv -1 \pmod n $. k-strong Giuga and k-Carmichael numbers
在这项工作中，我们考虑的同余$\sum_{j=1}^{n-1} j^{k(n-1)} \equiv -1 \pmod n$为每个$k \in \mathbb{N}$，从而扩展了Giuga的想法$k=1$。特别地，证明了一对$(n,k)\in \mathbb{N}^2$满足该同余当且仅当$n$是素数或Giuga数且$λ(n) \mid k(n-1)$ .同时，我们建立了Giuga数的新的刻画，并研究了满足$λ(n) \mid k(n-1)$的数$n$的一些性质.
2013-11-14 math.NT
Some Bounds on the Lehmer Index
Qingdao University（青岛大学）
本文研究莱默数的莱默指数与其素因子倒数和的关系，提出莱默指数的上界、下界，以及莱默数以3为素因子时的指数约束。
2026-10-15 math.NT
The Prime Wavelet Tree: Compressing the Carmichael Numbers
Butler University（巴特勒大学）
本文提出局部与全局两种数论压缩方法，利用素数小波树压缩满足类Korselt条件的数字集，将小于10^24的3.08亿个卡迈克尔数从18.4GB文本压缩至588.7MB，位宽由80位降至约15.3位。
2026-10-05 math.NT
Higher-order Carmichael numbers
我们定义一个m阶Carmichael数为一个合数n，使得n次幂提升定义了每个Z/nZ-代数的一个自同态，该代数可以由m个元素生成为Z/nZ-模。我们给出一个简单的标准来确定一个数是否是m阶的卡迈克尔数，我们给出一个启发式的论点（基于Erdos对通常的卡迈克尔数的论点），表明对于每一个m，应该有无穷多个m阶的卡迈克尔数。这个论证提出了一种寻找高阶卡迈克尔数的方法;我们用这个方法来提供2阶卡迈克尔数的例子。
1998-12-16 math.AC math.NT
Cullen Numbers with the Lehmer Property
这里，我们证明了不存在正整数$n$使得$n$的第n个卡伦数$C_n=n2^n+1$具有除$ϕ(C_n)\mid C_n-1$之外是复合数的性质.
2011-03-18 math.NT
A new upper bound for numbers with the Lehmer property and its application to repunit numbers
复合正整数$n$具有Lehmer性质，如果$ϕ(n)$整除$n-1,$，其中$ϕ$是欧拉函数。本文将证明：如果$n$具有Lehmer性质，则有$n\leq 2^{2^{K}}-2^{2^{K-1}}$，其中$K$是$n$的素因子数.我们应用这个界限的reunit数，并证明有至多1000个数的集合$$ \left\{\frac{g^{n}-1}{g-1}\ \bigg|\ n,g\in\mathbb{N},\ ν_{2}(g)+ν_{2}(g+1)\leq L\ \right\}, $$中的Lehmer性质，其中$ν_{2}(g)$表示的最高权力的$2$，除$g$，和$L\geq 1$是一个固定的实数。
2018-06-29 math.NT
A new characterization of prime numbers and solution to Lehmer's conjecture on Euler's totient function
利用初等对称多项式与数论结果解决 Lehmer 猜想，并由此得到素数的新刻画。
2023-12-23 math.NT
Note on some congruences of Lehmer
本文推广了Lehmer关于一般合数的一些同余式.
2006-08-23 math.NT
Orthogonal decomposition of the space of algebraic numbers and Lehmer's problem
我们引入向量空间范数相关的马勒措施，通过使用L^p范数版本的韦尔高度最近推出的Allcock和Vaaler。为了做到这一点，我们确定的正交分解的空间的代数数模挠的伽罗瓦域和度。我们构造了L^p Lehmer猜想，其中包含了这些范数的下界，并证明了这些新猜想等价于它们的经典对应猜想，特别是p = 1情形下的经典Lehmer猜想和p =无穷大情形下的Schinzel-Zassenhaus猜想.
2009-11-10 math.NT
The iterated Carmichael λ-function and the number of cycles of the power generator
模l次幂函数f（x）= x^l（mod n）的迭代提供了一个公共的伪随机数生成器（当l=2时称为Blum-Blum-Shub生成器）。这种伪随机数发生器的周期与λ（λ（n））密切相关，其中λ（n）表示卡迈克尔函数，即任何整数模n的最大乘法阶。本文证明了对于几乎所有的n，λ（λ（n））的大小是n/exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）.我们猜想λ的第k阶λ的一个类似公式。我们推断，对于几乎所有的n，上述伪随机数生成器至少有exp（（1+o（1））（log log n）^2 log log log n）个不相交的圈。此外，我们表明，这个表达式是准确的，几乎所有的n下的广义黎曼假设的Kummerian字段的假设。我们还考虑了将整数n降为1所需的λ的迭代次数，证明了这个次数无限次小于（1+o（1））（log log n）/log 2，并推测log log n几乎总是真正的数量级。
2004-06-16 math.NT
On Generalized Carmichael Numbers
给定一个整数$k$，将$C_k$定义为整数集合$n > \max(k,0)$，使得$a^{n-k+1} \equiv a \pmod{n}$对所有整数$a$成立。建立了$C_k$中元素的各种乘法性质，并给出了$C_k$无限的一个充分条件.此外，我们还证明了有一个和两个素因子的$C_k$中有多个元素当且仅当$k>0$和$k$是素的.此外，如果$n \in C_k$的除了两个素因子之外的所有素因子都是固定的，那么除了某些$n$的无限族之外，$C_k$中有很多元素。我们还用数值证据给出了有关$C_k$增长率的猜测。当$a$和$k$都是固定的时，我们探讨了一个类似的问题，并证明了对于固定整数$a \geq 2$和$k$，有无穷多个整数$n$使得$a^{n-k} \equiv 1 \pmod{n}$当且仅当$(k,a) \neq (0,2)$通过构建Kiss和Phong的工作。最后讨论了正整数$n$使得Carmichael函数$λ(n)$整除$n-k$的乘法性质.
2021-03-05 math.NT
