On the Counting Function of Elliptic Carmichael Numbers
Florian Luca, Igor E. Shparlinski
本文给出了J.H.最近提出的数椭圆Carmichael数$n \le x$的一个上界。西尔弗曼我们还讨论了进一步改进的几种可能的方法。
We give an upper bound for the number elliptic Carmichael numbers $n \le x$ that have recently been introduced by J. H. Silverman. We also discuss several possible ways for further improvements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
There are infinitely many elliptic Carmichael numbers
1987年，丹·戈登定义了一个类似于卡迈克尔数的椭圆曲线，称为椭圆卡迈克尔数。本文证明了存在无穷多个椭圆Carmichael数。在这样做时，我们解决了肯定的问题，是否存在无限平方自由，复合整数$n$，使每一个素数$p$，除了$n$，$p+1|n+1$。
Elliptic Carmichael Numbers and Elliptic Korselt Criteria
设E/Q是椭圆曲线，L（E，s）= \sum a_n/n^s是E/Q的L-级数，P是E（Q）中的一点.一个大于2的整数n至少有两个不同的素因子，如果E在所有除n的素数处都有好约化且（n+1-a_n）P = 0（mod n），则称它为（E，P）的椭圆伪素数.则n是E的椭圆Carmichael数，如果n是E（Z/nZ）中的每个P的椭圆伪素数。本文描述了两个关于卡迈克尔数的Korselt判别法的椭圆类似物，并分析了pq形式的椭圆卡迈克尔数。
The non-existence of universal Carmichael numbers
我们表明，普遍椭圆卡迈克尔数不存在，回答了西尔弗曼的一个问题。此外，我们表明，概率整数$n$，这是不是一个素数的权力，是一个椭圆卡迈克尔数的随机曲线$E$与好约化模$n$，是有界以上的$\mathcal{O}(\log^{-1} n)$。如果我们随机选择$n$和$E$，则$n$是$E$ -carmichael的概率上界为$\mathcal{O}(n^{-1/8+ε})$。
The image of Carmichael's $λ$-function
我们证明了卡迈克尔$λ$ -函数的值集的计数函数是$x/(\log x)^{η+o(1)}$，其中$η=1-(1+\log\log 2)/(\log 2)=0.08607...$。
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
On Types of Elliptic Pseudoprimes
本文推广椭圆伪素数概念，定义Euler椭圆Carmichael数与强椭圆Carmichael数，研究其与异常素数乘积及Type I椭圆Korselt数的关系，并证明相关密度猜想。
Runs of integers with constant values of the Carmichael function
本文研究Carmichael λ函数在连续整数上取相同值的最大连续段长度，通过引入基于Baker-Harman关于移位素数最大素因子结果的反向计数论证，改进了2023年已有的上界估计。
Counting elliptic curves with an isogeny of degree three
我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。
Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny
本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。
Point counting on reductions of CM elliptic curves
给出了椭圆曲线与任意虚二次域的复乘约化的点数的显式公式。我们还发现CM $\mathbf{Q}$ -曲线在某些情况下的模型。这推广了格罗斯、斯塔克和其他人的早期结果。
Piatetski-Shapiro sequences
我们考虑了Piatetski-Shapiro序列$\fl{n^c}$（$n=1,2,3,...$）与$c>1$，$c\not\in\N$的各种算术问题.我们证明了一个正函数$θ(c)$，它具有$\fl{n^c}$的最大素因子无限次超过$n^{θ(c)-\eps}$的性质.对于$c\in(1,\tfrac{149}{87})$，我们证明了$\fl{n^c}$无平方的自然数$n\le x$的计数函数满足期望的渐近公式.对于$c\in(1,\tfrac{147}{145})$，我们证明了有无穷多个完全由$p=\fl{n^c}$形式的素数组成的卡迈克尔数。
Poisson distribution of a prime counting function corresponding to elliptic curves
设$E$是定义在有理域$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，$N$是正整数.现在，$M_E(N)$表示素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。我们发现，$M_E(N)$遵循泊松分布时，采取了一个大类的曲线的平均值。
Extensions of CM elliptic curves and orbit counting on the projective line
在$GL_2$的子群作用下，射影直线的轨道数有几个公式。我们用椭圆曲线的几何学解释了这两个公式，并证明了Bianchi群的一大类同余子群的一个更一般的公式.我们的公式涉及到在一个叫做ismarticlevolcano的图上行走的次数。我们的结果是一个完整的描述的一对CM椭圆曲线，并在一个二次域的一对格的扩展组。
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
Counting rational points on elliptic curves with a rational 2-torsion point
设$E/\mathbb{Q}$是有理数上的椭圆曲线。由Bubieri和Zannier的工作可知，如果$E$具有完全有理$2$ -挠率，则以$B$为界的Weil高度的有理点的个数$N_E(B)$为$\exp\left(O\left(\frac{\log B}{\sqrt{\log\log B}}\right)\right)$ .在本文中，我们利用降维法，通过$2$ -issues推广到椭圆曲线只有一个非平凡的合理$2$ -扭点。此外，我们利用Petsche的一个结果导出了这些曲线的更强的上界$N_{E}(B) = \exp\left(O\left(\frac{\log B}{\log\log B}\right)\right)$，并从证明中去除了一个深超越理论成分。
Counting elliptic curves with prescribed entanglements
该研究通过数论几何和筛法技术，证明了具有特定分裂场纠缠的椭圆曲线数量随高度增长的渐近下界。
Short average distribution of a prime counting function over families of elliptic curves
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，并且令$N$是正整数。现在，$M_E(N)$计算素数$p$的个数，使得群$E_p(\mathbb{F}_p)$的阶为$N$。在早期的联合工作与Balasubramanian，我们表明，$M_E(N)$服从泊松分布时，平均采取了一个家庭的椭圆曲线参数$A$和$B$其中$A,\, B\ge N^{\frac{\ell}{2}}(\log N)^{1+γ}$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{2+γ}$为一个固定的整数$\ell$和任何$γ>0$。在本文中，我们表明，对于足够大的$N$，相同的结果保持，即使我们采取$A$和$B$范围内的$\exp(N^{\frac{ε^2}{20\ell}})\ge A, B>N^ε$和$AB>N^{\frac{3\ell}{2}}(\log N)^{6+γ}$任何$ε>0$。
Counting elliptic curves with prescribed level structures over number fields
Harron和Snowden计算了$\mathbb{Q}$上每一个可能的挠群$G$在$\mathbb{Q}$上直到高度$X$上的椭圆曲线的个数。本文将他们的结果推广到所有数域和所有水平结构$G$，使得相应的模曲线$X_G$是加权射影线$\mathbb{P}(w_0,w_1)$，态射$X_G\to X(1)$满足一定的条件.特别地，这包括具有亏格$0$的粗模空间的所有模曲线$X_1(m,n)$。我们证明了我们的结果，定义一个大小函数$\mathbb{P}(w_0,w_1)$以下未发表的工作邓，并制定出如何计数的点的数量$\mathbb{P}(w_0,w_1)$的大小$X$。
Universal elliptic Gauß sums and applications
我们提出了新的想法，计算椭圆Gaussian和，这构成了一个类似的经典分圆Gaussian和，其使用已被提出的背景下，计数点的椭圆曲线和素性测试。利用某些著名的模函数，定义了泛椭圆高斯和，并证明了它们可以用$j$ -不变量和另一个模函数表示.之后，我们展示了如何使用这种表示法来获得与有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线相关联的椭圆高斯和，然后可以用于计数点或素数证明。
Counting 5-isogenies of elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文通过建立模曲线栈与广义费马方程之间的显式同构，证明了有理数域上高度有界的椭圆曲线5-同源数量的渐近公式，从而解决了亏格零模曲线上有理点计数的渐近问题。
Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
Relating elliptic curve point-counting and solutions of quadratic forms with congruence conditions
本文通过研究二次型与椭圆曲线点计数之间的关系，建立了一种利用theta级数和同余条件来分析整数解与椭圆曲线有理点数量的联系。
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
Counting elliptic curves with prescribed torsion
马祖尔定理指出，在有理数上，椭圆曲线的挠子群恰好有15种可能。我们确定这些组中的每一个实际发生的频率。精确地说，如果$G$是这15个组之一，我们表明，数的椭圆曲线的高度$X$的扭转子群是同构的$G$是在$X^{1/d}$的顺序，对于一些$d=d(G)$，我们计算。
Quasi-quadratic elliptic curve point counting using rigid cohomology
我们提出了一个确定性算法，计算非超奇异椭圆曲线E在有限域上的zeta函数，其中p^n个元素在时间上是n的拟二次。具有相同时间复杂度的旧算法使用E的正则提升，而我们的算法使用刚性上同调结合变形方法。在小奇数特性的实施结果给出了非常好的结果。
Counting elliptic curves with a rational $N$-isogeny for small $N$
对于$N$，我们计算具有有界朴素高度的有理椭圆曲线的个数。对于某些$N$，这是通过推广Harron和Snowden的方法来完成的。对于其余情况，我们使用Ellenberg，Satriano和Zureick-Brown的框架，其中椭圆曲线的原始高度是模栈上对应点的高度。
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
Elliptic curves with a rational 2-torsion point ordered by conductor and the boundedness of average rank
本文改进了按导子计数椭圆曲线的方法，将其应用于具有有理2-挠点的小族椭圆曲线，为无平方因子指标和有界Szpiro比率的曲线证明了计数定理，且假设条件比朴素推广更宽松。
Counting Rational Points on Kummer surfaces
研究了两条非等距椭圆曲线所对应的Kummer曲面族上有理点的个数问题。对于这两个参数的家庭，我们证明马宁的团结，使用的库默尔表面的介绍，isovarious椭圆纤维化和双重覆盖的模块化椭圆表面的水平两个。通过对两个椭圆纤维化中的任意一个进行有理点计数，我们得到了两参数计数函数之间一个有趣的新恒等式。
Some heuristics about elliptic curves
给出了具有某些性质的椭圆曲线的计数方法。特别是，我们重新推导出的Brumer-McGuinness启发式曲线的数量与积极/消极的判别高达$X$，这是一个应用程序的格点计数。然后，我们介绍了随机矩阵理论的改进，使我们能够预测多久，我们期望一个椭圆曲线$E$偶奇偶校验有$L(E,1)=0$。我们发现，我们期望有大约$c_1X^{19/24}(\log X)^{3/8}$曲线，$|Δ|<X$具有偶奇偶和正（解析）秩;由于Brumer和McGuinness预测了$cX^{5/6}$总曲线，这意味着几乎所有偶奇偶曲线的秩都是0。然后，我们得出类似的估计，导体排序，并得出结论，给出各种数据，我们的物理学和相关问题。
Factorization and malleability of RSA modules, and counting points on elliptic curves modulo N
在本文中，我们解决两个不同的问题有关的RSA模N的因式分解。首先，我们可以证明因式分解在确定性多项式时间内等价于对一对扭曲的椭圆曲线上的点进行计数。此外，我们解决了因式分解RSA模块的延展性，如[9]中所述，使用单个椭圆曲线模N的点数和Coppersmith算法。
On the distribution of analytic ranks of elliptic curves
本文在椭圆$L$ -函数的GRH下，给出了椭圆曲线具有$L$ -函数的解析秩$L$-的概率的上界，以及椭圆曲线的解析秩的$n$ -阶矩的上界.这些是计算具有局部条件的椭圆曲线的应用，例如，在$p$处具有好约化。
Lehmer-Type bounds and counting rational points of bounded heights on Abelian varieties
本文研究了数域K上阿贝尔簇A的$\bar{K}$-点Néron-Tate高度的Lehmer型界，估计了高度$\leq \log B$的K-有理点数量，并针对椭圆曲线及其乘积将估计中的常数C变为显式可计算。
On Bhargava's heuristics for $\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-number fields and the number of elliptic curves of bounded conductor
我们提出了一个新的模型，用于计数$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域具有相同的本地属性的模$p$-伽罗瓦表示的分裂字段与椭圆曲线上的有理数。我们解释了这个新的模型和Bhargava的局部到全局算法如何计算$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域都揭示了估计平方自由导体$N < X.$的有理数上的椭圆曲线的数目的问题。新的模型预测了比局部到全局算法明显更多的具有所需局部性质的$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域的存在。当$N$具有大量不同的素因子时，由于Atkin-Lehner对合引起的退化，全局模型。我们描述了支持新模型的计算证据。
Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0
本文证明了具有有界不变量的整三元三次型的${\rm SL}_3({\mathbb Z})$ -等价类个数的一个渐近公式。我们使用这个结果来表明，当按高度排序时，所有椭圆曲线的3-Selmer群的平均大小为4。这意味着当按高度排序时，所有椭圆曲线的平均秩小于1.17。结合我们的计数技术与Dokchitser和Dokchitser最近的结果，我们证明了所有的椭圆曲线的正比例具有秩0。假设Tate-Shafarevich群的有限性，我们还证明了正比例的椭圆曲线秩为1。最后，将我们的计数结果与Skinner和Urban最近的工作相结合，我们证明了正比例的椭圆曲线具有解析秩0;即，正比例的椭圆曲线在$s=1$处具有非零$L$ -函数。因此，所有椭圆曲线中有一部分满足BSD。
Counting Points over Finite Fields and Hypergeometric Functions
一个众所周知的结果是，有限域上的椭圆曲线族Legendre上的点的数目可以用模$p$的超几何函数来表示。在本文中，我们推广了这个结果，由于Igusa，一族的单项变形的对角超曲面。我们发现了点的数目和广义超几何函数以及它们的有限域类似物之间的显式关系。
Counting elliptic curves with a cyclic $m$-isogeny over $\mathbb{Q}$
本文利用解析数论和Tauberian定理，给出了有理数域上具有循环$m$-同源的椭圆曲线在二次扭转和同构意义下的计数渐近式，并获得了幂次节省的误差项。
Elliptic curves of bounded degree in a polarized Abelian variety
对于g>1的极化复阿贝尔簇A，研究了计数A中次数以t为界的椭圆曲线个数的函数N_A（t）.我们把椭圆曲线描述为丢番图方程的解，至少对于小维数g=2和g=3，它实际上是可以显式化的，并且我们表明，计算解的个数是减少到计算位于R^n的显式有界子集上的格Z^n的点的数论中的经典问题。对于小维数的阿贝尔簇，我们得到了计数函数的上界.
Counting roots of truncated hypergeometric series over finite fields
研究了有限域上超几何幂级数的自然多项式截断。对于这些截断，我们建立了渐近上界的顺序$O(p^{11/12})$的根在素域$\mathbb{F}_p$的数量。我们讨论了某些超几何多项式与椭圆曲线族和K3曲面族的对应关系，在某些情况下得到了它们的精确界。我们包括一些计算来说明和补充我们的结果。
Explicit Frobenius lifts on elliptic curves
本文给出了椭圆曲线之间的相对弗罗贝尼乌斯态射的提升的显式公式，并说明了在奇特征约化的情况下如何计算这种提升。我们的理论也适用于超奇约化的情况。利用描述Frobenius提升的显式公式，将Mestre的椭圆曲线的2-adic算术几何平均（AGM）序列推广到奇特征，并证明了它的收敛性.作为应用，我们给出了一个基于广义AGM序列的正常椭圆曲线的有效点计数算法。
Elliptic curves with square-free $Δ$
在Dirichlet L-函数的黎曼假设下，我们改进了无平方因子$Δ=D/16$（D是判别式）的椭圆曲线密度估计的光滑化版本中的误差项。布朗宁和作者。为了实现这一改进，我们详细说明我们的方法计数加权解决方案的非齐次三次同余的幂满模。新颖之处在于更进一步的明确评估完全指数和保存一个因素，平均超过模。
Elliptic curves with missing Frobenius traces
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。1976年，Lang和Trotter猜想了良好归约的素数$p \leq X$的数量$π_{E,r}(X)$的渐近公式，其中与$E$相关的$p$处的Frobenius迹等于给定的固定整数$r$。我们研究椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}$有一个失踪的Frobenius跟踪，即计数函数$π_{E,r}(X)$保持有界为$X \rightarrow \infty$，对于一些$r \in \mathbb{Z}$。特别是，我们分类所有椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}(t)$有一个失踪的Frobenius跟踪。
Counting rational points on elliptic and hyperelliptic curves over function fields
结合2-下降、Riemann-Roch和Bézout定理，给出函数域上椭圆与超椭圆曲线有界高度有理点及S-整点数的上界，并应用于小有限域上雅可比簇挠部分，改进了已知上界。
Points of bounded height in images of morphisms of weighted projective stacks with applications to counting elliptic curves
研究有界高度点在加权投射堆映射中的渐进行为，并应用于计数具有指定水平结构的椭圆曲线，包括Γ(N)、Γ₁(N)和Γ₀(N)等情形。
On quantum cohomology ring of elliptic $\mathbb{P}^1$ orbifolds
利用轨道曲线计数方法计算了椭圆$\mathbb{P}^1$轨道折叠的量子上同调环。主要技术是分类定理，它涉及全纯轨道曲线与某些orbifold覆盖。轨道曲线的计数与丢番图方程的整数解有关。这通过不同的方法再现了Satake和Takahashi在$\mathbb{P}^1_{3,3,3}$情况下的计算。
The distribution of lattice points in elliptic annuli
令$N(t, ρ)$为薄椭圆环中的晶格点的数目。我们假设椭圆的纵横比$β$是超越的，并且在强意义上是丢番图的（这对{ \em几乎所有}纵横比都成立）。$N(t, ρ)$的方差为$t(8πβ\cdot ρ)$。我们表明，如果$ρ$慢慢收缩到零，然后分布的归一化计数函数$\frac{N(t, ρ) - A(2tρ+ρ^2)}{\sqrt{8 πβ\cdot t ρ}}$是高斯，其中A是椭圆的面积。\underline{circular}瓣环的病例是由Hughes和Rudnick提出的。
Counting points on a family of degree one del Pezzo surfaces
本文研究了一族由方程y²=x³+AxQ(u,v)²+BQ(u,v)³定义的椭圆面上的有理点，通过Mordell参数化方法，证明了特定子集的渐进行为，利用模形式连接二元二次和四次形式的表示数相关和。
Elliptic curves with a given number of points over finite fields
给定椭圆曲线$E$和正整数$N$，考虑$E$模$p$的约化在$\mathbb F_p$上恰有$N$点的素数$p$的个数.平均而言（在一个家庭的椭圆曲线），我们显示的界限是显着优于什么是平凡的Hasse界。在一些额外的假设下，包括一个关于等差数列中素数的短区间分布的猜想，我们得到了平均值的一个渐近公式。
Counting the number of the twists of certain polarized abelian varieties
本文计算了奇素数维有限域上某些极化阿贝尔簇的$d$ -twists度同构类的个数。这可以看作是椭圆曲线情形计数问题的高维模拟。
Counting locally supercuspidal newforms
本文利用迹公式和局部椭圆轨道积分，给出了权重$k$、水平$N$且局部类型为固定超尖点表示的新形式计数公式，并在导子$\text{le} p^3$时显式计算，还计算了Hecke算子迹并应用于根数偏差。
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
Edwards curve point counting method and supersingular Edwards and Montgomery curves
我们考虑有限域$\text{F}_{p^n}$上Edwards \cite{E, SkOdProj}的代数仿射和射影曲线。现代密码学中的大多数密码体制\cite{SkBlock}都可以自然地转化为椭圆曲线\cite{Kob}。我们研究有限域上的Edwards代数曲线，它是目前最有前途的支持点集，用于快速群运算\cite{Bir}。构造了一种计算有限域上Edwards曲线阶数的新方法.由于椭圆曲线与Edwards曲线之间的双有理等价，它可以应用于椭圆曲线的阶。我们不仅找到了一组特定的系数与相应的领域的特点，这些曲线是超奇异的，但也是一个通用的公式，它可以确定是否曲线$E_d[\mathbb{F}_{p^n}]$是超奇异在这个领域或没有。研究了有限域上$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards超奇异曲线的嵌入度，找到了嵌入度最小的域特征，并得到了$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards曲线超奇异性的判据.并给出了椭圆曲线上周期具有确定性下估计的密码稳定序列的生成器。
Height moduli on cyclotomic stacks and counting elliptic curves over function fields
本文利用twisted stable maps和stacky height functions理论，构造了参数化cyclotomic stacks上固定高度有理点的有限型模空间，解释了函数域上椭圆曲线计数中的低阶主项，回答了Venkatesh的问题。
Average size of 2-Selmer groups of elliptic curves over function fields
利用基本引理证明的几何背景，研究了2-Selmer群的平均大小的计数问题，并得到了它的一个估计。
Average analytic ranks of elliptic curves over number fields
本文在模性与广义 Riemann 假设条件下，证明任意数域上按朴素高度排序的椭圆曲线平均解析秩上界为 (9 deg(K)+1)/2，并借助加权射影叠上带局部条件的点数渐近结果完成证明。
Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height
本文研究了有理数域上具有有界朴素高度的椭圆曲线的计数问题，给出了精确和渐近公式，并探讨了不同子族，包括固定j-不变量和复乘（CM）的曲线。
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
Pascal's Matrix, Point Counting on Elliptic Curves and Prolate Spheroidal Functions
研究帕斯卡矩阵的特征向量与普罗拉特球面函数的关系，通过椭圆曲线点计数验证生成函数的性质。
Counting rational points on weighted projective spaces over number fields
Deng（arXiv：math/9812082）给出了数域上加权射影空间上关于某一高度函数的有理点个数的一个渐近公式。我们证明了一个推广的邓的结果，涉及一个态射之间的加权射影空间，让我们来计算有理点的形象下，这个态射有界的高度。该方法为第一作者和Najman关于数域上具有指定水平结构的椭圆曲线的计数的一个结果提供了一个更一般、更简单的证明.我们还包括一些应用到模曲线的例子。
Secondary terms in the first moment of $|{\rm Sel}_2(E)|$
针对高度有界于X的椭圆曲线E的2-Selmer群$|{\rm Sel}_2(E)|$计数函数，首次证明存在$X^{3/4}$阶次要项及幂节省误差项，改进了Bhargava--Shankar的$o(X^{5/6})$误差项结果。
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