从根本上削弱Lehmer和Carmichael条件

非Carmichael的$k$ -Lehmer数的无穷大

Infinitude of $k$-Lehmer numbers which are not Carmichael

本文证明了存在无穷多个$n$，其中$rad(φ(n))|n-1$但$n$不是Carmichael数.另外，我们证明了对于任何$k\geq 3$，存在无穷多个$n$使得$φ(n)|(n-1)^k$但不存在$φ(n)\nmid (n-1)^{k-1}$ .我们在这里考虑的构造分别是卡迈克尔数和莱默数的推广，它们首先由格劳和奥勒-马尔森提出。

关于$k$ -Lehmer数

On $k$-Lehmer numbers

Lehmer的totient问题包括确定正整数集合$n$使得$φ(n)|n-1$其中$φ$是欧拉totient函数。本文引入了$k$ -Lehmer数的概念。$k$ -Lehmer数是一个合数，使得$φ(n)|(n-1)^k$ .利用$k$ -Lehmer数与Carmichael数之间的关系，给出了Carmichael数的一个新的刻画，并给出了与Carmichael数的分布有关的一些定理，这些定理也是$k$ -Lehmer数.

关于Lucas数和Lehmer数的因子

On divisors of Lucas and Lehmer numbers

设u（n）是Lucas序列或Lehmer序列的第n项，本文从下式给出u（n）的最大素因子nexp（logn/104 loglogn）的估计.这样我们就能解决Schinzel从1962年提出的一个问题和Erdos从1965年提出的一个猜想。此外，我们还能对Bang从1886年提出的结果和Carmichael从1912年提出的结果给出第一个一般性的改进。

具有高斯基和高斯伪素数的Fermat检验

Fermat test with gaussian base and Gaussian pseudoprimes

群$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\star$的结构和费马小定理是一些著名的素性测试算法的基础。许多相关的概念出现：Euler的totient函数和Carmichael的lambda函数，Fermat伪素数，Carmichael和循环数，Lehmer的totient问题，Giuga猜想等。在本文中，我们提出和研究类似的一些以前的概念时，我们考虑的基础群$\mathcal{G}_n:=\{a+bi\in\mathbb{Z}[i]/n\mathbb{Z}[i] : a^2+b^2\equiv 1\ \textrm{$ \pmod n $}\}$。特别是，我们通过一个Korselt的标准，高斯卡迈克尔数的特点，我们提出了它们与高斯循环数的关系。最后给出了数$n \equiv 3 \pmod{4}$的Gaussian Carmichael数与1-Williams数之间的关系.也没有已知的合数小于$10^{18}$在这个家庭，这两个伪素数基地$1+2i$和2-伪素数。

A group-theoretical approach to Lehmer's totient problem

Lehmer's totient problem asks whether there exists any composite number $n$ such that $φ(n) \, \mid \, (n-1)$, where $φ$ is Euler totient function. It is known that if any such $n$ exists, it must be Carmichael and $n > 10^{30}$. In this paper, we develop a new approach to the problem via some recent results in group theory related to a function $ψ$ (the sum of order of elements of a group) and show that if $k φ(n) = n-1$ for some integer $k$, then $k$ must be $\geq 3$, and actually, if $5, 7, 11, 13 \not | n$, $k \geq 4$. This implies that any counterexample must be such that $n > 10^{8171}$ …